6.3 Efekt Comptona - Fizyka dla szkół wyższych. Tom 3

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

opisywać eksperyment Comptona;
wyjaśniać komptonowskie przesunięcie długości fali;
opisywać sposób, w jaki eksperymenty z promieniowaniem rentgenowskim ujawniają cząstkową naturę promieniowania.

W 1905 roku Einstein ogłosił dwie teorie, które zrewolucjonizowały fizykę: szczególną teorię względności oraz ideę kwantów światła. Następnie Einstein rozwinął teorię kwantów światła, postulując, że swobodnie rozchodząca się fala elektromagnetyczna składa się z cząstek, nazwanych później fotonami, podobnie jak materia składa się z elektronów i innych masywnych cząstek. Wiązkę monochromatycznego światła o długości $\lambda$ (lub, równoważnie, o częstotliwości $\nu$ ) możemy opisywać jako klasyczną falę lub jako zbiór fotonów poruszających się w próżni z prędkością $c$ i niosących energię $E_{\text{f}}=h\nu$ . Koncepcja ta pozwoliła wytłumaczyć własności oddziaływania światła z materią.

Pęd fotonu

W przeciwieństwie do cząstek materii, posiadających niezerową masę spoczynkową $m_0$ , foton jest bezmasowy. Podczas gdy cząstki materii osiągać mogą w próżni różne prędkości, mniejsze od prędkości światła, foton przemieszcza się zawsze z prędkością światła. Z punktu widzenia klasycznej mechaniki newtonowskiej podanie opisu takiej cząstki stanowi istotny problem. Jak przypisać pęd albo energię kinetyczną obiektowi, którego masa równa jest zero? Problem ten rozwiązać można na gruncie szczególnej teorii względności. Zgodnie z tą teorią dla każdego ciała zachodzi następujący związek

E^2=p^2c^2+m_0^2c^4\text{,}

6.18

gdzie $E$ jest całkowitą energią cząstki, $p$ jego pędem, a $m_0$ jego masą spoczynkową. Równanie to możemy zastosować także do fotonu, zakładając, że $m_0=0$ . Prowadzi to do następującego wyrażenia na pęd fotonu $p_{\text{f}}$

p_{\text{f}}=\frac{E_{\text{f}}}{c}\text{.}

6.19

Energię fotonu $E_{\text{f}}$ obliczyć możemy, znając częstotliwość związanej z nim fali elektromagnetycznej

E_{\text{f}}=h\nu=\frac{hc}{\lambda}\text{,}

6.20

korzystając także ze związku łączącego częstotliwość $\nu$ z długością $\lambda$ fali i jej prędkością $c$

\lambda\nu=c\text{.}

6.21

Równania – Równanie 6.20 oraz Równanie 6.21 – dają nam więc następujący związek między pędem fotonu a długością związanej z nim fali

p_{\text{f}}=\frac{h}{\lambda}\text{.}

6.22

Powyższe równanie opisuje jedynie wartość pędu i nie zawiera informacji o kierunku jego ruchu. W postaci wektorowej równanie to przybiera zazwyczaj następującą postać

\vec p_{\text{f}}= \hbar\vec k\text{,}

6.23

gdzie przez $\hbar=h/2\pi$ oznacza się tak zwaną zredukowaną stałą Plancka (ang. reduced Planck’s constant). Wektor $\vec k$ to wektor falowy (ang. propagation vector), wskazujący kierunek przemieszczania się fali (a więc także kierunek przemieszczania się fotonu). Długość tego wektora wyraża się wzorem $k=\abs{\vec{k}}=2\pi/\lambda$ i zwana jest liczbą falową (ang. wave number).

Efekt Comptona

Efektem Comptona (ang. Compton effect) nazywa się niezwykły rezultat eksperymentu, w którym obserwuje się rozpraszanie promieni rentgenowskich na niektórych materiałach. Teoria klasyczna przewidywała, że rozproszona fala elektromagnetyczna powinna mieć tę samą długość co fala padająca. Jednak przeprowadzone doświadczenia nie potwierdzają tego przewidywania. Promieniowanie rentgenowskie rozproszone na przykład na powierzchni grafitowej miało inną długość fali niż promieniowanie padające. To zjawisko, niedające się wytłumaczyć na gruncie fizyki klasycznej, badał eksperymentalnie wraz ze współpracownikami Artur H. Compton (1892–1962) i on też podał jego wytłumaczenie w roku 1923.

W celu wyjaśnienia obserwowanej w doświadczeniu zmiany długości fali Compton wykorzystał zaproponowaną przez Einsteina ideę cząstek światła. Dlatego też efekt Comptona odegrał istotną rolę jako przykład zjawiska, którego nie da się wyjaśnić, zakładając jedynie falową naturę promieniowania elektromagnetycznego. Podane przez Comptona wyjaśnienie stanowiło przekonujący argument, że fale elektromagnetyczne w pewnych zjawiskach zachowują się jak strumień cząstek – fotonów.

Schemat układu doświadczalnego Comptona pokazany został na Ilustracji 6.11. Idea eksperymentu jest bardzo prosta: monochromatyczne promieniowanie rentgenowskie o długości fali $\lambda$ pada na grafitową próbkę (tarczę), nastepnie rozproszona na tarczy fala o długości $\lambda '$ rejestrowana jest przez detektory mierzące natężenie promieniowania w zależności od kąta rozproszenia (ang. scattering angle) $\theta$ , będącego kątem między kierunkiem padającego i mierzonego promieniowania. W eksperymencie tym znamy natężęnie i długość $\lambda$ padającej wiązki, a dla danego kąta rozproszenia $\theta$ mierzymy natężenie i długość fali $\lambda'$ wiązki rozproszonej. Typowe wyniki takiego eksperymentu przedstawione są na Ilustracji 6.12, gdzie na osi $x$ podana jest długość fali rozproszonych promieni rentgenowskich, a na osi $y$ ich natężenie, zmierzone dla kilku różnych kątów rozpraszania (wskazanych na wykresach). Dla wszystkich kątów (poza $\theta=\SI{0}{\degree}$ ) obserwuje się dwa maksima natężenia, pierwsze z nich odpowiada długości fali $\lambda$ promieniowania padającego. Drugie odpowiada innej długości fali $\lambda'$ . Odległość $\prefop{\Delta}\lambda$ , dzieląca oba maksima, nazywana jest przesunięciem Comptona (ang. Compton shift) i zależna jest od kąta $\theta$ .

Rysunek przedstawia układ doświadczalny do badanie rozpraszania Comptona. Promieniowanie rentgenowskie wychodzi ze źródła, przechodzi przez szczeliny kolimujące i pada na próbkę grafitową. Promienie rozproszone na próbce rejestrowane są przez detektor.

Ilustracja 6.11 Układ doświadczalny do badania efektu Comptona.

Trzy wykresy ukazują zależność natężenia rozproszonego światła od długości fali. Lewy wykres odpowiada danym zebranym pod kątem theta równym zero, Jedno wyraźne maksimum widoczne jest przy długości fali lambda. Środkowy wykres odpowiada danym zebranym przy kącie theta równym 45 stopni. Widoczne są dwa bliskie maksima o podobnym natężeniu rozdzielone o 0.0006 nanometrów. Widoczny jest także ,,ogon'' widma w stronę większych długości fali. Prawy wykres odpowiada pomiarom wykonanym przy kącie theta równym 90 stopni. Widoczne są dwa maksima oddalone o 0.0022 nanometrów. Maksima są szersze, a to ospowiadające większej długości fali jest wyższe. Ponownie widoczny jest także ,,ogon'' widma w stronę większych długości fali.

Ilustracja 6.12 Typowe wyniki pomiaru efektu Comptona w rozpraszaniu promieniowania rentgenowskiego pod różnymi kątami pokazują, że natężenie wiązki rozproszonej ma dwa maksima. Jedno – przy długości fali

\lambda

równej długości fali promieniowania padającego, a drugie – przy długości fali

\lambda'

. Odległość

\prefop{\Delta}\lambda

między maksimami zależy od kąta rozpraszania

\theta

, pod którym ustawiony został detektor w układzie pokazanym na Ilustracji 6.11. Dane eksperymentalne przedstawione są schematycznie w jednostkach umownych, wysokość krzywej odpowiada wartości natężenia powyżej szumu tła.

Przesunięcie Comptona

Compton wyjaśnił zmianę długości fali rozproszonej, opierając się na tym, że w grafitowej tarczy elektrony walencyjne są słabo związane z atomami i zachowują się jak cząstki swobodne. Compton założył, że padające promieniowanie rentgenowskie składa się ze strumienia fotonów. Padający foton zderza się z elektronem walencyjnym w tarczy i przekazuje mu w tym zderzeniu część energii i pędu. Model ten jakościowo pozwala zrozumieć, dlaczego długość fali rozproszonego promieniowania jest większa. Traci on po prostu część swojej energii i jego częstotliwość zmniejsza się, wskutek czego zwiększa się długość fali. Compton użył tego modelu do wyprowadzenia wzoru na przesunięcie $\prefop{\Delta}\lambda$ , zakładając jedynie, że w zderzeniu fotonu z elektronem spełnione są zasady zachowania pędu i energii.

W poniższym wyprowadzeniu wzoru na przesunięcie Comptona $E_{\text{f}}$ i $\vec p_{\text{f}}$ oznaczają odpowiednio energię i pęd padającego fotonu o częstotliwości $\nu$ . Foton ten zderza się ze spoczywającym elektronem, co oznacza, że bezpośrednio przed zderzeniem energia elektronu równa była jego energii spoczynkowej $m_0c^2$ . Bezpośrednio po zderzeniu elektron ma energię $E$ i pęd $\vec p$ spełniające Równanie 6.20. Rozproszony foton bezpośrednio po zderzeniu ma energię $\widetilde E_{\text{f}}$ , pęd $\vec{\widetilde{p}}_{\text{f}}$ i częstotliwość $\nu'$ . Kierunki padającego i rozproszonego fotonu oraz kąt $\theta$ między nimi pokazane są na Ilustracji 6.11. Kąt ten rozpięty jest przez wektrory $\vec p_{\text{f}}$ i $\vec{\widetilde{p}}_{\text{f}}$ , możemy więc w następujący sposób zapisać ich iloczyn skalarny

\vec p_{\text{f}}\cdot\vec{\widetilde{p}}_{\text{f}}=p_{\text{f}}\widetilde p_{\text{f}}\cos\theta\text{.}

6.24

Compton założył, że zderzające się foton i elektron tworzą układ izolowany. To założenie jest uzasadnione dla słabo związanych elektronów, które – w przybliżeniu – traktować możemy jak cząstki swobodne. Z zasady zachowania energii wynika więc

E_{\text{f}}+m_0c^2=\widetilde E_{\text{f}}+E\text{.}

6.25

Lewa strona równości wyraża energię układu przed zderzeniem, prawa – po zderzeniu. Następne równanie wynika z zachowania pędu układu foton–elektron, w którym elektron przed zderzeniem pozostaje w spoczynku

\vec p_{\text{f}}=\vec{\widetilde p_{\text{f}}}+\vec p\text{.}

6.26

Prawa strona równania wyraża pęd układu przed zderzeniem, a lewa – po zderzeniu. Cały proces opisany jest przez powyższe trzy równania – pozostaje jedynie przekształcić je algebraicznie.

Najpierw przekształcimy pierwsze równanie, przenosząc jeden z wyrazów na lewą stronę i podnosząc obie strony do kwadratu

[(E_{\text{f}}-\widetilde E_{\text{f}})+m_0c^2]^2=E^2\text{.}

W następnym etapie podstawimy Równanie 6.20 w miejsce $E^2$ , uprościmy oraz podzielimy obie strony przez $c^2$ , aby otrzymać

(\frac{E_{\text{f}}}{c}-\frac{\widetilde E_{\text{f}}}{c})^2+2m_0c(\frac{E_{\text{f}}}{c}-\frac{\widetilde E_{\text{f}}}{c})=p^2\text{.}

Możemy teraz skorzystać z Równania 6.22, aby wyrazić powyższe równanie w zmiennych pędowych. Otrzymujemy

(p_{\text{f}}-\widetilde p_{\text{f}})^2+2m_0c(p_{\text{f}}-\widetilde p_{\text{f}})=p^2\text{.}

6.27

Aby wyeliminować $p^2$ , skorzystamy z równania opisującego zachowanie pędu (Równanie 6.26), aby po przekształceniu i podniesieniu do kwadratu otrzymać

(\vec p_{\text{f}}-\vec{\widetilde p}_{\text{f}})^2=p^2\text{ oraz }(\vec p_{\text{f}}-\vec{\widetilde p}_{\text{f}})^2=p^2_{\text{f}}+\widetilde p^2_{\text{f}}-2\vec p_{\text{f}}\cdot\vec{\widetilde p}_{\text{f}}\text{.}

Iloczyn skalarny wektorów pędu dany jest przez Równanie 6.24. Po podstawieniu tego wyniku za $p^2$ w Równaniu 6.27 otrzymamy równania zawierające kąt $\theta$

(p_{\text{f}}-\widetilde p_{\text{f}})^2+2m_0c(p_{\text{f}}-\widetilde p_{\text{f}})= p^2_{\text{f}}+\widetilde p^2_{\text{f}}-2p_{\text{f}}\widetilde p_{\text{f}}\cos\theta\text{.}

Po dalszych prostych przekształceniach wynik ten upraszczamy do

\frac{1}{\widetilde p_{\text{f}}}-\frac{1}{p_{\text{f}}}=\frac{1}{m_0c}(1-\cos\theta)\text{.}

6.28

Korzystając z Równania 6.22, otrzymujemy: $1/\widetilde p_{\text{f}}=\lambda '/h$ oraz $1/p_{\text{f}}=\lambda/h$ . Podstawiając do Równania 6.28, otrzymujemy ostateczny wzór na przesunięcie Comptona

\lambda'-\lambda=\frac{h}{m_0c}(1-\cos\theta)\text{.}

6.29

Czynnik $h/m_0c$ nazywany jest comptonowską długością fali (ang. Compton wavelength) elektronu

\lambda_{\text{C}}=\frac{h}{m_0c}=\SI{0,00243}{\nano\metre}=\SI{2,43}{\pico\metre}\text{.}

6.30

Oznaczając zmianę długości fali przez $\prefop{\Delta}\lambda=\lambda'-\lambda$ , końcowy wynik możemy zapisać w następujący sposób

\prefop{\Delta}\lambda=\lambda_{\text{C}}(1-\cos\theta)\text{.}

6.31

Powyższy wzór z niebywałą dokładnością opisuje wyniki doświadczeń przedstawione na Ilustracji 6.12. Także dane uzyskane w doświadczeniach rozpraszania na molibdenie, graficie, kalcycie i wielu innych materiałach są zgodne z tym przewidywaniem. Nieprzesunięte maksimum pokazane na Ilustracji 6.12 jest efektem zderzeń fotonu z elektronami mocniej związanymi z atomami tarczy, w praktyce więc – z całym atomem. W tym przypadku masą spoczynkową w Równaniu 6.30 jest masa atomu. Wynikające z tego przesunięcie jest cztery rzędy wielkości mniejsze niż przesunięcie spowodowane zderzeniami ze swobodnymi elektronami i w związku z tym może być pominięte.

Rozpraszanie Comptona jest przykładem rozpraszania nieelastycznego (ang. inelastic scattering), w którym rozproszone promieniowanie ma większą długość fali niż promieniowanie padające. Współcześnie nazwy „rozpraszanie comptonowskie” używa się do opisu nieelastycznego rozpraszania fotonów na swobodnych, naładowanych cząstkach. Opis efektu Comptona przyjmujący, że promieniowanie składa się z posiadających pęd cząstek, fotonów, pozwala wyjaśnić obserwowaną zmianę długości fali.

Przykład 6.8

Rozpraszanie Comptona

Promieniowanie rentgenowskie o długości fali

\SI{71}{\pico\meter}

pada na kalcytową tarczę. Wyznaczmy długość fali rozproszonej pod kątem

\SI{30}{\degree}

. Jaka jest największa wartość przesunięcia Comptona w tym eksperymencie?

Strategia rozwiązania

Aby wyznaczyć długość fali rozproszonego promieniowania, musimy najpierw, korzystając z Równania 6.31, obliczyć przesunięcie comptonowskie dla danego kąta

\theta=\SI{30}{\degree}

. Następnie dodamy to przesunięcie do długości fali padającej. Największe przesunięcie zachodzi dla kąta

\theta=\SI{180}{\degree}

, dla którego czynnik

1-\cos\theta

ma największą wartość.

Rozwiązanie

Przesunięcie przy kącie rozproszenia równym

\theta=\SI{30}{\degree}

wynosi

\prefop{\Delta}\lambda=\lambda_{\text{C}}(1-\cos\SI{30}{\degree})=\num{0,134}\lambda_{\text{C}}=\num{0,134}\cdot\SI{2,43}{\pico\metre}=\SI{0,325}{\pico\metre}\text{.}

Daje to nam następującą długość fali rozproszonej

\lambda'=\lambda+\prefop{\Delta}\lambda=\SI{71}{\pico\metre}+\SI{0,325}{\pico\metre}=\SI{71,325}{\pico\metre}\text{.}

Największe przesunięcie wynosi

(\prefop{\Delta}\lambda)_{\text{max}}=\lambda_{\text{C}}(1-\cos\SI{180}{\degree})=\SI{2,43}{\pico\metre}\cdot 2=\SI{4,86}{\pico\metre}\text{.}

Znaczenie

Największe przesunięcie długości fali rejestruje się przy rozpraszaniu do tyłu. Jednakże większość fotonów rozprasza się pod niewielkimi kątami, tylko niewielka część rozpraszana jest wstecz. Pomiary w tym obszarze wymagają więc bardzo czułych detektorów.

Sprawdź, czy rozumiesz 6.8

Promieniowanie rentgenowskie o długości fali $\SI{71}{\pico\metre}$ pada na kalcytową tarczę. Wyznacz długość fali rozproszonej pod kątem $\SI{60}{\degree}$ . Jakie jest najmniejsze przesunięcie, które można zmierzyć w tym eksperymencie?