8.3 Zasada zachowania energii

Układ z pojedynczą cząsteczką lub ciałem

Rozważmy układ z jedną cząsteczką lub ciałem. Wracając do Równania 8.2 przypomnijmy, że najpierw rozdzieliliśmy wszystkie siły działające na cząstkę na zachowawcze i niezachowawcze, a następnie zapisaliśmy pracę dla każdej z nich zgodnie z założeniami zasady równoważności pracy i energii. Zamieniliśmy pracę wykonywaną przez siły zachowawcze na zmianę energii potencjalnej cząstki i powiedzieliśmy, że możemy ją zamienić na energię kinetyczną, z czego uzyskaliśmy Równanie 8.2. Zapiszmy zatem omawiane uprzednio równanie, pomijając środkowy krok. Zdefiniujmy sumę energii kinetycznej i potencjalnej ($E_k+E_p=E$) jako energię mechaniczną (ang. mechanical energy) cząsteczki.

Pierwsze z powyższych stwierdzeń definiuje pojęcie zasady zachowania energii (ang. energy conservation) cząstki, na którą nie działają siły niezachowawcze. Klasyczna cząstka (omawiana tutaj) stanowi punkt masowy, który jest nierelatywistyczny i podlega zasadom dynamiki Newtona. W podrozdziale Teoria względności zobaczymy, że zasada zachowania energii jest prawdziwa także dla cząstek relatywistycznych, ale do wyjaśnienia tego potrzebne są pewne poprawki do definicji energii.

W niektórych przypadkach wygodniej jest przyjąć, że praca wykonywana przez siły niezachowawcze jest równa zeru, ponieważ albo zakładamy, że nie ma takich sił, albo przesunięcie jest równoległe do powierzchni. Zapisujemy zatem:

W takim przypadku zasada zachowania energii jest wyrażona w następujący sposób: energia mechaniczna cząsteczki nie ulega zmianie, jeśli siły niezachowawcze, które mogą na nią oddziaływać, wykonują zerową pracę. Zrozumienie idei zasady zachowania energii jest o wiele ważniejsze niż zapamiętanie konkretnego równania, które ją wyraża.

Przykład 8.7

Wahadło matematyczne

Punkt materialny o masie $m$ jest zawieszony na nieważkiej nici o długości 1,0 m przyczepionej jednym końcem do sufitu, tworząc wahadło matematyczne, tak jak przedstawiono na Ilustracji 8.8. Wahadło odchylono od położenia równowagi o $30\text{°}$, po czym puszczono swobodnie. Jaka jest prędkość punktu w momencie, w którym przekracza ono najniższy punkt toru ruchu?

Ilustracja 8.8 Punkt materialny zawieszony na nieważkiej nici tworzy wahadło matematyczne. Układ przedstawiono w momencie uwolnienia wahadła oraz zaznaczono pewne wielkości przydatne w analizie ruchu.

Strategia rozwiązania

Zaczynając od kroku pierwszego przedstawionej wcześniej strategii rozwiązywania zadań, musimy rozpocząć od określenia, ilu ciał dotyczy zagadnienie. Rozważany problem dotyczy jedynie układu cząstka-Ziemia. Następnie zauważamy, że siła grawitacji, która jest zachowawcza, jest jedyną działającą na cząstkę. W zagadnieniu pomijamy opory powietrza, a siła naciągu nici jest prostopadła do przemieszczenia, a zatem jej praca jest równa zero. Wynika z tego, że energia mechaniczna w układzie jest zachowana i na podstawie Równania 8.13 dana wzorem $0=\mathrm{\Delta }(E_k+E_p)$. Ruch rozpoczyna się poprzez wytrącenie ciała ze stanu spoczynku (wahadło puszczono swobodnie), a więc wzrost energii kinetycznej jest równy energii kinetycznej w najniższym punkcie albo, ujmując to inaczej, zmianie energii potencjalnej (którą możemy obliczyć, bazując na geometrii). W kroku czwartym dokonujemy wyboru punktu odniesienia dla energii potencjalnej w najniższym punkcie toru ruchu. Ostatni krok polega na przyrównaniu sumy energii w najwyższym punkcie do sumy w najniższym punkcie i obliczeniu prędkości.

Rozwiązanie

Pomijając siły niezachowawcze, zasadę zachowania energii z uwzględnieniem jedynie punktów startowego i końcowego możemy zapisać jako:

$$E_{k\text{p}}+E_{p\text{p}}=E_{k\text{k}}+E_{p\text{k}}.$$

Ruch rozpoczyna się od spoczynku, a zatem początkowa energia kinetyczna jest równa zeru. Natomiast w najniższym punkcie toru przyjmujemy, że energia potencjalna jest zerowa. Nasze równania upraszczają się do postaci:

$$\begin{array}{ccc}\hfill 0+mgh& =\hfill & \frac{1}{2}m{v}^2+0\hfill \\ \hfill v& =\hfill & \sqrt{2gh}.\hfill \end{array}$$

Wysokość, na jakiej znajduje się punkt materialny na początku ruchu, nie jest dana bezpośrednio w treści zadania. Można ją wyprowadzić poprzez zastosowanie zasad trygonometrii i dwóch danych: długości wahadła oraz kąta wychylenia początkowego. Na rysunku pionową przerywaną linią oznaczono długość wahadła, a wysokość, na jakiej znajduje się ciało – poprzez $h$. Pozostałą część długości wahadła $x=L-h$ można obliczyć, korzystając z zależności trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym, poprzez:

$$\cos \theta =\frac{x}{L}\mathrm{,}x=L\cos \theta .$$

Z powyższych ustaleń można wyprowadzić równanie na $h$ :

$$\begin{array}{ccc}\hfill x+h& =\hfill & L\hfill \\ \hfill L\text{cos}\theta +h& =\hfill & L\hfill \\ \hfill h& =\hfill & L-L\text{cos}\theta =L(1-\text{cos}\theta ).\hfill \end{array}$$

Uzyskaną wielkość podstawiamy do równania wynikającego z początkowych rozważań dotyczących energii i możemy wyznaczyć prędkość:

$$v=\sqrt{2gL(1-\cos \theta )}=\sqrt{2\cdot 9\mathrm{,}8\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot 1\mathrm{m}\cdot (1-\cos {30}^{\circ })}=1\mathrm{,}62\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.$$

Znaczenie

Wyznaczyliśmy prędkość, korzystając bezpośrednio z zasady zachowania energii, bez potrzeby rozwiązywania równania różniczkowego dla ruchu wahadła (zobacz Drgania). Inaczej możemy to przedstawić poprzez wykresy słupkowe energii całkowitej (ang. bar graphs of total energy). Na początku punkt materialny ma jedynie energię potencjalną, ponieważ znajduje się w najwyższym położeniu. W momencie gdy ciało przechodzi przez położenie najniższe, cała energia potencjalna jest zamieniana na kinetyczną. Możemy zatem wyobrazić sobie, jakim przemianom podlega energia, gdy ciało przechodzi przez położenia pośrednie (Ilustracja 8.9). Zmiany energii w trakcie ruchu punktu z najniższego położenia i z powrotem do najwyższego możemy odczytać na poniższych diagramach od (c), poprzez (b), do (a).

Ilustracja 8.9 Wykresy słupkowe przedstawiające energię całkowitą ($E$), potencjalną ($E_p$) oraz kinetyczną ($E_k$) ciała w różnych położeniach. (a) Całkowita energia układu równa się energii potencjalnej, a energia kinetyczna jest równa zero, co jest charakterystyczne dla maksymalnego wychylenia. (b) Punkt materialny jest w połowie drogi pomiędzy maksymalnym i minimalnym położeniem, a więc energia kinetyczna jest równa potencjalnej, a ich suma – energii całkowitej. (c) Ciało jest w najniższym położeniu, energia kinetyczna osiąga maksimum i jest równa energii całkowitej, natomiast energia potencjalna jest zerowa.

Przykład 8.8

Opór powietrza spadającego ciała

W momencie, gdy helikopter unosi się na wysokości $1\text{km}$, odrywa się od niego panel spodni i pikuje w kierunku ziemi (Ilustracja 8.10). Masa panelu wynosi $15\text{kg}$, a podczas zderzenia z podłożem jego prędkość wynosi$45\text{m}\text{/}\text{s}$. Ile energii mechanicznej ulega rozproszeniu w wyniku działania oporów powietrza podczas opadania panelu?

Ilustracja 8.10 Panel helikoptera odrywa się i spada swobodnie, aż do momentu, w którym osiąga prędkość maksymalną 45 m/s. Ile energii zostało rozproszone na skutek występowania oporów powietrza?

Strategia rozwiązania

Krok 1: W układzie jest rozpatrywane tylko jedno ciało.

Krok 2: Zarówno siła grawitacji, jak i oporu powietrza działają na ciało, tak jak określono to w treści zadania.

Krok 3: Siła grawitacji jest zachowawcza, jednakże niezachowawcze siły oporu również wykonują pracę nad spadającym panelem. W związku z tym musimy użyć zasady zachowania energii wyrażonej Równanie 8.12, aby wyznaczyć wartość rozproszonej energii:

$$\mathrm{\Delta }{E}_{\text{rozp}}=|W_{\text{niezach}}|=|\mathrm{\Delta }(E_k+E_p{)}_{\text{sf}}|.$$

Krok 4: Początkowa energia kinetyczna w $y_{\text{s}}=1\text{km}$ wynosi zero. Przyjmijmy zero energii potencjalnej na wysokości podłoża.

Krok 5: Praca sił niezachowawczych, czyli energia rozproszona przez opory powietrza, jest równa różnicy całkowitej energii mechanicznej początku i końca ruchu.

Rozwiązanie

Energia mechaniczna, która uległa rozproszeniu przez opory powietrza, jest sumą algebraiczną przyrostu energii kinetycznej i straty energii potencjalnej. Zatem możemy obliczyć tę sumę poprzez:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }{E}_{\text{rozp}}& =|E_{k\text{k}}-E_{k\text{p}}+E_{p\text{k}}-E_{p\text{p}}|\\ & =\left|\frac{1}{2}\cdot 15\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot {\left(45\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)}^2-0+0-15\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 9\mathrm{,}8\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot 1000\mathrm{m}\right|=130\mathrm{k}\mathrm{J}.\end{array}$$

Znaczenie

Znaczna część początkowej energii mechanicznej panelu $(E_{p\text{s}})$, 147 kJ, została rozproszona. Zauważ, że zdołaliśmy wyznaczyć energię rozproszoną, nie znając sił oporu, a jedynie wiedząc, że są dyssypatywne.

W powyższych przykładach za pomocą zasady zachowania energii byliśmy w stanie obliczyć prędkość ciała jedynie we wskazanych punktach ruchu. Należy zauważyć, że metoda analizy ruchu ciał bazująca na zachowaniu energii jest o wiele potężniejszym narzędziem. Bardziej zaawansowane metody teorii mechaniki pozwalają obliczyć pełną zależność czasową ruchu cząstki. Często lepszym modelem matematycznym ruchu jest model opierający się na analizie energii kinetycznej i potencjalnej niż ten bazujący na rozpisaniu sił działających na ciało (jest to widoczne szczególnie dobrze w przypadku opisu kwantowo-mechanicznego cząstek takich jak elektrony czy atomy).

Możemy przedstawić najprostsze cechy takiego podejścia energetycznego do ruchu za pomocą analizy cząstki poruszającej się w jednym wymiarze i posiadającej energię potencjalną $E_p(x)$, na którą nie działają siły niezachowawcze. Równanie 8.12 oraz definicja prędkości mówią nam, że:

Rozdzielmy zmienne $x$ oraz $t$ i obliczmy całkę w granicach od czasu początkowego $t=0$ do dowolnie przyjętego momentu czasu $t$:

Jeśli obliczymy całkę z Równania 8.14, to będziemy mogli wyrazić $x$ w funkcji $t$.

Przeanalizujemy jeszcze inny, bardziej adekwatny przykład zastosowania Równania 8.13, gdy rozpatrzymy pozostałe wnioski wypływające z wyrażenia opisującego energię potencjalną cząstki.

Układy wielu ciał

Układy fizyczne zazwyczaj zawierają więcej niż jedno ciało. Niemniej jednak zasada zachowania energii, na przykład taka jak w Równaniu 8.12 albo Równaniu 8.13, jest podstawowym prawem fizyki i jest prawdziwa dla każdego układu. Musimy jedynie pamiętać o uwzględnieniu energii kinetycznych i potencjalnych wszystkich cząstek oraz pracy wszystkich sił niezachowawczych działających na nie. Lepiej jest odłożyć dalszą dyskusję na tę chwilę, gdy nauczymy się więcej na temat dynamiki układów zbudowanych z wielu cząstek, np. w rozdziałach Pęd i zderzenia, Obroty wokół stałej osi czy Moment pędu.