3.3 Pierwsza zasada termodynamiki

Zmiana stanu i pierwsza zasada termodynamiki

Podczas procesu termodynamicznego układ przechodzi ze stanu $A$ do $B$. Pobiera ciepło $400\mathrm{J}$ oraz wykonuje pracę $100\mathrm{J}$.

1. Jaka jest zmiana energii wewnętrznej układu dla tego przejścia?
2. Gdyby układ przeszedł z powrotem ze stanu $B$ do $A$, jaka byłaby zmiana jego energii wewnętrznej?
3. Gdyby przy przejściu ze stanu $A$ do $B$ na układzie została wykonana praca $W_{AB}^{\prime }=400\mathrm{J}$, to ile ciepła pobrałby układ?

Strategia rozwiązania

Pierwsza zasada termodynamiki wiąże ze sobą zmianę energii wewnętrznej, pracę wykonaną przez układ oraz ciepło przekazane do układu. Energia wewnętrzna jest funkcją stanu i zależy tylko od parametrów tego stanu, a nie od sposobu, w jaki został on osiągnięty.

Rozwiązanie

1. Zgodnie z pierwszą zasadą termodynamiki zmiana energii wewnętrznej wyraża się wzorem
   $$\text{Δ}{U}_{AB}=Q_{AB}-W_{AB}=400\mathrm{J}-100\mathrm{J}=300\mathrm{J}\text{.}$$
2. Rozważmy zamkniętą drogę przechodzącą przez stany $A$ i $B$. Energia wewnętrzna jest funkcją stanu, więc $\text{Δ}U$ wynosi zero dla zamkniętej drogi. Stąd
   $$\text{Δ}U=\text{Δ}{U}_{AB}+\text{Δ}{U}_{BA}=0\mathrm{J}\text{,}$$
   $$\text{Δ}{U}_{AB}=-\text{Δ}{U}_{BA}\text{.}$$
   Ostatecznie otrzymujemy
   $$\text{Δ}{U}_{BA}=-300\mathrm{J}\text{.}$$
3. Zmiana energii wewnętrznej jest taka sama, bez względu na drogę, więc
   $$\begin{array}{c}\text{Δ}{U}_{AB}=\text{Δ}{U}_{BA}^{\prime }=Q_{AB}^{\prime }-W_{AB}^{\prime }\text{,}\\ 300\mathrm{J}=Q_{AB}^{\prime }-\left(-400\mathrm{J}\right)\text{,}\end{array}$$
   a wymienione ciepło wynosi
   $$Q_{AB}^{\prime }=-100\mathrm{J}\text{.}$$
   Minus wskazuje, że układ oddaje ciepło wskutek tego przejścia.

Znaczenie

Kiedy rozważymy pierwszą zasadę termodynamiki dla cyklu zamkniętego, zmiana energii wewnętrznej wzdłuż całej drogi będzie równa zero. Gdyby w tym przykładzie występowało tarcie, mniejsza praca zostałaby wykonana przy takiej samej ilości pobranego ciepła. Przypadek taki pokazany jest w Przykładzie 3.3.

Polerowanie okucia

Mechanik poleruje kawałkiem płótna miedziane okucie o wadze $\mathrm{0,5}\mathrm{kg}$ przez $2\min$. Porusza on szmatką wzdłuż całego okucia ze stałą prędkością $1\mathrm{m}∕\mathrm{s}$ i z siłą skierowaną stycznie do powierzchni okucia, równą $20\mathrm{N}$.

1. Ile wynosi całkowita praca wykonana przez mechanika podczas polerowania?
2. O ile wzrasta energia wewnętrzna okucia? Przyjmij, że zmiana energii wewnętrznej szmatki jest nieistotna i nie ma wymiany ciepła między okuciem a jego środowiskiem.
3. O ile wzrasta temperatura okucia?

Strategia rozwiązania

Praca wykonywana przez mechanika na określonym odcinku, która może być obliczona na podstawie siły, prędkości i czasu podanych w zadaniu, jest pracą wykonaną na układzie. Na skutek wykonania tej pracy wzrasta energia wewnętrzna układu.

Rozwiązanie

1. Wydzieloną moc możemy obliczyć ze wzoru: $\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{v}=-Fv$. Dlatego w czasie $\text{Δ}t\text{(}2\min \text{)}$ praca wykonana przez okucie jest równa
   $$W=-Fv\Delta t=-20\mathrm{N}\cdot 1\mathrm{m}∕\mathrm{s}\cdot \mathrm{1,2}\cdot {10}^2\mathrm{s}=-\mathrm{2,4}\cdot {10}^3\mathrm{J}\text{.}$$
2. Z założeń wynika, że wymiana ciepła między okuciem a jego środowiskiem jest zerowa, więc dzięki pierwszej zasadzie termodynamiki uzyskujemy wzór na zmianę energii wewnętrznej okucia
   $$\text{Δ}U=-W=\mathrm{2,4}\cdot {10}^3\mathrm{J}\text{.}$$
3. Ponieważ $\text{Δ}U$ nie zależy od drogi procesu termodynamicznego, efekt działania pracy o wartości $\mathrm{2,4}\cdot {10}^3\mathrm{J}$ jest taki sam, jak gdyby energia była dostarczana pod ciśnieniem atmosferycznym w postaci ciepła. Dlatego
   $$\mathrm{2,4}\cdot {10}^3\mathrm{J}=mc\text{Δ}T=\mathrm{0,5}\mathrm{kg}\cdot \mathrm{3,9}\cdot {10}^2\mathrm{J}∕\left(\mathrm{kg}\mathrm{°}\mathrm{C}\right)\cdot \text{Δ}T$$
   i wzrost temperatury okucia wynosi
   $$\text{Δ}T=12\mathrm{°}\mathrm{C}\text{.}$$
   W obliczeniach użyliśmy wartości ciepła właściwego miedzi $c=\mathrm{3,9}\cdot {10}^2\mathrm{J}∕\left(\mathrm{kg}\mathrm{°}\mathrm{C}\right)$.

Znaczenie

Gdyby ciepło było uwalniane (do otoczenia), to zmiana energii wewnętrznej byłaby mniejsza i spowodowałaby mniejszą zmianę temperatury niż ta wyliczona w zadaniu.

Gaz doskonały przechodzący między dwoma stanami

Rozważmy przypadek rozprężania kwazistatycznego gazu doskonałego między stanami równowagowymi $A$ i $C$ z wykresu na Ilustracji 3.6. Jeśli $515\mathrm{J}$ ciepła zostanie pobrane przez gaz, kiedy przechodzi on drogę $ABC$, to ile ciepła potrzeba do przejścia drogą $ADC$? Załóżmy, że $p_1=\mathrm{2,1}\cdot {10}^5\mathrm{N}∕{\mathrm{m}}^2$, $p_2=\mathrm{1,05}\cdot {10}^5\mathrm{N}∕{\mathrm{m}}^2$, $V_1=\mathrm{2,25}\cdot {10}^{-3}{\mathrm{m}}^3$oraz $V_1=\mathrm{4,5}\cdot {10}^{-3}{\mathrm{m}}^3$.

Strategia

Różnica pracy wykonanej na drodze $ABC$ i na drodze $ADC$ to pole ograniczone przez $ABCD$. Ze względu na to, że zmiana energii wewnętrznej (funkcja stanu) jest taka sama dla obu procesów, różnica wykonanej pracy będzie równa różnicy ciepła pobranego przez układ.

Rozwiązanie

Dla drogi $ABC$ dodane ciepło wynosi $Q_{ABC}=515\mathrm{J}$, a praca wykonana przez gaz to pole pod drogą na wykresie $pV$, które wynosi

Dla drogi $ADC$ praca wykonana przez gaz to także pole pod drogą

Następnie, używając opisanej powyżej strategii, otrzymujemy

co prowadzi do

Znaczenie

Obliczenia pracy w tym zadaniu są proste, ponieważ praca nie jest wykonywana na drogach $AD$ i $BC$; zaś na odcinkach $AB$ i $DC$ ciśnienie jest stałe przy zmieniającej się objętości, a więc wykonywana praca to po prostu $p\text{Δ}V$. Krzywa izotermiczna również mogła zostać użyta, ponieważ wyprowadziliśmy wzór na pracę dla procesu izotermicznego jako $W=nRTln\left(V_2∕V_1\right)$.

Rozprężanie izotermiczne gazu doskonałego

Ciepło jest pobierane przez $1\mathrm{mol}$ jednoatomowego gazu doskonałego, zamkniętego w cylindrze z ruchomym tłokiem na końcu. Gaz rozpręża się kwazistatycznie przy stałej temperaturze $300\mathrm{K}$, aż jego objętość zwiększy się z $V$ do $3V$.

1. Jaka jest zmiana energii wewnętrznej gazu?
2. Ile pracy wykonuje gaz?
3. Ile ciepła pobiera gaz?

Strategia rozwiązania

1. Układ to gaz doskonały, a więc energia wewnętrzna zmieni się tylko przy zmianie temperatury.
2. Ciepło pobrane przez układ jest więc użyte tylko, aby wykonać pracę, jak pokazaliśmy w podrozdziale Praca, ciepło i energia wewnętrzna.
3. Aby obliczyć ciepło pobrane przez gaz, możemy zastosować pierwszą zasadę termodynamiki.

Rozwiązanie

1. W poprzedniej części widzieliśmy, że energia wewnętrzna jednoatomowego gazu doskonałego jest wyłącznie funkcją temperatury. Ponieważ dla tego procesu $\text{Δ}T=0\mathrm{K}$, to $\text{Δ}U=0\mathrm{J}$.
2. Z poprzedniej części wiemy, że dla kwazistatycznego rozprężania gazu doskonałego mamy
   $$W=nRTln\frac{V_2}{V_1}=nRTln\frac{3V}{V}=1\mathrm{mol}\cdot \mathrm{8,314}\mathrm{J}\mathrm{mol}∕\mathrm{K}\cdot 300\mathrm{K}\cdot ln3=\mathrm{2,74}\cdot {10}^3\mathrm{J}\text{.}$$
3. Używając wyników podpunktów (a) i (b) oraz stosując pierwszą zasadę termodynamiki, mamy
   $$\text{Δ}U=Q-W=0\mathrm{J}\text{,}$$
   co prowadzi do
   $$Q=W=\mathrm{2,74}\cdot {10}^3\mathrm{J}\text{.}$$

Znaczenie

W procesie izotermicznym nie ma zmiany energii wewnętrznej. Na tej podstawie pierwsza zasada termodynamiki redukuje się do równania $Q=W$.

Parowanie wody

Gdy $1\mathrm{g}$ wody o temperaturze $100\mathrm{°}\mathrm{C}$ zmienia stan z ciekłego na gazowy przy ciśnieniu atmosferycznym, jego zmiana objętości wynosi $\mathrm{1,67}\cdot {10}^{-3}{\mathrm{m}}^3$.

1. Ile ciepła musi być pobrane, aby odparować wodę?
2. Ile pracy wykonuje woda przeciwko atmosferze podczas rozprężania?
3. Jaka jest zmiana energii wewnętrznej wody?

Strategia rozwiązania

Najpierw sprawdzimy, wykorzystując ciepło utajonego parowania, ile ciepła jest potrzebne do odparowania wody. Znając zmianę objętości, możemy obliczyć wykonaną pracę ze wzoru $W=p\text{Δ}V$, ponieważ ciśnienie jest stałe. Następnie z pierwszej zasady termodynamiki jesteśmy w stanie obliczyć zmianę energii wewnętrznej.

Rozwiązanie

1. Oznaczmy utajone ciepło parowania jako $L_{\text{p}}$. Wtedy ciepło potrzebne do odparowania wody to
   $$Q=m{L}_{\text{p}}=1\mathrm{g}\cdot \mathrm{2,26}\cdot {10}^3\mathrm{J}∕\mathrm{g}=\mathrm{2,26}\cdot {10}^3\mathrm{J}\text{.}$$
2. Z tego, że ciśnienie jest stałe i wynosi $1\text{atm}=\mathrm{1,01}·{10}^5{\text{N/m}}^2$, wynika, że praca wykonywana przez wodę podczas parowania jest równa
   $$W=p\text{Δ}V=\mathrm{1,01}\cdot {10}^5\mathrm{N}∕{\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{1,67}\cdot {10}^{-3}{\mathrm{m}}^3=169\mathrm{J}\text{.}$$
3. Korzystając z pierwszej zasady termodynamiki, obliczamy zmianę energii termicznej wody podczas parowania
   $$\text{Δ}U=Q-W=\mathrm{2,26}\cdot {10}^3\mathrm{J}-169\mathrm{J}=\mathrm{2,09}\cdot {10}^3\mathrm{J}\text{.}$$

Znaczenie

Zauważmy, że w punkcie (c) następuje zmiana energii wewnętrznej, pomimo stałej temperatury. Dla gazów doskonałych, które nie są poddawane przemianom fazowym, energia wewnętrzna jest proporcjonalna do temperatury. Zasadniczo energia wewnętrzna jest sumą energii wszystkich cząsteczek układu.