William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

5.6 Względność prędkości w szczególnej teorii względności

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

wyprowadzać zgodne ze szczególną teorią względności równania na przekształcenie prędkości z jednego układu odniesienia w drugi;
stosować transformację prędkości do ciał poruszających się z prędkością relatywistyczną;
porównywać wyniki otrzymane dzięki transformacji prędkości w ujęciu szczególnej teorii względności z przewidywanymi przez fizykę klasyczną.

Utrzymanie się w jednym miejscu w kajaku pośrodku rwącej rzeki nie jest prostym zadaniem. Prąd rzeki ciągnie ze sobą nasz kajak. Wiosłowanie pozwala przeciwstawić się nurtowi rzeki i jeżeli włożymy w nie dużo siły, to może udać nam się przemieścić w górę rzeki względem jej brzegu. Ruch naszego kajaka doskonale oddaje dodawanie wektorowe prędkości, stosowane w mechanice newtonowskiej. Prędkość wypadkowa kajaka jest sumą wektorową prędkości kajaka względem nurtu wody i wody względem brzegu rzeki. Jednak w fizyce relatywistycznej dodawanie prędkości wygląda inaczej.

Transformacja prędkości

Wyobraźmy sobie samochód poruszający się po prostej drodze, jak pokazano na Ilustracji 5.19.

Rysunek samochodu poruszającego się z prędkością v, emitującym z reflektorów światło z większą prędkością c. — Ilustracja 5.19 Zgodnie z wynikami doświadczeń i drugim postulatem szczególnej teorii względności światło opuszcza reflektor z prędkością $c$ i z taką samą prędkością dociera do przechodnia.

Kierowca widzi światło reflektorów poruszające się z prędkością $c$ w układzie odniesienia samochodu. Jeżeli zastosowalibyśmy w tej sytuacji transformację Galileusza, to światło wychodzące z reflektorów dotarłoby do przechodnia z prędkością $u = c + v$ , co byłoby sprzeczne z postulatami Einsteina. Zarówno odległość przebyta przez światło, jak i czas przemieszczenia są różne w układach odniesienia samochodu i przechodnia. Co więcej, muszą się od siebie różnić w taki sposób, by światło miało jednakową prędkość w obu układach. Sposób przeliczania prędkości określa transformacja Lorentza.

Relatywistyczna transformacja prędkości

Załóżmy, że ciało $P$ porusza się ze stałą prędkością $u = (u_{x}^{'}, u_{y}^{'}, u_{z}^{'})$ w układzie odniesienia $S^{'}$ . Układ ten przemieszcza się z prędkością $v$ wzdłuż osi $x^{'}$ . W czasie $d t^{'}$ cząstka przemieszcza się o odległość $d x^{'}$ wzdłuż osi $x^{'}$ . Stosując transformację Lorentza, możemy wyprowadzić odpowiednie wartości w układzie nieprimowanym

\begin{aligned} d t & = γ (d t^{'} + v d x^{'} ∕ c^{2}), \\ d x & = γ (d x^{'} + v d t^{'}), \\ d y & = d y^{'}, \\ d z & = d z^{'} . \end{aligned}

Składowe prędkości ciała w układzie nieprimowanym wyglądają więc następująco

\begin{aligned} \frac{d x}{d t} & = \frac{γ (d x^{'} + v d t^{'})}{γ (d t^{'} + v d x^{'} ∕ c^{2})} = \frac{\frac{d x^{'}}{d t^{'}} + v}{1 + \frac{v}{c^{2}} \cdot \frac{d x^{'}}{d t^{'}}}, \\ \frac{d y}{d t} & = \frac{d y^{'}}{γ (d t^{'} + v d x^{'} ∕ c^{2})} = \frac{\frac{d y^{'}}{d t^{'}}}{γ (1 + \frac{v}{c^{2}} \cdot \frac{d x^{'}}{d t^{'}})}, \\ \frac{d z}{d t} & = \frac{d z^{'}}{γ (d t^{'} + v d x^{'} ∕ c^{2})} = \frac{\frac{d z^{'}}{d t^{'}}}{γ (1 + \frac{v}{c^{2}} \cdot \frac{d x^{'}}{d t^{'}})} . \end{aligned}

W ten sposób otrzymaliśmy wzory na prędkości składowe

u_{x} = \frac{u_{x}^{'} + v}{1 + v u_{x}^{'} ∕ c^{2}}, u_{y} = \frac{u_{y}^{'} ∕ γ}{1 + v u_{x}^{'} ∕ c^{2}}, u_{z} = \frac{u_{z}^{'} ∕ γ}{1 + v u_{x}^{'} ∕ c^{2}} .

Przy czym gdybyśmy chcieli otrzymać te same składowe, korzystając z klasycznego podejścia, czyli transformacji Galileusza (wówczas $c$ dąży do $+ \infty$ ), musielibyśmy jedynie dodać te prędkości wektorowo

u_x = u_x' + v \text{,  } u_y = u_y' \text{,  } u_z = u_z' \text{.}

Jeżeli prędkość względna układów poruszających się względem siebie jest mała ( $v \ll c$ ), efekty relatywistyczne są tak nieznaczne, że śmiało możemy przybliżyć wynik, stosując transformację Galileusza. Jednak gdy $v$ zbliża się do prędkości światła, korzystanie z transformacji relatywistycznej (transformacji Lorentza) daje inne wyniki niż klasyczne podejście.

Przykład 5.9

Transformacja prędkości dla światła

Załóżmy, że statek kosmiczny porusza się prosto w stronę Ziemi z prędkością

c/2

. Statek wysyła sygnał do ziemskiego laboratorium za pomocą wiązki laserowej, jak na Ilustracji 5.20. Wiedząc, że widziane z perspektywy statku światło opuszcza go z prędkością

c

, obliczmy prędkość, z jaką dotrze do laboratorium.

Ilustracja przedstawia statek kosmiczny poruszający się w prawo z prędkością v będącą połową prędkości światła, emitujący poziomo wiązkę laserową, która przemieszcza się w prawo z prędkością c. — Ilustracja 5.20 Z jaką prędkością sygnał świetlny wysłany ze statku kosmicznego poruszającego się z prędkością $c/2$ dotrze na Ziemię?

Strategia rozwiązania

Ponieważ statek i światło poruszają się z prędkościami relatywistycznymi, nie możemy skorzystać z klasycznego dodawania wektorów. Zamiast tego wykorzystamy relatywistyczne przekształcenia prędkości.

Rozwiązanie

Określamy dane: $v=c/2$ , $u'=c$ .
Określamy szukane: $u$ .
Wyrażamy rozwiązanie za pomocą równania
$u = \frac{v + u'}{1 + v u'/ c^2} \text{.}$
Wykonujemy obliczenia
$\begin{multiline} u &= \frac{v + u'}{1 + v u'/ c^2} = \frac{\frac{c}{2} + c}{1 + \frac{c}{2} \cdot c / c^2} \\ &= \frac{\num{1,5} c}{\num{1,5} c^2/ c^2} = c \text{.} \end{multiline}$

Znaczenie

Dodawanie prędkości w sposób relatywistyczny daje poprawny wynik. Światło opuszcza statek i dociera do laboratorium z taką samą prędkością

c

. Prędkość światła jest niezależna od względnego ruchu źródła i obserwatora bez względu na to, czy obserwator znajduje się na statku kosmicznym, czy w ziemskim laboratorium.

Dodawanie prędkości nie może dać wyniku większego niż prędkość światła, zakładając, że ani $v$ , ani $u'$ nie przekraczają $c$ . Następny przykład pokazuje, że relatywistyczne dodawanie prędkości nie jest tak symetryczne, jak klasyczne dodawanie wektorów.

Przykład 5.10

Relatywistyczne dostarczanie przesyłek

Załóżmy, że statek kosmiczny z poprzedniego przykładu zbliża się do Ziemi z prędkością równą połowie prędkości światła i wystrzeliwuje kanister z prędkością

\num{0,75} c

(Ilustracja 5.21). Jaką prędkość kanistra zaobserwuje naukowiec znajdujący się w laboratorium na Ziemi, jeżeli kanister zostanie wystrzelony

w kierunku Ziemi;
w kierunku przeciwnym do Ziemi?

Pierwsza ilustracja pokazuje statek kosmiczny poruszający się w prawo, w kierunku Ziemi, z prędkością v równą połowie prędkości światła, oraz kanister poruszający się w prawo z prędkością u prim równą trzem czwartym prędkości światła. Druga ilustracja pokazuje analogiczną sytuację różniącą się tylko tym, że kanister porusza się w lewo. — Ilustracja 5.21 Kanister zostaje wystrzelony z prędkością $\num{0,75} c$ w kierunku Ziemi i przeciwnym.

Strategia rozwiązania

Podobnie jak w Przykładzie 5.9 nie możemy skorzystać z klasycznego dodawania wektorów, ale zastosujemy przekształcenie relatywistyczne.

Rozwiązanie części (a)

Określamy dane: $v=\num{0,5}c$ , $u'=\num{0,75}c$ .
Określamy szukane: $u$ .
Wyrażamy rozwiązanie za pomocą równania
$u = \frac{v + u'}{1 + v u'/ c^2} \text{.}$
Wykonujemy obliczenia
$\begin{align} u &= \frac{v + u'}{1 + v u'/ c^2} \\ \text{} &= \frac{\num{0,5} c + \num{0,75} c}{1 + \num{0,5} c \cdot \num{0,75} c / c^2} \\ \text{} &= \num{0,909} c \text{.} \end{align}$

Rozwiązanie części (b)

Określamy dane: $v=\num{0,5}c$ , $u'=-\num{0,75}c$ .
Określamy szukane: $u$ .
Wyrażamy rozwiązanie za pomocą równania
$u = \frac{v + u'}{1 + v u'/ c^2} \text{.}$
Wykonujemy obliczenia
$\begin{align} u &= \frac{v + u'}{1 + v u'/ c^2} \\ \text{} &= \frac{\num{0,5} c + ( - \num{0,75} c)}{1 + \num{0,5} c \cdot ( - \num{0,75} c) / c^2} \\ \text{} &= - \num{0,4} c \text{.} \end{align}$

Znaczenie

Znak minus oznacza, że prędkość jest skierowana w kierunku przeciwnym do Ziemi (w przeciwnym kierunku do

v

). Jednak prędkości relatywistyczne nie dodają się w tak prosty sposób, jak w przypadku fizyki klasycznej. W części (a) kanister faktycznie porusza się szybciej w stronę Ziemi, ale nie tak szybko, jak wynikałoby to z dodania obu wektorów prędkości, które dałoby wartość równą

\num{1,25} c

. W podpunkcie (b) kanister oddala się od Ziemi z prędkością

- \num{0,4} c

, czyli szybciej, niż przewidywałaby fizyka klasyczna (

- \num{0,25} c

). Co więcej, różnice w prędkościach nie są nawet symetryczne: w części (a) naukowiec zauważy kanister oddalający się od statku z prędkością

\num{0,409} c

, a w (b) różnica wyniesie

\num{0,9} c

.

Sprawdź, czy rozumiesz 5.6

Odległości prostopadłe do kierunku ruchu względnego dwóch układów inercjalnych są takie same w obu układach. Dlaczego w takim razie składowe prędkości prostopadłe do osi $x$ nie są takie same w tych układach?