Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 3

6.4 Model atomu wodoru Bohra

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 36.4 Model atomu wodoru Bohra

Spis treści
  1. Przedmowa
  2. Optyka
    1. 1 Natura światła
      1. Wstęp
      2. 1.1 Rozchodzenie się światła
      3. 1.2 Prawo odbicia
      4. 1.3 Załamanie
      5. 1.4 Całkowite wewnętrzne odbicie
      6. 1.5 Rozszczepienie
      7. 1.6 Zasada Huygensa
      8. 1.7 Polaryzacja
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Optyka geometryczna i tworzenie obrazu
      1. Wstęp
      2. 2.1 Obrazy tworzone przez zwierciadła płaskie
      3. 2.2 Zwierciadła sferyczne
      4. 2.3 Obrazy tworzone przez załamanie promieni światła
      5. 2.4 Cienkie soczewki
      6. 2.5 Oko
      7. 2.6 Aparat fotograficzny
      8. 2.7 Proste przyrządy powiększające
      9. 2.8 Mikroskopy i teleskopy
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    3. 3 Interferencja
      1. Wstęp
      2. 3.1 Doświadczenie Younga z dwiema szczelinami
      3. 3.2 Matematyczny opis interferencji
      4. 3.3 Interferencja na wielu szczelinach
      5. 3.4 Interferencja w cienkich warstwach
      6. 3.5 Interferometr Michelsona
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Dyfrakcja
      1. Wstęp
      2. 4.1 Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie
      3. 4.2 Natężenie światła w dyfrakcji na pojedynczej szczelinie
      4. 4.3 Dyfrakcja na podwójnej szczelinie
      5. 4.4 Siatki dyfrakcyjne
      6. 4.5 Otwory kołowe i rozdzielczość
      7. 4.6 Dyfrakcja rentgenowska
      8. 4.7 Holografia
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fizyka współczesna
    1. 5 Teoria względności
      1. Wstęp
      2. 5.1 Niezmienność praw fizyki
      3. 5.2 Względność jednoczesności zdarzeń
      4. 5.3 Dylatacja czasu
      5. 5.4 Skrócenie długości w szczególnej teorii względności
      6. 5.5 Transformacja Lorentza
      7. 5.6 Względność prędkości w szczególnej teorii względności
      8. 5.7 Relatywistyczny efekt Dopplera
      9. 5.8 Pęd relatywistyczny
      10. 5.9 Energia relatywistyczna
      11. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    2. 6 Fotony i fale materii
      1. Wstęp
      2. 6.1 Promieniowanie ciała doskonale czarnego
      3. 6.2 Efekt fotoelektryczny
      4. 6.3 Efekt Comptona
      5. 6.4 Model atomu wodoru Bohra
      6. 6.5 Fale de Broglie’a
      7. 6.6 Dualizm korpuskularno-falowy
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    3. 7 Mechanika kwantowa
      1. Wstęp
      2. 7.1 Funkcje falowe
      3. 7.2 Zasada nieoznaczoności Heisenberga
      4. 7.3 Równanie Schrӧdingera
      5. 7.4 Cząstka kwantowa w pudełku
      6. 7.5 Kwantowy oscylator harmoniczny
      7. 7.6 Tunelowanie cząstek przez bariery potencjału
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 8 Budowa atomu
      1. Wstęp
      2. 8.1 Atom wodoru
      3. 8.2 Orbitalny magnetyczny moment dipolowy elektronu
      4. 8.3 Spin elektronu
      5. 8.4 Zakaz Pauliego i układ okresowy pierwiastków
      6. 8.5 Widma atomowe i promieniowanie rentgenowskie
      7. 8.6 Lasery
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    5. 9 Fizyka materii skondensowanej
      1. Wstęp
      2. 9.1 Rodzaje wiązań cząsteczkowych
      3. 9.2 Widma cząsteczkowe
      4. 9.3 Wiązania w ciałach stałych
      5. 9.4 Model elektronów swobodnych w metalach
      6. 9.5 Teoria pasmowa ciał stałych
      7. 9.6 Półprzewodniki i domieszkowanie
      8. 9.7 Przyrządy półprzewodnikowe
      9. 9.8 Nadprzewodnictwo
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 10 Fizyka jądrowa
      1. Wstęp
      2. 10.1 Własności jądra atomowego
      3. 10.2 Energia wiązania jądra
      4. 10.3 Rozpad promieniotwórczy
      5. 10.4 Procesy rozpadu
      6. 10.5 Rozszczepienie jądra atomowego
      7. 10.6 Fuzja jądrowa
      8. 10.7 Skutki biologiczne i zastosowania medyczne promieniowania jądrowego
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 11 Fizyka cząstek elementarnych i kosmologia
      1. Wstęp
      2. 11.1 Wstęp do fizyki cząstek elementarnych
      3. 11.2 Zasady zachowania w fizyce cząstek elementarnych
      4. 11.3 Kwarki
      5. 11.4 Akceleratory i detektory cząstek
      6. 11.5 Model standardowy
      7. 11.6 Wielki Wybuch
      8. 11.7 Ewolucja wczesnego Wszechświata
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • wyjaśniać różnicę między widmem absorbcyjnym a emisyjnym promieniowania;
  • opisywać doświadczenie Rutherforda i odkrycie jądra atomowego;
  • opisywać strukturę atomu wodoru;
  • opisywać postulaty wczesnej teorii kwantowej;
  • opisywać, w jaki sposób model Bohra wyjaśnia widmo promieniowania atomu wodoru.

Szczególne znaczenie historyczne modelu struktury atomu zaproponowanego przez Bohra wynika z tego, że jako pierwszy wyjaśnił on widmo promieniowania atomu wodoru. Jego istotna rola w rozwoju nauki polegała także na wykorzystaniu wczesnych koncepcji teorii kwantów, stymulowaniu jej dalszego rozwoju i pełnym sformułowaniu mechaniki kwantowej. Zanim opiszemy szczegóły tego modelu, musimy się przyjrzeć leżącym u jego podstaw odkryciom, dokonanym w dziewiętnastym wieku.

Gdy użyje się pryzmatu do analizy światła słonecznego, w obserwowanym widmie zauważyć można wiele ciemnych linii (Ilustracja 6.13), nazywanych liniami Fraunhofera (ang. Fraunhofer lines), od nazwiska Josepha von Fraunhofera (1787–1826), który dokładnie zmierzył odpowiadające im długości fali. W latach 1854–1861, Gustav Kirchhoff i Robert Bunsen, analizując widmo światła emitowanego podczas podgrzewania różnych pierwiastków chemicznych (zwane widmem emisyjnym (ang. emission spectrum)), odkryli, że obserwowane w nim linie pasują dokładnie do czarnych miejsc w widmie Fraunhofera (będącego przykładem widma absorpcyjnego (ang. absorption spectrum)). Różnica między widmem absorpcyjnym a emisyjnym wyjaśniona jest na Ilustracji 6.14. Widmo absorpcyjne powstaje, gdy świało przechodzi przez gaz i obserwuje się je w postaci czarnych linii na tle ciągłego spektrum (Ilustracja 6.13). Położenie ciemnych linii odpowiada długości zaabsorbowanych fal świetlnych. Widmo emisyjne obserwujemy, gdy światło emitowane jest przez rozgrzany gaz i składa się z kolorowych linii na czarnym tle (jak na Ilustracji 6.15 i Ilustracji 6.16). Położenie jasnych linii emisyjnych odpowiada długościom wyemitowanej fali świetlej. Każdy pierwiastek ma swoje własne charakterystyczne widmo emisyjne, a linie tego widma znajdują się zawsze w tym samym miejscu co ciemne linie w jego widmie absorpcyjnym. Oznacza to, że atomy danego pierwiastka absorbują tylko fale o pewnych długościach, tych samych co długości emitowanego przez nie promieniowania.

 Na rysunku pokazano widmo promieniowania słonecznego w zakresie widzialnym od ciemno niebieskiego przy długości fal 380 nm, do ciemno czerwonego przy długości 710 nm. Linie Fraunhofera obserwowane są jako czarne pionowe linie na tle ciągłego widma.
Ilustracja 6.13 W zakresie widzialnym widma promieniowania słonecznego (od 380 nm 380 nm \SI{380}{\nano\metre} do 710 nm 710 nm \SI{710}{\nano\metre} ) linie Fraunhofera obserwowane są jako czarne, pionowe linie na tle ciągłego widma. Współcześnie bardzo czułe instrumenty rejestrują tysiące takich linii.
Rysunki A i B przedstawiają schematy układów doświadczalnych do obserwacji (A) linii absorbcyjnych (B) linii emisyjnych. Na rysunku A białe światło przechodzi przez chmurę zimnego gazu zamkniętego w szklanym pojemniku. Pryzmat rozszczepia światło o różnych długościach fali. W widmie światła przechodzącego brakuje fal o pewnych długościach, co widoczne jest w postaci czarnych linii na tle ciągłego spektrum. Na rysunku B gaz zamknięty jest w szklanej rurze, z przyczepionymi na końcach elektrodami. Przy dużej różnicy potencjałów pomiędzy elektrodami gaz świeci, a wyemitowane światło przechodzi przez pryzmat, który rozdziela je na fale o różnej długości. W widmie emitowanego światła występują tylko pewne długości fali, widoczne w postaci kolorowych linii na ekranie.
Ilustracja 6.14 Schematy układów doświadczalnych do obserwacji (a) linii absorpcyjnych, (b) linii emisyjnych. (a) Białe światło przechodzi przez chmurę zimnego gazu zamkniętego w szklanym pojemniku. Pryzmat rozszczepia światło o różnych długościach fali. W widmie światła przechodzącego brakuje fal o pewnych długościach, co widoczne jest w postaci czarnych linii na tle ciągłego spektrum. (b) Gaz zamknięty jest w szklanej rurze, z przyczepionymi na końcach elektrodami. Przy dużej różnicy potencjałów pomiędzy elektrodami gaz świeci, a wyemitowane światło przechodzi przez pryzmat, który rozdziela je na fale o różnej długości. W widmie emitowanego światła występują tylko pewne długości fali, widoczne w postaci kolorowych linii na ekranie.
 Rysunek przedstawia widmo emisyjne wodoru. Widoczne są tylko cztery linie : try niebieskie i jedna czerwona.
Ilustracja 6.15 Widmo emisyjne atomu wodoru: położenie linii emisyjnych jest charakterystyczne dla tego pierwiastka. Źródło: „Merikanto”/Wikimedia Commons
 Rysunek przedstawia spektrum emisyjne żelaza. Widać na nim wiele przekrywających się kolorowych pasm i linii.
Ilustracja 6.16 Widmo emisyjne atomów żelaza.

Widma emisyjne pierwiastków mają skomplikowaną strukturę, zwłaszcza dla pierwiastków o wyższych liczbach atomowych. Najprostsze widmo, przedstawione na Ilustracji 6.15, należy do atomu wodoru. Tylko cztery linie widoczne są ludzkim okiem. Od prawej do lewej są to: czerwona ( 656 nm 656 nm \SI{656}{\nano\metre} ), zwana linią H-α, niebiesko-zielona ( 486 nm 486 nm \SI{486}{\nano\metre} ), niebieska ( 434 nm 434 nm \SI{434}{\nano\metre} ) i fioletowa ( 410 nm 410 nm \SI{410}{\nano\metre} ). Linie odpowiadające długościom fal mniejszym niż 400 nm 400 nm \SI{400}{\nano\metre} znajdują się w ultrafioletowej części widma i są niewidoczne dla ludzkiego oka.

Empiryczny wzór opisujący położenie (długość fali) λ λ \lambda linii emisyjnych wodoru w tej serii podany został w 1885 roku przez Johanna Balmera (1825–1898) i znany jest jako wzór Balmera (ang. Balmer formula)

1 λ = R H 1 2 2 1 n 2 , 1 λ = R H 1 2 2 1 n 2 , \frac{1}{\lambda}=R_{\text{H}}(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{n^2})\text{,}
6.32

gdzie RH=1,097 37107m-1RH=1,097 37107m-1 R_{\text{H}}=\SI[per-mode=reciprocal]{1,09737e7}{\per\metre} to stała Rydberga dla atomu wodoru (ang. Rydberg constant for hydrogen). We wzorze (Równanie 6.32) dodatnia liczba całkowita n n n przyjmuje wartości n = 3 4 5 6 n = 3 4 5 6 n=3,4,5,6 dla czterech widzialnych linii w tej serii. Seria linii emisyjnych opisywana przez wzór Balmera nazywana jest serią Balmera (ang. Balmer series) dla wodoru. Inne linie emisyjne wodoru odkryte zostały w XX wieku i opisywane są przez wzór Rydberga (ang. Rydberg formula), podsumowujący wszystkie wyniki doświadczalne

1 λ = R H 1 n f 2 1 n i 2 , gdzie  n i = n f + 1 n f + 2 n f + 3 1 λ = R H 1 n f 2 1 n i 2 , gdzie  n i = n f + 1 n f + 2 n f + 3 \frac{1}{\lambda}=R_{\text{H}}(\frac{1}{n^2_f}-\frac{1}{n^2_i})\text{, gdzie } n_i=n_f+1, n_f+2, n_f+3, \dots
6.33

Dla n f = 1 n f = 1 n_f=1 seria linii spektralnych nazywana jest serią Lymana (ang. Lyman series). Dla n f = 2 n f = 2 n_f=2 mamy do czynienia ze znaną już serią Balmera; n f = 3 n f = 3 n_f=3 odpowiada serii Paschena (ang. Paschen series), natomiast n f = 4 n f = 4 n_f=4 serii Bracketta (ang. Brackett series), a potem kolejno: serii Pfunda (ang. Pfund series) i serii Humphreysa (ang. Humphreys series). Wzór ten przewiduje nieskończenie wiele takich serii, jako że n f n f n_f może przybierać dowolną wartość całkowitą.

Wzór Rydberga dokładnie opisuje pozycje obserwowanych doświadczalnie linii widmowych atomu wodoru, jednakże na początku XX wieku nie potrafiono wyjaśnić, jaki jest jego sens fizyczny. Zrozumienie tego wzoru umożliwił dopiero zaproponowany przez Bohra w 1913 roku model atomu.

Przykład 6.9

Granice serii Balmera

Obliczmy największą i najmniejszą długość fali w serii Balmera.

Strategia rozwiązania

Możemy skorzystać z wzoru Rydberga lub z będącego jego szczególnym przypadkiem wzoru Balmera. Najdłuższą falę otrzymamy, gdy 1 n i 1 n i 1/n_i ma największą wartość, czyli dla n i = n f + 1 = 3 n i = n f + 1 = 3 n_i=n_f+1=3 , ponieważ n f = 2 n f = 2 n_f=2 w serii Balmera. Najkrótsza fala odpowiada najmniejszemu 1 n i 1 n i 1/n_i , czyli 1 n i 0 1 n i 0 1/n_i\to 0 , gdy n i n i n_i\to \infty .

Rozwiązanie

Najdłuższa fala
1λ=RH122132=1,097 37107m-11419λ=656,3nm.1λ=RH122132=1,097 37107m-11419λ=656,3nm. \frac{1}{\lambda}=R_{\text{H}}(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2})=\SI[per-mode=reciprocal]{1,09737e7}{\per\metre}\cdot(\frac{1}{4}-\frac{1}{9})\implies \lambda=\SI{656,3}{\nano\metre}\text{.}

Najkrótsza fala

1λ=RH1220=1,097 37107m-114λ=364,6nm.1λ=RH1220=1,097 37107m-114λ=364,6nm. \frac{1}{\lambda}=R_{\text{H}}(\frac{1}{2^2}-0)=\SI[per-mode=reciprocal]{1,09737e7}{\per\metre}\cdot\frac{1}{4}\implies \lambda=\SI{364,6}{\nano\metre}\text{.}

Znaczenie

Zauważmy, że między tymi granicami jest nieskończenie wiele linii widmowych.

Sprawdź, czy rozumiesz 6.9

Jakie są graniczne wartości długości fali w serii Lymana? Czy znajdują się one w zakresie widzialnym?

Kluczem do wyjaśnienia zagadki widm emisyjnych jest zrozumienie struktury atomu. W XIX wieku sądzono, że atomy są najmniejszymi i niepodzielnymi składnikami materii. Przekonanie to uległo zmianie po serii eksperymentów odkrywających istnienie cząstek subatomowych, takich jak elektrony, protony czy neutrony.

Elektron został odkryty w roku 1897 przez J. J. Thomsona (1856–1940) w eksperymencie z promieniami katodowymi, zwanym czasem eksperymentem z promieniowaniem β (ang. β-ray) – promieniowanie to jest w istocie strumieniem elektronów. W 1904 roku Thomson zaproponował pierwszy model struktury atomu, znany jako model „ciasta z rodzynkami”, w ramach którego atom opisywany był jako dodatnio naładowana materia, w której zanurzone były ujemnie naładowane elektrony (jak rodzynki w cieście). Około roku 1900, E. Rutherford (1871–1937) i, niezależnie, Paul Ulrich Villard (1860–1934) sklasyfikowali wszystkie znane wówczas rodzaje promieniowania jako promieniowanie α (ang. α-ray), β oraz γ (ang. γ-ray) (promieniowanie γ jest strumieniem wysokoenergetycznych fotonów). W 1907 r. Rutherford i Thomas Royds użyli metod spektroskopii, wykazując, że dodatnio naładowane cząstki promieniowania α (zwane cząstkami α (ang. α-particle)) są podwójnie zjonizowanymi atomami helu. W 1909 r. Rutherford, Ernest Marsden i Hans Geiger użyli cząstek α w słynnym eksperymencie, który obalił model Thomsona (patrz Pęd i zderzenia).

W eksperymencie Rutherforda (ang. Rutherford’s gold foil experiment; zwanym też eksperymentem Geigera-Marsdena) cząstki α padały na cienką, złotą folię i rozpraszane były przez znajdujące się w niej atomy (zobacz podrozdział Rodzaje zderzeń). Wychodzące po zderzeniu cząstki rejestrowane były przez otaczający tarczę ekran pokryty scyntylacyjną farbą (dokładny opis układu doświadczalnego znajduje się tu: Pęd i zderzenia). Gdy rozproszona cząstka uderzała w ekran, obserwowano mały rozbłysk światła. Licząc rozbłyski, określano, jaka część padających cząstek była rozproszona pod danym kątem. Gdyby model Thomsona był prawdziwy, żadne cząstki nie powinny ulegać wstecznemu rozpraszaniu. Jednakże w eksperymencie zaobserwowano, że mimo iż większość cząstek ulegała bardzo niewielkiemu rozproszeniu, istotna ich część rozpraszana była do tyłu, w kierunku źródła promieniowania. Taki wynik dało się wytłumaczyć jedynie, stwierdzając, że prawie cała masa oraz cały ładunek atomu skoncentrowane są w małej przestrzeni w jego środku.

W roku 1911 Rutherford zaproponował model atomu z jądrem (ang. nuclear model of the atom) o bardzo niewielkich rozmiarach, zawierającym cały ładunek dodatni atomu oraz prawie całą jego masę. Atom zawierał także niosące ładunek ujemny elektrony, znajdujące się w dużej odległości od jądra. Dziesięć lat później Rutherford zaproponował nazwę „proton” na jądro wodoru oraz „neutron” dla hipotetycznej neutralnej cząstki, która wiązałaby pozytywnie naładowane protony w jądrze (neutron odkryty został w 1932 r. przez Jamesa Chadwicka (1891–1935)). Rutherford został odkrywcą jądra atomowego, jednakże zaproponowany przez niego model nie wyjaśniał jeszcze wzoru Rydberga, opisującego linie emisyjne wodoru.

Model atomu wodoru Bohra (ang. Bohr’s model of the hydrogen atom), zaproponowany przez Nielsa Bohra (1885–1962) w 1913 roku, był pierwszym modelem zawierającym w sobie elementy wczesnej mechaniki kwantowej. W ramach tego modelu, łączącego klasyczny opis „planetarnego” ruchu elektronów wokół jądra z kwantową ideą fotonów, odtworzyć można wzór Rydberga, opisujący widmo emisyjne wodoru. Po odkryciu jądra przez Rutherforda Bohr zasugerował, że elektrony krążą wokół jądra, co wydawało się logiczną konsekwencją prawa Coulomba. Zauważmy, że siła oddziaływania elektrostatycznego pomiędzy przeciwnymi ładunkami ma tę samą postać co prawo uniwersalnego ciążenia Newtona, to znaczy, że maleje jak 1 r 2 1 r 2 1/r^2 , gdzie r r r jest odległością pomiędzy oddziałującymi ciałami. Na wzór Ziemi obiegającej Słońce elektron miałby obiegać jądro. Jednakże pomysł ten napotyka od razu poważną przeszkodę: ładunek poruszający się ruchem przyspieszonym (a takim jest ruch po okręgu) szybko wypromieniowuje swoją energię. Zbudowany w taki sposób atom wodoru nie byłby stabilny, elektron natychmiast spadłby na jądro. Co więcej, klasyczny ruch elektronu nie jest w stanie wyjaśnić dyskretnego widma emisyjnego wodoru.

Aby obejść te dwie trudności, Bohr zaproponował trzy postulaty dotyczące modelu (ang. postulates of Bohr’s model):

  1. Elektron o ładunku ujemnym porusza się wokół dodatnio naładowanego jądra (protonu) po orbitach kołowych.
  2. Dozwolone są jedynie orbity spełniające pierwszy warunek kwantowania: na n n n -tej orbicie moment pędu L n L n L_n elektronu może przyjmować tylko dyskretne wartości
    L n = n , gdzie  n = 1 2 3 L n = n , gdzie  n = 1 2 3 L_n=n\hbar\text{, gdzie }n=1,2,3,\dots
    6.34
    W postulacie tym zawarte jest kwantowanie momentu pędu. Oznaczając promień n n n -tej orbity przez r n r n r_n i prędkość elektronu na tej orbicie przez v n v n v_n , pierwszy warunek kwantowania możemy zapisać w następujący sposób
    m e v n r n = n . m e v n r n = n . m_ev_nr_n=n\hbar\text{.}
    6.35
    Elektron znajdujący się na dozwolonej orbicie nie traci energii przez promieniowanie.
  3. Elektron może przechodzić z orbity, na której jego energia wynosi E n E n E_n , na inną, gdzie energia ta równa jest E m E m E_m . Gdy atom absorbuje foton, elektron przechodzi na orbitę o wyższej energii. Gdy atom emituje foton, elektron spada na orbitę o energii niższej. Przejścia takie zachodzą natychmiastowo. Dopuszczalne przejścia spełniają następujący, drugi warunek kwantowania
    h ν = | E n E m | , h ν = | E n E m | , h\nu=|E_n-E_m|\text{,}
    6.36
    gdzie h ν h ν h\nu jest energią wyemitowanego lub zaabsorbowanego fotonu o częstotliwości ν ν \nu .

Te trzy postulaty wczesnej kwantowej teorii atomu wodoru pozwalają wyprowadzić nie tylko wzór Rydberga, lecz także wartość stałej Rydberga oraz inne ważne własności, takie jak: jego poziomy energetyczne, energię jonizacji oraz wielkości orbit elektronowych. Wyprowadzenie to oparte jest na klasycznym opisie elektronu jako cząstki poddanej sile Coulomba i spełniającej prawa Newtona oraz klasyczne zasady zachowania energii i pędu.

Orbity elektronu

Aby wyznaczyć promień r n r n r_n i prędkość elektronu na n n n -tej orbicie, założymy, że jego ruch można opisywać przy pomocy klasycznej mechaniki newtonowskiej. Elektron, będący częstką o ładunku ujemnym, poddany jest sile elektrostatycznej, przyciągającej go do jądra, znajdującego się w środku jego orbity kołowej. Oddziaływanie elektrostatyczne pełni więc rolę siły dośrodkowej, powodującej ruch elektronu po okręgu

m e v n 2 r n = 1 4 π ε 0 e 2 r n 2 , m e v n 2 r n = 1 4 π ε 0 e 2 r n 2 , \frac{m_ev^2_n}{r_n}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{e^2}{r^2_n}\text{,}
6.37

gdzie e e e oznacza wartość ładunku elementarnego. Ładunek elektronu i protonu mają tę samą wartość bezwzględną | q | = e | q | = e |q|=e . Korzystając z Równania 6.37 oraz z pierwszego warunku kwantyzacji danego przez Równanie 6.35, możemy wyznaczyć prędkość v n v n v_n i promień r n r n r_n

v n = 1 4 π ε 0 e 2 1 n , v n = 1 4 π ε 0 e 2 1 n , v_n=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{e^2}{\hbar}\cdot\frac{1}{n}\text{,}
6.38
r n = 4 π ε 0 2 m e e 2 n 2 . r n = 4 π ε 0 2 m e e 2 n 2 . r_n=4\pi\epsilon_0\frac{\hbar^2}{m_ee^2}n^2\text{.}
6.39

Zauważmy, że wyznaczone w ten sposób promień orbity i prędkość elektronu zależą tylko od wskaźnika n n n numerującego orbity, ponieważ wszystkie inne wielkości w powyższych wzorach to podstawowe stałe fizyczne. Widzimy, że promień orbity rośnie proporcjonalnie do kwadratu n n n oraz że prędkość elektronu maleje, gdy zwiększa się promień. Promień najmniejszej orbity a 0 a 0 a_0 zwany jest promieniem Bohra (ang. Bohr radius of hydrogen). Jego wartość otrzymujemy, podstawiając n = 1 n = 1 n=1 w Równaniu 6.39

a 0 = 4 π ε 0 2 m e e 2 = 5,29 10 -11 m = 0,529 Å . a 0 = 4 π ε 0 2 m e e 2 = 5,29 10 -11 m = 0,529 Å . a_0=4\pi\epsilon_0\frac{\hbar^2}{m_ee^2}=\SI{5,29e-11}{\metre}=\SI{0,529}{\angstrom}\text{.}
6.40

Korzystając z powyższej definicji a 0 a 0 a_0 w Równaniu 6.39, możemy wyrazić promień n n n -tej orbity w prostszy sposób

r n = a 0 n 2 . r n = a 0 n 2 . r_n=a_0n^2\text{.}
6.41

Oznacza to, że orbity elektronu są skwantowane, ponieważ ich promienie przyjmują tylko określone wartości a 0 , 4 a 0 , 9 a 0 , 16 a 0 , . . . a 0 , 4 a 0 , 9 a 0 , 16 a 0 , . . . dane wzorem (Równanie 6.41).

Poziomy energetyczne

Całkowita energia E n E n E_n elektronu na n n n -tej orbicie jest sumą jego energii kinetycznej E k n E k n E_{\text{k}n} i potencjalnej E p n E p n E_{\text{p}n} . Korzystając z Równania 6.38, otrzymujemy

E k n = 1 2 m e v n 2 = 1 32 π 2 ε 0 2 m e e 4 2 1 n 2 . E k n = 1 2 m e v n 2 = 1 32 π 2 ε 0 2 m e e 4 2 1 n 2 . E_{\text{k}n}=\frac{1}{2}m_ev_n^2=\frac{1}{32\pi^2\epsilon_0^2}\cdot\frac{m_ee^4}{\hbar^2}\cdot\frac{1}{n^2}\text{.}
6.42

Jak wiemy z wcześniejszych rozdziałów, energia potencjalna oddziaływania elektrostatycznego pomiędzy dwoma ładunkami q 1 q 1 q_1 i q 2 q 2 q_2 znajdującymi się w odległości r 12 r 12 r_{12} od siebie wynosi 14πε0q1q2r1214πε0q1q2r12 1/(4\pi\epsilon_0)\cdot q_1q_2/r_{12}. W naszym przypadku q 1 = + e q 1 = + e q_1=+e jest ładunkiem jądra atomu wodoru (ładunkiem protonu), q 2 = e q 2 = e q_2=-e jest ładunkiem elektronu, a r 12 = r n r 12 = r n r_{12}=r_n jest promieniem n n n -tej orbity. Korzystając z Równania 6.39, wyznaczamy energię potencjalną elektronu

Epn=14πε0e2rn=116π2ε02mee421n2.Epn=14πε0e2rn=116π2ε02mee421n2. E_{\text{p}n}=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{e^2}{r_n}=-\frac{1}{16\pi^2\epsilon_0^2}\cdot\frac{m_ee^4}{\hbar^2}\cdot\frac{1}{n^2}\text{.}
6.43

Energię potencjalną otrzymujemy, sumując równania: Równanie 6.42 i Równanie 6.43

E n = E k n + E p n = 1 32 π 2 ε 0 2 m e e 4 2 1 n 2 . E n = E k n + E p n = 1 32 π 2 ε 0 2 m e e 4 2 1 n 2 . E_n=E_{\text{k}n}+E_{\text{p}n}=-\frac{1}{32\pi^2\epsilon_0^2}\cdot\frac{m_ee^4}{\hbar^2}\cdot\frac{1}{n^2}\text{.}
6.44

Zauważmy, że energia ta zależy tylko od wskaźnika n n n , ponieważ wszystkie inne symbole oznaczają podstawowe stałe fizyczne. Wartość stałego czynnika w Równaniu 6.44 wynosi

E 0 = 1 32 π 2 ε 0 2 m e e 4 2 = 1 8 ε 0 2 m e e 4 h 2 = 2,17 10 -18 J = 13,6 eV . E 0 = 1 32 π 2 ε 0 2 m e e 4 2 = 1 8 ε 0 2 m e e 4 h 2 = 2,17 10 -18 J = 13,6 eV . E_0=\frac{1}{32\pi^2\epsilon^2_0}\cdot\frac{m_ee^4}{\hbar^2}=\frac{1}{8\epsilon_0^2}\cdot\frac{m_ee^4}{h^2}=\SI{2,17e-18}{\joule}=\SI{13,6}{\electronvolt}\text{.}
6.45

Energię n n n -tej orbity można wyrazić przez ten stały czynnik w następujący sposób

E n = E 0 1 n 2 . E n = E 0 1 n 2 . E_n=-E_0\frac{1}{n^2}\text{.}
6.46

Widzimy, że energie elektronów w atomie wodoru są skwantowane i mogą przyjmować jedynie dyskretne wartości E 0 E 0 4 E 0 9 E 0 16 E 0 E 0 4 E 0 9 E 0 16 -E_0, -E_0/4, -E_0/9, -E_0/16, \dots dane wzorem (Równanie 6.46). Ten zbiór dozwolonych wartości energii elektronu nazywamy spektrum energetycznym wodoru (ang. energy spectrum of hydrogen) (Ilustracja 6.17). Wskaźnik n n n , numerujący poziomy energetyczne, nazywany jest liczbą kwantową (ang. quantum number) energii. Najmniejsza wartość energii odpowiada n = 1 n = 1 n=1 i nazywana jest energią stanu podstawowego atomu wodoru (ang. ground state energy of the hydrogen atom). Jej wartość wynosi

E 1 = E 0 = 13,6 eV . E 1 = E 0 = 13,6 eV . E_1=-E_0=-\SI{13,6}{\electronvolt}\text{.}
6.47

Elektron w atomie wodoru może mieć energie wyższe niż energia stanu podstawowego. Odpowiadające im stany nazywane są stanami wzbudzonymi atomu wodoru (ang. excited energy states of a hydrogen atom).

Nad stanem podstawowym jest nieskończenie wiele stanów wzbudzonych, odpowiadających nieskończonej liczbie wartości n n n we wzorze (Równanie 6.46). Mówimy, że elektron jest w pierwszym stanie wzbudzonym, gdy jego energia wynosi E 2 E 2 E_2 (dla n = 2 n = 2 n=2 ). W drugim stanie wzbudzonym energia wynosi E 3 E 3 E_3 (dla n = 3 n = 3 n=3 ). Uogólniając, w nn n-tym stanie wzbudzonym energia wynosi E n + 1 E n + 1 E_{n+1} . Nie istnieje najwyższy stan wzbudzony, jednakże istnieje granica energii dla n n n dążącego do nieskończoności w Równaniu 6.46: limnE0n2=0limnE0n2=0 \lim_{n\to\infty}-E_0/n^2=0. W granicy tej elektron nie jest już związany w atomie wodoru i staje się elektronem swobodnym. Najmocniej związany jest elektron w stanie podstawowym, gdy jego energia dana jest Równaniem 6.47. Aby wyrwać elektron z atomu, musimy mu dostarczyć energii E jonizacji E jonizacji E_{\text{jonizacji}} , równej

E jonizacji = E E 1 E jonizacji = E 1 = E 0 = E 0 = 13,6 eV . E jonizacji = E E 1 E jonizacji = E 1 = E 0 = E 0 = 13,6 eV . E_{\text{jonizacji}}=E_{\infty}-E_1 \implies E_{\text{jonizacji}}=-E_1=-(-E_0)=E_0=\SI{13,6}{\electronvolt}\text{.}
6.48

Energia potrzebna do uwolnienia elektronu z atomu nazywana jest energią jonizacji (ang. ionization energy). Wynik uzyskany w Równaniu 6.48 zgadza się z wartością mierzoną eksperymentalnie.

 Rysunek przedstawia widmo energetyczne atomu wodoru. Oś Y oznacza energie wyrażone w eV. Linie horyzontalne oznaczają poziomy energetyczne elektronów w atomie.Jest tylko jeden stan podstawowy, oznaczony n = 1 o energii -13.6 eV i nieskończenie wiele skwantowanych poziomów wzbudzonych. Stany numerowane są liczbami kwantowymi n = 1, 2, 3, 4 a ich gęstość rośnie w miarę zbliżania się do wartości 0 eV. Seria Lymana oznaczona jest jako strzałki opisujące przejścia na poziom n=1, seria Balmera na n=2 (przy energii -3.4 eV) a seria Paschena na n=3 przy -1.51 eV.
Ilustracja 6.17 Spektrum energetyczne atomu wodoru. Poziomy energii (linie poziome) odpowiadają stanom związanym w atomie. Jest jeden stan podstawowy, n = 1 n = 1 n=1 i nieskończenie wiele stanów wzbudzonych. Stany numerowane są liczbami kwantowymi n = 1 2 3 4 n = 1 2 3 4 n=1, 2, 3, 4, \dots . Linie pionowe pokazują dozwolone przejścia pomiędzy stanami z emisją fotonu, o długościach fal odpowiadających widmu liniowemu atomu wodoru.

Widmo emisyjne atomu wodoru

Aby wyznaczyć długość fali promieniowania emitowanego przez atom, gdy elektron przechodzi z n n n -tej orbity na orbitę o liczbie kwantowej m m m , użyjemy drugiego warunku kwantyzacji Bohra oraz wzoru (Równanie 6.46) na energię. Emisja energii z atomu może nastąpić tylko, gdy elektron przechodzi ze stanu o wyższej energii do stanu o energii niższej ( E n > E m E n > E m E_n>E_m i n > m n > m n>m ). W wyniku takiego przejścia foton unosi energię, będącą różnicą energii stanów, pomiędzy którymi zaszło przejście

h ν = | E n E m | = E n E m = E 0 1 n 2 + E 0 1 m 2 = E 0 ( 1 m 2 1 n 2 ) . h ν = | E n E m | = E n E m = E 0 1 n 2 + E 0 1 m 2 = E 0 ( 1 m 2 1 n 2 ) .
6.49

Teraz pozostaje tylko wyrazić energię fotonu przez jego długość fali, h ν = h c / λ h ν = h c / λ h\nu=hc/\lambda , i podzielić obie strony Równania 6.49 przez h c h c hc . W wyniku otrzymujemy

1 λ = E 0 h c 1 m 2 1 n 2 . 1 λ = E 0 h c 1 m 2 1 n 2 . \frac{1}{\lambda}=\frac{E_0}{hc}(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2})\text{.}
6.50

Wartość występującej w tym równaniu stałej wynosi

E0hc=13,6eV4,13610-15eVs2,997108ms=1,097107m-1.E0hc=13,6eV4,13610-15eVs2,997108ms=1,097107m-1. \frac{E_0}{hc}=\frac{\SI{13,6}{\electronvolt}}{\SI{4,136e-15}{\electronvolt\second}\cdot \SI{2,997e8}{\metre\per\second}}=\SI[per-mode=reciprocal]{1,097e7}{\per\metre}\text{.}
6.51

Ta wielkość to dokładnie stała Rydberga R H R H R_{\text{H}} , występująca w Równaniu 6.33. Wzór z Równania 6.50 jest równoważny empirycznemu wzorowi Rydberga, ponieważ dla danego m m m mamy n = m + 1 m + 2 n = m + 1 m + 2 n=m+1, m+2, \dots . W ten sposób model atomu Bohra pozwala nam wyprowadzić stałą Rydberga z pierwszych zasad i wyrazić ją przez podstawowe stałe fizyczne. Przejścia między dozwolonymi orbitami przedstawione są na Ilustracji 6.17.

Możemy powtórzyć rozumowanie, które doprowadziło do Równania 6.50, aby uzyskać długości fal promieniowania absorbowanego przez atomy wodoru. Wzór (Równanie 6.50) będzie wówczas opisywał pozycje linii w widmie absorpcyjnym. Jedyna różnica polegać będzie na tym, że tym razem m m m oznaczać będzie orbitę przed przejściem, a liczba kwantowa n n n wskazywać będzie orbitę, na którą przechodzi elektron. Różnica energii elektronu na tych orbitach równa jest energii zaabsorbowanego fotonu.

Przykład 6.10

Rozmiar i energia atomu wodoru w stanie wzbudzonym

Jak zmieni się energia i rozmiar atomu wodoru, gdy będąc w stanie podstawowym zaabsorbuje foton o długości fali 93,7 nm 93,7 nm \SI{93,7}{\nano\metre} , odpowiadający linii w serii Lymana? Jaka będzie energia jonizacji atomu w uzyskanym w ten sposób stanie wzbudzonym? Odpowiedź podamy w odpowiednich jednostkach oraz w stosunku do wielkości opisujących stan podstawowy.

Strategia rozwiązania

Przed absorpcją atom jest w stanie podstawowym. Oznacza to, że przejście zachodzi między orbitą m = 1 m = 1 m=1 a pewną wyższą, n n n -tą orbitą. W pierwszym kroku wyznaczymy n n dla danej długości fali λ = 93,7 nm λ = 93,7 nm \lambda=\SI{93,7}{\nano\metre} , korzystając ze wzoru (Równanie 6.50). Następnie, korzystając z Równania 6.46, wyznaczymy energię E n E n E_n stanu wzbudzonego oraz energię jonizacji E jonizacji, n E jonizacji, n E_{\text{jonizacji,}n} . Równanie 6.41 pozwoli nam natomiast wyznaczyć promień r n r n r_n orbity w stanie wzbudzonym.

Rozwiązanie

Podstawmy m = 1 m = 1 m=1 i λ = 93,7 nm λ = 93,7 nm \lambda=\SI{93,7}{\nano\metre} do Równania 6.50 i wyznaczmy z niego n n n . Oczywiście ze względu na zaokrąglenia nie powinniśmy oczekiwać dokładnej wartości całkowitej, ale nasza odpowiedź powinna być jej bardzo bliska
1λ=RH1121n2n=111λRH,1λ=RH1121n2n=111λRH, \frac{1}{\lambda}=R_{\text{H}}(\frac{1}{1^2}-\frac{1}{n^2})\implies n=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{\lambda R_{\text{H}}}}} \text{,}
n=11193,710-9m1,097107m-1=6,07n=6.n=11193,710-9m1,097107m-1=6,07n=6. n=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{\SI{93,7e-9}{\metre}\cdot \SI[per-mode=reciprocal]{1,097e7}{\per\metre}}}}=\num{6,07}\implies n=6\text{.}

Promień orbity o n = 6 n = 6 n=6 równy jest

r n = a 0 n 2 = a 0 6 2 = 36 a 0 = 36 0,529 10 -10 m = 19,04 10 -10 m 19 Å . r n = a 0 n 2 = a 0 6 2 = 36 a 0 = 36 0,529 10 -10 m = 19,04 10 -10 m 19 Å . r_n = a_0n^2=a_0 6^2=36 a_0=36\cdot \SI{0,529e-10}{\metre}=\SI{19,04e-10}{\metre}\cong \SI{19}{\angstrom}\text{.}

Widzimy więc, że po zaabsorbowaniu fotonu o długości fali 93,7 nm 93,7 nm \SI{93,7}{\nano\metre} rozmiar atomu wodoru w stanie n = 6 n = 6 n=6 jest 36 36 36 razy większy niż w stanie podstawowym. Energia piątego stanu wzbudzonego ( n = 6 n = 6 n=6 ) wynosi

E n = E 0 n 2 = E 0 6 2 = E 0 36 = 13,6 eV 36 0,378 eV . E n = E 0 n 2 = E 0 6 2 = E 0 36 = 13,6 eV 36 0,378 eV . E_n = -\frac{E_0}{n^2}=-\frac{E_0}{6^2}=-\frac{E_0}{36}=-\frac{\SI{13,6}{\electronvolt}}{36} \cong -\SI{0,378}{\electronvolt}\text{.}

Po zaabsorbowaniu fotonu energia atomu wodoru jest wyższa od energii stanu podstawowego. Jonizacja atomu w piątym stanie wzbudzonym wymaga 36 36 36 razy mniej energii niż jonizacja atomu w stanie podstawowym

E jonizacji, 6 = E 6 = 0,378 eV = 0,378 eV . E jonizacji, 6 = E 6 = 0,378 eV = 0,378 eV . E_{\text{jonizacji,}6}=-E_6=-(-\SI{0,378}{\electronvolt})=\SI{0,378}{\electronvolt}\text{.}

Znaczenie

W powyższy sposób możemy przeanalizować dowolne linie w widmie atomu wodoru. Doświadczalne pomiary linii spektralnych dostarczają nam więc informacji na temat struktury tego atomu.

Sprawdź, czy rozumiesz 6.10

Jaką wartość prędkości oraz energii kinetycznej elektronu przewiduje model Bohra w pierwszym stanie wzbudzonym atomu wodoru? Ile wynosi jego moment pędu?

Zaproponowany przez Bohra model atomu opisuje poprawnie także widma jonów wodoropodobnych. Jony wodoropodobne (ang. hydrogen-like ions) powstają z atomów o liczbie atomowej Z Z Z większej niż jeden (dla wodoru Z = 1 Z = 1 Z=1 ), po usunięciu wszystkich elektronów poza jednym. Przykładowo elektrycznie obojętny atom helu ma liczbę atomową Z = 2 Z = 2 Z=2 . Oznacza to, że znajdują się w nim dwa elektrony krążące po orbitach wokół jądra o ładunku q = + Z e q = + Z e q=+Ze . Gdy jeden z elektronów zostanie wyrwany z atomu (mówimy, że atom został jednokrotnie zjonizowany), powstaje wodoropodobna struktura atomowa, w której wokół tego jądra krąży tylko jeden elektron. Możemy teraz dla takiego jonu powtórzyć poprzednio przeprowadzone rozumowanie, zmieniając tylko ładunek jądra na + Z e + Z e +Ze , zaczynając ponownie od wzoru (Równanie 6.37), aby otrzymać następujące rezultaty

r n = a 0 Z n 2 , r n = a 0 Z n 2 , r_n=\frac{a_0}{Z}n^2\text{,}
6.52

gdzie a 0 a 0 a_0 jest promieniem Bohra

E n = Z 2 E 0 1 n 2 , E n = Z 2 E 0 1 n 2 , E_n=-Z^2E_0\frac{1}{n^2}\text{,}
6.53

gdzie E 0 E 0 E_0 jest energią stanu podstawowego. Równania te stanowią dobre przybliżenie dla jąder o niewielkich liczbach atomowych Z Z Z .

Model Borha ma duże znaczenie historyczne w rozwoju nauki, gdyż był pierwszym modelem atomu zakładającym skwantowanie orbit elektronu i wprowadzającym pojęcie atomowych liczb kwantowych. Ma on jednak istotne wady i ograniczenia: zawiera arbitralne założenie o tym, że elektrony znajdujące się na dozwolonych orbitach nie tracą energii przez promieniowanie, łączy idee kwantowe z klasycznym opisem ruchu elektronu w atomie. Duży sukces, jakim było opisanie widma wodoru, spowodował jednak poszukiwania pełniejszej teorii oraz dalszy rozwój mechaniki kwantowej, między innymi wprowadzenie zupełnie nowego pojęcia „fal materii”.

Cytowanie i udostępnianie

Ten podręcznik nie może być wykorzystywany do trenowania sztucznej inteligencji ani do przetwarzania przez systemy sztucznej inteligencji bez zgody OpenStax lub OpenStax Poland.

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-3/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-3/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.