4.5 Ruch względny w jednym i dwóch wymiarach

Układy odniesienia

Aby móc omówić ruch względny w jednym lub wielu wymiarach, musimy najpierw zapoznać się z pojęciem układu odniesienia (ang. reference frame). Kiedy mówimy, że jakieś ciało ma daną prędkość, zasadniczo powinniśmy podać względem jakiego układu odniesienia ta prędkość jest podana. W większości rozważanych przez nas dotąd problemów układem odniesienia była ziemia (powierzchnia Ziemi). Jeżeli powiesz, że jedziesz w pociągu z prędkością o wartości 10 m/s na wschód, masz zapewne na myśli, że taką prędkość ma pociąg względem podłoża, czyli ziemi. Powierzchnia Ziemi jest wybranym przez ciebie układem odniesienia. Możemy rozszerzyć nasze postrzeganie Ziemi jako układu odniesienia, uwzględniając jej ruch wokół Słońca. Wtedy sytuacja staje się bardziej złożona. Tym razem układem odniesienia staje się cały Układ Słoneczny i ruch pociągu przestaje być już tylko prostym ruchem jednostajnym prostoliniowym. Podsumowując, w dyskusji o ruchu względnym ciał musimy definiować co jest naszym układem odniesienia. W dalszej części poznamy metody pokazujące, jak należy odnosić problem ruchu względnego do różnych układów odniesienia.

Ruch względny w jednym wymiarze

Na początek zajmiemy się przypadkiem jednowymiarowym, gdy wektory prędkości mają tylko dwa dozwolone kierunki (lewo/prawo, góra/dół itd.). Wróćmy do przykładu człowieka podróżującego pociągiem z szybkością 10 m/s w kierunku na wschód. Jeśli za dodatni kierunek prędkości przyjmiemy kierunek na wschód, a układem odniesienia będzie ziemia, to wektor prędkości pociągu jest następujący ${\overrightarrow{v}}_{\text{P,Z}}=10\hat{i}\text{m/s}$, gdzie kierunek wschodni jest osią $x$, a indeks dolny P,Z oznacza, że chodzi nam o prędkość pociągu względem ziemi. Załóżmy teraz, że człowiek wstaje z fotela i idzie na tył pociągu z szybkością 2 m/s. Kierunek ruchu człowieka na zachód jest względem pociągu ujemny, dlatego prędkość człowieka względem pociągu jest wektorem ${\overrightarrow{v}}_{\text{C,P}}=-2\hat{i}\text{m/s}$ (indeks dolny C,P oznacza: człowiek względem pociągu). Jeśli teraz dodamy oba wektory prędkości do siebie, to dostaniemy wektor prędkości człowieka względem ziemi. Ta prędkość względna (ang. relative velocity) wynosi

Zwróćmy szczególną uwagę na to, w jakiej kolejności piszemy indeksy dolne przy wektorach w Równaniu 4.34. Schemat na Ilustracji 4.24 pokazuje poprawny zapis podczas dodawania wektorów. Pamiętajmy, że zwyczajowo indeks pochodzący od układu odniesienia, względem którego definiujemy wektor prędkości, piszemy jako ten drugi po przecinku.

Ilustracja 4.24 Przy zapisywaniu równania wektorowego dla ruchu względnego, indeks wspólny dla wektorów po prawej stronie równania piszemy „po wewnętrznej” stronie. Wektor po lewej stronie równania otrzymuje indeksy „skrajne” od wektorów po prawej stronie.

Dodając wektory z równania powyżej, otrzymamy ${\overrightarrow{v}}_{\text{C,Z}}=8\hat{i}\text{m/s}\mathrm{,}$ a więc człowiek przemieszcza się na wschód względem ziemi z szybkością 8 m/s. Graficznie przedstawiamy to na Ilustracji 4.25.

Ilustracja 4.25 Wektory prędkości: pociągu względem ziemi, człowieka względem pociągu oraz człowieka względem ziemi.

Ruch względny w dwóch wymiarach

Poznane pojęcia zastosujemy teraz do opisu ruchu względnego na płaszczyźnie. Rozważmy punkt $P$ i dwa układy odniesienia $S$ oraz $S^{\prime }$. Z każdym układem odniesienia związujemy inny układ współrzędnych, jak pokazano na Ilustracji 4.26. Czasem w żargonie fizycznym te układy odniesienia nazywa się odpowiednio nieprimowanym i primowanym. Początek układu $S^{\prime }$ zmierzony w układzie $S$ dany jest wektorem ${\overrightarrow{r}}_{\text{S',S}}\mathrm{,}$ położenie punktu $P$ zmierzone w układzie $S^{\prime }$ wynosi ${\overrightarrow{r}}_{\text{P,S'}}\mathrm{,}$ natomiast położenie punktu $P$ w układzie $S$ jest ${\overrightarrow{r}}_{\text{P,S}}.$

Ilustracja 4.26 Położenia cząstki w punkcie $P$ względem różnych układów odniesienia $S$ i $S^{\prime }$ wynoszą odpowiednio ${\overrightarrow{r}}_{\text{P,S}}$ oraz ${\overrightarrow{r}}_{\text{P,S'}}$.

Z Ilustracji 4.26 odczytamy związek między wektorami położenia

Związek między wektorami prędkości względnych obliczymy, różniczkując powyższe równanie

Względna prędkość cząstki w układzie $S$ jest równa sumie prędkości cząstki względem układu $S^{\prime }$ oraz prędkości układów $S^{\prime }$ i $S$ względem siebie.

Równanie 4.36 możemy uogólnić na dowolną liczbę układów odniesienia. Przykładowo dla cząstki $P$ o prędkościach ${\overrightarrow{v}}_{\text{P,A}}$, ${\overrightarrow{v}}_{\text{P,B}}$ i ${\overrightarrow{v}}_{\text{P,C}}$ względem układów $A$, $B$ i $C$ mamy:

Możemy też określić, jak związane są ze sobą przyspieszenia względne mierzone w różnych układach odniesienia. W tym celu różniczkujemy Równanie 4.36:

Zauważmy, że jeśli prędkość względna układu $S^{\prime }$ względem $S$ jest stała, to wtedy ${\overrightarrow{a}}_{\text{S',S}}=0$ oraz

Ten wynik oznacza, że przyspieszenia cząstki w dwóch układach odniesienia, które poruszają się względem siebie ze stałą prędkością, są takie same.

Przykład 4.13

Ruch względny samochodu i ciężarówki

Ciężarówka wjeżdża na skrzyżowanie z szybkością 70 km/h z kierunku północnego. Samochód osobowy nadjeżdża z zachodu z szybkością 80 km/h (Ilustracja 4.27). Jaką prędkość ma samochód względem ciężarówki?

Ilustracja 4.27 Samochód osobowy i ciężarówka wjeżdżają na skrzyżowanie z kierunków prostopadłych.

Strategia rozwiązania

Najpierw musimy ustalić wspólny dla obu ciał układ odniesienia. Naturalnym wyborem jest ziemia. Następnie zapiszemy wektory prędkości obu pojazdów względem ziemi, co pozwoli nam sformułować równanie prędkości wiążące samochód, ciężarówkę i ziemię. Z tego równania wyznaczymy wektor prędkości względnej samochodu i ciężarówki oraz jego wartość i kierunek.

Rozwiązanie

Prędkość samochodu względem ziemi wynosi ${\overrightarrow{v}}_{\text{S,Z}}=80\hat{i}\text{km/h}$. Prędkość ciężarówki względem ziemi to ${\overrightarrow{v}}_{\text{C,Z}}=-70\hat{j}\text{km/h}$. Używając reguł składania prędkości, będziemy chcieli obliczyć

$${\overrightarrow{v}}_{\text{S,C}}={\overrightarrow{v}}_{\text{S,Z}}+{\overrightarrow{v}}_{\text{Z,C}}.$$

Oznaczyliśmy przez ${\overrightarrow{v}}_{\text{S,C}}$ prędkość względną samochodu względem ciężarówki. Ziemia jest układem odniesienia, który wiąże ruch samochodu i ciężarówki. Znamy wektor prędkości ciężarówki względem ziemi. Prędkość ziemi względem ciężarówki, której potrzebujemy do rozwiązania powyższego równania, jest wektorem o przeciwnym znaku: ${\overrightarrow{v}}_{\text{Z,C}}=-{\overrightarrow{v}}_{\text{C,Z}}.$ Diagram wektorowy naszego równania prezentuje Ilustracja 4.28.

Ilustracja 4.28 Diagram wektorowy przedstawiający równanie: ${\overrightarrow{v}}_{\text{S,C}}={\overrightarrow{v}}_{\text{S,Z}}+{\overrightarrow{v}}_{\text{Z,C}}$.

Jesteśmy teraz w stanie obliczyć szybkość, z jaką samochód porusza się względem ciężarówki:

$$|{\overrightarrow{v}}_{\text{S,C}}|=\sqrt{{\left(\mathrm{80,0}\text{km/h}\right)}^2+{\left(\mathrm{70,0}\text{km/h}\right)}^2}=\mathrm{106,3}\text{km/h}$$

oraz kierunek

$$\theta =\text{arctg}\left(\frac{\mathrm{70,0}}{\mathrm{80,0}}\right)=41\mathrm{,}{2}^{\circ }\text{na północ względem kierunku wschodniego.}$$

Znaczenie

Stworzenie diagramu wektorowego może pomóc w lepszym zrozumieniu ruchu względnego dwóch ciał.

Przykład 4.14

Samolot i wiatr

Pilot samolotu transportowego musi dotrzeć do miejsca docelowego położonego dokładnie na północ od startu. Samolot przy bezwietrznej pogodzie może lecieć z szybkością 300 km/h. W trakcie lotu wieje jednak wiatr o sile 90 km/h z kierunku dokładnie północno-wschodniego.

1. Jaką szybkość ma wtedy samolot względem ziemi?
2. Pod jakim kątem pilot musi kierować samolot aby dotrzeć do celu?

Strategia rozwiązania

Pilot musi ustawić samolot nie dokładnie na północ, ale nieco w kierunku na wiatr, aby w ten sposób skompensować niekorzystny kierunek wiatru. Musimy zapisać równanie wektorowe prędkości, które będzie zawierać prędkość samolotu względem wiatru, prędkość wiatru względem ziemi i prędkość samolotu względem ziemi. Skoro znamy pierwsze dwa wektory, łatwo znajdziemy poszukiwaną szybkość samolotu względem ziemi i kierunek ustawienia samolotu. Narysujemy też diagram wektorowy, który znacznie ułatwi nam obliczenia.

Rozwiązanie

Równanie wektorowe na składanie prędkości jest następujące ${\overrightarrow{v}}_{\text{S,Z}}={\overrightarrow{v}}_{\text{S,P}}+{\overrightarrow{v}}_{\text{P,Z}}\mathrm{,}$ gdzie S = samolot, Z = ziemia, P = powietrze. Z warunków geometrycznych, wynikających z Ilustracji 4.29, wyznaczymy łatwo zarówno szybkość samolotu względem ziemi, jak i kierunek ustawienia samolotu w locie $\theta .$

Ilustracja 4.29 Diagram wektorowy dla Równania 4.35 wiążący wektory ${\overrightarrow{v}}_{\text{S,P}}$, ${\overrightarrow{v}}_{\text{P,Z}}$ i ${\overrightarrow{v}}_{\text{S,Z}}.$

(a) Mamy następujące dane:

$$|{\overrightarrow{v}}_{\text{S,P}}|=300\text{km/h}$$

$$|{\overrightarrow{v}}_{\text{P,Z}}|=90\text{km/h}$$

Jeśli rozłożymy wektor ${\overrightarrow{v}}_{\text{P,Z}}$na składowe i zauważymy trójkąt prostokątny na diagramie wektorowym, to obliczymy $|{\overrightarrow{v}}_{\text{S,Z}}|=230\text{km/h}.$

(b) Kąt $\theta =\text{arctg}\frac{\mathrm{63,64}}{300}={12}^{\circ }$ liczony jest na wschód od kierunku północnego.