5.4 Skrócenie długości w szczególnej teorii względności

Długość własna i czas własny w różnych układach inercjalnych

Dwójka obserwatorów, mijając się, zawsze zaobserwuje tę samą prędkość względną. Mimo że z powodu dylatacji czasu pasażer pociągu i obserwator znajdujący się na peronie inaczej postrzegają czas przejazdu pociągu, to prędkość względna, która określana jest jako iloraz drogi i czasu, jest taka sama w obu przypadkach. Jeżeli nasi obserwatorzy nie zgadzają się co do czasu przejazdu pociągu, ale podają tę samą prędkość względną, oznacza to, że nie mogą się też zgadzać co do mierzonej odległości.

Mion opisany w Przykładzie 5.3 dobrze opisuje zagadnienie z Ilustracji 5.9. Dla obserwatora znajdującego się na Ziemi mion porusza się z prędkością $\mathrm{0,95}c$ przez $\mathrm{7,05}\mathrm{\mu s}$ od momentu powstania do rozpadu. Tak więc mion pokonuje odległość względem Ziemi równą

W układzie odniesienia mionu czas jego życia wynosi $\mathrm{2,2}\mathrm{\mu s}$. W tym układzie Ziemia ma czas na przebycie jedynie

Odległość pomiędzy tą samą parą zdarzeń (w tym przypadku produkcją mionu i jego rozpadem) zależy od tego, w którym układzie dokonywany jest pomiar i czy układ porusza się względem zdarzenia.

Obserwator znajdujący się na Ziemi dokonuje pomiaru długości własnej $L_0$, ponieważ punkty, w których mion jest produkowany i się rozpada, są nieruchome względem Ziemi. Z perspektywy mionu Ziemia, powietrze i chmury się przemieszczają, a więc odległość $L$, która zostaje zmierzona w układzie odniesienia związanym z mionem, nie jest długością własną tego zdarzenia.

Ilustracja 5.9 (a) Obserwator znajdujący się na Ziemi rejestruje przemieszczenie się mionu równe odległości $\mathrm{2,01}\mathrm{km}$. (b) Ta sama droga ma długość $\mathrm{0,627}\mathrm{km}$, gdy jest obserwowana z układu odniesienia mionu. Otoczenie (Ziemia, powietrze i chmury) porusza się względem mionu i ulega skróceniu w kierunku przemieszczenia.

Skrócenie długości

Aby powiązać ze sobą odległości mierzone przez różnych obserwatorów, przyjrzyjmy się prędkości względnej mionu z perspektywy obserwatora na Ziemi. Jest ona dana wzorem

Ta sama prędkość odnotowana z perspektywy przemieszczającego się mionu wynosi

Obie te prędkości muszą być sobie równe, a więc

Z Równania 5.1 i Równania 5.2 wiemy, że $\Delta t=\gamma \Delta \tau$. Podstawiając to wyrażenie do poprzedniego równania, otrzymamy

Wprowadzając do wzoru wyrażenie na $\gamma$, otrzymamy zależność wiążącą ze sobą odległości mierzone przez różnych obserwatorów.

Każde ciało poruszające się z pewną prędkością względną w stosunku do naszego układu odniesienia będzie miało zmierzoną długość $L$ o mniejszej wartości w stosunku do długości $L_0$, obserwowanej, gdy ciało to jest w spoczynku. Wracając do przykładu mionu, dystans, jaki w trakcie jego istnienia pokonuje Ziemia względem cząstki, jest mniejszy niż obserwowany w laboratorium przez naukowca, dla którego miejsca powstania i rozpadu mionu są nieruchome. Chmury i inne ciała mijane przez mion w trakcie jego przemieszczania także ulegają skróceniu z perspektywy układu spoczynkowego cząstki.

Wiemy już, że długość może ulec skróceniu dla obserwatora poruszającego się w kierunku obserwowanego zdarzenia. Jednak co się dzieje z długościami mierzonymi w kierunku prostopadłym do kierunku ruchu? Wyobraźmy sobie dwóch chłopców (obserwatorów) poruszających się wzdłuż osi $x$, którzy mijają się, mając w rękach miarki metrowe skierowane pionowo – wzdłuż osi $y$. Ilustracja 5.10 przedstawia dwóch chłopców $S$ i $S^{\prime }$ trzymających metrowe miarki $M$ i $M^{\prime }$; miarki te pozostają w spoczynku w układach odniesienia trzymających je obserwatorów. Do jednego końca miarki $M^{\prime }$ przyczepiono mały pędzel (jak na Ilustracji 5.10). Załóżmy, że chłopiec $S^{\prime }$ porusza się z bardzo dużą prędkością $v$ względem chłopca $S$, a ich miarki są skierowane prostopadle do kierunku wektora prędkości względnej. Miarki trzymane są w taki sposób, że w momencie mijania ich dolne końce (miejsca, gdzie miarki wskazują $0\mathrm{cm}$) się pokrywają. Po minięciu kolegi $S$ zauważa, że linia pozostawiona przez pędzel leży odrobinę poniżej wierzchołka miarki $M$. Wiedząc, że pędzel był przyczepiony do górnego końca miarki $M^{\prime }$, $S$ dochodzi do wniosku, że miarka kolegi musi być mniejsza od jego własnej, a zatem krótsza niż $1\mathrm{m}$.

Ilustracja 5.10 Miarki metrowe $M$ i $M^{\prime }$ pozostają w spoczynku w układach odniesienia odpowiednio obserwatorów $S$ i $S^{\prime }$. Gdy miarki się mijają, mały pędzel przytwierdzony do wierzchołka miarki (na wysokości dokładnie $100\mathrm{cm}$) $M^{\prime }$ maluje linię na miarce $M$.

Gdy chłopcy zbliżają się do siebie, obserwator $S^{\prime }$ podobnie jak $S$ widzi miarkę zbliżającą się do niego z prędkością względną równą $v$. Ponieważ sytuacja jest symetryczna, chłopiec $S^{\prime }$ powinien zauważyć efekty relatywistyczne analogiczne do odnotowanych przez chłopca $S$. Oznacza to, że w układzie odniesienia obserwatora $S^{\prime }$ to miarka $M$ ulega skróceniu, a co za tym idzie pędzel, przyczepiony do miarki $M^{\prime }$ przechodzi nad nią, nie malując linii. Innymi słowy, w wyniku tego samego zdarzenia jeden z chłopców widziałby miarkę $M$ z namalowaną linią, a drugi czystą.

Pierwszy postulat Einsteina wymaga, aby prawa fizyki obowiązywały we wszystkich układach inercjalnych, co oznacza, że chłopcy $S$ i $S^{\prime }$ znajdujący się w takich układach odniesienia powinni dojść do zbieżnych wniosków. W obu układach miarka powinna być czysta lub pomalowana. Przy takich założeniach musimy przyjąć, że nasze pierwotne założenia były mylne i chłopcy nie obserwują skrócenia miarek będących w stosunku do nich w ruchu. W takim przypadku obaj zauważą namalowaną linię dokładnie na wierzchołku miarki $M$ i ich wnioski będą spójne. Możemy więc wyciągnąć wniosek, że długości prostopadłe do kierunku ruchu muszą być takie same we wszystkich układach inercjalnych.

Przykład 5.5

Obliczanie skrócenia długości

Załóżmy, że astronauta porusza się z taką prędkością, że $\gamma =30$.

1. Astronauta podróżuje z Ziemi do najbliższego układu planetarnego – Alfa Centauri, który jest odległy o $\mathrm{4,3}$ roku świetlnego (mierzone przez obserwatora na Ziemi). Jak daleko są od siebie Alfa Centauri i Ziemia względem układu odniesienia związanego z astronautą?
2. Jaka jest prędkość astronauty względem Ziemi? Wynik podajmy w jednostkach $c$. Pomińmy ruch Ziemi wokół Słońca (Ilustracja 5.11).

Ilustracja 5.11 (a) Obserwator na Ziemi mierzy długość własną między Ziemią a Alfą Centauri. (b) Astronauta obserwuje skrócenie długości wszystkich obiektów poruszających się względem niego – Ziemia, Alfa Centauri i odległość między nimi ulegają „skurczeniu” w kierunku zgodnym z wektorem prędkości względnej. Dzięki temu może pokonać tę odległość w krótszym czasie (czasie własnym w jego układzie odniesienia) bez przekraczania prędkości światła.

Strategia rozwiązania

Na początku zauważmy, jak ciekawą jednostką jest rok świetlny – opisuje on, jaką odległość przebędzie światło w ciągu jednego roku. W podpunkcie (a) widzimy, że odległość między Alfą Centauri a Ziemią, równa $\mathrm{4,3}$ roku świetlnego, to odległość własna $L_0$, ponieważ jest mierzona przez obserwatora znajdującego się na Ziemi, dla którego oba ciała niebieskie są (w przybliżeniu) nieruchome. Z punktu widzenia astronauty Ziemia i Alfa Centauri poruszają się ze stałą prędkością, a więc odległość między nimi ulega skróceniu. Oznaczymy ją jako $L$. W podpunkcie (b) dzięki znajomości wartości $\gamma$ możemy obliczyć $v$, uzależniając je od $c$.

Rozwiązanie części (a)

• Określamy dane: $L_0=\mathrm{4,3}\mathrm{ly}$, $\gamma =30$.
• Określamy szukane: $L$.
• Wyrażamy rozwiązanie za pomocą równania
  $$L=\frac{L_0}{\gamma }\text{.}$$
• Wykonujemy obliczenia
  $$L=\frac{L_0}{\gamma }=\frac{\mathrm{4,3}\mathrm{ly}}{30}=\mathrm{0,1433}\mathrm{ly}\text{.}$$

Rozwiązanie części (b)

• Określamy dane: $\gamma =30$.
• Określamy szukane: $v$ wyrażone w jednostkach $c$.
• Wyrażamy rozwiązanie za pomocą równania
  $$L=\frac{L_0}{\gamma }\text{.}$$
• Wykonujemy obliczenia
  $$\frac{v}{c}=\sqrt{1-\frac{1}{{\gamma }^2}}=\sqrt{1-\frac{1}{{30}^2}}=\mathrm{0,999\hspace{0.17em}44}$$
  $$v=\mathrm{0,999\hspace{0.17em}44}c\text{.}$$

Znaczenie

Pamiętajmy, aby nie zaokrąglać wyników aż do końca obliczeń, inaczej nasze rozwiązania mogą być błędne. Ta zasada jest szczególnie istotna w zagadnieniach fizyki relatywistycznej, gdzie różnice mogą występować na odległym miejscu po przecinku. Przy $\gamma =30$ i prędkości $v$ bliskiej (ale nie równej) prędkości światła obserwowane efekty relatywistyczne powinny być wyraźne. Ponieważ odległość między ciałami niebieskimi mierzona przez astronautę jest dużo mniejsza, może on ją pokonać w krótszym czasie.

Podróżując z wystarczająco dużą prędkością, ludzie mogliby przebywać ogromne odległości (nawet tysiące czy miliony lat świetlnych), starzejąc się jedynie o kilka lat. Jednak decyzja o takiej podróży byłaby równoznaczna z pożegnaniem świata takiego, jaki znali. Nawet gdyby ktoś zdecydował się na powrót na Ziemię, byłaby to zupełnie inna planeta, starsza o wiele tysięcy lat. Oprócz tego istnieje też niezwykle istotna przeszkoda – osiągnięcie prędkości bliskich $c$ wymagałoby nakładów energii większych, niż uważane w fizyce klasycznej za możliwe. Ten temat szerzej omówimy w dalszej części rozdziału.

Dlaczego nie zauważamy skrócenia długości na co dzień? Droga do sklepu spożywczego nie wydaje się zależeć od tego, czy się poruszamy, czy nie. Analizując równanie $L=L_0\sqrt{1-v^2∕c^2}$, łatwo zauważyć, że przy małych prędkościach ($v\ll c$) długości $L$ i $L_0$ są praktycznie takie same, co zgadza się z założeniami fizyki klasycznej. Choć niezauważalne w codziennym życiu, skrócenie długości jest powszechnym zjawiskiem na poziomie atomowym. Jako przykład rozważmy elektron poruszający się z prędkością bliską prędkości światła. Podczas ruchu elektronu linie pola elektrycznego ulegają skróceniu w kierunku przemieszczania się cząstki, z perspektywy zewnętrznego obserwatora (Ilustracja 5.12). W momencie przelotu przez detektor (np. zwój drutu) jego pole oddziałuje z detektorem krócej, niż powinno. Efekt ten jest możliwy do zaobserwowania w akceleratorze cząstek, takim jak w Centrum Liniowego Akceleratora Stanforda (ang. Stanford Linear Accelerator Center, SLAC). Chociaż tunel akceleratora ma $3\mathrm{km}$, to dla elektronu poruszającego się w tunelu SLAC zarówno akcelerator, jak i Ziemia przemieszczają się z prędkością względną $v$. Efekty relatywistyczne są tak znaczące, że powoduje to skrócenie drogi elektronu do $\mathrm{0,5}\mathrm{km}$. Jest to kolejne eksperymentalne potwierdzenie szczególnej teorii względności.

Ilustracja 5.12 Linie pola elektrycznego elektronu poruszającego się z dużą prędkością są skrócone wzdłuż kierunku ruchu cząstki, przez co skróceniu ulega także sygnał po przejściu cząstki przez detektor.