3.5 Interferometr Michelsona

Interferometr (ang. interferometer) Michelsona, skonstruowany przez amerykańskiego fizyka Alberta A. Michelsona (1852–1931), jest przyrządem optycznym służącym do precyzyjnego pomiaru zmian odległości, a także długości fali lub jej zmiany, który daje obraz w postaci prążków interferencyjnych. Obraz ten powstaje wskutek rozdzielenia wiązki światła na dwie wiązki, które pokonawszy drogę optyczną o różnej długości, spotykają się i interferują ze sobą. Ilustracja 3.16 przedstawia interferometr i drogę wiązki światła wychodzącej z pojedynczego punktu rozciągłego źródła, które stanowi szklana płytka, pełniąca funkcję dyfuzora (ang. ground-glass plate), rozpraszająca monochromatyczne światło laserowe o długości ${\lambda }_0$. Wiązka pada na półprzepuszczalne zwierciadło (tzw. płytkę światłodzielącą) $\text{Z}$, które połowę wiązki odbija, a połowę przepuszcza. Wiązka odbita biegnie do ruchomego zwierciadła ${\text{Z}}_1$, gdzie się odbija i trafia, przechodząc przez $\text{Z}$, do obserwatora. Pozostała część wiązki, która przeszła przez $\text{Z}$, odbija się od nieruchomego zwierciadła ${\text{Z}}_2$, a następnie zostaje skierowana przez zwierciadło $\text{Z}$ – również do obserwatora.

Ilustracja 3.16 Interferometr Michelsona. (a) Rozciągłym źródłem światła jest szklana płytka, która odgrywa rolę dyfuzora dla światła laserowego. (b) Widok z góry.

Ponieważ obie wiązki wychodzą z tego samego źródła jako jedna wiązka (czerwona), to są one koherentne (spójne), co pozwala obserwować ich interferencję. Należy zauważyć, że jedna wiązka (niebieska) przechodzi przez zwierciadło $\text{Z}$ trzy razy, natomiast druga (czerwona) tylko raz. Aby dwie wiązki przechodziły przez identyczną grubość szkła, na drodze wiązki od/do zwierciadła ${\text{Z}}_2$ jest umieszczona dodatkowa płytka kompensująca $\text{K}$, wykonana z przezroczystego szkła. Płytka ta jest niemal identyczna z półprzepuszczalnym zwierciadłem $\text{Z}$ (wycięta z tego samego kawałka szkła), ale nie zawiera półprzepuszczalnej warstwy srebra. W obecności płytki kompensującej $\text{K}$ każde przesunięcie w fazie dwóch rozdzielonych wiązek światła laserowego może być spowodowane jedynie różnicą drogi, jaką mają do pokonania obie wiązki.

Różnica dróg geometrycznych pomiędzy obiema wiązkami w miejscu, w którym się one spotykają, jest równa $2d_1-2d_2$, gdzie $d_1$ jest odległością pomiędzy $\text{Z}$ a ${\text{Z}}_1$, zaś $d_2$ – pomiędzy $\text{Z}$ a ${\text{Z}}_2$. Załóżmy teraz, że różnica dróg optycznych (uwzględniająca zmianę fazy fali zachodzącą przy odbiciu na granicy dwóch ośrodków) jest równa całkowitej wielokrotności długości fali $m{\lambda }_0$. Wtedy będzie miała miejsce konstruktywna interferencja i obserwator zauważy jasny obraz punktu źródła. Zachodzi ona również dla każdej pary wiązek, wychodzących z rozciągłego źródła. Zbiór wszystkich takich punktów, dla których różnica dróg wynosi $m{\lambda }_0$, tworzy jasny kołowy prążek w obserwowanym obrazie (patrz Ilustracja 3.17). Gdy zmienimy położenie zwierciadła ${\text{Z}}_1$ o $\Delta d={\lambda }_0∕2$, to zmiana drogi optycznej będzie wynosić ${\lambda }_0$ i każdy z prążków przesunie się na miejsce sąsiedniego. W rezultacie, licząc liczbę prążków $m$ przesuwających się na obrazie w określonym miejscu (faktycznie obserwator jest w stanie określić nawet bardzo małą zmianę położenia prążka z dokładnością do części długości fali), możemy wyznaczyć zmianę położenia zwierciadła ${\text{Z}}_1$ na podstawie równania

Ilustracja 3.17 Obraz prążków interferencyjnych w interferometrze Michelsona. Źródło: „SILLAGESvideos”/YouTube

Przykład 3.6

Wyznaczanie współczynnika załamania światła w gazie

W jednym z ramion interferometru Michelsona umieszczono szklany pojemnik o szerokości $2\mathrm{cm}$, z którego można wypompować powietrze przy pomocy pompy próżniowej, a następnie wypełniać go różnymi gazami. Początkowo pojemnik był pusty. W miarę jak powoli wypełniano go gazem, obserwowano, że ciemne prążki interferencyjne przesuwają się na tle referencyjnej linii w wizjerze interferometru. Do momentu, gdy szklany pojemnik został wypełniony gazem do wymaganego ciśnienia, zaobserwowano przesunięcie się $122$ prążków w odniesieniu do referencyjnej linii. Długość fali światła użytego w tym doświadczeniu wynosiła $\mathrm{632,8}\mathrm{nm}$ (długość fali w próżni). Jaki jest współczynnik załamania dla tego gazu?

Strategia rozwiązania

Liczba $m=122$ zaobserwowanych prążków kompensuje różnicę pomiędzy liczbą długości fal, które mieszczą się w pustym pojemniku (w środku jest próżnia), a liczbą długości fal, które mieszczą się w tym samym pojemniku w sytuacji, gdy jest on wypełniony gazem. Długość fali światła w wypełnionym gazem pojemniku jest $n$ (współczynnik załamania) razy mniejsza od długości fali w próżni.

Rozwiązanie

Wiązka światła pokonuje dwukrotnie odległość $d=2\mathrm{cm}$ (wewnętrzna szerokość pojemnika), raz biegnąc do zwierciadła ${\text{Z}}_1$ i drugi raz wracając po odbiciu od niego. Zatem całkowita droga wiązki przez pojemnik to $L=2d$. Kiedy pojemnik jest pusty, liczba długości fal mieszczących się na tej drodze jest równa

$$N_0=\frac{L}{{\lambda }_0}=\frac{2d}{{\lambda }_0}\text{,}$$

gdzie ${\lambda }_0=\mathrm{632,8}\mathrm{nm}$ jest długością fali w próżni. W każdym innym ośrodku długość fali będzie równa $\lambda ={\lambda }_0∕n$, zatem liczba długości fali, które zmieszczą się na drodze $L$ w wypełnionym gazem pojemniku, będzie równa

$$N=\frac{L}{\lambda }=\frac{2d}{{\lambda }_0∕n}\text{.}$$

Stąd liczba prążków obserwowanych podczas napełniania gazem pojemnika wynosi

$$m=N-N_0=\frac{2d}{{\lambda }_0∕n}-\frac{2d}{{\lambda }_0}=\frac{2d}{{\lambda }_0}\left(n-1\right)\text{.}$$

Rozwiązując to równanie ze względu na $n-1$, otrzymujemy

$$n-1=m\frac{{\lambda }_0}{2d}=122\cdot \frac{\mathrm{632,8}\cdot {10}^{-9}\mathrm{m}}{2\cdot 2\cdot {10}^{-2}\mathrm{m}}=\mathrm{0,0019}\text{.}$$

Zatem $n=\mathrm{1,0019}$.

Znaczenie

Współczynniki załamania dla gazów są bardzo zbliżone do współczynnika załamania światła w próżni i zwykle zakładamy, że wynoszą $1$. Różnica pomiędzy $1$ a $\mathrm{1,0019}$ jest bardzo mała i uzyskanie takiego wyniku wymaga bardzo dokładnej metody pomiarowej, jaką jest właśnie interferometria. Nie możemy na przykład oczekiwać, że moglibyśmy wyznaczyć współczynnik załamania gazu, opierając się tylko na prawie załamania (prawie Snella).