14.3 Principio de Pascal y la hidráulica

Principio de Pascal

Elprincipio de Pascal (también conocido como ley de Pascal) establece que, cuando se aplica un cambio de presión a un fluido encerrado, este se transmite sin disminuir a todas las porciones del fluido y a las paredes de su recipiente. En un fluido cerrado, como los átomos del fluido son libres de moverse transmiten la presión a todas las partes del fluido y a las paredes del recipiente. Cualquier cambio en la presión se transmite sin disminuir.

Obsérvese que este principio no dice que la presión es la misma en todos los puntos de un fluido, lo cual no es cierto, ya que la presión en un fluido cerca de la Tierra varía con la altura. Más bien, este principio se aplica al cambio de presión. Supongamos que se coloca agua en un recipiente cilíndrico de altura H y área de sección transversal A que tiene un pistón móvil de masa m (Figura 14.15). La adición de peso Mg en la parte superior del pistón aumenta la presión en el tope en Mg/A, ya que el peso adicional también actúa sobre el área A de la tapa:

Figura 14.15 La presión en un fluido cambia cuando el fluido se comprime. (a) La presión en la capa superior del fluido es diferente de la presión en la capa inferior. (b) El aumento de presión al añadir peso al pistón es el mismo en todas partes, por ejemplo, $p_{\text{tope nuevo}}-p_{\text{tope}}=p_{\text{fondo nuevo}}-p_{\text{fondo}}$

Según el principio de Pascal, la presión en todos los puntos del agua cambia en la misma cantidad, Mg/A. Así, la presión en el fondo también aumenta en Mg/A. La presión en el fondo del recipiente es igual a la suma de la presión atmosférica, la presión debido al fluido y la presión suministrada por la masa. El cambio de presión en el fondo del recipiente debido a la masa es

Dado que los cambios de presión son los mismos en todas las partes del fluido, ya no necesitamos subíndices para designar el cambio de presión para el tope o el fondo:

Aplicaciones del principio de Pascal y sistemas hidráulicos

Los sistemas hidráulicos se usan para accionar frenos de automóviles, gatos hidráulicos y muchos otros sistemas mecánicos (Figura 14.16).

Figura 14.16 Un sistema hidráulico típico con dos cilindros llenos de fluido, tapados con pistones y conectados por un tubo llamado línea hidráulica. Una fuerza descendente ${\overrightarrow{F}}_1$ en el pistón izquierdo crea un cambio en la presión que se transmite sin disminuir a todas las partes del fluido encerrado. Esto genera una fuerza ascendente ${\overrightarrow{F}}_2$ en el pistón derecho que es más grande que ${\overrightarrow{F}}_1$ porque el pistón derecho tiene una mayor superficie.

Podemos derivar una relación entre las fuerzas en este sencillo sistema hidráulico al aplicar el principio de Pascal. Obsérvese en primer lugar que los dos pistones del sistema están a la misma altura, por lo que no hay diferencia de presión debido a una diferencia de profundidad. La presión debido a $F_1$ que actúa en el área $A_1$ es simplemente

Según el principio de Pascal, esta presión se transmite sin disminuir en todo el fluido y a todas las paredes del recipiente. Así, una presión $p_2$ se siente en el otro pistón que es igual a $p_1$ Eso es, $p_1=p_2.$ Sin embargo, dado que$p_2=F_2\text{/}{A}_2,$ vemos que

Esta ecuación relaciona las proporciones entre la fuerza y el área en cualquier sistema hidráulico, siempre que los pistones estén a la misma altura vertical y que la fricción en el sistema sea insignificante.

Los sistemas hidráulicos pueden aumentar o disminuir la fuerza que se les aplica. Para que la fuerza sea mayor, la presión se aplica a un área más grande. Por ejemplo, si se aplica una fuerza de 100 N al cilindro izquierdo en la Figura 14.16 y el cilindro derecho tiene un área cinco veces mayor, entonces la fuerza de salida es de 500 N. Los sistemas hidráulicos son análogos a las palancas simples, pero tienen la ventaja de que la presión se puede enviar a través de líneas tortuosamente curvas a varios lugares a la vez.

El gato hidráulico es un sistema hidráulico de este tipo. Un gato hidráulico se usa para levantar cargas pesadas, como las que usan los mecánicos para levantar un automóvil. Consta de un fluido incompresible en un tubo en U provisto de un pistón móvil a cada lado. Un lado del tubo en U es más estrecho que el otro. Una pequeña fuerza aplicada sobre un área pequeña puede equilibrar una fuerza mucho mayor en el otro lado sobre un área mayor (Figura 14.17).

Figura 14.17 (a) Un gato hidráulico funciona al aplicar fuerzas $(F_1\text{,}{F}_2)$ a un fluido incompresible en un tubo en U mediante un pistón móvil $(A_1,A_2)$ a cada lado del tubo. (b) Los mecánicos de automóviles suelen usar gatos hidráulicos para levantar vehículos y poder hacer reparaciones y mantenimiento (créditos b: modificación de trabajo de Jane Whitney).

A partir del principio de Pascal, se puede demostrar que la fuerza necesaria para levantar el automóvil es menor que su peso:

donde $F_1$ es la fuerza aplicada para levantar el automóvil, $A_1$ es el área de la sección transversal del pistón más pequeño, $A_2$ es el área de la sección transversal del pistón más grande y $F_2$ es el peso del automóvil.

Ejemplo 14.3

Calcular la fuerza en los cilindros de las ruedas: Pascal pisa el freno

Considere el sistema hidráulico de un automóvil que se muestra en la Figura 14.18. Supongamos que se aplica una fuerza de 100 N al pedal de freno, la cual actúa sobre el cilindro del pedal (actúa como cilindro “maestro”) a través de una palanca. Se ejerce una fuerza de 500 N sobre el cilindro del pedal. La presión creada en el cilindro del pedal se transmite a los cuatro cilindros de las ruedas. El cilindro del pedal tiene un diámetro de 0,500 cm y cada cilindro de la rueda tiene un diámetro de 2,50 cm. Calcular la magnitud de la fuerza $F_2$ creada en cada uno de los cilindros de las ruedas.

Figura 14.18 Los frenos hidráulicos usan el principio de Pascal. El conductor pisa el pedal de freno, y ejerce una fuerza que se ve incrementada por la palanca simple y de nuevo por el sistema hidráulico. Cada uno de los cilindros de rueda idénticos recibe la misma presión y, por lo tanto, crea la misma salida de fuerza $F_2$ Las áreas de la sección transversal circular de los cilindros del pedal y de la rueda están representadas por $A_1$ y $A_2$, respectivamente.

Estrategia

Nos dan la fuerza $F_1$ aplicada al cilindro del pedal. Las áreas de la sección transversal $A_1$ y $A_2$ se pueden calcular a partir de sus diámetros dados. Entonces podemos usar la siguiente relación para encontrar la fuerza $F_2$:

$$\frac{F_1}{A_1}=\frac{F_2}{A_2}.$$

Manipule esto algebraicamente para obtener $F_2$ en un lado y sustituir valores conocidos.

Solución

El principio de Pascal aplicado a sistemas hidráulicos viene dado por $\frac{F_1}{A_1}=\frac{F_2}{A_2}:$

$$\begin{array}{}\\ \hfill F_2& =\frac{A_2}{A_1}{F}_1=\frac{\pi r_2^2}{\pi r_1^2}{F}_1\hfill \\ & =\frac{{\left(\mathrm{1,25}\text{cm}\right)}^2}{{\left(\mathrm{0,250}\text{cm}\right)}^2}\times 500\text{N}=\mathrm{1,25}\times {\text{10}}^4\text{N}\text{.}\hfill \end{array}$$

Importancia

Este valor es la fuerza ejercida por cada uno de los cuatro cilindros de la rueda. Tenga en cuenta que podemos añadir tantos cilindros de rueda como queramos. Si cada uno tiene un diámetro de 2,50 cm, cada uno ejercerá $\mathrm{1,25}\times {10}^4\text{N}\text{.}$ Un sistema hidráulico simple, como ejemplo de máquina simple, puede aumentar la fuerza pero no puede soportar más trabajo del que se realiza en él. El trabajo es la fuerza por la distancia recorrida, y el cilindro de la rueda se desplaza una distancia menor que el cilindro del pedal. Además, cuantas más ruedas se añaden, menor es la distancia que recorre cada una. Muchos sistemas hidráulicos —como los frenos de potencia y los de las excavadoras— tienen una bomba motorizada que realiza la mayor parte del trabajo del sistema.