5.9 Energia relatywistyczna

Energia kinetyczna i ostateczne ograniczenie prędkości

Zgodnie z pierwszym postulatem szczególnej teorii względności prawa fizyki są zachowane we wszystkich inercjalnych układach. Einstein wykazał, że prawo zachowania energii obowiązuje także w przypadkach relatywistycznych, ale dla energii wyrażonej za pomocą masy i prędkości zgodnych ze szczególną teorią względności.

Rozważmy najpierw wyrażenie na relatywistyczną energię kinetyczną. Ponownie prędkość oznaczymy jako $u$, dla odróżnienia od prędkości $v$ w dwóch układach odniesienia. W fizyce klasycznej energia kinetyczna jest związana z masą i prędkością za pomocą równania $E_{\text{k}}=1∕2\cdot m{u}^2$. Wyrażenie na energię kinetyczną z perspektywy relatywistycznej możemy otrzymać z zależności między energią a pracą. Według tej zależności wypadkowa praca w danym układzie zamienia się w energię kinetyczną. Klasyczne prawo Newtona $\overrightarrow{F}=d\overrightarrow{p}∕dt$ musi pozostać prawdziwe także w teorii względności (ale z pędem relatywistycznym) ze względu na zasadę zachowania pędu oraz zasadę akcji i reakcji. Jeżeli wyrazimy siłę przyspieszającą cząstkę do pewnej prędkości ze stanu spoczynku jako $\overrightarrow{F}=md\left(\gamma \overrightarrow{u}\right)∕dt$, to praca wykonana nad tą cząstką powinna być równa jej energii kinetycznej. W przypadku ruchu jednowymiarowego zapiszemy to jako

Całkując to wyrażenie przez części, otrzymujemy

Wzór na energię można również otrzymać, analizując tylko zderzenia elastyczne z wykorzystaniem zasady zachowania w różnych układach odniesienia i porównując z wynikiem klasycznym dla małych prędkości.

Gdy ciało znajduje się w spoczynku, czyli jego prędkość $u=0\mathrm{m}∕\mathrm{s}$ i

także jego $E_{\text{k rel}}$ jest równa zero, jak zakładaliśmy. Jednak wyrażenie na relatywistyczną energię kinetyczną nie przypomina klasycznej zależności $E_{\text{k}}=1∕2\cdot m{u}^2$. Aby pokazać, że dla małych prędkości relatywistyczny wzór uprości się do klasycznego, wykorzystamy dwumian Newtona, by otrzymać przybliżenie dla ${\left(1+\epsilon \right)}^n$, prawdziwe dla małych $\epsilon$

Podstawiając $\epsilon =-u^2∕c^2$ i $n=-1∕2$, otrzymujemy, że $\gamma$ dla niewielkich prędkości jest małe i spełnia równanie

Dwumian Newtona pozwala na rozwinięcie danej wielkości w nieskończony szereg. W niektórych przypadkach, jak przy niewielkich prędkościach, większość wyrazów szeregu jest bardzo mała. Tak więc wyprowadzone wyrażenie może nie jest idealne, ale stanowi bardzo dokładne przybliżenie. W związku z tym dla małych prędkości

Podstawienie tego wyrażenia do wzoru na relatywistyczną energię kinetyczną daje

co dowodzi słuszności naszego założenia.

Dużo ciekawsze jest jednak to, co dzieje się z energią kinetyczną, gdy prędkość ciała zbliża się do prędkości światła. Wiemy, że $\gamma$ dąży do nieskończoności dla $u$ dążącego do $c$, więc $E_{\text{k}}$ także dąży wtedy do nieskończoności (Ilustracja 5.26). Wzrost energii relatywistycznej jest znacznie większy niż w przypadku energii klasycznej, gdy $u$ zbliża się do $c$. Oznacza to, że do przyspieszenia ciała do takich prędkości potrzebna jest nieskończona ilość pracy.

Prędkość światła jest więc ostatecznym ograniczeniem prędkości cząsteczki o niezerowej masie. Wniosek ten jest zgodny z otrzymywanymi przez nas wynikami, z których wynika, że prędkości mniejsze od prędkości światła zawsze dodają się do wartości mniejszej od $c$. Zarówno relatywistyczna forma energii kinetycznej, jak i ograniczenie prędkości zostały wielokrotnie udowodnione doświadczalnie. Nieważne, jak dużo energii wkłada się w przyspieszenie danej masy, jej prędkość może być jedynie zbliżona do prędkości światła, ale nigdy jej nie osiągnie.

Ilustracja 5.26 Wykres przedstawia zależność energii kinetycznej (relatywistycznej i klasycznej) od prędkości dla wartości bliskich prędkości światła.

Czy istnieje powód, aby przyspieszać cząstki do prędkości równych $99\mathrm{\%}$ czy $\mathrm{99,9}\mathrm{\%}$ prędkości światła i wyższych? Odpowiedź brzmi: tak. Tego typu eksperymenty dostarczają ogromnych ilości informacji. Energia związana z cząstkami o dużych prędkościach może zostać zmieniona w inną, a nawet spowodować powstanie zupełnie nowych cząstek. W Wielkim Zderzaczu Hadronów (Ilustracja 5.27) naładowane cząstki są przyspieszane przed wprowadzeniem ich do tunelu o kształcie pierścienia. Tam dwie wiązki cząstek są rozpędzane do właściwej prędkości ($\mathrm{99,7}\mathrm{\%}$ prędkości światła) w przeciwnych kierunkach i zderzane, co prowadzi do powstania nowych rodzajów cząstek. Większość naszej wiedzy na temat struktury materii i egzotycznych cząstek pochodzi właśnie ze zderzeń w akceleratorach. Obecnie najbardziej oczekiwanym wynikiem tych eksperymentów jest potwierdzenie teorii wielkiej unifikacji. Do tematu cząstek egzotycznych i ich właściwości wrócimy w dalszej części podręcznika.

Ilustracja 5.27 Europejska Organizacja Badań Jądrowych CERN (od pierwotnej nazwy francuskiej Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire) posiada największy zderzacz cząstek na świecie, który znajduje się na granicy Francji i Szwajcarii.

Całkowita energia relatywistyczna

Wzór na energię kinetyczną może być przekształcony do

W artykule opublikowanym w 1905 roku Einstein dowiódł, że jeśli energia cząstki zmieni się o $\Delta E$, to jej masa zmieni się o $\Delta m=\Delta E∕c^2$. Od tego czasu zostało wielokrotnie potwierdzone doświadczalnie, że $m{c}^2$ odpowiada energii cząstki o masie $m$ będącej w spoczynku. Za przykład weźmy neutralny pion o masie spoczynkowej $m$: w momencie jego rozpadu powstają dwa fotony, które mają zerową masę, ale zawierają w sobie energię $m{c}^2$ pionu. Podobnie gdy cząstka o masie $m$ rozpadnie się na co najmniej dwie cząstki o mniejszej masie całkowitej, ich energia kinetyczna będzie odpowiadała spadkowi masy. Tak więc $E$ jest całkowitą energią relatywistyczną cząstki, a $m{c}^2$ jest jej energią spoczynkową.

Tak wygląda słynne równanie Einsteina, które jako pierwsze pokazało związek między masą a energią ciała. Konsekwencją tej zależności jest wzrost masy spoczynkowej ciała, w którym magazynowana jest energia. Co więcej, masa spoczynkowa może zostać zniszczona w celu uwolnienia energii w niej związanej. Równania opisujące energię relatywistyczną, będące następstwem tych zależności, podobnie jak dowodzące je eksperymenty są tak przełomowe, że przez wiele lat nie wchodziły do kanonu fizyki. Warto zauważyć, że Einstein doskonale rozumiał swą teorię i opisał jej znaczenie i konsekwencje.

Praktyczne zastosowania zamiany masy w energię, takie jak broń jądrowa i energetyka jądrowa, są nam dobrze znane. Gdy Einstein ogłaszał swoją teorię na temat poprawnej formy energii relatywistycznej, istniały już podobne zastosowania i niektóre z nich zostały przez niego opisane. Promieniowanie jądrowe odkryto dekadę wcześniej, a pochodzenie jego energii było tajemnicą. Dzieje się tak, ponieważ podczas procesów jądrowych część masy ulega zniszczeniu i zostaje uwolniona energia przenoszona przez promieniowanie jądrowe. Jednak zredukowana masa jest tak mała, że trudno jest zauważyć jej ubytek. Einstein zasugerował, że ten proces może służyć jako źródło energii w promieniotwórczych związkach chemicznych badanych w tym okresie. Działo się to na wiele lat przed wykorzystaniem tego zjawiska do produkcji energii (Ilustracja 5.28).

Ilustracja 5.28 Zarówno (a) Słońce, jak i (b) elektrownia jądrowa wykorzystują redukcję masy do produkcji energii – Słońce poprzez reakcje termojądrowe, a elektrownia dzięki rozszczepianiu cięższych jąder atomowych na lżejsze jądra atomowe.

Ze względu na związek między energią spoczynkową a masą, bardziej niż jako oddzielną wielkość, rozważamy masę jako formę energii. Przed pracą Einsteina nic nie wskazywało na to, że równoważność masy i energii jest podstawą procesów zachodzących w Słońcu, podobnie jak procesów towarzyszących rozpadowi jądrowemu i procesów zachodzących w jądrze Ziemi.

Energia magazynowana i potencjalna

Co dzieje się z energią magazynowaną w ciele znajdującym się w spoczynku, jak w przypadku ładowania baterii czy energii związanej w ściśniętej sprężynie zabawkowego pistoletu? Energia ta jest częścią energii całkowitej, a przez to wpływa na masę spoczynkową danego ciała. Cała energia związana w ciele i potencjalna staje się masą w układzie. Pozornie sprzeczna zasada zachowania masy (a więc zakładająca, że masa całkowita jest stała) była jednym z praw zweryfikowanych przez dziewiętnastowieczną naukę. Dlaczego wcześniej nie zauważono jej błędności? Następujący przykład pozwoli na lepsze zrozumienie tego zagadnienia.

Relatywistyczne powiązanie energii i pędu

Wiemy, że klasycznie zdefiniowana energia kinetyczna i pęd są ze sobą powiązane w następujący sposób

W podejściu relatywistycznym zależność między energią a pędem otrzymujemy poprzez algebraiczne przekształcenia opisujących je wzorów

gdzie $E$ jest całkowitą energią relatywistyczną opisaną wzorem $E=m{c}^2∕\sqrt{1-u^2∕c^2}$, a $p$ to pęd relatywistyczny. Ta zależność jest bardziej skomplikowana niż jej klasyczne ujęcie, ale jej analiza przynosi ciekawe wnioski. Po pierwsze, energia całkowita jest związana z pędem i masą spoczynkową. Gdy ciało pozostaje w spoczynku, jego pęd wynosi zero, a energia całkowita opisywana jest jedynie przez człon związany z masą: $m{c}^2$, co pokrywa się ze wzorem na opisywaną wcześniej energię spoczynkową (potencjalną). W trakcie przyspieszania pęd ciała rośnie, a razem z nim energia całkowita. Przy dużych prędkościach człon dotyczący masy ${\left(m{c}^2\right)}^2$ jest tak mały w porównaniu z członem zawierającym pęd ${\left(pc\right)}^2$, że można go pominąć, a więc $E=pc$ w przypadku prędkości relatywistycznych.

Jeżeli założymy rozdzielność pędu i masy, możemy określić następstwa równania $E^2={\left(pc\right)}^2+{\left(m{c}^2\right)}^2$ dla cząstki o zerowej masie. Jeżeli przyjmiemy $m=0\mathrm{kg}$, to $E=pc$ lub $p=E∕c$. W naturze występuje wiele cząstek o takiej własności i jednymi z nich są fotony, które możemy opisać jako paczki promieniowania elektromagnetycznego. Kolejną konsekwencją takiej formy równania energii jest warunek przemieszczania się cząstki z prędkością światła. Dokładna analiza równania $E^2={\left(pc\right)}^2+{\left(m{c}^2\right)}^2$ prowadzi między innymi do pojęcia antycząstki (ujemna energia $E⟶-E$). Wykracza ono poza zakres tego podręcznika, jednak należy pamiętać, jak duży wpływ ma na szczególną teorię względności.