16.1 Równania Maxwella i fale elektromagnetyczne

Poprawka Maxwella do praw elektryczności i magnetyzmu

Cztery podstawowe prawa elektryczności i magnetyzmu zostały odkryte eksperymentalnie dzięki pracom takich fizyków, jak: Ørsted, Coulomb, Gauss czy Faraday. Maxwell odnalazł w tych wcześniejszych pracach pewne logiczne nieścisłości i zidentyfikował problem w postaci niekompletności prawa Ampère’a.

Przypomnijmy sobie, że według prawa Ampère’a całka wektora indukcji magnetycznej wytworzonego przez prąd przepływający przez zamkniętą pętlę $C$ jest proporcjonalna do natężenia prądu $i$ przepływającego przez dowolną powierzchnię, której brzegiem jest ta pętla (mała litera oznacza, że wielkość zależna jest od czasu $i\left(t\right)=i$)

Istnieje nieskończenie wiele powierzchni ograniczonych przez daną pętlę, a prawo Ampère’a według definicji z Równania 16.1 jest niezależne od wyboru powierzchni.

Rozpatrzmy sytuację z Ilustracji 16.3. Źródło siły elektromotorycznej zostaje podłączone do kondensatora składającego się z dwóch równoległych płytek metalowych w taki sposób, że w przewodzie pojawia się prąd, którego natężenie zależy od czasu. Zastosujmy prawo Ampère’a do pętli $C$, przedstawionej na rysunku w chwili przed całkowitym naładowaniem kondensatora, a więc gdy $i\ne 0$. Natężenie prądu płynącego przez powierzchnię $S_1$ jest większe od zera, zaś przez powierzchnię $S_2$ równe zero

Jasne jest, że w takim sformułowaniu prawo Ampère’a nie działa. Nie jest to zaskoczeniem, gdyż prawo Ampère’a używane we wcześniejszych rozdziałach wymagało stałego przepływu ładunku. Tymczasem w naszym przykładzie natężenie prądu zmienia się w czasie i to niekoniecznie jednostajnie.

Ilustracja 16.3 Prądy płynące przez powierzchnię $S_1$ i przez powierzchnię $S_2$ nie są co do wartości równe, mimo że obie powierzchnie ograniczone są tą samą pętlą $C$.

Jak można zatem zmodyfikować prawo Ampère’a, aby działało we wszystkich przypadkach? Maxwell zaproponował włączenie dodatkowego czynnika, nazywanego prądem przesunięcia, do rzeczywistego natężenia prądu $i$

gdzie prąd przesunięcia zdefiniowany jest jako

${\epsilon }_0$ jest tutaj przenikalnością elektryczną próżni (ang. permittivity of free space), a ${\mathrm{\Phi }}_E$ jest strumieniem pola elektrycznego (ang. electric flux) zdefiniowanym jako

Prąd przesunięcia (ang. displacement current) jest czynnikiem odpowiadającym prawdziwemu prądowi z prawa Ampère’a. Jest on jednak wytwarzany przez zmienne pole elektryczne. Składnik ten opisuje wytwarzanie pola magnetycznego przez zmienne pole elektryczne, jak w przypadku faktycznego przepływu prądu. Jednak prąd przesunięcia wytwarza pole magnetyczne nawet wtedy, gdy nie płynie żaden rzeczywisty prąd. Gdy uwzględni się ten dodatkowy składnik, prawo Ampère’a przybiera postać

i jest ono niezależne od wyboru powierzchni $S$, przez którą przepływa prąd.

Możemy teraz przeanalizować zmodyfikowane prawo Ampère’a, aby potwierdzić, że działa ono bez względu na to, czy wybrana jest powierzchnia $S_1$, czy $S_2$ z Ilustracji 16.3. Pole elektryczne $\overrightarrow{E}$, odpowiadające strumieniowi ${\mathrm{\Phi }}_E$ w Równaniu 16.3, zlokalizowane jest pomiędzy okładkami kondensatora. Tym samym pole $\overrightarrow{E}$ i prąd przesunięcia liczone dla powierzchni $S_1$ są równe zero, a Równanie 16.2 przyjmuje postać

Należy teraz wykazać, że dla powierzchni $S_2$, przez którą nie przepływa żaden rzeczywisty prąd, obecność prądu przesunięcia spowoduje otrzymanie tej samej wartości ${\mu }_{0}i$ dla prawej strony prawa Ampère’a. Dla powierzchni $S_2$, równanie wygląda jak poniżej

Prawo Gaussa dla ładunków elektrycznych wymaga zastosowania powierzchni zamykającej pewną przestrzeń, przez co nie można go zastosować do samej tylko powierzchni $S_1$ ani samej tylko powierzchni $S_2$. Jednak powierzchnia bryły utworzonej z połączenia powierzchni $S_1$ i $S_2$ z Ilustracji 16.3 jest zamknięta, co oznacza, że można do niej zastosować prawo Gaussa. Ponieważ pole elektryczne przenikające przez powierzchnię $S_1$ jest równe zero, strumień tego pola również będzie zerowy. Tym samym

Dzięki temu możemy zamienić w Równaniu 16.5 całkę po powierzchni $S_2$ na całkę po zamkniętej powierzchni Gaussa $S_1+S_2$, a następnie zastosować prawo Gaussa, aby otrzymać

Widać więc, że zmodyfikowane prawo Ampère’a daje taki sam wynik dla powierzchni $S_2$ (dzięki poprawce od prądu przesunięcia) jak dla powierzchni $S_1$ (gdzie wynika on z oryginalnej postaci prawa).

Równania Maxwella

Z uwzględnieniem poprawki prądu przesunięcia równania Maxwella otrzymują formę

Kiedy wektory $\overrightarrow{E}$ i $\overrightarrow{B}$ zostaną wyliczone za pomocą powyższych czterech równań, wzór na siłę Lorentza (ang. Lorentz force equation) ma następującą postać

Powyższe równanie pozwala na ustalenie, z jaką siłą pola te oddziałują na cząstkę o ładunku $q$, poruszającą się z prędkością $\overrightarrow{v}$. Siła Lorentza uwzględnia oddziaływanie obu tych pól na poruszający się w nich ładunek. Zarówno siły magnetyczne, jak i elektryczne były już omawiane we wcześniejszych rozdziałach.

Równania Maxwella wraz ze wzorem na siłę Lorentza tworzą komplet praw opisujących zjawiska elektryczne i magnetyczne. Symetria, jaką Maxwell wprowadził tymi sformułowaniami matematycznymi, może nie być widoczna na pierwszy rzut oka. Prawo Faradaya stwierdza, że zmienne pole magnetyczne jest źródłem dla pola elektrycznego. Prąd przesunięcia, wprowadzony przez Maxwella, wyjaśnia, że zmienne pole elektryczne jest źródłem pola magnetycznego. Równania opisujące efekty zmienności pól elektrycznych i magnetycznych różnią się jedynie tam, gdzie brak monopoli magnetycznych spowodował wyzerowanie się niektórych czynników. Ta symetria w konsekwencjach zmian w polach magnetycznym i elektrycznym okaże się niezbędna do wyjaśnienia natury fal elektromagnetycznych.

Późniejsze użycie teorii względności Einsteina do interpretacji pełnej i symetrycznej teorii Maxwella udowodniło, że siły elektryczne i magnetyczne to nie oddzielne siły, lecz są one przejawem tego samego oddziaływania – oddziaływania elektromagnetycznego. Oddziaływanie to i słabe oddziaływania jądrowe są podobnie ze sobą zunifikowane – jako oddziaływania elektrosłabe. Ta unifikacja sił była jedną z głównych motywacji dla prób połączenia wszystkich czterech podstawowych oddziaływań przyrody: grawitacyjnych, elektromagnetycznych, jądrowych silnych i jądrowych słabych w jedno oddziaływanie (patrz Fizyka cząstek elementarnych i kosmologia).

Mechanizm rozchodzenia się fali elektromagnetycznej

Aby dowieść, że postulowana przez Maxwella symetria jednoznacznie wskazuje na istnienie połączonych fal elektrycznych i magnetycznych rozchodzących się w przestrzeni, wyobraźmy sobie zmienne w czasie pole magnetyczne ${\overrightarrow{B}}_0\left(t\right)$ wytwarzane przez prąd zmienny o wysokiej częstotliwości, co pokazano na Ilustracji 16.4. Pole ${\overrightarrow{B}}_0\left(t\right)$ przedstawiono na nim za pomocą pojedynczej linii tego pola. Z prawa Faradaya wynika, że zmienne pole magnetyczne przepływające przez powierzchnię wytwarza zmienne w czasie pole elektryczne ${\overrightarrow{E}}_0\left(t\right)$ na granicy tej powierzchni. Źródło pola elektrycznego wytwarzanego jako konsekwencja prądu przesunięcia zachowuje się podobnie do źródła pola magnetycznego wytwarzanego jako skutek prawa Faradaya – wytwarza pole o liniach będących zamkniętymi pętlami. Jest to konsekwencja matematycznej symetrii występującej w równaniach opisujących indukowane pole elektryczne i indukowane pole magnetyczne. Na rysunku przedstawiono również pojedynczą linię pola ${\overrightarrow{E}}_0\left(t\right)$. Wyindukowane zmienne pole ${\overrightarrow{E}}_0\left(t\right)$ wytwarza następnie pole magnetyczne ${\overrightarrow{B}}_1\left(t\right)$ zgodnie ze zmodyfikowanym prawem Ampère’a. To zmienne pole indukuje pole ${\overrightarrow{E}}_1\left(t\right)$, które indukuje pole ${\overrightarrow{B}}_2\left(t\right)$ i tak dalej. Mamy zatem samopodtrzymujący się proces, który prowadzi do powstania zmiennego w czasie pola elektrycznego i magnetycznego w obszarach coraz to bardziej oddalonych od punktu początkowego. Proces ten może służyć jako wizualizacja mechanizmu rozchodzenia się fali elektromagnetycznej w przestrzeni.

Ilustracja 16.4 Rysunek przedstawia, w jaki sposób pola $\overrightarrow{E}$ i $\overrightarrow{B}$ rozchodzą się w przestrzeni.

W kolejnym podrozdziale przedstawimy matematycznie, jak równania Maxwella przewidują istnienie fal elektromagnetycznych, mogących poruszać się w przestrzeni bez obecności medium materialnego, i implikują równość prędkości tych fal z prędkością światła.

Jeszcze przed publikacją prac Maxwella wykonywano eksperymenty, które wskazywały, że światło wykazuje naturę falową, jednak natura fal świetlnych pozostawała nieznana. W 1801 roku Thomas Young (1773–1829) pokazał, że gdy promień świetlny zostanie podzielony i przepuszczony przez dwie wąskie szczeliny, a następnie ponownie połączony, na ekranie uformuje się pewien wzór złożony z na przemian jasnych i ciemnych prążków. Young tłumaczył to zachowanie, zakładając, że światło złożone jest z fal, które – po przejściu przez szczeliny – dodają się w pewnych punktach konstruktywnie, a w pewnych punktach destruktywnie (patrz Interferencja). Później Augustin Fresnel (1788–1827) przez drobiazgowe eksperymenty z wykorzystaniem interferencji i dyfrakcji światła, ugruntował przekonanie o falowej naturze światła, a ostatecznego dowodu dostarczył Léon Foucault (1819–1868), mierząc prędkość światła w różnych ośrodkach i wykazując, że – wbrew teorii korpuskularnej – jest w nich mniejsza niż w próżni. Zatem wiadomym było, że światło jest falą. Maxwell zaś przewidział istnienie fal elektromagnetycznych rozchodzących się z prędkością światła. Wnioski nasunęły się same: światło musi być formą promieniowania elektromagnetycznego. Jednakowoż równania Maxwella pokazywały także, że fale elektromagnetyczne mogą też mieć inne częstotliwości i długości, nie tylko te świetlne. Maxwell wykazał, że promieniowanie elektromagnetyczne o takich samych własnościach fizycznych jak światło widzialne powinno istnieć dla dowolnej częstotliwości. Sprawdzenie i potwierdzenie swoich przewidywań pozostawił innym.

Obserwacje Hertza

Niemiecki fizyk Heinrich Hertz (1857–1894) był pierwszą osobą, która wygenerowała i była w stanie wykryć pewien konkretny rodzaj fal elektromagnetycznych w warunkach laboratoryjnych. Począwszy od roku 1887 przeprowadził on serię eksperymentów, które nie tylko potwierdziły istnienie fal elektromagnetycznych, lecz także dowiodły, że rozchodzą się one z prędkością światła.

Hertz używał zmiennoprądowego obwodu RLC (opornik-cewka-kondensator), który rezonuje dla znanej częstotliwości $f_0=1∕\left(2\pi \sqrt{LC}\right)$, podłączonego do drucianej pętli, jak pokazano na Ilustracji 16.5. Wysokie napięcie wyindukowane na szczelinie iskrownika powodowało wytworzenie się iskry, będącej widocznym dowodem przepływu prądu w obwodzie, i umożliwiało generację fal elektromagnetycznych.

Po drugiej stronie swojego laboratorium Hertz umieścił drugą pętlę, połączoną z kolejnym obwodem RLC, który mógł być dostrajany (tak samo jak radioodbiornik) do tej samej częstotliwości rezonansowej co pierwszy obwód i tym samym służyć jako odbiornik fal elektromagnetycznych. Ta pętla również posiadała przerwę, w której wytwarzały się iskry, będące dowodem, że obwód odbiera fale elektromagnetyczne.

Ilustracja 16.5 Schemat aparatury wykorzystywanej przez Hertza w 1887 roku do generacji i detekcji fal elektromagnetycznych.

Hertz badał też odbicie, załamanie i obrazy interferencyjne wygenerowanych przez siebie fal elektromagnetycznych, jeszcze mocniej potwierdzające falową naturę tego zjawiska. Na podstawie obrazów interferencyjnych był w stanie wyznaczyć długość fal i obliczyć prędkość ich rozchodzenia się, używając wzoru $v=f\lambda$, gdzie $v$ oznacza prędkość rozchodzenia się, $f$ jest częstotliwością fali, a $\lambda$ jej długością. Hertz mógł przez to niepodważalnie dowieść, że fale elektromagnetyczne poruszają się z prędkością światła. W układzie SI ku jego pamięci nazwano jego imieniem jednostkę częstotliwości – herc ($1\mathrm{Hz}$ to 1 cykl na sekundę).