6.1 Promieniowanie ciała doskonale czarnego

Wszystkie ciała emitują promieniowanie elektromagnetyczne o szerokim zakresie długości fal. W jednym z wcześniejszych rozdziałów dowiedzieliśmy się, że zimniejsze ciało wypromieniowuje mniej energii niż ciało cieplejsze. Z doświadczenia wiemy także, że gdy ciało jest podgrzewane i jego temperatura rośnie, obserwowana barwa promieniowania emitowanego przez nie zmienia się z podczerwonej na czerwoną, z czerwonej na pomarańczową i tak dalej. Wraz ze wzrostem temperatury rozgrzane ciało przybiera barwy odpowiadające coraz mniejszym długościom fal. Jest to podstawowa zasada działania żarówki: gorące metalowe włókno najpierw świeci na czerwono, a gdy rozgrzewa się bardziej, emitowane przez nie światło obejmuje całe widzialne widmo fal elektromagnetycznych. Temperatura ($T$) obiektu emitującego promieniowanie, zwanego emiterem (ang. emitter), determinuje długość fali odpowiadającej maksimum wypromieniowanej energii. Przykładowo Słońce, którego powierzchnia ma temperaturę pomiędzy $5000\mathrm{K}$ a $6000\mathrm{K}$, promieniuje najmocniej w zakresie fal o długości około $560\mathrm{nm}$, w widzialnej części spektrum elektromagnetycznego. Twoje ciało, gdy ma normalną temperaturę, około $300\mathrm{K}$, promieniuje najmocniej w zakresie podczerwonej części spektrum.

Promieniowanie padające na obiekt jest częściowo absorbowane, a częściowo odbijane. W równowadze termodynamicznej szybkość, z jaką ciało absorbuje promieniowanie jest taka sama jak szybkość, z jaką je emituje. Dlatego dobry absorber promieniowania jest także dobrym emiterem. Idealny absorber pochłania całe padające na niego promieniowanie; nazywamy go ciałem doskonale czarnym (ang. blackbody).

Ponieważ żaden rzeczywisty materiał nie absorbuje $100\mathrm{\%}$ promieniowania, ciało doskonale czarne jest tylko pewną idealizacją. Można jednak zbudować zachowujący się bardzo podobnie model w postaci wnęki z niewielkim otworem, której wewnętrzna powierzchnia jest pomalowana na czarno, jak pokazano na Ilustracji 6.2. Fale elektromagnetyczne wpadające do takiej wnęki, odbijają się wielokrotnie i są niemal w całości pochłaniane. W stanie równowagi termodynamicznej (w temperaturze $T$) ściany wnęki absorbują dokładnie tyle samo promieniowania, co emitują. Mierzone spektrum emisji jest bardzo bliskie spektrum ciała doskonale czarnego. Fale elektromagnetyczne emitowane przez ciało doskonale czarne nazywamy promieniowaniem ciała doskonale czarnego (ang. blackbody radiation).

Ilustracja 6.2 Dobrym modelem ciała doskonale czarnego jest wnęka z niewielkim otworem.

Natężenie $I\left(\lambda ,T\right)$ promieniowania ciała doskonale czarnego zależy od długości fali $\lambda$ emitowanego promieniowania oraz od temperatury $T$ tego ciała (Ilustracja 6.3). Funkcja $I\left(\lambda ,T\right)$ opisuje natężenie (ang. power intensity) przypadające na jednostkę długości fali; innymi słowy moc promieniowania na jednostkę powierzchni otworu we wnęce, przez którą emitowane jest promieniowanie, na jednostkę długości fali. Zgodnie z tą definicją $I\left(\lambda ,T\right)d\lambda$ wyraża moc promieniowania na jednostkę powierzchni, wyemitowanego w przedziale długości fal od $\lambda$ do $\lambda +d\lambda$. Rozkład natężenia w funkcji długości fali promieniowania emitowanego przez wnęki badany był eksperymentalnie pod koniec dziewiętnastego wieku. Stwierdzono, że rozkład taki tylko w przybliżeniu odpowiada rozkładowi natężenia promieniowania ciała doskonale czarnego (Ilustracja 6.4). Z dużą dokładnością natomiast wykresy natężenia promieniowania pochodzącego z gwiazd odpowiadają wykresom opisującym promieniowanie ciała doskonale czarnego.

Ilustracja 6.3 Natężenie promieniowania ciała doskonale czarnego w funkcji długości wyemitowanej fali. Każda krzywa odpowiada innej temeraturze ciała, zaczynając od niskiej temperatury (najniższa krzywa), kończąc na wysokiej (najwyższa).

Ilustracja 6.4 Spektrum promieniowania wyemitowanego przez powierzchnię kwarcową (niebieska krzywa) oraz przez ciało doskonale czarne (czarna krzywa) w temperaturze $600\mathrm{K}$.

W doświadczeniach z promieniowaniem ciała doskonale czarnego można zaobserwować dwa istotne prawa: prawo przesunięć Wiena oraz prawo Stefana-Boltzmanna. Pierwsze z nich zobrazowane jest krzywą łączącą maksima krzywych natężenia (Ilustracja 6.3). Na wykresie widzimy, że im gorętsze ciało, tym mniejsza długość fali odpowiadającej maksimum natężenia. Ilościowo prawo Wiena opisujemy następującym wzorem

gdzie ${\lambda }_{\text{max}}$ jest długością fali odpowiadającą maksimum rozkładu spektralnego promieniowania, zwanego też krzywą promieniowania. Innymi słowy, ${\lambda }_{\text{max}}$ jest długością fali, przy której ciało doskonale czarne promieniuje najsilniej w danej temperaturze $T$. Zauważmy, że w tym wzorze (Równanie 6.1) temperatura wyrażona jest w kelwinach. Prawo przesunięć Wiena pozwala nam oszacować temperaturę odległych gwiazd poprzez pomiar długości emitowanego przez nie promieniowania.

Ilustracja 6.5 W gwiazdozbiorze Oriona widoczna w lewym górnym rogu Betelgeza jest czerwonym nadolbrzymem, a widoczny w prawym dolnym rogu Rigel – błękitnym nadolbrzymem.

Kolejna zależność dotycząca promieniowania ciała doskonale czarnego to prawo Stefana-Boltzmanna (ang. Stefan-Boltzmann’s law). Dotyczy ono całkowitej mocy promieniowania wyemitowanego dla wszystkich długości fali przy danej temperaturze. Na wykresie z Ilustracji 6.3 całkowita moc odpowiada polu powierzchni pod krzywą. Całkowita moc promieniowania wzrasta wraz z temperaturą, co wyrażone jest w prawie Stefana-Boltzmanna w następujący sposób

gdzie $S$ jest powierzchnią ciała doskonale czarnego, $T$ jego temperaturą (w kelwinach), a $\sigma$ jest stałą Stefana-Boltzmanna (ang. Stefan-Boltzmann constant), $\sigma =\mathrm{5,67}\cdot {10}^{-8}\mathrm{W}∕\left({\mathrm{m}}^2{\mathrm{K}}^4\right)$. Prawo Stefana-Boltzmanna pozwala nam oszacować, jak dużo energii wypromieniowuje gwiazda, poprzez pomiar jej temperatury (na przykład wykorzystujący prawo Wiena).

Pojęcie „ciała doskonale czarnego” zostało po raz pierwszy użyte przez Gustava R. Kirchhoffa (1824–1887) w 1862 roku. Rozkład spektralny promieniowania (lub krzywa promieniowania) takiego ciała był znany eksperymentalnie, lecz wyjaśnienie jego kształtu nastąpiło dopiero w roku 1900. Próbując zrozumieć cechy promieniowania ciała doskonale czarnego o temperaturze $T$, posłużmy się modelem fizycznym w postaci fal elektromagnetycznych zamkniętych we wnęce (obejrzyj Ilustrację 6.2), znajdujących się w stanie równowagi termodynamicznej ze ściankami tej wnęki. Naszym celem jest znalezienie rozkładu gęstości energii niesionej przez fale o określonej długości. Gdy poznamy ten rozkład, będziemy mogli posłużyć się metodami statystycznymi (podobnymi do tych, z których korzystaliśmy w poprzednim rozdziale), aby otrzymać krzywą promieniowania cała doskonale czarnego, prawo Stefana-Boltzmanna oraz prawo przesunięć Wiena. Jeśli nasz model jest właściwy, uzyskane w ten sposób przewidywania powinny pokrywać się z danymi doświadczalnymi.

W klasycznym podejściu do problemu promieniowania ciała doskonale czarnego promieniowanie elektromagnetyczne traktuje się jak fale (tak jak to czyniliśmy w poprzednich rozdziałach). Mody fal elektromagnetycznych uwięzionych we wnęce znajdują się w stanie równowagi termodynamicznej i wymieniają energię ze ściankami wnęki. Dowolna ilość energii może być przekazana ściankom przez oddziałującą z nimi falę lub – w drugą stronę – fali przez ściankę. Taki klasyczny obraz stał się podstawą modelu rozwiniętego przez Lorda Rayleigha oraz, niezależnie, przez sir Jamesa Jeansa. Uzyskana przez nich postać rozkładów spektralnych promieniowania znana jest jako prawo Rayleigha–Jeansa. Jednak, jak widać na wykresie z Ilustracji 6.6, prawo to nie opisuje poprawnie wyników doświadczalnych. W granicy krótkich fal, w obszarze ultrafioletowym, prawo Rayleigha-Jeansa przewiduje nieskończone natężenie promieniowania, co w oczywisty sposób jest niezgodne z eksperymentem. Ta rozbieżność, nazywana katastrofą w ultrafiolecie (ang. ultraviolet catastrophe), dowodzi, że klasyczna fizyka nie jest w stanie opisać mechanizmu promieniowania ciała doskonale czarnego.

Ilustracja 6.6 Katastrofa w ultrafiolecie: prawo Rayleigha-Jeansa nie opisuje obserwowanego spektrum promieniowania ciała doskonale czarnego.

Problem promieniowania ciała doskonale czarnego został rozwiązany w roku 1900 przez Maxa Plancka (1858–1947). Podobnie jak Rayleigh-Jeans w swoim modelu, Planck rozważał klasycznie opisywane fale elektromagnetyczne w równowadze termodynamicznej ze ściankami wnęki. Nowością wprowadzoną przez Plancka było założenie, że źródłem promieniowania są drgania atomów w ściankach wnęki i że energia tych oscylacji może przybierać tylko dyskretne wartości. Wynika z tego, że promieniowanie może wymieniać energię ze ściankami wyłącznie w określonych „paczkach” energii. Hipoteza Plancka dotycząca dyskretnych wartości energii, które nazwał on kwantami, zakłada, że energia oscylatorów wewnątrz ścianek może przybierać wartości skwantowane (ang. quantized energies). Była to zupełnie nowa idea, wykraczająca poza klasyczną dziewiętnastowieczną fizykę, zgodnie z którą, jak nauczyłeś się w poprzednim rozdziale, energia oscylatora może mieć dowolną wartość. Planck założył, że energia oscylatora ($E_n$) może przybierać tylko dyskretne, skwantowane wartości

W Równaniu 6.9 $\nu$ jest częstotliwością oscylatora. Liczba naturalna $n$, numerująca dyskretne stany energii, nazywana jest liczbą kwantową (ang. quantum number). Stała $h$ nazywana jest stałą Plancka (ang. Planck’s constant)

Każda z dyskretnych wartości energii odpowiada stanowi kwantowemu oscylatora Plancka (ang. quantum state of a Planck’s oscillator). Stany kwantowe numerowane są liczbami kwantowymi. Przykładowo, gdy oscylator Plancka znajduje się w pierwszym ($n=1$) stanie kwantowym, jego energia wynosi $E_1=h\nu$, gdy jest w stanie o $n=2$, wartość jego energii wynosi $E_2=2h\nu$, gdy jest w stanie o liczbie kwantowej $n=3$, to $E_3=3h\nu$ i tak dalej.

Zauważmy, że z Równania 6.9 wynika, że jest nieskończenie wiele stanów kwantowych. Możemy je zapisać w postaci następującej sekwencji: $\{h\nu ,2h\nu ,3h\nu ,\dots ,(n-1)h\nu ,nh\nu ,(n+1)h\nu ,\dots \}$. Kolejne stany kwantowe oddzielone są od siebie skokiem energii, $\Delta E=h\nu$. Oscylator w ściance wnęki może odebrać energię od promieniowania wewnątrz wnęki (absorpcja) albo oddać energię promieniowaniu (emisja). Absorpcja powoduje, że oscylator przechodzi w wyższy stan kwantowy, emisja powoduje, że oscylator spada na niższy poziom. W którąkolwiek stronę zachodzi wymiana energii, najmniejsza ilość energii, która może być wymieniona, wynosi $h\nu$. Nie ma żadnego ograniczenia co do największej ilości wymienionej energii, ale wymiana musi być równa całkowitej wielokrotności $h\nu$.

Przypomnijmy, że częstotliwość promieniowania elektromagnetycznego związana jest z długością jego fali oraz z prędkością światła podstawowym wzorem $\nu \lambda =c$. Oznacza to, że możemy wyrazić Równanie 6.11 przez długość fali $\lambda$. Gdy w wyprowadzeniu wzoru na gęstość energii promieniowania ciała doskonale czarnego skorzystamy z hipotezy Plancka, da nam to następującą zależność natężenia promieniowania na jednostkę długości fali

gdzie $c$ jest prędkością światła w próżni, $k_{\text{B}}$ jest stałą Boltzmanna, $k_{\text{B}}=\mathrm{1,38}\cdot {10}^{-23}\mathrm{J}∕\mathrm{K}$. Teoretyczne przewidywanie wyrażone wzorem (Równanie 6.12) nazywane jest prawem Plancka. Doskonale opisuje ono dane doświadczalne (spójrz na Ilustrację 6.7). Także prawo przesunięć Wiena oraz prawo Stefana-Boltzmanna wynikają wprost z Równania 6.12. Aby wyprowadzić prawo Wiena, należy użyć rachunku różniczkowego, aby znaleźć maksimum funkcji opisującej natężenie $I\left(\lambda ,T\right)$. Prawo oraz wartość stałej Stefana-Boltzmanna wyprowadza się, całkując $I\left(\lambda ,T\right)$, aby uzyskać całkowitą moc promieniowania emitowanego przez ciało doskonale czarne w zakresach fal od $\lambda =0\mathrm{\mu m}$ do $\lambda ⟶\infty$. Wyprowadzenie to będzie jednym z ćwiczeń w dalszej części rozdziału.

Ilustracja 6.7 Przewidywanie teoretyczne otrzymane przez Plancka (linia ciągła) i zmierzony rozkład spektralny promieniowania ciała doskonale czarnego (punkty).

Gdy Planck po raz pierwszy opublikował swoje wyniki, jego hipoteza kwantyzacji energii nie była traktowana poważnie, ponieważ nie wynikała z żadnej znanej wówczas teorii fizycznej. Była ona, nawet przez samego Plancka, odbierana raczej jako użyteczny matematyczny trik, prowadzący do dobrej teoretycznej parametryzacji danych doświadczalnych. Odbiór ten zmienił się w 1905 roku, po tym jak Einstein opublikował wyjaśnienie efektu fotoelektrycznego, w którym nadał kwantowi energii nowe znaczenie: cząstki światła.