7.6 Tunelowanie cząstek przez bariery potencjału

Tunelowanie a energia potencjalna

W celu zobrazowania zjawiska tunelowania rozważmy przypadek kulki toczącej się po powierzchni z energią $100\mathrm{J}$. W pewnym momencie kulka napotyka wzniesienie. Energia potencjalna kulki na szczycie wzniesienia wynosi $10\mathrm{J}$. A zatem kulka o energii kinetycznej równej $100\mathrm{J}$ z łatwością wtoczy się na szczyt wzniesienia i będzie kontynuowała swój ruch. W mechanice klasycznej prawdopodobieństwo pokonania wzniesienia przez kulkę wynosi dokładnie $1$, co oznacza, że w każdym przypadku kulka mija wzniesienie. Jeżeli jednak napotkałaby przeszkodę o większej wysokości, taką, że do jej pokonania niezbędna byłaby energia $200\mathrm{J}$, wówczas kulka podtoczyłaby się jedynie do pewnej wysokości, a następnie zatrzymała i stoczyła z powrotem. Energia bariery znacznie przewyższa jej energię całkowitą. Prawdopodobieństwo pokonania przeszkody wynosiłoby w tym przypadku $0$. Istnienie kulki za barierą jest niemożliwe, bo jest energetycznie wzbronione. W świecie kwantowym nie ma jednak pełnego determinizmu wydarzeń, jakie nastąpią, istnieje jedynie wskazanie prawdopodobieństw ich nastąpienia. W przypadku fizyki kwantowej kulka (np. elektron) ma przypisaną sobie funkcję falową, zdefiniowaną na całej przestrzeni. Funkcja ta może być wysoce zlokalizowana (wtedy funkcja gęstości prawdopodobieństwa ma jedno wyraźne maksimum w pewnym wąskim obszarze przestrzeni), ale zawsze będzie istniało niezerowe prawdopodobieństwo, że kulka napotykawszy przeszkodę, nagle znajdzie się po jej drugiej stronie. Co więcej, prawdopodobieństwo to jest znaczące, gdy paczka falowa kulki jest szersza od przeszkody.

Oprócz tunelowania przedstawionego na Ilustracji 7.17 w sytuacji kwantowo-mechanicznej zachodzi także inny proces, niespotykany w mechanice klasycznej. Jest nim niezerowe prawdopodobieństwo odbicia się cząstki poruszającej się od lewej do prawej, gdy przechodzi ona ponad barierą potencjału (mając energię większą niż wysokość bariery potencjału $E>0\mathrm{J}$). Takie odbicie spowoduje, że cząstka skieruje się ponownie w lewą stronę, co nie zajdzie w sytuacji klasycznej. Zatem cząstka kwantowa czuje niejednorodność energii potencjalnej $V\left(x\right)$. Nie można tego powiedzieć o cząstce klasycznej, która w sytuacji porusza się po linii prostej i odbija się od bariery potencjału tylko wtedy, gdy $V>E$.

W języku mechaniki kwantowej przeszkodę nazwiemy barierą potencjału (ang. potential barrier). Kwadratowa bariera potencjału o skończonej wysokości może być opisana jako

Bariera potencjału przedstawiona jest na Ilustracji 7.17. Gdy wysokość bariery $V_0$ jest nieskończona, wówczas paczka falowa odpowiadająca padającej cząstce kwantowej nie jest w stanie jej przeniknąć i odbija się od niej jak cząstka klasyczna. Gdy grubość bariery $L$ jest nieskończona, a jej wysokość skończona, część paczki falowej może przejść do środka bariery, jednak ze względu na nieskończoną szerokość zanika w trakcie przejścia.

Ilustracja 7.17 Bariera potencjału o wysokości $V_0$ tworzy trzy różne obszary, w których funkcje falowe odmiennie się zachowują. W pierwszym obszarze (I), dla , padająca paczka falowa (cząstka padająca) porusza się w obszarze o zerowym potencjale razem z paczką odbitą (cząstką odbitą). W drugim obszarze (II) część paczki falowej, która nie została odbita w $x=0$, porusza się w potencjale $V\left(x\right)=+V_0$ i tuneluje do obszaru trzeciego (III) w $x=L$. W obszarze III, dla $x>L$, paczka falowa (cząstka przechodząca), która przeniknęła przez barierę potencjału, porusza się w obszarze o zerowym potencjale. Energia cząstki padającej jest przedstawiona w formie poziomej przerywanej linii.

Gdy zarówno szerokość $L$, jak i wysokość $V_0$ bariery są skończone, część paczki falowej padającej na jedną ze ścian bariery może przez nią przeniknąć i kontynuować swój ruch przez barierę, gdzie jest stopniowo osłabiana, aż do wyjścia z niej. O takiej cząstce powiemy, że dokonała tunelowania przez barierę potencjału. To, jaka część paczki falowej przedostanie się na drugą stronę bariery, zależy od szerokości $L$, wysokości $V_0$ i energii $E$ cząstki kwantowej padającej na barierę.

Pokonywanie bariery potencjału przez kwantową funkcję falową zostało zbadane po raz pierwszy przez Friedricha Hunda (1896–1997) w 1927 roku, krótko po tym, jak Schrödinger opublikował noszące jego nazwisko równanie. W następnym roku George Gamow (1904–1968) wykorzystał formalizm mechaniki kwantowej do wyjaśnienia rozpadu $\alpha$ jądra atomowego jako zjawiska tunelowania. Wynalezienie diody tunelowej w 1957 r. udowodniło, że tunelowanie jest niezwykle istotne dla technologii półprzewodników. W 1962 roku wysunięto postulat złącza Josephsona jako układu nadprzewodnik–izolator–nadprzewodnik, w którym następuje tunelowanie z jednego do drugiego nadprzewodnika przez barierę izolatora. W 1963 roku doczekało się ono potwierdzenia eksperymentalnego i obecnie złącze Josephsona jest podstawowym elementem w elektronice nadprzewodzącej. We współczesnej nanotechnologii tunelowanie wykorzystywane jest także do manipulacji pojedynczymi atomami.

Tunelowanie i funkcja falowa

Załóżmy, że jednorodna i niezależna od czasu wiązka elektronów lub innych cząstek o energii $E$ porusza się wzdłuż osi $x$ (w kierunku dodatnim osi) i napotyka barierę potencjału opisaną Równaniem 7.79. Jakie jest prawdopodobieństwo tunelowania pojedynczej cząstki z wiązki przez barierę? Odpowiedź znajdziemy przez ustalenie warunków brzegowych występujących w niezależnym od czasu równaniu Schrödingera dla cząstki w wiązce. Ogólna postać tego równania dana jest wzorem

gdzie potencjał $V\left(x\right)$ dany jest wzorem z Równania 7.79. Zakładamy, że energia wiązki $E$ jest mniejsza od energii bariery (). Znając energię padających cząstek, musimy rozwiązać równanie Schrödingera, szukając funkcji $\psi \left(x\right)$, która jest ciągła i ma pierwsze pochodne ciągłe dla każdego $x$, co zapewnia gładkość przebiegu funkcji.

Dzielimy oś $x$ na trzy obszary o granicach określonych funkcją potencjału $V\left(x\right)$ (przedstawioną na Ilustracji 7.17) i przepisujemy Równanie 7.80 dla każdego z tych obszarów. Rozwiązania dla obszaru pierwszego oznaczamy jako ${\psi }_{\text{I}}\left(x\right)$, dla obszaru drugiego $0\le x\le L$ – ${\psi }_{\text{II}}\left(x\right)$ i dla trzeciego $x>L$ jako ${\psi }_{\text{III}}\left(x\right)$.

Warunek ciągłości na granicy obszarów wymaga, aby

oraz

Do spełnienia warunku gładkości niezbędna jest ciągłość pierwszych pochodnych rozwiązania na granicach obszaru

oraz

Następnie musimy znaleźć funkcje ${\psi }_{\text{I}}\left(x\right)$, ${\psi }_{\text{II}}\left(x\right)$ i ${\psi }_{\text{III}}\left(x\right)$.

W przypadku obszarów I i III możemy łatwo stwierdzić, że rozwiązania będą miały formę ogólną

gdzie $k=\sqrt{2mE}∕\hslash$ jest liczbą falową, a urojony wykładnik opisuje oscylacje

Stałe $A$, $B$, $F$ i $G$ mogą być liczbami zespolonymi. Rozwiązania te zostały przedstawione na Ilustracji 7.17. W obszarze I występują dwie fale – jedna padająca (poruszająca się w prawo) i jedna odbita (poruszająca się w lewo), a więc stałe $A$ i $B$ nie mogą zaniknąć. W obszarze III jest tylko jedna fala (poruszająca się w prawo), która jest falą przechodzącą, a więc stała $G$ musi być równa zero. Fali padającej możemy explicite przypisać funkcję ${\psi }_{\text{pad}}\left(x\right)=A{e}^{+ikx}$, fali odbitej funkcję ${\psi }_{\text{odb}}\left(x\right)=B{e}^{-ikx}$, a fali przechodzącej funkcję ${\psi }_{\text{prze}}\left(x\right)=F{e}^{+ikx}$. Amplituda fali padającej wynosi

Podobnie amplituda fali odbitej będzie równa ${\left|{\psi }_{\text{odb}}\left(x\right)\right|}^2={\left|B\right|}^2$, a amplituda fali przechodzącej: ${\left|{\psi }_{\text{prze}}\left(x\right)\right|}^2={\left|F\right|}^2$. Wiemy z teorii fal, że kwadrat amplitudy fali jest wprost proporcjonalny do natężenia fali. Jeżeli chcemy wiedzieć, jak duża część fali przetuneluje przez barierę potencjału, musimy obliczyć kwadrat amplitudy fali przechodzącej. Prawdopodobieństwo transmisji (ang. transmission probability) lub inaczej prawdopodobieństwo tunelowania (ang. tunneling probability) cząstki jest stosunkiem natężenia fali przechodzącej do natężenia fali padającej

gdzie $L$ jest szerokością bariery, a $E$ energią całkowitą cząstki. Jest to prawdopodobieństwo przetunelowania pojedynczej cząstki z wiązki. Intuicyjnie rozumiemy, że prawdopodobieństwo musi zależeć od wysokości bariery $V_0$.

W obszarze II równanie Schrödingera możemy zapisać jako

gdzie ${\beta }^2$ jest dodatnie, ponieważ $V_0>E$, a parametr $\beta$ to liczba rzeczywista

Rozwiązanie równania Schrödingera w obszarze II nie jest oscylacyjne (jak w przypadku innych obszarów) i przedstawiamy je wzorem

Rozwiązania dla wszystkich trzech obszarów pokazane zostały na Ilustracji 7.18.

Ilustracja 7.18 Trzy rodzaje rozwiązania stacjonarnego równania Schrödingera dla zagadnienia tunelującej cząstki: o charakterze oscylującym w obszarze I i III, gdzie cząstka porusza się swobodnie, i zanikającym wykładniczo w obszarze II (bariery), gdzie cząstka porusza się w potencjale $V_0$.

Wykorzystamy teraz warunki brzegowe do obliczenia nieznanych stałych. Podstawiając Równanie 7.88 i Równanie 7.94 do Równania 7.84, otrzymamy

Podstawiając Równanie 7.94 i Równanie 7.89 do Równania 7.85, dostajemy

Podobnie podstawiamy Równanie 7.88 i Równanie 7.94 do Równania 7.86, różniczkujemy i otrzymujemy

Następnie podchodzimy do warunku brzegowego z Równania 7.87

Mamy więc cztery równania z pięcioma nieznanymi stałymi. Ponieważ szukamy współczynnika transmisji $F/A$, możemy każdą z szukanych stałych podzielić przez $A$, otrzymując w ten sposób jedynie cztery niewiadome: $B/A$, $C/A$, $D/A$ i $F/A$, z których trzy możemy wykorzystać do obliczenia $F/A$. Obliczenia prowadzące do ostatecznego wyniku są długie, ale możemy wykonać je ręcznie lub za pomocą komputera. Współczynnik transmisji wynosi więc

Dla ułatwienia wykorzystujemy podstawienia $\gamma \equiv \beta \text{/}k-k\text{/}\beta$, $coshy=\left(e^y+e^{-y}\right)∕2$, $sinhy=\left(e^y-e^{-y}\right)∕2$. Podstawiamy równanie na współczynnik transmisji do wzoru opisującego prawdopodobieństwo tunelowania i otrzymujemy

lub inaczej

gdzie

Dla przypadku szerokiej bariery można tę zależność przybliżyć jako

Czy skorzystamy z pełnego, czy z uproszczonego wzoru, łatwo możemy zauważyć, że tunelowanie wyraźnie zależy od szerokości bariery $L$. W warunkach laboratoryjnych jesteśmy w stanie dopasować zarówno wysokość bariery potencjału $V_0$, jak i jej szerokość $L$ do projektowania nanourządzeń z wybranym współczynnikiem transmisji.

Rozpad promieniotwórczy

W 1928 roku Gamow stwierdził, że tunelowanie kwantowe jest odpowiedzialne za rozpad promieniotwórczy jąder atomowych. Zaobserwował on, że niektóre izotopy toru, uranu i bizmutu ulegają rozpadowi z emisją cząstek $\text{α}$ (które są zjonizowanymi atomami helu lub prościej – jądrami helu). Podczas emitowania cząstek $\text{α}$ jądro atomowe zmienia się w inne jądro, o liczbach neutronów i protonów mniejszych o dwa. Cząstki $\text{α}$ emitowane przez ten sam izotop mają w przybliżeniu takie same energie kinetyczne. Jeśli chodzi o energie cząstek $\text{α}$ różnych izotopów, to wahają się one od $4\mathrm{MeV}$ do $9\mathrm{MeV}$, a więc są one tego samego rzędu wielkości. Jednak na tym kończą się podobieństwa izotopów.

Gdy przyjrzymy się okresom półtrwania (jest to czas, w którym radioaktywna cząstka traci połowę liczby jąder atomowych) różnych izotopów, bardzo się one od siebie różnią. Jako przykład weźmy okres półtrwania polonu-214, który wynosi $160\mathrm{\mu s}$, i uranu, wynoszący $\mathrm{4,5}$ miliarda lat. Gamow wyjaśniał istnienie tych różnic przez wprowadzenie modelu jądra atomowego jako sferycznego pudełka, w którym cząstki $\alpha$ mogą odbijać się między ścianami jak cząstki swobodne. Pudełko tworzy niezwykle silna sferyczna bariera potencjału. Jednak grubość bariery nie jest nieskończona, a więc istnieje niezerowe prawdopodobieństwo przeniknięcia cząstek przez ściany pudełka. Gdy cząstka opuści jądro, zaczyna działać na nią odpychająca siła elektrostatyczna Coulomba i cząstka oddala się od jądra. To zagadnienie przedstawiono na Ilustracji 7.19. Szerokość bariery potencjału zależy od energii kinetycznej $E$ cząstki i jest odległością między promieniem jądra oznaczonym jako $E$ a punktem $R_0$, w którym cząstka $\alpha$ przechodzi przez barierę, wobec czego $L=R_0-R$. W odległości $R_0$ energia kinetyczna musi przynajmniej równoważyć elektrostatyczną energię odpychania $E=e^2∕\left(4\pi {\epsilon }_0\right)\cdot Z∕R_0$, gdzie $+Ze$ jest ładunkiem jądra atomowego. W ten sposób możemy oszacować szerokość bariery

Łatwo zauważyć, że im większa jest energia cząstki $\alpha$, tym węższa jest bariera, przez którą musi przetunelować. Wiemy też, że szerokość bariery jest najważniejszym czynnikiem wpływającym na prawdopodobieństwo tunelowania. A zatem cząstki $\alpha$ o znacznej energii kinetycznej mają dużą szansę na opuszczenie jądra atomowego, a co za tym idzie, okres ich połowicznego rozpadu jest krótszy. Zauważmy, że proces ten nie jest liniowy, co oznacza, że mała zmiana w energii cząstki $\alpha$ znacząco wpływa na prawdopodobieństwo jej tunelowania i skrócenie okresu półtrwania. To tłumaczy, dlaczego okres półtrwania polonu o energii $8\mathrm{MeV}$ jest diametralnie krótszy niż w przypadku uranu, który emituje cząstki o energii $4\mathrm{MeV}$.

Ilustracja 7.19 Bariera potencjału dla cząstki $\alpha$ związanej w jądrze atomowym. Aby wydostać się z jądra, cząstka $\alpha$ o energii $E$ musi przetunelować przez barierę potencjału z punktu odległego o $R$ do punktu odległego o $R_0$ od środka jądra.

Emisja polowa

Emisja polowa (ang. field emission) jest procesem związanym z emisją elektronów z przewodzących powierzchni, w obecności silnych zewnętrznych pól elektrycznych przyłożonych w kierunku normalnym do powierzchni (Ilustracja 7.20). Jak wiemy z wcześniejszych rozdziałów o polach elektrycznych, pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego elektrony w przewodniku poruszają się w kierunku jego powierzchni i zostają tam, dopóki przykładane pole elektryczne nie jest zbyt silne. W takim przypadku mówimy, że elektron w przewodniku cechuje pewien stały potencjał $V\left(x\right)=-V_0$, gdzie $x$ odnosi się do wnętrza przewodnika. W sytuacji przedstawionej na Ilustracji 7.20, gdzie zewnętrzne pole elektryczne jest jednorodne i wynosi $E_g$, jeśli elektron znalazłby się poza przewodnikiem w odległości $x$ od jego powierzchni, jego energia potencjalna będzie wynosiła $V\left(x\right)=-e{E}_{g}x$; w tym przypadku $x$ opisuje odległość od powierzchni przewodnika. Przyjmując dla powierzchni przewodnika wartość zero ($x=0$), możemy przedstawić energię potencjalną elektronów przewodnictwa w metalu jako barierę potencjału pokazaną na Ilustracji 7.21. Przy braku zewnętrznego pola elektrycznego energia potencjalna zamienia się w barierę schodkową opisaną przez $V\left(x\le 0\right)=-V_0$ i $V\left(x>0\right)=0\mathrm{V}$.

Ilustracja 7.20 Zewnętrzne pole elektryczne przyłożone w kierunku normalnym do powierzchni przewodnika. Przy silnym polu zewnętrznym elektrony z przewodnika mogą się od niego oddzielić i zacząć się oddalać.

Ilustracja 7.21 Bariera potencjału przy powierzchni metalicznego przewodnika, w obecności jednorodnego zewnętrznego pola elektrycznego $E_g$ przyłożonego w kierunku prostopadłym do powierzchni przewodnika. Energia potencjalna zamienia się w barierę schodkową, gdy zewnętrzne pole zostaje usunięte. Pracę wyjścia dla metalu oznaczamy jako $\varphi$.

Gdy zewnętrzne pole elektryczne jest silne, elektrony przy powierzchni przewodnika mogą się od niego odłączyć i zacząć przyspieszać wzdłuż linii pola elektrycznego, w kierunku przeciwnym do działającego pola, oddalając się od przewodnika. Mówiąc krótko, elektrony przewodnictwa mogą uciec z powierzchni przewodnika. Emisja polowa może być rozumiana jako tunelowanie elektronów z pasma przewodnictwa przez barierę potencjału na powierzchni przewodnika. Mechanizm zjawiska jest bardzo podobny do emisji cząstek $\alpha$.

Rozważmy przykład elektronu przewodnictwa o energii kinetycznej $E$ (średnia energia kinetyczna elektronu w metalu odpowiada pracy wyjścia $\varphi$ metalu i możemy ją zmierzyć dzięki omówionemu wcześniej efektowi fotoelektrycznemu (Fotony i fale materii), natomiast zewnętrzne pole elektryczne można przybliżyć jako jednorodne pole elektryczne $E_g$. Szerokość $L$ bariery potencjału, którą musi pokonać elektron na Ilustracji 7.21, przedstawiono poziomą, przerywaną linią $V\left(x\right)=E$, przebiegającą od $x=0$ do przecięcia z $V\left(x\right)=-e{E}_{g}x$, a więc szerokość tę możemy przedstawić jako

Łatwo zauważyć, że szerokość bariery jest odwrotnie proporcjonalna do natężenia zewnętrznego pola elektrycznego. Gdy zwiększamy natężenie pola, bariera potencjału staje się bardziej stroma, a jej grubość maleje, tymczasem prawdopodobieństwo tunelowania rośnie wykładniczo. Elektrony, które przeniknęły przez barierę potencjału, tworzą prąd (prąd tunelowy), który można zmierzyć ponad powierzchnią przewodnika. Natężenie prądu tunelowego jest proporcjonalne do prawdopodobieństwa tunelowania, to zaś zależy nieliniowo od grubości bariery $L$, której wartość może być zmieniona przez odpowiednie dopasowanie $E_g$. A zatem prąd tunelowy da się modulować za pomocą zmiany zewnętrznego pola $E_g$. Gdy natężenie pola jest stałe, natężenie prądu zmienia się w zależności od wartości $L$.

Opisane powyżej tunelowanie elektronów przy powierzchni metali jest podstawą fizyczną działania skaningowego mikroskopu tunelowego (ang. scanning tunneling microscope, STM), wynalezionego w 1981 roku przez Gerda Binniga (ur. 1947) i Heinricha Rohrera (1933–2013). STM składa się najczęściej z sondy skanującej (jest to zwykle igła wykonana z wolframu, platyny z irydem lub złota), stolika piezoelektrycznego, odpowiedzialnego za pozycjonowanie sondy (zazwyczaj od $\mathrm{0,4}\mathrm{nm}$ do $\mathrm{0,7}\mathrm{nm}$ ponad powierzchnią próbki; jej ruch odbywa się w płaszczyźnie $XY$), i komputera, na którym można oglądać otrzymany obraz. Do badanej próbki przyłożone jest stałe napięcie, a podczas ruchu sondy nad powierzchnią próbki (Ilustracja 7.22) rejestrowany jest prąd tunelowy dla kolejnych położeń igły względem próbki. Natężenie prądu zależy od prawdopodobieństwa tunelowania elektronów z powierzchni próbki do igły, co z kolei jest uwarunkowane wysokością sondy nad próbką. Badając prąd tunelowy, możemy określić wysokość sondy nad powierzchnią próbki. Badania prowadzone przy użyciu mikroskopu tunelowego mają bardzo dużą rozdzielczość: $\mathrm{0,001}\mathrm{nm}$, co stanowi $1\mathrm{\%}$ średniego promienia atomu. W ten sposób możemy obserwować pojedyncze atomy na powierzchni próbki, jak w przypadku nanorurki węglowej przedstawionej na Ilustracji 7.23.

Ilustracja 7.22 W mikroskopie STM próbkę, do której przyłożone jest stałe napięcie, skanuje sonda poruszająca się nad jej powierzchnią. Gdy koniec sondy zbliża się do atomów powierzchniowych, elektrony mogą tunelować z powierzchni próbki do sondy. Natężenie prądu w konkretnym punkcie $\left(x,y\right)$ dostarcza informacji na temat chwilowej wysokości sondy nad próbką. W ten sposób może powstać niezwykle dokładna mapa powierzchni próbki. Obrazy otrzymane za pomocą STM są przetwarzane i wyświetlane na ekranie komputera. Obraz STM pozwala wyznaczyć topografię powierzchni próbek różnych materiałów i wskazać, na ile jest płaska, a na ile pagórkowata.

Ilustracja 7.23 Obraz nanorurki węglowej otrzymany za pomocą STM. Rozdzielczość rzędu pojedynczych atomów pozwala na niezwykle dokładne badanie topografii materiałów. Obrazy otrzymane za pomocą STM są w skali odcieni szarości, kolor dodaje się podczas obróbki.

Tunelowanie rezonansowe

Tunelowanie kwantowe ma wiele zastosowań w urządzeniach półprzewodnikowych, takich jak elementy obwodów elektronicznych czy układów scalonych projektowanych w skali nano, stąd też termin nanotechnologia (ang. nanotechnology). Jako przykład rozważmy diodę (element elektroniczny, który sprawia, że płynący przez nią prąd będzie się różnie zachowywał w zależności od jego kierunku), która może być zbudowana za pomocą złącza pomiędzy dwoma różnymi półprzewodnikami. W takiej diodzie tunelowej (ang. tunnel diode) elektrony tunelują przez pojedynczą barierę potencjału na granicy dwóch półprzewodników. Na obszarze złącza prąd tunelowy zmienia się nieliniowo razem z przyłożonym potencjałem i może szybko zmaleć dla wysokiego napięcia, co jest odmienne od tradycyjnego podejścia zgodnego z prawem Ohma. Takie zachowanie (spowodowane tunelowaniem) jest niezwykle pożądane w superszybkich urządzeniach elektronicznych.

Istnieją nanourządzenia wykorzystujące tunelowanie rezonansowe (ang. resonant tunneling) elektronów przez bariery potencjału w kropkach kwantowych (ang. quantum dot). Kropka kwantowa jest małym obszarem nanokryształu półprzewodnikowego, który jest hodowany np. na krysztale krzemu lub arsenku glinu. Ilustracja 7.24 (a) przedstawia kropkę kwantową arsenku galu wkomponowaną w strukturę wafla arsenku glinu. Kropka kwantowa zachowuje się jak studnia potencjału o skończonej wysokości (przedstawiona na Ilustracji 7.24 (b)), która ma dwie bariery potencjału na granicy obszaru kropki. Podobnie jak w przypadku cząstki w pudełku (czyli nieskończonej studni potencjału) niższe stany energetyczne cząstki kwantowej zamkniętej w skończonej studni potencjału są skwantowane. Różnica między cząstką zamkniętą w pudełku a przypadkami studni potencjału leży w nieskończonej liczbie stanów energetycznych i związaniu cząstki z wnętrzem pudełka, gdy cząstka w studni potencjału posiada skończoną liczbę stanów energetycznych i może przetunelować przez bariery potencjału na brzegach studni. A zatem kropka kwantowa jest studnią potencjału, jak przedstawiono na rysunku poniżej, gdzie energia elektronu jest skwantowana i oznaczona jako $E_{\text{kropki}}$. Gdy energia elektronu $E_{\text{elektronu}}$ znajdującego się poza studnią nie zgadza się z energią $E_{\text{kropki}}$ dostępną na obszarze kropki kwantowej, nie może on przetunelować przez obszar kropki i prąd nie przepływa przez taki element elektroniczny, nawet po przyłożeniu napięcia. Jednak gdy napięcie jest zmienione w taki sposób, że jedna z barier potencjału się obniża, tak że energie elektronu i obszaru kropki są zgodne, jak przedstawiono w części (c), elektron może przepłynąć przez kropkę. Zwiększając napięcie, możemy przerwać przepływ prądu przez ponowne rozdzielenie poziomów energetycznych. Słowo rezonans wskazuje, że w rezonansowej diodzie tunelowej (ang. resonant-tunneling diode) tunelowanie (a więc i przepływ prądu) zachodzi jedynie, gdy energia elektronu odpowiada energii na obszarze kropki, co może być osiągnięte przez modulację przyłożonego potencjału. Diody takie stosowane są jako ultraszybkie nanoprzełączniki.

Ilustracja 7.24 Rezonansowa dioda tunelowa. (a) Kropka kwantowa arsenku galu osadzona w arsenku glinu. (b) Studnia potencjału składająca się z dwóch barier potencjału, bez przyłożonego napięcia. Energie elektronu i kropki nie są zgodne, a więc prąd nie płynie. (c) Studnia potencjału kropki kwantowej z przyłożonym napięciem. Odpowiednie modulowanie napięcia zmienia poziom bariery potencjału, dzięki czemu energie elektronu i kropki są zgodne, co powoduje tunelowanie elektronów.