7.1 Funkcje falowe

Wyprowadzenie i wykorzystywanie funkcji falowych

W poprzednim rozdziale omawialiśmy obiekty zachowujące się czasami jak cząstki, a czasami jak fale. Używaliśmy takich pojęć jak elektron czy foton. Elektron to niepodzielny obiekt przenoszący ładunek o pomijalnym rozmiarze, nieposiadający struktury wewnętrznej i obdarzony masą, tradycyjnie traktowany jako cząstka (w pierwszym wyobrażeniu to nieprzenikliwa i niedeformowalna kulka o promieniu $r$, masie $m$ i ładunku $q$). Foton natomiast to cząstka światła będąca najmniejszym składnikiem fali elektromagnetycznej, nieposiadająca masy spoczynkowej, ale posiadająca pęd i zawsze poruszająca się z prędkością światła (nie istnieje dla niej układ współrzędnych, wobec którego spoczywa). Wskazówką do wyprowadzenia, a potem do zrozumienia znaczenia fizycznego funkcji falowej $\mathrm{\Psi }\left(x,t\right)$ jest doświadczenie z podwójną szczeliną (ang. two-slit interference); Ilustracja 7.3 – zobacz też Fale elektromagnetyczne i Interferencja. Z fizyki klasycznej znamy równania Maxwella, które pozwalają stwierdzić, że w próżni rozchodzi się fala elektromagnetyczna, która jest rozchodzącym się w czasie i przestrzeni zaburzeniem pola elektrycznego i magnetycznego niosącym energię. Z poprzedniego rozdziału wiemy, że światło ma także pęd i wywiera ciśnienie fotonowe, gdy pada na powierzchnię. Zatem fala elektromagnetyczna ma zarówno cechy falowe, widoczne np. w interferencji, gdy fala przechodzi przez szczeliny i interferuje, jak i cechy korpuskularne (cząstkowe), gdy pada na inny obiekt i wywiera ciśnienie fotonowe. Ogólnie mówimy o cechach korpuskularno-falowych materii. W tym sensie pojęcie materii znane z czasów antycznych, jak np. u Demokryta, ulega rozmyciu. Materia (elektrony) i energia (fotony) mają podobną naturę falowo-korpuskularną. To szczególnie istotne, bo wnioski płynące z ogólnej teorii względności Einsteina pokazują równoważność energii i materii. Rozchodzenie się fali elektromagnetycznej w próżni opisane jest klasycznym równaniem falowym, gdzie występuje druga pochodna po czasie i po położeniu. Takie równanie ma tę własność, że suma dwóch rozwiązań jest również rozwiązaniem równań Maxwella (w ośrodkach liniowych takich jak próżnia). Mówimy zatem, że w przypadku liniowego równania różniczkowego superpozycja (suma) rozwiązań jest także rozwiązaniem tego równania.

Klasyczna funkcja falowa (ang. wave function) światła, jest dana wyrażeniem $E\left(x,t\right)$, a ${\left|E\right|}^2$ oznacza gęstość energii ($E$ to natężenie pola elektrycznego). Właśnie gęstość energii jest miarą istnienia (intensywności) fali elektromagnetycznej lub inaczej – liczby cząstek światła. Energia pojedynczego fotonu zależy od jego częstotliwości $E_{\text{f}}=hf$, a więc ${\left|E\right|}^2$ jest proporcjonalne do liczby fotonów. Gdy fale światła z obu szczelin interferują ze sobą, na ekranie w odległości $D$ powstaje obraz interferencyjny (część (a) Ilustracji 7.3). Jasne prążki odpowiadają miejscom, w których zaszła konstruktywna interferencja, ciemne prążki to interferencja destruktywna (część (b) Ilustracji 7.3). Co ciekawe, taka interferencja zachodzi zarówno w przypadku elektronów, jak i światła (fotonów). Oczywiście z życia codziennego znamy interferencję zachodzącą dla światła.

Załóżmy, że początkowo na ekran nie pada światło. Jeżeli przepuścimy przez szczeliny bardzo słabą wiązkę światła, to obraz interferencyjny na ekranie będzie powstawał stopniowo (jak na Ilustracji 7.3 (c) od lewej do prawej).

Ilustracja 7.3 Interferencja fali światła na przegrodzie z dwiema szczelinami. (a) Schemat układu z podwójną szczeliną. (b) Obraz interferencyjny. (c) Stopniowe formowanie się obrazu interferencyjnego przy słabej intensywności wiązki światła. Takie samo zjawisko interferencji zachodzi w przypadku fali elektromagnetycznej padającej na dwie szczeliny oraz w przypadku wiązki elektronów (czy innych cząstek) padającej na przegrodę z dwiema szczelinami, i to nawet przy skrajnie niskiej intensywności wiązki elektronów. Pokazuje to, że istotnie natura falowa elektronu i fali elektromagnetycznej jest podobna i że w przypadku fotonu ${\left|E\left(x,t\right)\right|}^2$ oraz elektronu ${\left|\mathrm{\Psi }\left(x,t\right)\right|}^2$ wielkości te są proporcjonalne do gęstości prawdopodobieństwa. Taka interpretacja jest nieunikniona przy bardzo małej intensywności strumienia elektronów lub strumienia kwantów promieniowania elektromagnetycznego i została potwierdzona doświadczalnie. Co więcej, jeżeli przez dwie szczeliny przechodzi fala reprezentująca elektron, to ostatecznie elektron znajdzie się w jednym miejscu na ekranie interferometru. Tak będzie, gdy dokonamy pomiaru. Jeśli tego nie zrobimy, wówczas otrzymamy pewien rozkład gęstości prawdopodobieństwa ${\left|\mathrm{\Psi }\left(x,t\right)\right|}^2$ na ekranie interferometru. Zauważmy, że w przeciwieństwie do sytuacji badanej w odniesieniu do reguł fizyki klasycznej możemy jedynie określić prawdopodobieństwo występowania procesu fizycznego.

Uderzenie pojedynczego fotonu rejestrowane jest na ekranie jako jasny punkt. Natężenie takich punktów powinno być największe w miejscu, gdzie funkcja falowa osiągnie największą intensywność. Innymi słowy, prawdopodobieństwo (mierzone dla jednostki powierzchni) uderzenia fotonu w dany punkt ekranu jest proporcjonalne do pierwiastka z całkowitego natężenia pola elektrycznego ${\left|E\right|}^2$ w tym punkcie. W odpowiednich warunkach dla cząstek posiadających masę powstanie taki sam obraz interferencyjny jak dla elektronów. To pokazuje, że zarówno dla elektronów (cząstek prawdziwej materii), jak i fotonów (cząstek pól fizycznych przenoszących oddziaływanie) stosuje się podobne prawa, znane później jako prawa mechaniki kwantowej. Zjawisko to stanowiło inspirację dla jej twórców. Raz jeszcze rozpatrzmy analogię poruszającej się fali elektromagnetycznej w próżni do poruszającego się w próżni elektronu. Z mechaniki klasycznej wiemy, że nie można jednocześnie określić położenia i wektora falowego dla danej fali. Ów fakt zostanie później uwzględniony w mechanice kwantowej jako zasada nieoznaczoności dla położenia i pędu.

W obu podejściach powinna obowiązywać zasada zachowania energii i być uwzględniona falowa natura obiektów. Kwadrat modułu amplitudy powinien być proporcjonalny do liczby poruszających się w danym kierunku cząstek. Z drugiej strony musi być dozwolone zarówno dodawanie się wzajemne dwóch fal elektronu, jak i dodawanie się do siebie dwóch fal elektromagnetycznych. A więc superpozycja (dodawanie się) fal jest także falą. Teraz dochodzimy chyba do najistotniejszego faktu. W klasycznym równaniu falowym fali elektromagnetycznej występuje druga pochodna po czasie (czyli operator $d^2∕d{t}^2$) i po przestrzeni ($d^2∕d{x}^2$). Czy coś takiego powinno występować w równaniu falowym elektronu? Jednym ze sposobów, by ten postulat wcielić w życie, jest wprowadzenie reprezentacji operatorowej dla obserwabli wielkości fizycznych (obserwablą jest np. pęd lub położenie elektronu). Stan cząstki (przykładowo elektronu) reprezentuje zespolona skalarna funkcja falowa $\mathrm{\Psi }\left(x,t\right)$. W wyniku działania operatora $A$, reprezentującego obserwablę (np. pęd), na funkcję własną $\mathrm{\Psi }\left(x,t\right)$ uzyskujemy iloczyn wartości własnej i danej funkcji własnej. Jest to postulat mechaniki kwantowej. Zapisujemy go schematycznie w postaci

W powyższym równaniu $A$ to operator, $a$ to wartość własna operatora $A$, a $\mathrm{\Psi }\left(x,t\right)$ to stan własny dla operatora $A$. Na ogół operatory $A$ możemy przedstawiać w postaci kwadratowych macierzy, wartości własne $a$ − jako liczby rzeczywiste, a stany własne $\mathrm{\Psi }\left(x,t\right)$ − jako wektory zespolonych funkcji. W najprostszym przypadku $\mathrm{\Psi }\left(x,t\right)$ jest zespoloną funkcją skalarną i tak będziemy przyjmować w tym rozdziale. Przejdźmy do sformułowania równania Schrödingera dla elektronu. W przypadku elektronu poruszającego się w próżni przyjmujemy zasadę zachowania pędu $p$ oraz zasadę zachowania energii w układzie. Zakładamy, że pęd jest reprezentowany przez operator $p_x=-i\hslash \cdot d∕dx$, a położenie przez operator położenia $x$. Tym samym funkcja falowa dla elektronu poruszającego się w próżni ze stałym pędem $p_x$ spełnia równanie

które ma rozwiązanie w postaci fali płaskiej $\psi \left(x\right)=A_{1}exp\left(ix{p}_x∕\hslash \right)$, gdzie $A_1$ to liczba zespolona. W ten sposób otrzymujemy funkcję falową dla cząstki (np. elektronu) poruszającej się po linii prostej ze stałym pędem.

Zastanówmy się teraz, czy funkcja falowa zmienia się w czasie? Musimy wiedzieć, że jedną z wielkości, które nie zmieniają się w czasie ruchu elektronu w próżni pod nieobecność pola magnetycznego jest całkowita energia mechaniczna (hamiltonian układu $H$), będąca sumą energii kinetycznej $E_{\text{k}}$ i energii potencjalnej $V$. Wielkość, która nie zmienia się w czasie ruchu nazywa się całką ruchu. Zgodnie z postulatem mechaniki kwantowej hamiltonian $H$ ($H=E_{\text{k}}+V\left(x\right)=E$) jest reprezentowany w postaci operatorowej jako $-i\hslash \cdot d∕dt$. Dla elektronu poruszającego się w próżni możemy napisać następujące równanie

Jego rozwiązanie ma postać $\psi \left(t\right)=A_{0}exp\left(itE∕\hslash \right)$, gdzie $A_0$ jest liczbą zespoloną. Widzimy zatem, że faza funkcji falowej ewoluuje wraz z czasem przy stałej wartości energii elektronu, a amplituda funkcji falowej się nie zmienia.

Skoro potrafimy już opisać zachowanie się elektronu w jednorodnej przestrzeni, możemy przejść do opisu elektronu w niejednorodnym potencjale, np. pomiędzy okładkami kondensatora, gdzie panuje próżnia.

Wykorzystując zasadę zachowania energii ($H=\left[1∕\left(2m\right)\right]\cdot p^2+V\left(x,t\right)$), gdzie $H=E$, możemy zapisać równanie Schrödingera w następujący sposób

Kwadrat funkcji falowej ${\left|\mathrm{\Psi }\right|}^2$ w przypadku jednowymiarowym ma znaczenie podobne do znaczenia kwadratu pola elektrycznego ${\left|E\right|}^2$. Mianowicie określa on prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w pewnym miejscu i czasie na jednostkę długości i nazywany też bywa gęstością prawdopodobieństwa (ang. probability density). Prawdopodobieństwo ($P$) znalezienia cząstki w przedziale $\left(x,x+dx\right)$ w czasie $t$ jest dane wzorem

Zgodnie z otrzymanymi rozwiązaniami Równania 7.1, Równania 7.2, Równania 7.3 funkcja falowa ma wartości zespolone, czego nie można powiedzieć o wartościach pola elektrycznego $E\left(x,y,z,t\right)$ czy magnetycznego $B\left(x,y,z,t\right)$, które są liczbami rzeczywistymi. Zespolone wartości funkcji falowej są konsekwencją rozwiązania równania Schrödingera (Równanie 7.4), z którego otrzymujemy kwantowo-mechaniczą funkcję falową. Tym razem naszą intuicją fizyczną jest wiara w słuszność równania Schrödingera. Cząstka może istnieć z pewnym prawdopodobieństwem w bardzo różnych miejscach („siedzieć na dwóch bardzo odległych krzesłach”), co jest szokujące dla osoby, która odbyła kurs fizyki klasycznej, w której punkt materialny porusza się w polu sił po jednoznacznie określonej trajektorii. To, co musimy zapamiętać, to fakt, że kwadrat modułu kwantowo-mechanicznej funkcji falowej jest proporcjonalny do gęstości prawdopodobieństwa. Podobnie jak mechanika statystyczna fizyka kwantowa nie wskazuje na deterministyczną (w pełni przewidywalną) ewolucję układu fizycznego, a jedynie określa prawdopodobieństwa zajścia pewnych zjawisk. W tym sensie istnieje pewna analogia pomiędzy klasyczną fizyką statystyczną a mechaniką kwantową, ale zgłębienie tego zagadnienia wykracza poza zakres tej książki.

To probabilistyczne ujęcie funkcji falowej związane jest z postulatem Borna (ang. Born interpretation). Mówi on, że same funkcje falowe cząstki nie są mierzone, ale mierzone jest spektrum wartości wielkości fizycznych (obserwabli, takich jak energia, pęd czy położenie) otrzymywanych z rozwiązań równania Schrödingera, w tym ich wartość średnia. W ujęciu Borna funkcja falowa nie jest niczym realnym, a jedynie narzędziem pomocniczym służącym określeniu własności cząstek mikroświata.

Przykłady funkcji falowych, będących rozwiązaniami równania Schrödingera (Równanie 7.4) dla różnych $V\left(x\right)$ i ich kwadratów przedstawione zostały na Ilustracji 7.4.

Ilustracja 7.4 Przykłady funkcji falowych, będących rozwiązaniami równania Schrödingera dla różnych wartości potencjałów (lewa część rysunku) wraz z odpowiadającymi im kwadratami modułów funkcji falowych (prawa część rysunku), wyrażający prawdopodobieństwo znalezienia cząstki. Uzyskane rozkłady prawdopodobieństwa są nieintuicyjne z punktu widzenia mechaniki klasycznej.

Jeżeli funkcja falowa zmienia się wolno w wąskim przedziale $\Delta x$, to prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w tym przedziale $\left(x,x+\Delta x\right)$ jest w przybliżeniu równe

Kwadrat modułu funkcji falowej zapewnia dodatnią gęstość prawdopodobieństwa, podobnie jak kwadrat pola elektrycznego zapewnia dodatnią wartość energii. W przypadku ogólnym (dla wolno- lub szybkozmiennej funkcji falowej) niezbędne jest zastosowanie całki

Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki jest więc równe polu pod wykresem funkcji ${\left|\mathrm{\Psi }\left(x,t\right)\right|}^2$ w zakresie od $x$ do $x+\Delta x$, co oczywiście wynika z faktu, że ${\left|\mathrm{\Psi }\left(x,t\right)\right|}^2$ jest gęstością prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w dowolnym miejscu (warunek normalizacji, ang. normalization condition) wynosi

W przypadku dwuwymiarowym całkujemy po powierzchni, co wymaga podwójnego całkowania. W trzech wymiarach całkujemy po objętości, a całka jest potrójna. Na razie pozostaniemy jednak przy przypadku jednowymiarowym.

Przykład 7.1

Gdzie jest kulka? (część I)

Kulka porusza się po linii prostej wewnątrz rurki o długości $L$. Prawdopodobieństwo znalezienia kulki w dowolnym punkcie w rurze w danym czasie jest jednakowe. Jakie jest prawdopodobieństwo zaobserwowania kulki w lewej połowie rury? (Oczywiście wynik to $50\mathrm{\%}$, ale w jaki sposób otrzymamy takie rozwiązanie, korzystając z równania funkcji falowej?)

Strategia rozwiązania

Pierwszym krokiem będzie znalezienie funkcji falowej kulki. Prawdopodobieństwo zaobserwowania kulki w dowolnym miejscu w rurze jest takie samo, więc możemy przedstawić stan kulki za pomocą stałej funkcji falowej (patrz Ilustracja 7.5). Warunek normalizacji może być wykorzystany do obliczenia wartości funkcji, a scałkowanie po połowie długości pozwoli na uzyskanie ostatecznej odpowiedzi.

Ilustracja 7.5 Funkcja falowa kulki w rurze o długości $L$.

Rozwiązanie

Funkcję falową kulki (uzyskaną przy założeniach dużego $L$ i energii kinetycznej dążącej do zera oraz stałości potencjału) możemy zapisać jako $\mathrm{\Psi }\left(x,t\right)=C$, gdzie , $C$ jest stałą, a $\mathrm{\Psi }\left(x,t\right)=0$ dla innych wartości $x$. Stałą $C$ możemy obliczyć, stosując warunek normalizacyjny (dla ułatwienia przyjmujemy $t=0$)

$$P\left(-\infty ,+\infty \right)=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{\left|C\right|}^{2}dx=1\text{.}$$

Całkę możemy podzielić na trzy części: (1) od minus nieskończoności do zera, (2) od zera do $L$ i (3) od $L$ do plus nieskończoności. Kulka może poruszać się jedynie w rurze, a więc w pierwszym i ostatnim przedziale $C=0$, a co za tym idzie − całka jest równa zero. Powyższe równanie możemy zapisać w następujący sposób

$$P\left(0,L\right)=\underset{0}{\overset{L}{\int }}{\left|C\right|}^{2}dx=1\text{.}$$

Wartość $C$ nie zależy od $x$ i może zostać wyciągnięta przed znak całki

$${\left|C\right|}^2\underset{0}{\overset{L}{\int }}dx=1\text{.}$$

Rozwiązaniem całki jest

$$C=\sqrt{\frac{1}{L}}\text{.}$$

Aby obliczyć prawdopodobieństwo znalezienia kulki w pierwszej połowie rury, musimy zmienić granice przedziału całkowania

$$P\left(0,L∕2\right)=\underset{0}{\overset{L∕2}{\int }}{\left|\sqrt{\frac{1}{L}}\right|}^{2}dx=\frac{1}{L}\cdot \frac{L}{2}=\mathrm{0,5}\text{.}$$

Znaczenie

Prawdopodobieństwo znalezienia kulki w pierwszej połowie rury wynosi $50\mathrm{\%}$, jak przewidywaliśmy. Warto zauważyć dwa fakty. Po pierwsze, wynik ten odpowiada polu pod stałą funkcją dla przedziału od $x=0$ do $x=L∕2$. Po drugie, obliczenia te wymagają całkowania kwadratu funkcji falowej. Częstym błędem jest całkowanie funkcji falowej bez uprzedniego podniesienia jej do drugiej potęgi.

Przykład 7.2

Gdzie jest kulka? (część II)

Znów mamy do czynienia z kulką, która może poruszać się jedynie wewnątrz rury o długości $L$. Tym razem najbardziej prawdopodobne jest znalezienie kulki pośrodku rury. Jej funkcję falową możemy przedstawić jako zwykłą funkcję cosinus (Ilustracja 7.6). Jakie jest prawdopodobieństwo znalezienia kulki w ostatniej ćwiartce rury?

Ilustracja 7.6 Funkcja falowa kulki w rurze o długości $L$, gdzie największe prawdopodobieństwo znalezienia kulki jest pośrodku rury.

Strategia rozwiązania

Wykorzystamy strategię z poprzedniego przykładu. W tym przypadku funkcja falowa ma dwa nieznane parametry – jeden jest związany z długością fali, a drugi to amplituda fali. Amplitudę możemy wyznaczyć, korzystając z warunków brzegowych funkcji, a długość fali za pomocą warunku normalizacji. Ostateczny wynik otrzymamy, całkując kwadrat funkcji falowej. Dla uproszczenia obliczeń jako wierzchołek funkcji falowej ustalamy początek osi $x$.

Rozwiązanie

Zapiszmy równanie funkcji falowej

gdzie $A$ jest amplitudą funkcji falowej, a $k=2\pi ∕\lambda$ jest jej liczbą falową. Poza określonym przedziałem amplituda funkcji wynosi zero, ponieważ ruch kulki jest ograniczony rozmiarami rury. Warunek wygaszenia funkcji falowej na prawym końcu rury prowadzi do następującej zależności

$$\mathrm{\Psi }\left(\frac{L}{2},0\right)=0\text{.}$$

Podstawiwszy ją w równaniu funkcji falowej w punkcie $x=L∕2$, otrzymamy

$$Acos\left(k\frac{L}{2}\right)=0\text{.}$$

To równanie jest spełnione dla argumentów funkcji cosinus równych całkowitym wielokrotnościom $\pi ∕2$, $3\pi ∕2$, $5\pi ∕2$ itd. W tym przypadku mamy

$$\frac{kL}{2}=\frac{\pi }{2}$$

lub

$$k=\frac{\pi }{L}\text{.}$$

Stosując warunek normalizacji, otrzymujemy $A=\sqrt{2∕L}$, a więc funkcja falowa kulki dana jest wzorem

Aby określić prawdopodobieństwo znalezienia kulki w ostatniej ćwiartce rury, podnosimy funkcję falową do kwadratu i całkujemy ją po odpowiednim przedziale

$$P\left(\frac{L}{4},\frac{L}{2}\right)=\underset{L∕4}{\overset{L∕2}{\int }}{\left|\sqrt{\frac{2}{L}}cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)\right|}^{2}dx=\mathrm{0,091}\text{.}$$

Znaczenie

Prawdopodobieństwo znalezienia kulki w ostatniej ćwiartce rury wynosi $\mathrm{9,1}\mathrm{\%}$. Kulka ma określoną długość fali ($\lambda =2L$). Jeśli długość rury jest wielkością makroskopową ($L=1\mathrm{m}$), to pęd kulki będzie wynosił

$$p=\frac{h}{\lambda }=\frac{h}{2L}\sim {10}^{-36}\mathrm{m}∕\mathrm{s}\text{.}$$

Wielkość ta jest zbyt mała, żeby mogła zostać zmierzona.

Interpretacja statystyczna funkcji falowej

Jesteśmy już w stanie odpowiedzieć na pytania postawione na początku tego rozdziału. Po pierwsze: Czym jest funkcja falowa (falowanie) cząstki opisanej równaniem $\mathrm{\Psi }\left(x,t\right)=Asin\left(kx-\omega t\right)$? Biorąc pod uwagę powyższą dyskusję, jest to funkcja matematyczna opisująca m.in. prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w danym miejscu w momencie dokonania pomiaru. Po drugie: W jaki sposób możemy wykorzystać funkcję falową do obliczenia prawdopodobieństwa położenia? Jeżeli chcemy obliczyć prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w pewnym przedziale, najpierw należy podnieść moduł funkcji falowej do kwadratu, a następnie scałkować po tym przedziale. Niedługo dowiemy się, że funkcja falowa może dostarczyć także wielu innych informacji.

Po trzecie: Jeżeli falę materii określa funkcja falowa $\mathrm{\Psi }\left(x,t\right)$, to gdzie dokładnie znajduje się cząstka? Znamy dwie odpowiedzi: gdy cząstka nie jest obserwowana (mierzona), jej położenie jest rozmyte, czyli cząstka znajduje się wszędzie: $x\in \left(-\infty ,+\infty \right)$. Natomiast gdy cząstka jest obserwowana, „wskakuje” w określone położenie $\left(x,x+dx\right)$ z prawdopodobieństwem $P\left(x,x+dx\right)={\left|\mathrm{\Psi }\left(x,t\right)\right|}^{2}dx$. W drugim przypadku proces ten nazywamy redukcją funkcji falowej do pewnego stanu własnego (redukcją stanów, ang. state reduction). Takie podejście określa się mianem interpretacji kopenhaskiej (ang. Copenhagen interpretation) funkcji falowej lub mechaniki kwantowej.

Aby lepiej zrozumieć tę interpretację, rozważmy prosty przypadek cząstki, która może znajdować się w pudełku oznaczonym jako $x_1$ lub $x_2$ (Ilustracja 7.7). Zgodnie z regułami fizyki klasycznej zakładamy, że dana cząstka może znajdować się tylko w jednym z pudełek, nawet gdy jej nie obserwujemy. Natomiast według mechaniki kwantowej cząstka ma rozmyte położenie i może znajdować się zarówno w pudełku $x_1$, jak i $x_2$ do momentu obserwacji, kiedy musi wybrać jeden ze stanów. Tak więc założenie, że w danym czasie cząstka może znajdować się tylko w jednym miejscu, jest błędne z punktu widzenia mechaniki kwantowej. Taką samą zależność zaobserwujemy w przypadku innych mierzalnych wielkości, takich jak pęd czy energia.

Ilustracja 7.7 Układ dwóch możliwych stanów cząstki.

Te nieintuicyjne konsekwencje kopenhaskiej interpretacji mechaniki kwantowej możemy zobrazować za pomocą prostego eksperymentu myślowego sformułowanego przez Erwina Schrödingera (1887–1961) – Ilustracja 7.8.

Powołamy się na eksperyment myślowy z 1935 roku: w pudełku znajdują się kot, licznik Geigera, fiolka z trucizną, młotek i materiał promieniotwórczy. Gdy materiał radioaktywny ulega rozpadowi, licznik Geigera wykrywa zmianę i zwalnia młotek, który uderza w fiolkę, roztrzaskując ją i uwalniając truciznę. Uwolnienie trucizny powoduje śmierć kota. Rozpad promieniotwórczy jest zdarzeniem losowym (obarczonym pewnym prawdopodobieństwem) i nie ma pewności, kiedy dokładnie zajdzie. Fizyk powiedziałby, że atom materiału promieniotwórczego znajduje się w stanie superpozycji – istnieje jednocześnie jako atom, który uległ rozpadowi, i jako atom, który rozpadowi nie uległ. Do momentu otwarcia pudełka obserwator nie może być pewien, czy kot w środku jest żywy, czy martwy, gdyż jego los związany jest ze stanem atomu. Zatem (według interpretacji kopenhaskiej) kot w pudełku jest jednocześnie żywy i martwy do momentu otwarcia pudełka.

Ilustracja 7.8 Kot Schrödingera (ang. Schrödinger’s cat)

Za pomocą eksperymentu z kotem Schrödinger chciał uwidocznić absurdalne konsekwencje interpretacji kopenhaskiej – to, że kot może być zarazem żywy i martwy. Dość podobnie wygląda sytuacja w trakcie rzutu monetą. Przed dokonaniem pomiaru, czyli stwierdzeniem orzeł lub reszka, jej stan jest superpozycją stanów. Po dokonaniu pomiaru i stwierdzeniu np. orzeł następuje redukcja do stanu orła.

Jednak interpretacja ta pozostaje najpopularniejszym podejściem do mechaniki kwantowej w dydaktyce.

Układy dwustanowe (prawe i lewe pudełko, atom ulegający lub nie ulegający rozpadowi itd.) są często wykorzystywane do wyjaśnienia podstaw mechaniki kwantowej. Takie systemy mają też zastosowanie w naturze, jak w przypadku spinu elektronu czy stanów rozmytych cząstek, atomów, a nawet molekuł. Możemy też je wykorzystać w komputerach kwantowych, o czym wspomnieliśmy na początku rozdziału. Kubity (ang. quantum bits), które w komputerach kwantowych pełnią funkcję tradycyjnych bitów, nie przyjmują czystych stanów zero-jedynkowych jak ich cyfrowe odpowiedniki, ale są rozmyte. Jeżeli zgromadzilibyśmy dużą liczbę kubitów w tym samym stanie kwantowym, pojedynczy kubit przyjąłby wartość zero z prawdopodobieństwem $p$ i jeden z prawdopodobieństwem $q=1-p$. Wielu naukowców uważa komputery kwantowe za przyszłość komputerów.

Sprzężenia

W dalszej części rozdziału dowiemy się, w jaki sposób za pomocą funkcji falowych opisać cząstki swobodne, cząstki w potencjale efektywnym $V\left(x\right)$ lub cząstki związane z innymi cząstkami siłami wyrażonymi przez odpowiedni potencjał wzajemnego oddziaływania $V\left(x_1,x_2\right)$ cząstki 1 i 2. Potencjał oddziaływania wzajemnego w przypadku wielu cząstek można niekiedy przybliżyć przez potencjal efektywny $V\left(x\right)$. Postać funkcji falowej zależy od właściwości układu. W mechanice kwantowej często spotkamy się z funkcjami zespolonymi (ang. complex function). Funkcją zespoloną nazwiemy taką, która zawiera co najmniej jedną liczbę urojoną $i=\sqrt{-1}$. Eksperymentalnie jesteśmy w stanie zmierzyć jedynie liczby rzeczywiste (nieurojone), a więc musimy nieco zmienić nasze podejście do funkcji falowych. W takim przypadku powiemy, że prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w wąskim przedziale $\left(x,x+dx\right)$ w momencie $t$ jest dane wzorem

gdzie ${\mathrm{\Psi }}^{*}\left(x,t\right)$ jest funkcją sprzężoną do funkcji falowej. Sprzężenie funkcji możemy otrzymać przez zamianę każdego wystąpienia $i=\sqrt{-1}$ na $-i$. W ten sposób eliminujemy wszystkie liczby zespolone z rozwiązania, ponieważ wynikiem działania ${\mathrm{\Psi }}^{*}\left(x,t\right)\mathrm{\Psi }\left(x,t\right)$ jest zawsze liczba rzeczywista.

Rozważmy cząstkę poruszającą się wzdłuż osi $x$, jak to było rozważane wcześniej (Równanie 7.2). Nie działają na nią żadne siły zewnętrzne, a więc porusza się ona ze stałą prędkością i po linii prostej. Formalizm mechaniki kwantowej zakłada, że kwantowo-mechaniczna funkcja falowa cząstki swobodnej może posiadać zarówno część rzeczywistą, jak i urojoną. W przypadku cząstki swobodnej tę funkcję kwantowo-mechaniczną możemy przedstawić wzorem

gdzie $A$ jest amplitudą funkcji, $k$ jej liczbą falową, a $\omega$ odpowiada częstości kątowej. Wykorzystując wzór Eulera $e^{i\varphi }=cos\varphi +isin\varphi$, możemy zapisać to równanie w następujący sposób

gdzie $\varphi$ to kąt fazowy. Jeżeli mamy do czynienia z funkcją wolnozmienną w przedziale $\Delta x$, prawdopodobieństwo znalezienia cząstki jest równe

Jeżeli $A$ jest liczbą zespoloną ($a+ib$, gdzie $a$ i $b$ są stałymi rzeczywistymi), to

Zauważmy, że części urojone zniknęły. Tak więc

ma wartość rzeczywistą. Interpretacja ${\mathrm{\Psi }}^{*}\left(x,t\right)\mathrm{\Psi }\left(x,t\right)$ jako gęstości prawdopodobieństwa daje pewność, że przewidywania mechaniki kwantowej są mierzalne w rzeczywistym świecie.

Wartości oczekiwane obserwabli a równanie Schrödingera

W mechanice klasycznej rozwiązaniem równania ruchu jest funkcja pewnej mierzalnej wielkości, jak $x\left(t\right)$, gdzie $x$ jest położeniem, a $t$ odpowiada czasowi. Zauważmy, że jednej wartości $t$ odpowiada tylko jedna wartość $x$, natomiast w mechanice kwantowej rozwiązaniem równania ruchu jest funkcja falowa $\mathrm{\Psi }\left(x,t\right)$, a cząstka może mieć różne położenie dla każdej chwili $t$. Jedynym sposobem określenia położenia cząstki jest skorzystanie z gęstości prawdopodobieństwa ${\left|\mathrm{\Psi }\left(x,t\right)\right|}^2$. Średnia wartość położenia dużej liczby cząstek o tej samej funkcji falowej wynosi

Zależność tę nazwiemy wartością oczekiwaną (ang. expectation value) położenia i zapiszemy jako

Sens tego zapisu zostanie niedługo objaśniony. Zgodnie z założeniami mechaniki kwantowej $x$ nazwiemy operatorem położenia (ang. position operator).

Warto zaznaczyć, że funkcja falowa może być uzależniona od innych wielkości, jak prędkość ($v$), pęd ($p$) czy energia kinetyczna ($E_{\text{k}}$). Przykładowo wartość oczekiwaną pędu zapiszemy jako

gdzie użyjemy $dp$ zamiast $dx$ dla oznaczenia nieskończenie małej zmiany pędu. W niektórych przypadkach, znając postać funkcji falowej $\mathrm{\Psi }\left(x,t\right)$, będziemy chcieli obliczyć wartość oczekiwaną pędu. Zapiszemy to jako

gdzie wyrażenie w nawiasach pomiędzy funkcjami falowymi nazywamy operatorem pędu (ang. momentum operator). Operator pędu działa na funkcję falową po prawej stronie; przed całkowaniem niezbędne jest też pomnożenie otrzymanego wyniku przez funkcję sprzężoną. Operator ten może być zapisany jako

Operator pędu dla współrzędnych $y$ i $z$ wyprowadza się w analogiczny sposób. Te i inne operatory wchodzą w zakres zaawansowanej fizyki współczesnej. Jako przykład rozważmy operator energii kinetycznej

Tak więc jeżeli chcemy obliczyć wartość oczekiwaną energii kinetycznej pewnej cząstki (problem ograniczamy do jednego wymiaru), niezbędne jest dwukrotne zróżniczkowanie funkcji przed jej scałkowaniem.

Obliczenia wartości oczekiwanych często są upraszczane dzięki wykorzystaniu symetrii funkcji falowych. Funkcja falowa może być symetryczna parzyście lub nieparzyście. Parzystą (ang. even function) nazwiemy funkcję spełniającą równanie

Natomiast funkcja nieparzysta (ang. odd function) spełnia równanie

Przykłady funkcji parzystej i nieparzystej przedstawia Ilustracja 7.9. Funkcja parzysta jest symetryczna względem osi $y$. Funkcja taka jest tworzona przez odbicie $\psi \left(x\right)$ dla $x>0$ względem osi $y$. Dla porównania – funkcja nieparzysta jest tworzona przez odbicie względem osi $y$, a następnie osi $x$. Funkcja nieparzysta nazywana jest też funkcją antysymetryczną (ang. anti-symmetric function).

Ilustracja 7.9 Przykłady funkcji parzystej i nieparzystej

Funkcja parzysta pomnożona przez funkcję parzystą da również funkcję parzystą. Dobrym przykładem takiej funkcji jest $x^2\cdot e^{-x^2}$ (jest to iloczyn dwóch funkcji parzystych). Zauważamy, że iloczyn dwóch funkcji nieparzystych zawsze daje funkcję parzystą, na przykład $x\cdot sinx$. Jednakże pomnożenie funkcji parzystej i nieparzystej w wyniku daje funkcję funkcję nieparzystą, jak w zwykłym mnożeniu $x\cdot e^{-x^2}$. Wartość całki z funkcji nieparzystej obliczona po całym przedziale (od $-a$ do $a$) jej wartości wynosi zero. Zatem jeśli obliczymy pole powierzchni ograniczonej wykresem funkcji (od $-a$ do $a$) to okaże się, że pole nad osią $x$ jest równe polu pod osią $x$. Jak zobaczymy w następnym przykładzie, ta własność funkcji nieparzystych jest bardzo przydatna.