14.4 Principio de Arquímedes y flotabilidad

Principio de Arquímedes

¿Cuán grande es la fuerza de flotación? Para responder esta pregunta, piense en lo que ocurre cuando se extrae un objeto sumergido de un fluido, como en la Figura 14.21. Si el objeto no estuviera en el fluido, el espacio que ocupa el objeto estaría ocupado por un fluido con un peso $w_{\text{fl}}.$ El fluido circundante soporta el peso, por lo que la fuerza de flotación debe ser igual a $w_{\text{fl}},$ el peso del fluido desplazado por el objeto.

Este principio recibe su nombre del matemático e inventor griego Arquímedes (circa 287-212 a. C.), quien enunció este principio mucho antes de que los conceptos de fuerza estuvieran bien establecidos.

Figura 14.21 a) Un objeto sumergido en un fluido experimenta una fuerza de flotación $F_{\text{B}}.$ Si $F_{\text{B}}$ es mayor que el peso del objeto, el objeto se eleva. Si $F_{\text{B}}$ es menor que el peso del objeto, el objeto se hunde. (b) Si el objeto se retira, es reemplazado por un fluido con peso $w_{\text{fl}}.$ Como el fluido circundante soporta este peso, la fuerza de flotación debe ser igual al peso del fluido desplazado.

El principio de Arquímedes se refiere a la fuerza de flotación que se genera cuando un cuerpo se sumerge en un fluido, ya sea parcial o totalmente. La fuerza que proporciona la presión de un fluido actúa sobre un cuerpo perpendicularmente a su superficie. En otras palabras, la fuerza debido a la presión en la parte inferior apunta hacia arriba, mientras que en la parte superior, la fuerza debido a la presión apunta hacia abajo; las fuerzas debido a las presiones en los lados apuntan hacia el cuerpo.

Como la parte inferior del cuerpo está a mayor profundidad que la superior, la presión en la parte inferior del cuerpo es mayor que la presión en la parte superior, como se muestra en la Figura 14.20. Por lo tanto, una fuerza neta hacia arriba actúa sobre el cuerpo. Esta fuerza ascendente es la fuerza de flotación o, simplemente, flotabilidad.

Densidad y principio de Arquímedes

Si deja caer un bloque de arcilla en el agua, se hundirá. Pero si se moldea el mismo bloque de arcilla en forma de barco, este flotará. Debido a su forma, el barco de arcilla desplaza más agua que el bloque y experimenta una mayor fuerza de flotación, aunque su masa sea la misma. Lo mismo ocurre con los barcos de acero.

La densidad media de un objeto es lo que determina en última instancia si flota. Si la densidad media de un objeto es menor que la del fluido que lo rodea, flotará. La explicación es que el fluido, al tener una mayor densidad, contiene más masa y, por tanto, más peso en el mismo volumen. La fuerza de flotación, que es igual al peso del fluido desplazado, es por tanto mayor que el peso del objeto. Asimismo, un objeto más denso que el fluido se hundirá.

El grado de inmersión de un objeto flotante depende de la comparación de la densidad del objeto con la del fluido. En la Figura 14.22, por ejemplo, el barco sin carga tiene una densidad menor y se sumerge menos en comparación con el mismo barco cuando está cargado. Podemos derivar una expresión cuantitativa para la fracción sumergida considerando la densidad. La fracción sumergida es la relación entre el volumen sumergido y el volumen del objeto, o

El volumen sumergido es igual al volumen de fluido desplazado, que llamamos $V_{fl}$ Ahora podemos obtener la relación entre las densidades al sustituir $\rho =\frac{m}{V}$ en la expresión. Esto da

donde ${\rho }_{\text{obj}}$ es la densidad media del objeto y ${\rho }_{\text{fl}}$ es la densidad del fluido. Como el objeto flota, su masa y la del fluido desplazado son iguales, por lo que se anulan de la ecuación, y queda

Podemos usar esta relación para medir densidades.

Figura 14.22 Un barco sin carga (a) flota más alto en el agua que un barco con carga (b).

Numerosos objetos o sustancias de baja densidad flotan en fluidos de mayor densidad: el aceite en el agua, un globo de aire caliente en la atmósfera, un trozo de corcho en el vino, un iceberg en agua salada y la cera caliente en una “lámpara de lava”, por nombrar algunos. Un ejemplo menos obvio son las cadenas montañosas que flotan sobre la corteza y el manto de mayor densidad que hay debajo. Incluso la Tierra aparentemente sólida tiene características fluidas.

Medición de densidad

Una de las técnicas más comunes para determinar la densidad se muestra en Figura 14.23.

Figura 14.23 (a) Se pesa una moneda en el aire. (b) Se determina el peso aparente de la moneda mientras está completamente sumergida en un fluido de densidad conocida. Estas dos medidas se usan para calcular la densidad de la moneda.

Un objeto, en este caso una moneda, se pesa en el aire y luego se vuelve a pesar sumergido en un líquido. Se puede calcular la densidad de la moneda, una indicación de su autenticidad, si se conoce la densidad del fluido. Podemos usar esta misma técnica para determinar la densidad del fluido si se conoce la densidad de la moneda.

Todos estos cálculos se basan en el principio de Arquímedes, que establece que la fuerza de flotación sobre el objeto es igual al peso del fluido desplazado. Esto, a su vez, significa que el objeto parece pesar menos cuando está sumergido; a esta medida la llamamos peso aparente del objeto. El objeto sufre una pérdida de peso aparente igual al peso del fluido desplazado. Alternativamente, en las balanzas que miden la masa, el objeto sufre una pérdida de masa aparente igual a la masa del fluido desplazado. Es decir, la pérdida de peso aparente es igual al peso del fluido desplazado, o la pérdida de masa aparente es igual a la masa del fluido desplazado.