6.2 Efekt fotoelektryczny

Cechy efektu fotoelektrycznego

Efekt fotoelektryczny ma trzy istotne cechy, których nie da się wytłumaczyć w ramach fizyki klasycznej: (1) brak opóźnienia, (2) niezależność energii kinetycznej fotoelektronów od natężenia padającego promieniowania oraz (3) występowanie częstotliwości granicznej. Zajmijmy się teraz każdą z nich.

Natężenie padającego promieniowania a energia kinetyczna elektronów

Typowe krzywe eksperymentalne pokazane są na Ilustracji 6.9, przedstawiającym natężenie fotoprądu w funkcji przyłożonego do elektrod napięcia. Przy dodatniej różnicy potencjałów natężenie stopniowo rośnie aż do uzyskania pewniej wartości. Dalsze zwiększanie napięcia nie powoduje wzrostu natężenia. Wyższe natężenie padającego promieniowania pociąga za sobą większe natężenie fotoprądu. Gdy różnica potencjałów jest ujemna, wzrost jej wartości absolutnej powoduje, że wartość natężenia prądu spada, aż osiąga zero przy napięciu hamowania. Wartość tego napięcia nie zależy od natężenia padającego promieniowania.

Aby zrozumieć, dlaczego tego rezultatu nie da się wytłumaczyć na gruncie fizyki klasycznej, rozważmy wpierw energię fotoelektronów. Opuszczający powierzchnię płytki fotoelektron ma energię kinetyczną $E_{\text{k}⁣0}$, którą uzyskał od padającego promieniowania. W przestrzeni pomiędzy elektrodami elektron porusza się w polu elektrostatycznym, a jego energia potencjalna zmienia się o $q\Delta V$, gdzie $\Delta V$ jest różnicą potencjałów, a $q=-e$. Z zasady zachowania energii wynika więc, że $\Delta E_{\text{k}}-e\Delta V=0\mathrm{J}$, gdzie $\Delta E_{\text{k}}$ jest zmianą energii kinetyczej fotoelektronu. Gdy przyłożymy napięcie hamowania $-\Delta V_{\text{h}}$, fotoelektron traci całą swoją energię kinetyczną $E_{\text{k}i}$ i zatrzymuje się. Bilans energetyczny wyraża się wtedy następująco: $\left(0\mathrm{J}-E_{\text{k}⁣0}\right)-e\left(-\Delta V_{\text{h}}\right)=0\mathrm{J}$, z czego wynika, że: $E_{\text{k}⁣0}=e\Delta V_{\text{h}}$. Napięcie hamowania pozwala nam więc wyznaczyć maksymalną energie kinetyczną $E_{\text{k max}}$ emitowanych elektronów

$$E_{\text{k max}}=e\Delta V_{\text{h}}\text{.}$$

6.13

Korzystając z tego wyniku, możemy zrozumieć, dlaczego mechanika klasyczna nie tłumaczy nam wyników eksperymentu. W teorii klasycznej fotoelektron absorbuje energię w sposób ciągły, oznacza to, że gdy padające promieniowanie ma duże natężenie, energia kinetyczna także powinna być duża. Podobnie w przypadku niskiego natężenia promieniowania energia kinetyczna wybitych fotoelektronów powinna być mała. Eksperyment wskazuje jednak, że napięcie hamowania, a więc i maksymalna wartość energii kinetycznej fotoelektronów nie zależą od natężenia światła.

Ilustracja 6.9 Natężenie fotoprądu w funkcji różnicy potencjałów między elektrodami. Widzimy, że niezależnie od tego, czy natężenie światła jest duże (wyższa krzywa), czy małe (niższa krzywa), wartość napięcia hamowania jest taka sama.

Częstotliwość progowa

Dla każdej metalowej powierzchni, na którą pada promieniowanie, istnieje pewna częstotliwość tego promieniowania, poniżej której nie rejestruje się fotoprądu – innymi słowy zjawisko fotoelektryczne nie zachodzi. Wielkość taką nazywamy częstotliwością progową (ang. cut-off frequency) i jest ona charakterystyczna dla danego metalu. Dane eksperymentalne pokazują liniową zależność – maksymalna energia kinetyczna fotoelektronów rośnie liniowo ze zwiększającą się częstotliwością podającego promieniowania. Pomiary dokonywane dla różnych metali dają liniową zależność z tym samym nachyleniem wykresu. Żadna z tych obserwacji nie daje się pogodzić z fizyką klasyczną, w ramach której energia kinetyczna fotoelektronów nie powinna zależeć od częstotliwości, ale od natężenia padającego światła. Fizyka klasyczna nie przewiduje także istnienia częstotliwości progowej. Ponieważ w klasycznym obrazie elektrony pobierają energię od promieniowania w sposób ciągły, ich energia kinetyczna powinna zależeć tylko od natężenia padającego światła, a efekt powinien zachodzić zawsze, niezależnie od częstotliwości.

Ilustracja 6.10 Maksymalna energia kinetyczna fotoelektronów w funkcji częstotliwości podającego światła. Efekt fotoelektryczny zachodzi tylko powyżej częstotliwości progowej ${\nu }_{\text{g}}$. Pomiary dają to samo nachylenie wykresu dla różnych metali. Każdy z metali ma jednak swoją częstotliwość progową.

Praca wyjścia

Efekt fotoelektryczny został wyjaśniony w 1905 roku przez Alberta Einsteina (1879–1955). Einstein założył, że skoro hipoteza Plancka o kwantach energii poprawnie opisywała wymianę energii między promieniowaniem elektromagnetycznym i ścianami wnęki, to powinna być ona także zastosowana do opisu absorpcji promieniowania przez fotoelektrodę. Zapostulował on tezę, że fala elektromagnetyczna niesie energię w dyskretnych porcjach. Einstein rozszerzył hipotezę Plancka, postulując, że samo światło składa się z kwantów promieniowania. Innymi słowy, że fale elektromagnetyczne są skwantowane.

W podejściu Einsteina wiązka monochromatycznego światła o częstotliwości $\nu$ złożona jest z fotonów, czyli foton (ang. photon) jest cząstką światła. Każdy foton porusza się z prędkością światła i niesie kwant energii $E_{\text{f}}$. Energia fotonów (ang. energy of a photon) zależy tylko od częstotliwości $\nu$ i dana jest wzorem

gdzie $h$ jest stałą Plancka. W efekcie fotoelektrycznym fotony docierają do metalowej powierzchni i każdy foton oddaje całą swoją energię tylko jednemu elektronowi. To zjawisko kwantowe (ang. quantum phenomenon) stoi w sprzeczności z mechaniką klasyczną, według której wymiana energii zachodzi w sposób ciągły. Bilans energetyczny elektronu, który przejmuje od fotonu pewną energię $E_{\text{f}}$, jest następujący

gdzie $E_{\text{k max}}$ jest energią kinetyczną elektronu, wyrażoną wzorem (Równanie 6.13), zaraz po opuszczeniu przez elektron metalowej płytki. W tym bilansie energetycznym $W$ jest pracą, którą trzeba wykonać, aby fotoelektron opuścił metal, zwaną pracą wyjścia (ang. work function) danego metalu. Każdy metal ma swoją charakterystyczną pracę wyjścia, co przedstawiono w Tabeli 6.1. Aby otrzymać energię kinetyczną fotoelektronów przy powierzchni, przekształcamy bilans energetyczny (Równanie 6.14) oraz korzystamy z Równania 6.14 na energię pochłoniętego fotonu. Daje nam to wyrażenie na energię kinetyczną elektronu, zależne wprost od częstotliwości padającego promieniowania

Równanie to jest bardzo proste, ma jednak głebokie znacznie.

W interpretacji Einsteina oddziaływania zachodzą pomiędzy pojedynczymi elektronami i fotonami. Brak opóźnienia świadczy o tym, że to oddziaływanie zachodzi natychmiast. Czasu oddziaływania nie da się zwiększyć, zmniejszając natężenie padającego światła. Natężenie światła odpowiada liczbie fotonów padających na powierzchnię metalu w jednostce czasu. Nawet przy bardzo małych wartościach natężenia efekt fotoelektryczny wciąż występuje, gdyż oddziaływanie zachodzi pomiędzy jednym elektronem i jednym fotonem. Tak długo, jak pada chociaż jeden foton z wystarczająco dużą energią, aby wybić z metalu elektron, tak długo zjawisko elektryczne będzie zachodziło.

Występowanie częstotliwości progowej ${\nu }_{\text{g}}$ w efekcie fotoelektrycznym bezpośrednio wynika z Równania 6.15, ponieważ energia kinetyczna $E_{\text{k max}}$ fotoelektronu może przyjmować tylko wartości dodatnie. Oznacza to, że istnieje taka częstotliwość, dla której energia ta wynosi zero, $0\mathrm{J}=h{\nu }_{\text{g}}-W$. Jest to właśnie częstotliwość progowa

Częstotliwość progowa zależy tylko od pracy wyjścia danego metalu i jest do niej wprost proporcjonalna. Gdy praca wyjścia jest duża (elektrony są mocno związane w metalu), energia progowa fotonu musi być wystarczająca, by wybić fotoelektron, co odpowiada dużej częstotliwości. Fotony o częstotliwości większej od częstotliwości progowej ${\nu }_{\text{g}}$ wybijają elektrony, gdyż $E_{\text{k max}}>0\mathrm{J}$. Fotony o częstotliwościach mniejszych niż ${\nu }_{\text{g}}$ nie mają wystarczającej energii, by wybić fotoelektrony. W związku z tym, gdy padające promieniowanie ma częstotliwość niższą od progowej, efekt fotoelektryczny nie zachodzi. Ponieważ częstotliwość $\nu$ i długość fali $\lambda$ fal elektromagnetycznych są ze sobą powiązane $\lambda \nu =c$ (gdzie $c$ jest prędkością światła w próżni), częstotliwości progowej odpowiada progowa długość fali (ang. cut-off wavelength) ${\lambda }_0$

gdzie $hc=1240\mathrm{eV}\mathrm{nm}$. Obserwacje nasze możemy przeformułować w następujący sposób: gdy padające promieniowanie ma długość fali większą od długości progowej, efekt fotoelektryczny nie zachodzi.

Równanie 6.15 w zaproponowanym przez Einsteina modelu zjawiska fotoelektrycznego mówi nam, że maksymalna energia kinetyczna fotoelektronów jest liniową funkcją częstotliwości padającego promieniowania, co pokazuje wykres na Ilustracji 6.10. Dla dowolnego metalu nachylenie prostej na tym wykresie dane jest przez wartość stałej Plancka. Punkt przecięcia z osią $E_{\text{k max}}$ daje nam wartość pracy wyjścia charakterystycznej dla danego metalu. Wartość $E_{\text{k max}}$ jest natomiast bezpośrednio wyznaczana eksperymentalnie, poprzez pomiar napięcia hamowania $\Delta V_{\text{h}}$ (zobacz Równanie 6.13), przy którym fotoprąd przestaje płynąć. Pomiar taki pozwala nam doświadczalnie wyznaczyć wartość stałej Plancka, jak również pracę wyjścia dla różnych materiałów.

Model Einsteina pozwala nam także wytłumaczyć wartości fotoprądu przedstawione na Ilustracji 6.9. Na przykład podwojenie natężenia promieniowania przekłada się na podwojenie liczby fotonów padających w jednostce czasu na powierzchnię płytki. Większa liczba fotonów powoduje wybicie większej liczby elektronów, a więc większe natężenie fotoprądu. Natężenie po osiągnięciu pewnej maksymalnej wartości nie zwiększa się dalej wraz z wzrostem napięcia, gdyż nie zależy od niego liczba wybitych elektronów, a jedynie to, jak wiele z nich dotrze do przeciwnej elektrody. Napięcie hamowania nie zmienia się wraz z natężeniem promieniowania, ponieważ energia fotoelektronów nie zależy od tego natężenia (spójrz na Równanie 6.15).