William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

5.9 Energia relatywistyczna

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

wyjaśniać, jak zależność między energią i pracą prowadzi do wyrażenia na relatywistyczną energię kinetyczną danego ciała;
pokazywać, jakie są podobieństwa i różnice między energią określoną w sposób relatywistyczny a określoną klasycznie i w jaki sposób energia nakłada ograniczenie na prędkość ciała o niezerowej masie;
opisywać, w jaki sposób energia cząstki jest powiązana z jej masą i prędkością;
opisywać równoważność masy i energii oraz jej praktyczne konsekwencje.

Tokamak (ros. тороидальная камера с магнитными катушками, czyt. Toroidalnaja Kamiera s Magnitnymi Katuszkami – toroidalna komora z cewką magnetyczną) przedstawiony na Ilustracji 5.25 jest pewnym rodzajem eksperymentalnego reaktora syntezy termojądrowej, który może pozyskiwać energię z masy. Reaktory jądrowe są dowodem na zależność między energią a materią.

Zasada zachowania energii jest jedną z najważniejszych zasad w fizyce. Energia nie tylko posiada wiele ciekawych form, ale też może być zamieniana z jednej formy w drugą. Wiemy, że w podejściu klasycznym energia całkowita w danym układzie pozostaje niezmienna. W ujęciu relatywistycznym energia jest zachowana, ale równoważność masy i energii musi zostać wzięta pod uwagę, zwłaszcza w takich przypadkach jak procesy zachodzące w reaktorze jądrowym. Energia relatywistyczna jest określona w taki sposób, aby możliwe było jej zachowanie we wszystkich inercjalnych układach, podobnie jak w przypadku pędu. Konsekwencją tego jest powiązanie wielu podstawowych wielkości fizycznych, których to relacji nie opisuje fizyka klasyczna. Wszystkie te zależności zostały potwierdzone eksperymentalnie i są niezwykle istotne w dzisiejszej fizyce. Tak zmieniona definicja energii pozwoliła na wiele przełomowych dokonań w dziedzinie fizyki i umożliwiła istnienie nauki takiej, jaką znamy dziś.

Zdjęcie NSTX tokomak — Ilustracja 5.25 NSTX (ang. National Spherical Torus Experiment) to reaktor termojądrowy, w którym izotopy wodoru poddaje się syntezie jądrowej, w wyniku której powstaje hel. W tym układzie stosunkowo mała masa zostaje zamieniona w dużą ilość energii.

Energia kinetyczna i ostateczne ograniczenie prędkości

Zgodnie z pierwszym postulatem szczególnej teorii względności prawa fizyki są zachowane we wszystkich inercjalnych układach. Einstein wykazał, że prawo zachowania energii obowiązuje także w przypadkach relatywistycznych, ale dla energii wyrażonej za pomocą masy i prędkości zgodnych ze szczególną teorią względności.

Rozważmy najpierw wyrażenie na relatywistyczną energię kinetyczną. Ponownie prędkość oznaczymy jako $u$ , dla odróżnienia od prędkości $v$ w dwóch układach odniesienia. W fizyce klasycznej energia kinetyczna jest związana z masą i prędkością za pomocą równania $E_{\text{k}}=1/2\cdot mu^2$ . Wyrażenie na energię kinetyczną z perspektywy relatywistycznej możemy otrzymać z zależności między energią a pracą. Według tej zależności wypadkowa praca w danym układzie zamienia się w energię kinetyczną. Klasyczne prawo Newtona $\vec{F} = \d \vec{p} / \d t$ musi pozostać prawdziwe także w teorii względności (ale z pędem relatywistycznym) ze względu na zasadę zachowania pędu oraz zasadę akcji i reakcji. Jeżeli wyrazimy siłę przyspieszającą cząstkę do pewnej prędkości ze stanu spoczynku jako $\vec{F} = m \d (\gamma \vec{u})/ \d t$ , to praca wykonana nad tą cząstką powinna być równa jej energii kinetycznej. W przypadku ruchu jednowymiarowego zapiszemy to jako

\begin{align} E_{\text{k}} &= \int F \d x = \int m \dd t (\gamma u) \d x \\ \text{} &= m \int \frac{\d (\gamma u)}{\d t} \cdot \frac{\d x}{\d t} \d t \\ \text{} &= m \int u \dd t (\frac{u}{\sqrt{1 - u^2/c^2}}) \d t \text{.} \end{align}

Całkując to wyrażenie przez części, otrzymujemy

\begin{align} E_{\text{k}} &= \frac{m u^2}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} \mid_0^u - m \int \frac{u}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} \cdot \frac{\d u}{\d t} \d t \\ \text{} &= \frac{m u^2}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} - m \int \frac{u}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} \d u \\ \text{} &= \frac{m u^2}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} - m c^2 \sqrt{1- u^2/c^2} \mid_0^u \\ \text{} &= \frac{m u^2}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} + \frac{m c^2}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} - mc^2 \\ \text{} &= m c^2 [\frac{u^2/c^2 +1 - u^2/c^2}{\sqrt{1 - u^2/c^2}}] - mc^2 \\ E_{\text{k}} &= \frac{mc^2}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} - mc^2 \text{.} \end{align}

Wzór na energię można również otrzymać, analizując tylko zderzenia elastyczne z wykorzystaniem zasady zachowania w różnych układach odniesienia i porównując z wynikiem klasycznym dla małych prędkości.

Relatywistyczna energia kinetyczna

Relatywistyczna energia kinetyczna (ang. relativistic kinetic energy) każdego ciała o niezerowej masie wynosi

E_{\text{k rel}} = (\gamma - 1) m c^2 \text{.}

5.17

Gdy ciało znajduje się w spoczynku, czyli jego prędkość $u=0 \si{\metre\per\second}$ i

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} = 1 \text{,}

także jego $E_{\text{k rel}}$ jest równa zero, jak zakładaliśmy. Jednak wyrażenie na relatywistyczną energię kinetyczną nie przypomina klasycznej zależności $1/2\cdot mu^2$ . Aby pokazać, że dla małych prędkości relatywistyczny wzór uprości się do klasycznego, wykorzystamy dwumian Newtona, by otrzymać przybliżenie dla $(1 + \epsilon)^n$ , prawdziwe dla małych $\epsilon$

(1 + \epsilon)^n = 1 + n \epsilon + \frac{n(n-1)}{2!} \epsilon^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} \epsilon^3 + \dots \cong 1 + n \epsilon \text{.}

Podstawiając $\epsilon = - u^2/ c^2$ i $n= - 1/2$ , otrzymujemy, że $\gamma$ dla niewielkich prędkości jest małe i spełnia równanie

\gamma = (1 - \frac{u^2}{c^2})^{-1/2} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^2}{c^2} \text{.}

Dwumian Newtona pozwala na rozwinięcie danej wielkości w nieskończony szereg. W niektórych przypadkach, jak przy niewielkich prędkościach, większość wyrazów szeregu jest bardzo mała. Tak więc wyprowadzone wyrażenie może nie jest idealne, ale stanowi bardzo dokładne przybliżenie. W związku z tym dla małych prędkości

\gamma -1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^2}{c^2} \text{.}

Podstawienie tego wyrażenia do wzoru na relatywistyczną energię kinetyczną daje

E_{\text{k rel}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^2}{c^2} m c^2 = \frac{1}{2} m u^2 = E_{\text{k}} \text{,}

co dowodzi słuszności naszego założenia.

Dużo ciekawsze jest jednak to, co dzieje się z energią kinetyczną, gdy prędkość ciała zbliża się do prędkości światła. Wiemy, że $\gamma$ dąży do nieskończoności dla $u$ dążącego do $c$ , więc $E_{\text{k}}$ także dąży wtedy do nieskończoności (Ilustracja 5.26). Wzrost energii relatywistycznej jest znacznie większy niż w przypadku energii klasycznej, gdy $u$ zbliża się do $c$ . Oznacza to, że do przyspieszenia ciała do takich prędkości potrzebna jest nieskończona ilość pracy.

Prędkość światła

Żadne ciało o niezerowej masie nie może osiągnąć prędkości światła (ang. speed of light).

Prędkość światła jest więc ostatecznym ograniczeniem prędkości cząsteczki o niezerowej masie. Wniosek ten jest zgodny z otrzymywanymi przez nas wynikami, z których wynika, że prędkości mniejsze od prędkości światła zawsze dodają się do wartości mniejszej od $c$ . Zarówno relatywistyczna forma energii kinetycznej, jak i ograniczenie prędkości zostały wielokrotnie udowodnione doświadczalnie. Nieważne, jak dużo energii wkłada się w przyspieszenie danej masy, jej prędkość może być jedynie zbliżona do prędkości światła, ale nigdy jej nie osiągnie.

Przedstawiony jest graf energii kinetycznej w funkcji prędkości w przypadku relatywistycznym i klasycznym. Dla niskich prędkości wartości obu funkcji są niewielkie. Funkcja relatywistyczna wzrasta znacznie szybciej niż klasyczna, i ma asymptotę pionową u = c. Funkcja klasyczna przecina prostą u = c i przyjmuje skończone wartości dla wszystkich u > c. — Ilustracja 5.26 Wykres przedstawia zależność energii kinetycznej (relatywistycznej i klasycznej) od prędkości dla wartości bliskich prędkości światła.

Przykład 5.12

Porównywanie energii kinetycznej

Elektron porusza się z prędkością

v = \num{0,99} c

.

Obliczmy energię kinetyczną elektronu w megaelektronowoltach.
Porównajmy otrzymaną wartość z energią kinetyczną obliczoną w sposób klasyczny.

Strategia rozwiązania

Wyrażenie na relatywistyczną energię kinetyczną jest zawsze prawdziwe, zwłaszcza w przypadku (a), gdzie prędkość cząstki jest bardzo bliska prędkości światła. Najpierw należy wyliczyć czynnik relatywistyczny

γ

, a następnie za jego pomocą określić wartość energii kinetycznej. W części (b) obliczamy klasyczną energię kinetyczną (której wartość powinna być zbliżona do wartości energii relatywistycznej, jeśli

u

wynosiłoby mniej niż kilka procent

c

) i porównujemy ją z wynikiem z części (a).

Rozwiązanie części (a)

Określamy dane: $u=\num{0,99}c$ , $m=\SI{9,11e-31}{\kilo\gram}$ .
Określamy szukane: $E_{\text{k rel}}$ .
Wyrażamy rozwiązanie za pomocą równania
$E_{\text{k rel}} = (\gamma -1) m c^2 \text{ dla } \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} \text{.}$
Wykonujemy obliczenia. Najpierw obliczymy $\gamma$ . Pamiętajmy, aby zachować wszystkie liczby po przecinku (to nie jest ostateczny wynik)
$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{(\num{0,99} c)^2}{c^2}}} = \num{7,0888} \text{.}$
Teraz wykorzystamy otrzymaną wartość do obliczenia energii kinetycznej
$\begin{align} E_{\text{k rel}} &= (\gamma -1) m c^2 \\ \text{} &= (\num{7,0888} - 1) \cdot \SI{9,11e-31}{\kilo\gram} \cdot (\SI{3e8}{\metre\per\second})^2 \\ \text{} &= \SI{4,9922e-13}{\joule} \text{.} \end{align}$
Zamieniamy jednostki
$E_{\text{k rel}} = \SI{4,9922e-13}{\joule} \cdot \frac{\SI{1}{\mega\electronvolt}}{\SI{1,6e-13}{\joule}} = \SI{3,12}{\mega\electronvolt} \text{.}$

Rozwiązanie części (b)

Określamy dane: $u=\num{0,99}c$ , $m=\SI{9,11e-31}{\kilo\gram}$ .
Określamy szukane: $E_{\text{k}}$ .
Wyrażamy rozwiązanie za pomocą równania
$E_{\text{k}} = \frac{1}{2} m u^2 \text{.}$
Wykonujemy obliczenia
$\begin{align} E_{\text{k}} &= \frac{1}{2} m u^2 \\ \text{} &= \frac{1}{2} \cdot \SI{9,11e-31}{\kilo\gram} \cdot (\num{0,99})^2 \cdot (\SI{3e8}{\metre\per\second})^2 \\ \text{} &= \SI{4,0179e-14}{\joule} \cdot \frac{\SI{1}{\mega\electronvolt}}{\SI{1,6e-13}{\joule}} \\ \text{} &= \SI{0,251}{\mega\electronvolt} \text{.} \end{align}$

Znaczenie

Ponieważ prędkość cząstki wynosiła

\SI{99}{\percent}

prędkości światła, energie kinetyczne klasyczna i relatywistyczna różnią się od siebie znacząco, przy czym energia klasyczna jest dużo mniejsza od energii relatywistycznej. A dokładnie:

E_{\text{k rel}}/ E_{\text{k}} = \num{12,4}

. To pokazuje, jak trudno jest przyspieszyć cząstkę do prędkości bliskich

c

. Im bardziej zbliżamy się do

c

, tym więcej energii musimy włożyć w zwiększenie prędkości. Energia rzędu

\SI{3}{\mega\electronvolt}

na elektron jest stosunkowo mała i może zostać osiągnięta w istniejących akceleratorach cząstek.

Czy istnieje powód, aby przyspieszać cząstki do prędkości równych $\SI{99}{\percent}$ czy $\SI{99,9}{\percent}$ prędkości światła i wyższych? Odpowiedź brzmi: tak. Tego typu eksperymenty dostarczają ogromnych ilości informacji. Energia związana z cząstkami o dużych prędkościach może zostać zmieniona w inną, a nawet spowodować powstanie zupełnie nowych cząstek. W Wielkim Zderzaczu Hadronów (Ilustracja 5.27) naładowane cząstki są przyspieszane przed wprowadzeniem ich do tunelu o kształcie pierścienia. Tam dwie wiązki cząstek są rozpędzane do właściwej prędkości ( $\SI{99,7}{\percent}$ prędkości światła) w przeciwnych kierunkach i zderzane, co prowadzi do powstania nowych rodzajów cząstek. Większość naszej wiedzy na temat struktury materii i egzotycznych cząstek pochodzi właśnie ze zderzeń w akceleratorach. Obecnie najbardziej oczekiwanym wynikiem tych eksperymentów jest potwierdzenie teorii wielkiej unifikacji. Do tematu cząstek egzotycznych i ich właściwości wrócimy w dalszej części podręcznika.

Zdjęcie Genewy z zaznaczoną lokacją CERNu oraz obsługiwanych przez niego akceleratorów. — Ilustracja 5.27 Europejska Organizacja Badań Jądrowych CERN (od pierwotnej nazwy francuskiej Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire) posiada największy zderzacz cząstek na świecie, który znajduje się na granicy Francji i Szwajcarii.

Całkowita energia relatywistyczna

Wzór na energię kinetyczną może być przekształcony do

E = \frac{m u^2}{\sqrt{1- u^2/c^2}} = E_{\text{k}} + m c^2 \text{.}

W artykule opublikowanym w 1905 roku Einstein dowiódł, że jeśli energia cząstki zmieni się o $\prefop{\Delta} E$ , to jej masa zmieni się o $\prefop{\Delta} m = \prefop{\Delta} E / c^2$ . Od tego czasu zostało wielokrotnie potwierdzone doświadczalnie, że $m c^2$ odpowiada energii cząstki o masie $m$ będącej w spoczynku. Za przykład weźmy neutralny pion o masie spoczynkowej $m$ : w momencie jego rozpadu powstają dwa fotony, które mają zerową masę, ale zawierają w sobie energię $m c^2$ pionu. Podobnie gdy cząstka o masie $m$ rozpadnie się na co najmniej dwie cząstki o mniejszej masie całkowitej, ich energia kinetyczna będzie odpowiadała spadkowi masy. Tak więc $E$ jest całkowitą energią relatywistyczną cząstki, a $m c^2$ jest jej energią spoczynkową.

Energia całkowita

Energię całkowitą (ang. total energy) $E$ cząstki wyrażamy wzorem

E = \gamma m c^2 \text{,}

5.18

gdzie $m$ jest masą, $c$ to prędkość światła, $\gamma = 1/ \sqrt{1- u^2/ c^2}$ , a $u$ jest prędkością ciała względem obserwatora.

Energia spoczynkowa

Energię spoczynkową (ang. rest energy) danego ciała zapiszemy jako

E_0 = m c^2 \text{.}

5.19

Tak wygląda słynne równanie Einsteina, które jako pierwsze pokazało związek między masą a energią ciała. Konsekwencją tej zależności jest wzrost masy spoczynkowej ciała, w którym magazynowana jest energia. Co więcej, masa spoczynkowa może zostać zniszczona w celu uwolnienia energii w niej związanej. Równania opisujące energię relatywistyczną, będące następstwem tych zależności, podobnie jak dowodzące je eksperymenty są tak przełomowe, że przez wiele lat nie wchodziły do kanonu fizyki. Warto zauważyć, że Einstein doskonale rozumiał swą teorię i opisał jej znaczenie i konsekwencje.

Przykład 5.13

Obliczanie energii spoczynkowej

Obliczmy energię spoczynkową ciała o masie

1 \si{\gram}

.

Strategia rozwiązania

Jeden gram to mała masa – mniej niż jeden grosz. Możemy pomnożyć tę wartość, wyrażoną w jednostkach układu SI, przez prędkość światła podniesioną do kwadratu i określić odpowiadającą jej energię spoczynkową.

Rozwiązanie

Określamy dane: $m=10^{-3}\si{\kilo\gram}$ , $c=\SI{3e8}{\metre\per\second}$ .
Określamy szukane: $E_0$ .
Wyrażamy rozwiązanie za pomocą równania
$E_0 = m c^2 \text{.}$
Wykonujemy obliczenia
$\begin{align} E_0 &= m c^2 = 10^{-3} \si{\kilo\gram} \cdot (\SI{3e8}{\metre\per\second})^2 \\ \text{} &= \SI{9e13}{\kilo\gram\square\metre\per\square\second} \text{.} \end{align}$
Zamieniamy jednostki. Zauważmy, że $\SI{1}{\kilo\gram\square\metre\per\square\second} = \SI{1}{\joule}$ . Energia spoczynkowa wynosi więc
$E_0=\SI{9e13}{\joule}\text{.}$

Znaczenie

Okazuje się, że nawet tak małej masie, jaką jest

1 \si{\gram}

, odpowiada ogromna energia. Dzieje się tak, ponieważ energia liczona jest jako iloczyn prędkości światła podniesionej do kwadratu i masy badanego ciała. Jako że

c^2

ma bardzo dużą wartość, także energia będzie duża dla każdej masy. Energia

\SI{9e13}{\joule}

jest dwa razy większa niż energia uwolniona podczas wybuchu bomby atomowej w Hiroszimie i około

\num{10000}

razy większa od energii kinetycznej lotniskowca.

Praktyczne zastosowania zamiany masy w energię, takie jak broń jądrowa i energetyka jądrowa, są nam dobrze znane. Gdy Einstein ogłaszał swoją teorię na temat poprawnej formy energii relatywistycznej, istniały już podobne zastosowania i niektóre z nich zostały przez niego opisane. Promieniowanie jądrowe odkryto dekadę wcześniej, a pochodzenie jego energii było tajemnicą. Dzieje się tak, ponieważ podczas procesów jądrowych część masy ulega zniszczeniu i zostaje uwolniona energia przenoszona przez promieniowanie jądrowe. Jednak zredukowana masa jest tak mała, że trudno jest zauważyć jej ubytek. Einstein zasugerował, że ten proces może służyć jako źródło energii w promieniotwórczych związkach chemicznych badanych w tym okresie. Działo się to na wiele lat przed wykorzystaniem tego zjawiska do produkcji energii (Ilustracja 5.28).

Zdjęcia Słońca oraz elektrowni parowej na rzece Susquehanna — Ilustracja 5.28 Zarówno (a) Słońce, jak i (b) elektrownia jądrowa wykorzystują redukcję masy do produkcji energii – Słońce poprzez reakcje termojądrowe, a elektrownia dzięki rozszczepianiu cięższych jąder atomowych na lżejsze jądra atomowe.

Ze względu na związek między energią spoczynkową a masą, bardziej niż jako oddzielną wielkość, rozważamy masę jako formę energii. Przed pracą Einsteina nic nie wskazywało na to, że równoważność masy i energii jest podstawą procesów zachodzących w Słońcu, podobnie jak procesów towarzyszących rozpadowi jądrowemu i procesów zachodzących w jądrze Ziemi.

Energia magazynowana i potencjalna

Co dzieje się z energią magazynowaną w ciele znajdującym się w spoczynku, jak w przypadku ładowania baterii czy energii związanej w ściśniętej sprężynie zabawkowego pistoletu? Energia ta jest częścią energii całkowitej, a przez to wpływa na masę spoczynkową danego ciała. Cała energia związana w ciele i potencjalna staje się masą w układzie. Pozornie sprzeczna zasada zachowania masy (a więc zakładająca, że masa całkowita jest stała) była jednym z praw zweryfikowanych przez dziewiętnastowieczną naukę. Dlaczego wcześniej nie zauważono jej błędności? Następujący przykład pozwoli na lepsze zrozumienie tego zagadnienia.

Przykład 5.14

Obliczanie masy spoczynkowej

Bateria samochodowa ma pojemność

\SI{600}{\ampere\hour}

(amperogodzin) przy napięciu

\SI{12}{\volt}

.

Obliczmy zwiększenie masy spoczynkowej baterii podczas ładowania (od pełnego rozładowania do pełnego naładowania) przy założeniu, że żaden związek chemiczny ani nie opuszcza baterii, ani nie jest do niej wprowadzany.
Jaki stanowi to procent masy baterii przy założeniu, że wynosi ona $\SI{20}{\kilo\gram}$ ?

Strategia rozwiązania

W części (a) musimy obliczyć wartość energii

E_{\text{bat}}

pochodzącej z procesów chemicznych, zmagazynowanej w baterii, równą energii wykorzystanej na zasilanie samochodu. Jako że

E_{\text{bat}} = q U

, musimy najpierw obliczyć ładunek

q

nagromadzony w

\SI{600}{\ampere\hour}

, będący iloczynem natężenia prądu

I

i czasu

t

. Następnie pomnożymy ładunek przez

\SI{12}{\volt}

. Wtedy możemy obliczyć wzrost masy baterii, wykorzystując równanie

E_{\text{bat}} = \prefop{\Delta} m c^2

. Część (b) polega na obliczeniu stosunku mas i zamianie wyniku na wartość procentową.

Rozwiązanie części (a)

Określamy dane: $It=\SI{600}{\ampere\hour}$ , $U = \SI{12}{\volt}$ , $c=\SI{3e8}{\metre\per\second}$ .
Określamy szukane: $\prefop{\Delta}m$ .
Wyrażamy rozwiązanie za pomocą równania
$\begin{align} E_{\text{bat}} &= \prefop{\Delta} m c^2 \\ \prefop{\Delta} m &= \frac{E_{\text{bat}}}{c^2} = \frac{qU}{c^2} = \frac{I t U}{c^2} \text{.} \end{align}$
Wykonujemy obliczenia
$\prefop{\Delta} m = \frac{\SI{600}{\ampere\hour} \cdot \SI{12}{\volt}}{(\SI{3e8}{\metre\per\second})^2} \text{.}$
Zapiszmy $\si{\ampere}$ jako kulomb na sekundę ( $\si{\coulomb\per\second}$ ) i zamieńmy godziny na sekundy
$\prefop{\Delta} m = \frac{(\SI{600}{\coulomb\per\second} \cdot \si{\hour}) \cdot \frac{\SI{3600}{\second}}{1 \si{\hour}} \cdot \SI{12}{\joule\per\coulomb}}{(\SI{3e8}{\metre\per\second})^2} = \SI{2,88e-10}{\kilo\gram} \text{.}$
Zastosowaliśmy też przekształcenie $\SI{1}{\kilo\gram\square\metre\per\square\second} = \SI{1}{\joule}$ .

Rozwiązanie części (b)

Określamy dane: $\prefop{\Delta}m=\SI{2,88e-10}{\kilo\gram}$ , $m=\SI{20}{\kilo\gram}$ .
Określamy szukane: zmiana procentowa.
Wyrażamy rozwiązanie za pomocą równania
$\text{przyrost masy} = \frac{\prefop{\Delta} m}{m} \cdot \SI{100}{\percent} \text{.}$
Wykonujemy obliczenia
$\text{przyrost masy} = \frac{\prefop{\Delta} m}{m} \cdot \SI{100}{\percent} = \frac{\SI{2,88e-10}{\kilo\gram}}{\SI{20}{\kilo\gram}} \cdot \SI{100}{\percent} = \SI{1,44e-9}{\percent} \text{.}$

Znaczenie

Przyrost masy jest bardzo mały, ponieważ dzielimy energię przez

c^2

, a więc bardzo dużą wartość. Aby zauważyć różnicę w masie, musielibyśmy dysponować wagą o dokładności pomiaru do miliardowej części procenta. Nic więc dziwnego, że zmianę masy spoczynkowej tak trudno jest zaobserwować. Co więcej, zmiana masy jest tak mała, że łatwo podać w wątpliwość fakt, że ktoś mógłby udowodnić jej istnienie. Okazała się jednak zauważalna w procesach jądrowych, w których ubytek masy jest na tyle duży, że można go dokładnie zmierzyć. Masa paliwa w reaktorach jądrowych ulega znacznemu zmniejszeniu w miarę produkcji energii. W tym przypadku energia zmagazynowana w paliwie jest uwalniana (głównie w formie energii termicznej wykorzystywanej do napędzania generatorów prądu), a masa spoczynkowa maleje. Podobnie dzieje się w bateriach, jednak energia wydzielana w elektrowniach jądrowych jest dużo większa, a więc i ubytek masy jest bardziej znaczący.

Relatywistyczne powiązanie energii i pędu

Wiemy, że klasycznie zdefiniowana energia kinetyczna i pęd są ze sobą powiązane w następujący sposób

E_{\text{k}} = \frac{p^2}{2m} = \frac{(mu)^2}{2m} = \frac{1}{2} mu^2 \text{.}

W podejściu relatywistycznym zależność między energią a pędem otrzymujemy poprzez algebraiczne przekształcenia opisujących je wzorów

E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2 \text{,}

5.20

gdzie $E$ jest całkowitą energią relatywistyczną opisaną wzorem $E= mc^2/ \sqrt{1- u^2/c^2}$ , a $p$ to pęd relatywistyczny. Ta zależność jest bardziej skomplikowana niż jej klasyczne ujęcie, ale jej analiza przynosi ciekawe wnioski. Po pierwsze, energia całkowita jest związana z pędem i masą spoczynkową. Gdy ciało pozostaje w spoczynku, jego pęd wynosi zero, a energia całkowita opisywana jest jedynie przez człon związany z masą: $m c^2$ , co pokrywa się ze wzorem na opisywaną wcześniej energię spoczynkową (potencjalną). W trakcie przyspieszania pęd ciała rośnie, a razem z nim energia całkowita. Przy dużych prędkościach człon dotyczący masy $(mc^2)^2$ jest tak mały w porównaniu z członem zawierającym pęd $(pc)^2$ , że można go pominąć, a więc $E = pc$ w przypadku prędkości relatywistycznych.

Jeżeli założymy rozdzielność pędu i masy, możemy określić następstwa równania $E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$ dla cząstki o zerowej masie. Jeżeli przyjmiemy $m=0 \si{\kilo\gram}$ , to $E = pc$ lub $p = E/c$ . W naturze występuje wiele cząstek o takiej własności i jednymi z nich są fotony, które możemy opisać jako paczki promieniowania elektromagnetycznego. Kolejną konsekwencją takiej formy równania energii jest warunek przemieszczania się cząstki z prędkością światła. Dokładna analiza równania $E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$ prowadzi między innymi do pojęcia antycząstki (ujemna energia $E \to -E$ ). Wykracza ono poza zakres tego podręcznika, jednak należy pamiętać, jak duży wpływ ma na szczególną teorię względności.

Sprawdź, czy rozumiesz 5.9

Jaka jest energia kinetyczna elektronu o prędkości $\num{0,992} c$ ?