William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

charakteryzować symetrię sferyczną, cylindryczną i płaszczyznową;
rozpoznawać, czy dany układ posiada lub nie jedną z tych symetrii;
stosować prawo Gaussa do wyznaczania natężenia pola elektrycznego układów posiadających jedną z tych symetrii.

Prawo Gaussa jest bardzo użyteczne do wyznaczania natężenia pola elektrycznego, pomimo że samo prawo nie odnosi się wprost do natężenia pola elektrycznego, ale dotyczy strumienia natężenia pola elektrycznego. Okazuje się, że w sytuacjach, w których rozkład ładunku ma określoną symetrię (sferyczną, cylindryczną lub płaszczyznową), możemy wywnioskować, jakie jest natężenie pola elektrycznego, na podstawie znajomości strumienia pola elektrycznego. W tych układach możemy wybrać (znaleźć) taką powierzchnię Gaussa $S$ , na której wektor natężenia pola ma stałą wartość. Ponadto, gdy wektor $\vec{E}$ jest równoległy do $\hat{n}$ w każdym punkcie powierzchni, to $\vec{E} \cdot \hat{n} = E$ (jeżeli $\vec{E}$ oraz $\hat{n}$ są antyrównoległe na całej powierzchni, to $\vec{E} \cdot \hat{n} = - E$ ). Prawo Gaussa upraszcza się wtedy do postaci

\Phi_E = \prefop{\u{222F}}_S \vec{E} \cdot \hat{n} \d S = E \prefop{\u{222F}}_S \d S = ES = \frac{q_{\text{wew}}}{\epsilon_0} \text{,}

6.6

gdzie $S$ jest powierzchnią Gaussa. Zauważmy, że dla układów o takich symetriach obliczanie strumienia w wyniku całkowania przekształca się w obliczanie iloczynu natężenia pola elektrycznego i odpowiedniej powierzchni. Gdy mamy do czynienia z taką sytuacją, to prawo Gaussa przyjmuje postać równania algebraicznego, z którego można otrzymać natężenie pola elektrycznego jako

E = \frac{q_{\text{wew}}}{\epsilon_0 S} \text{.}

Kierunek pola elektrycznego w punkcie $P$ pola wynika z symetrii rozkładu ładunku i rodzaju tego ładunku. Dlatego prawo Gaussa może być wykorzystane do wyznaczenia $\vec{E}$ . Poniżej podsumowanie kolejnych kroków postępowania:

Strategia rozwiązywania zadań

Strategia rozwiązania: prawo Gaussa

Rozpoznaj rozkład natężenia pola elektrycznego od danego rozkładu ładunku. To ważny, pierwszy krok, który pozwoli wybrać właściwą powierzchnię Gaussa. Przykładowo ładunek punktowy ma symetrię sferyczną, a nieskończony ładunek liniowy ma symetrię cylindryczną.
Wybierz powierzchnię Gaussa, która ma taką samą symetrię, jak rozkład ładunku, i zobacz, że przy takim wyborze łatwo wyznaczyć iloczyn $\vec{E} \cdot \hat{n}$ na powierzchni Gaussa.
Oblicz całkę $\prefop{\u{222F}}_S \vec{E} \cdot \hat{n} \d S$ po powierzchni Gaussa, czyli oblicz strumień przez tę powierzchnię. Symetria powierzchni Gaussa pozwala wyłączyć czynnik $\vec{E} \cdot \hat{n}$ przed całkę.
Wyznacz ładunek otoczony powierzchnią Gaussa. Tak obliczamy wartość wyrażenia po prawej stronie równania opisującego prawo Gaussa. Często do wyliczenia wypadkowego ładunku otoczonego przez powierzchnię konieczne jest obliczenie całki.
Oblicz natężenie pola elektrycznego od rozkładu ładunku. Natężenie pola może teraz być znalezione z wykorzystaniem wyników otrzymanych w 3 i 4 kroku.

Zasadniczo mamy trzy rodzaje symetrii, które pozwalają skorzystać z prawa Gaussa do wyznaczenia natężenia pola elektrycznego: rozkład ładunku o symetrii

sferycznej,
cylindrycznej,
płaszczyznowej.

Żeby wykorzystać tę symetrię, wykonujemy obliczenia w odpowiednim układzie współrzędnych postępując zgodnie z czterema podanymi krokami.

Rozkład ładunku o symetrii sferycznej

Rozkład ładunku ma symetrię sferyczną (ang. spherical symmetry), gdy gęstość ładunku zależy tylko od odległości od punktu w przestrzeni, a nie od kierunku. Mówiąc inaczej, jeżeli obrócimy układ, to nie zobaczymy zmiany. Na przykład, jeżeli kula o promieniu $R$ jest naładowana równomiernie ładunkiem o gęstości $ρ_{0}$ , to rozkład ładunku ma symetrię sferyczną – Ilustracja 6.21 (a). Z drugiej strony, gdy kula o promieniu $R$ jest naładowana tak, że gęstość ładunku w górnej połowie kuli wynosi $ρ_{1}$ , a w dolnej połowie jest równa $ρ_{2} \neq ρ_{1}$ , wtedy układ nie ma symetrii sferycznej, ponieważ gęstość ładunku zależy od kierunku – Ilustracja 6.21 (b). Tak więc to nie kształt obiektu (ciała), ale raczej kształt rozkładu ładunku decyduje o tym, czy układ ma lub nie symetrię sferyczną.

Na Ilustracji 6.21 (c) pokazano kulę z czterema różnymi sferycznymi powłokami, każda ze swoją indywidualną gęstością ładunku. Chociaż gęstość ładunku w całej objętości nie jest jednorodna, to funkcja gęstości ładunku zależy tylko od odległości od środka, a nie od kierunku. Dlatego ten rozkład ładunku ma symetrię sferyczną.

Rysunek a pokazuje jednolicie pokolorowaną kulę oznaczoną ro 0. Układ oznaczony jest jako sferycznie symetryczny. Rysunek b pokazuje kulę, której półkula górna i dolna mają różne kolory. Górna oznaczona jest ro 1 a dolna ro 2. Układ oznaczony jest jako nie posiadający symetrii sferycznej. Rysunek c pokazuje kulę, podzieloną na wiele koncentrycznych sferycznych powłok różnie pokolorowanych. Układ oznaczony jest jako sferycznie symetryczny.

Ilustracja 6.21 Przedstawienie układów o symetrii sferycznej i nieposiadających takiej symetrii. Różne kolory oznaczają różne gęstości ładunku. Jeżeli ładunki są umieszczone na ciałach o sferycznej symetrii, to nie oznacza to tym samym, że rozkład ładunku ma taką symetrię. Z symetrią sferyczną mamy do czynienia tylko wtedy, gdy gęstość ładunku nie zależy od kierunku. Na rysunku (a) ładunki są rozmieszczone równomiernie w kuli. Na rysunku (b) gęstość ładunku w górnej połowie kuli jest inna niż ta w dolnej połowie kuli; dlatego, w sytuacji (b) układ nie ma symetrii sferycznej. Na rysunku (c) ładunki rozmieszczone są w sferycznych powłokach z różnymi gęstościami ładunku, co oznacza, że gęstość ładunku jest wyłącznie funkcją radialnej odległości od środka; dlatego układ ma symetrię sferyczną.

Jednym ze sposobów rozstrzygnięcia, czy mamy do czynienia z symetrią sferyczną, czy też nie, jest wyrażenie funkcji gęstości ładunku we współrzędnych sferycznych, $ρ (r, θ, ϕ)$ . Jeżeli gęstość ładunku jest wyłącznie funkcją $r$ , czyli $ρ = ρ (r)$ , to wtedy mamy do czynienia z symetrią sferyczną. Jeżeli gęstość zależy od $θ$ lub od $ϕ$ , to możemy zmienić układ poprzez jego obrót; wtedy nie mamy do czynienia z symetrią sferyczną.

Następstwa symetrii

We wszystkich przypadkach, gdy mamy do czynienia z symetrią sferyczną, pole elektryczne musi być w każdym punkcie skierowane radialnie, ponieważ ładunek i pole elektryczne muszą być niezmiennicze ze względu na obrót. Dlatego stosując współrzędne sferyczne z początkiem układu w środku sferycznego rozkładu ładunku, możemy zapisać wyrażenie na natężenie pola elektrycznego w punkcie $P$ znajdującym się w odległości $r$ od środka w postaci

{\vec{E}}_{P} = E_{P} (r) \hat{r},

6.7

gdzie $\hat{r}$ jest wektorem jednostkowym (wersorem) skierowanym od początku układu do punktu pola $P$ . Składowa radialna $E_{P}$ natężenia pola elektrycznego może być dodatnia lub ujemna. Gdy $E_{P} > 0$ , pole elektryczne w punkcie $P$ jest skierowane od początku układu, a kiedy $E_{P} < 0$ , pole elektryczne w punkcie $P$ jest skierowane do początku układu.

Powierzchnia Gaussa i obliczenia strumienia

Możemy teraz skorzystać z natężenia pola elektrycznego w tej postaci do wyznaczenia strumienia natężenia pola elektrycznego przez powierzchnię Gaussa. W przypadku symetrii sferycznej powierzchnia Gaussa jest zamkniętą sferyczną powierzchnią, której środek pokrywa się ze środkiem rozkładu ładunku. Dzięki temu wektor powierzchni, elementu powierzchni Gaussa, w każdym jej punkcie jest równoległy do kierunku natężenia pola elektrycznego w tym punkcie, gdyż oba są skierowane radialnie na zewnątrz (Ilustracja 6.22).

Rysunek przedstawia koło otaczające ładunek z centrum w O i promieniu R. Pokazany jest większy koncentryczny okrąg oznaczony linią przerywaną oznaczony jako powierzchnia Gaussa. Strzałka oznaczona jako r jest promieniem okręgu zewnętrznego. Strzałka oznaczona r z daszkiem pokazuje kierunek wzdłuż r. Mały element gdzie r dotyka powierzchni Gaussa jest wyróżniony i oznaczony P. Od tego miejsca znowu odchodzi strzałka skierowana na zewnątrz w tym samym kierunku co r. Oznacza ona wektor E z indeksem p. Inna strzałka z punktu P jest skierowana na zewnątrz w tym samym kierunku co wektor E z indeksem p i oznaczona jest jako delta wektor S.

Ilustracja 6.22 Wektor natężenia pola elektrycznego w każdym punkcie sferycznej powierzchni Gaussa dla sferycznie symetrycznego rozkładu ładunku jest równoległy do wektora powierzchni w tym punkcie, co pozwala przedstawić strumień pola elektrycznego jako iloczyn natężenia pola elektrycznego i powierzchni. Zauważ, że promień

R

rozkładu ładunku i promień

r

powierzchni Gaussa są rożnymi wielkościami.

Wartość natężenia pola elektrycznego $\vec{E}$ musi być taka sama w każdym punkcie sferycznej powierzchni Gaussa współśrodkowej z rozkładem ładunku. Dla sferycznej powierzchni o promieniu $r$

\Phi_E = \prefop{\u{222F}}_S \vec{E}_P \cdot \hat{n} \d S = E_P \prefop{\u{222F}}_S \d S = E_P \cdot 4\pi r^2 \text{.}

Stosowanie prawa Gaussa

Zgodnie z prawem Gaussa strumień przenikający zamkniętą powierzchnię jest równy całkowitemu ładunkowi otoczonemu przez zamkniętą powierzchnię, podzielonemu przez przenikalność elektryczną próżni $ε_{0}$ . Niech $q_{wew}$ będzie całkowitym ładunkiem znajdującym się w odległości $r$ od początku układu, to jest w obszarze wewnątrz sferycznej powierzchni Gaussa o promieniu $r$ . Wówczas z prawa Gaussa otrzymujemy

E \cdot 4\pi r^2 = \frac{q_{\text{wew}}}{\epsilon_0} \text{.}

Dlatego pole elektryczne w punkcie $P$ znajdującym się w odległości $r$ od środka sferycznie symetrycznego rozkładu ładunku ma następujące natężenie i zwrot

E \apply (r) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{q_{\text{wew}}}{r^2} \text{,}

6.8

zwrot: radialnie od $O$ do $P$ lub od $P$ do $O$ .

Zwrot natężenia pola elektrycznego w punkcie $P$ zależy od tego, czy ładunek wewnątrz sfery jest dodatni, czy ujemny. Dla wypadkowego dodatniego ładunku otoczonego przez powierzchnię Gaussa zwrot jest od $O$ do $P$ , a dla wypadkowego ujemnego ładunku zwrot jest od $P$ do $O$ . To wszystko, czego potrzebujemy w przypadku ładunku punktowego i, jak widać, powyższy wynik jest taki sam, jak dla ładunku punktowego. Jednak prawo Gaussa okazuje się rzeczywiście użyteczne w przypadku, gdy ładunki rozmieszczone są w skończonej objętości.

Obliczanie ładunku otoczonego przez powierzchnię

Bardziej interesującym przypadkiem jest ten, gdy mamy w danej objętości sferyczny rozkład ładunku i pytamy, jakie jest natężenie pola elektrycznego wewnątrz tego rozkładu ładunku. W tym przypadku ładunek uwzględniany w obliczeniach (otoczony powierzchnią Gaussa) zależy od odległości $r$ punktu pola w stosunku do promienia rozkładu ładunku $R$ , tak jak pokazano na Ilustracji 6.23.

Rysunek a przedstawia, nakreślony linią przerywaną, okrąg S ze środkiem O i promieniem r oraz większe koncentryczne z nim koło o promieniu R. Mała strzałka jest skierowana na zewnątrz od S i oznaczona E z indeksem wewn. S jest oznaczona jako powierzchnia Gaussa dla wektora E ze znakiem wewn. Rysunek b pokazuje okrąg S z centrum w O i promieniem r oraz mniejsze współśrodkowe z nim koło o promieniu R. Mała strzałka jest skierowana na zewnątrz od S. Jest oznaczona jako wektor E z indeksem zewn. S oznacza powierzchnię Gaussa dla wektora E ze znakiem zewn.

Ilustracja 6.23 Sferyczny rozkład ładunku i powierzchnia Gaussa wykorzystywana do wyznaczenia natężenia pola elektrycznego (a) wewnątrz oraz (b) na zewnątrz rozkładu ładunku.

Jeżeli punkt $P$ znajduje się na zewnątrz rozkładu ładunku, czyli gdy $r \geq R$ , wówczas powierzchnia Gaussa, na której leży punkt $P$ , otacza wszystkie ładunki w kuli. W tym przypadku $q_{wew}$ jest równy całkowitemu ładunkowi kuli. Z drugiej strony, gdy punkt $P$ leży wewnątrz sferycznego rozkładu ładunku, czyli gdy $r < R$ , wtedy powierzchnia Gaussa otacza mniejszą kulę niż kula rozkładu ładunku. W tym przypadku $q_{wew}$ jest mniejszy niż całkowity ładunek kuli. Nawiązując do Ilustracji 6.23, możemy zapisać $q_{wew}$ jako

q_{\text{wew}} = \left{ \begin{matrix*}[l] q_{\text{wew}} \text{,} &\text{ładunek wewnątrz powierzchni Gaussa, dla } r < R \text{,} \\ q_{\text{cał}} \text{,} &\text{całkowity ładunek, dla } r \geq R \text{.} \end{matrix*} \right.

Natężenie pola elektrycznego na zewnątrz rozkładu ładunku jest oznaczane jako ${\vec{E}}_{zew}$ , a natężenie pola elektrycznego wewnątrz rozkładu ładunku oznaczamy jako ${\vec{E}}_{wew}$ . Skupiając się nad dwoma kategoriami punktów pola, wewnątrz lub na zewnątrz rozkładu ładunku, możemy teraz wyrazić natężenie pola elektrycznego jako

E_{\text{wew}} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{q_{\text{wew}}}{r^2} \text{,}

6.9

E_{\text{zew}} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{q_{\text{cał}}}{r^2} \text{,}

6.10

Zauważmy, że natężenie pola elektrycznego na zewnątrz sferycznie symetrycznego rozkładu ładunku jest takie samo, jak dla ładunku punktowego umieszczonego w środku rozkładu, o wartości równej całkowitemu ładunkowi rozkładu sferycznego. Jest to istotne, gdyż ładunki nie znajdują się tylko w środku. Rozpatrzymy teraz szczególne przykłady sferycznych rozkładów ładunków, poczynając od przypadku jednorodnie naładowanej kuli.

Przykład 6.6

Jednorodnie naładowana kula

Kula o promieniu

R

, taka jak pokazana na Ilustracji 6.23, ma jednorodną objętościową gęstość ładunku

ρ_{0}

. Znajdziemy natężenie pola elektrycznego w punkcie na zewnątrz kuli i w punkcie wewnątrz kuli.

Strategia rozwiązania

Skorzystajmy z prawa Gaussa do rozwiązania zadania, stosując taką strategię jak przy obliczaniu strumienia pola.

Rozwiązanie

Ładunek wewnątrz powierzchni Gaussa jest dany jako

q_{\text{wew}} = \iiint_V \rho_0 \d V = \rho_0 \iiint_V \d V = \rho_0 \cdot \frac43 \pi r^3 \text{.}

Możemy teraz napisać wyrażenie na natężenie pola elektrycznego dla punktu znajdującego się na zewnątrz kuli, oznaczone jako $E_{zew}$ , oraz dla punktu wewnątrz kuli, oznaczone jako $E_{wew}$ .

E_{\text{wew}} = \frac{q_{\text{wew}}}{4\pi \epsilon_0 r^2} = \frac{\rho_0 r}{3 \epsilon_0} \text{, ponieważ } q_{\text{wew}} = \frac43 \pi r^2 \rho_0 \text{,}

E_{\text{zew}} = \frac{q_{\text{całk}}}{4\pi \epsilon_0 r^2} = \frac{\rho_0 R^3}{3\epsilon_0 r^2} \text{, ponieważ } q_{\text{cał}} = \frac43 \pi R^3 \rho_0 \text{.}

Warto zauważyć, że natężenie pola elektrycznego rośnie wewnątrz materiału w miarę oddalania się od środka, ponieważ wraz ze wzrostem objętości rośnie ilość ładunku otoczonego przez powierzchnię Gaussa. Konkretnie, wartość ładunku otoczonego przez powierzchnię Gaussa rośnie proporcjonalnie do sześcianu promienia $q_{\text{wew}} \propto r^3$ , podczas gdy natężenie pola wytworzonego przez dowolny nieskończenie mały ładunek maleje proporcjonalnie do kwadratu promienia $E \propto 1 ∕ r^{2}$ . Łącząc te dwa fakty ze sobą, otrzymujemy, że natężenie pola elektrycznego rośnie liniowo z promieniem. Natężenie pola elektrycznego na zewnątrz kuli maleje w miarę oddalania się od ładunków, ponieważ ładunek wewnątrz powierzchni Gaussa pozostaje niezmieniony, podczas gdy rośnie odległość. Ilustracja 6.24 pokazuje zmianę natężenia pola elektrycznego w funkcji odległości od środka jednorodnie naładowanej kuli.

Rysunek przestawia wykres zależności E od r. Wykres początkowo przedstawia wznoszącą się linię prostą oznaczoną E proporcjonalne do r, a po osiągnięciu maksimum opada jako krzywa E proporcjonalna do 1 dzielone przez r do kwadratu. Maksimum odpowiada wartości R na osi x i wartość E z indeksem R na osi y.

Ilustracja 6.24 Natężenie pola elektrycznego nieprzewodzącej, jednorodnie naładowanej kuli rośnie wewnątrz kuli, osiągając maksimum na jej powierzchni:

E_{R} = ρ_{0} R ∕ (3 ε_{0})

, a następnie maleje jak

1 ∕ r^{2}

. Pokazane jest pole elektryczne wytworzone przez sferyczny rozkład ładunku o jednorodnej gęstości ładunku i całkowitym ładunku

Q

w funkcji odległości od środka rozkładu ładunku.

Natężenie pola elektrycznego w każdym punkcie $P$ jest skierowane radialnie na zewnątrz od środka, gdy $ρ_{0}$ jest dodatnia, i do wewnątrz (tzn. do środka), gdy $ρ_{0}$ jest ujemna. Natężenie pola elektrycznego w wybranych punktach przestrzeni jest pokazane na Ilustracji 6.25, dla współrzędnych sferycznych $r$ równych $r = R ∕ 2$ , $r = R$ i $r = 2 R$ .

Rysunek przedstawia trzy koncentryczne okręgi. Najmniejszy z nich oznaczony linią przerywaną oznaczony jest r równe R przez 2. Środkowy jest oznaczony r równe R, a największy, oznaczony jest r równe 2R. Dla każdego okręgu pokazane są strzałki skierowane od środka na zewnątrz, prostopadle do okręgu, oznaczone jako wektor E. Strzałki na zewnętrznym okręgu są najmniejsze, a strzałki na środkowym okręgu są najdłuższe.

Ilustracja 6.25 Wektory natężenia pola elektrycznego wewnątrz i na zewnątrz jednorodnie naładowanej kuli.

Znaczenie

Zauważmy, że wyrażenie na

E_{zew}

ma taką samą postać jak natężenie pola elektrycznego pojedynczego ładunku punktowego. Dlatego przy obliczaniu natężenia pola elektrycznego jednorodnego, sferycznego rozkładu ładunku możemy założyć, że cały ładunek jest skupiony w środku odpowiedniej powierzchni Gaussa.

Przykład 6.7

Niejednorodnie naładowana kula

Nieprzewodząca kula o promieniu

R

jest naładowana z niejednorodną gęstością ładunku, która zmienia się wraz z odległością od środka zgodnie z zależnością

ρ (r) = a r^{n} (r \leq R, n \geq 0),

gdzie $a$ jest stałą. Przyjmujemy, że $n \geq 0$ , aby gęstość ładunku nie była niezdefiniowana w $r = 0$ . Znajdziemy natężenie pola elektrycznego w punkcie na zewnątrz i wewnątrz kuli.

Strategia rozwiązania

Skorzystajmy z poprzedniego przykładu do obliczenia ładunku otoczonego przez powierzchnię Gaussa wewnątrz i na zewnątrz kuli.

Rozwiązanie

Ponieważ dana funkcja gęstości ładunku zależy tylko od składowej radialnej, a nie od kierunku, mamy do czynienia z symetrią sferyczną. Dlatego natężenie pola elektrycznego w każdym punkcie jest opisane przez wyrażenia podane powyżej, a kierunek pola jest radialny. Potrzebujemy tylko wyznaczyć ładunek otoczony powierzchnią Gaussa

q_{wew}

, zależny od położenia punktu pola, w którym wyznaczamy natężenie.

Uwaga na temat oznaczeń: używamy $r^{'}$ do opisu położenia ładunków w rozkładzie ładunku oraz $r$ do opisu położenia punktów pola na powierzchni Gaussa. Literą $R$ oznaczamy promień rozkładu ładunku.

Ponieważ gęstość ładunku nie jest stałą, musimy scałkować funkcję gęstości ładunku po objętości ograniczonej powierzchnią Gaussa. Dlatego formułujemy zagadnienie dla ładunków zawartych w sferycznej powłoce, pomiędzy $r^{'}$ i $r^{'} + d r^{'}$ , jak pokazano na Ilustracji 6.26. Objętość zajmowana przez ładunki znajdujące się w powłoce o nieskończenie małej grubości jest równa iloczynowi powierzchni $4\pi (r')^2$ i grubości $d r^{'}$ . Mnożąc objętość przez gęstość ładunku w tym położeniu, która wynosi $a(r')^n$ , otrzymujemy ładunek zawarty w powłoce

\d q = a (r')^n \cdot 4\pi (r')^2 \d r' \text{.}

Rysunek przedstawia cztery koncentryczne okręgi. Zaczynając od najmniejszego ich promienie są oznaczone r prim, r prim plus d r prim, R i r. Okrąg zewnętrzny jest narysowany linią przerywaną i oznacza powierzchnię Gaussa.

Ilustracja 6.26 Sferycznie symetryczny układ z niejednorodnym rozkładem ładunku. W takich przypadkach potrzebujemy do opisu czterech promieni:

R

jest promieniem rozkładu ładunku,

r

jest promieniem powierzchni Gaussa,

r^{'}

jest wewnętrznym promieniem sferycznej powłoki,

r^{'} + d r^{'}

jest zewnętrznym promieniem sferycznej powłoki. Ta sferyczna powłoka jest wykorzystywana do obliczenia ładunku zawartego w powierzchni Gaussa. Promień

r^{'}

zmienia się w zakresie od

0

do

r

dla pola w punkcie wewnątrz rozkładu ładunku i od

0

do

R

dla pola w punkcie na zewnątrz rozkładu ładunku. Gdy

r > R

, wtedy powierzchnia Gaussa obejmuje większą objętość niż rozkład ładunku, ale dodatkowa objętość nie ma wpływu na

q_{wew}

.

Natężenie pola w punkcie na zewnątrz rozkładu ładunku. W tym przypadku powierzchnia Gaussa, na której leży punkt pola $P$ , ma promień $r$ większy niż promień $R$ rozkładu ładunku, $r > R$ . Dlatego cały ładunek rozkładu jest otoczony przez powierzchnię Gaussa. Zauważmy, że przestrzeń pomiędzy $r^{'} = R$ i $r^{'} = r$ nie zawiera ładunków i dlatego nie wnosi wkładu do całki po objętości ograniczonej powierzchnią Gaussa
$q_{\text{cał}} = \int_0^R a (r')^n \cdot 4\pi (r')^2 \d r' = \frac{4\pi a}{n+3} R^{n+3} \text{.}$
Korzystając z ogólnego wyrażenia na ${\vec{E}}_{zew}$ , obliczamy natężenie pola elektrycznego w punkcie na zewnątrz rozkładu ładunku
${\vec{E}}_{zew} = [\frac{a R^{n + 3}}{ε_{0} (n + 3)}] \frac{1}{r^{2}} \hat{r},$
gdzie $\hat{r}$ jest wersorem skierowanym od początku układu do punktu pola na powierzchni Gaussa.
Natężenie pola w punkcie wewnątrz rozkładu ładunku. Powierzchnia Gaussa znajduje się teraz wewnątrz rozkładu ładunku, z $r \leq R$ . Dlatego wyznaczając $q_{wew}$ , bierzemy pod uwagę tylko te ładunki, które znajdują się w odległości nie większej niż $r$ od środka sferycznego rozkładu ładunku
$q_{\text{wew}} = \int_0^r a (r')^n \cdot 4\pi (r')^2 \d r' = \frac{4\pi a}{n+3} r^{n+3} \text{.}$
Korzystając z ogólnego wyrażenia na ${\vec{E}}_{wew}$ , obliczamy natężenie pola elektrycznego w punkcie znajdującym się w odległości $r$ od środka, wewnątrz rozkładu ładunku
${\vec{E}}_{wew} = [\frac{a}{ε_{0} (n + 3)}] \cdot r^{n + 1} \hat{r},$
gdzie radialny wersor zawiera informację o kierunku pola.

Sprawdź, czy rozumiesz 6.4

Upewnij się, że natężenie pola elektrycznego dla kuli sprowadza się do wartości pola dla ładunku punktowego.

Rozkład ładunku o symetrii cylindrycznej

Rozkład ładunku ma symetrię cylindryczną (ang. cylindrical symmetry), gdy gęstość ładunku zależy tylko od odległości $r$ od osi walca i nie zmienia się ani wzdłuż osi, ani w kierunku osi. Inaczej mówiąc, jeżeli układ zmienia się w wyniku obrotu wokół osi lub na skutek przesunięcia wzdłuż osi, to układ nie posiada symetrii cylindrycznej.

Na Ilustracji 6.27 pokazane są cztery sytuacje, w których ładunki są rozmieszczone w walcu. Jednorodna gęstość ładunku $ρ_{0}$ w nieskończenie długim, prostym drucie ma symetrię cylindryczną, tak jak nieskończenie długi walec z ładunkiem o stałej gęstości $ρ_{0}$ . Nieskończenie długi walec, który jest naładowany z różną gęstością ładunku wzdłuż swojej długości, na przykład z gęstością ładunku $ρ_{1}$ dla $z > 0$ i $ρ_{2} \neq ρ_{1}$ dla $z < 0$ , nie posiada użytecznej dla naszych obliczeń symetrii cylindrycznej. Podobnie jak walec, w którym gęstość ładunku zmienia się wraz kierunkiem i wynosi na przykład $ρ_{1}$ dla $0 \leq θ < π$ i $ρ_{2} \neq ρ_{1}$ dla $π \leq θ < 2 π$ . Układ posiadający współosiowe, koncentryczne powłoki, z których każda charakteryzuje się inną jednorodną gęstością ładunku, jak na Ilustracji 6.27 (d), ma symetrię cylindryczną, jeżeli powłoki są nieskończenie długie. Wymóg nieskończonej długości wynika z tego, że dla skończenie długiego walca gęstość ładunku zmienia się wzdłuż jego osi. W rzeczywistych układach nie mamy do czynienia z nieskończonymi walcami; jednak zastosowanie przybliżenia w postaci nieskończenie długiego walca jest użyteczne, gdy analizowana przez nas odległość od walca jest znacząco mniejsza niż jego długość.

Rysunki przedstawiają cztery walce od a do d. Na rysunku a, podpisanym cylindrycznie symetryczny, walec jest pokolorowany jednorodnie i oznaczony ro zero. Na rysunku b, podpisanym brak symetrii cylindrycznej, górna i dolna połowa cylindra posiada inny kolor. Górna oznaczona jest ro 1, dolna ro 2. Na rysunku c, podpisanym brak symetrii cylindrycznej, lewa i prawa połowa cylindra jest pomalowana innym kolorem. Lewa jest oznaczona jako ro 1, prawa jako ro 2. Na rysunku d widać w przekroju wiele koncentrycznych sekcji walca. Rysunek jest podpisany cylindrycznie symetryczny.

Ilustracja 6.27 Aby określić, czy dany rozkład ładunku ma symetrię cylindryczną, popatrz na przekrój poprzeczny „nieskończenie długiego” walca. Jeżeli gęstość ładunku nie zależy od kąta biegunowego w przekroju poprzecznym i nie zmienia się wzdłuż osi walca, to mamy do czynienia z symetrią cylindryczną. (a) Gęstość ładunku w walcu jest stała; (b) górna połowa walca ma inną gęstość ładunku niż połowa dolna; (c) lewa połowa walca ma inną gęstość ładunku niż prawa; (d) ładunki są stałe w różnych cylindrycznych pierścieniach, ale gęstość nie zależy od kąta biegunowego. W przypadkach (a) i (d) mamy symetrię cylindryczną, podczas gdy dla (b) i (c) jej nie ma.