William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Zadania trudniejsze

W jednym z kolejnych rozdziałów dowiesz się, że ciężar ciała zmienia się w zależności od wysokości zgodnie z równaniem: $Q = m g r_{0}^{2} / r^{2}$ , gdzie $r_{0}^{}$ jest promieniem Ziemi, a $r$ jest odległością od środka Ziemi. Jeśli ciało zostaje wystrzelone z powierzchni Ziemi pionowo z prędkością $v_{0}^{}$ , to jak wygląda wyrażenie na prędkość ciała w zależności od jego położenia $r$ ? (Wskazówka: skorzystaj z przekształconej zależności: $a d r = v d v$ .)

130.

Duża wirówka, jak ta przedstawiona na zdjęciu, używana jest do poddawania kandydatów na astronautów działaniu przyspieszenia podobnego do tego, jakie powstaje podczas startu rakiety i jej powrotu do atmosfery. (a) Przy jakiej prędkości kątowej wartość przyspieszenia dośrodkowego osiąga $10 g$ , jeśli astronauta znajduje się w odległości 15,0 m od osi obrotu? (b) Kapsuła astronauty wisi na osi przegubu na końcu ramienia, dzięki czemu kapsuła może się odchylać na zewnątrz podczas obrotu (jak na zdjęciu). O jaki kąt $θ$ względem poziomu odchyli się kapsuła, jeśli przyspieszenie dośrodkowe wynosi $10 g$ ? (Wskazówka: Ramię przykłada siłę dośrodkową i utrzymuje ciężar kapsuły. Narysuj rozkład sił działających na kapsułę, aby prawidłowo zlokalizować położenie kąta $θ$ .)

131.

Samochód o masie 1000,0 kg jedzie po poziomej drodze z prędkością 100,0 km/h, po czym gwałtownie hamuje. Oblicz długość drogi hamowania, jeśli współczynnik tarcia kinetycznego opon o asfalt wynosi 0,500. Pomiń wpływ oporu powietrza. (Wskazówka: skoro interesuje nas przebyta droga, a nie czas hamowania, to $x$ będzie zmienną niezależną, a nie $t$ . W celu wykonania obliczeń przekształć następujące zależności: $d v / d t = (d v / d x) \cdot (d x / d t) = v d v / d x$ .)

132.

Samolot lecący z prędkością $200 m / s$ wykonuje zakręt w czasie 4,0 min. Jaki powinien być kąt przechylenia samolotu? O ile procent wzrośnie subiektywny ciężar pasażerów?

133.

Spadochroniarz znajduje się na wysokości 1520 m. Po 10 sekundach swobodnego spadku otwiera spadochron i stwierdza, że działająca na niego siła oporu powietrza $F_{op}$ jest wprost proporcjonalna do prędkości $F_{op} = - b v$ , gdzie $b$ jest stałe i $v$ jest prędkością spadku. Jeśli $b = 0, 750$ , a masa skoczka wynosi 82,0 kg, znajdź:

prędkość skoczka w momencie otwarcia spadochronu,
drogę przebytą przez skoczka do momentu otwarcia spadochronu,
prędkość graniczną po otwarciu spadochronu,
czas spadania skoczka do momentu otwarcia spadochronu.

134.

Mała kulka o masie 4,00 g zaczyna poruszać się pod wpływem siły grawitacji w czasie $t = 0$ w butelce wypełnionej szamponem. Prędkość graniczna wynosi 2 cm/s. Znajdź

wartość współczynnika b w równaniu $v = \frac{m g}{b} (1 - e^{− b t / m}),$
wartość siły oporu w momencie, gdy kulka osiąga prędkość graniczną.

135.

Kierujący łódką motorową wraz z motorówką są w spoczynku na jeziorze. Ich łączna masa wynosi 200,0 kg. Siła ciągu silnika motorówki wynosi 40,0 N w kierunku ruchu pojazdu, a siła oporu wody jest równa $2 v$ , gdzie $v$ jest prędkością motorówki. Oblicz:

prędkość motorówki po czasie $t$ ;
prędkość końcową (prędkość po bardzo długim czasie).