16.6 Fale stojące i rezonans

Fale stojące

Czasami fale nie przemieszczają się. Na Ilustracji 16.25 pokazano eksperyment, który możemy wykonać w domu. Miskę z mlekiem stawiamy na obudowie zwykłego wiatraka. Drgania, które wiatrak wytwarza, spowodują powstanie kulistych fal stojących w mleku. Takie fale powstają w wyniku superpozycji dwóch lub więcej fal biegnących (Ilustracja 16.26), które są identyczne, ale przemieszczają się w przeciwnych kierunkach. Fale te nakładają się na siebie, a zaburzenia się dodają. Jeśli mają one takie same amplitudy i długości, możemy zaobserwować naprzemiennie występujące efekty wzmacniania i osłabiania interferencyjnego. Fala wypadkowa wygląda tak, jakby stała w miejscu, stąd nazwa fala stojąca.

Ilustracja 16.25 Fale stojące zostały utworzone na powierzchni mleka w misce, umieszczonej na obudowie wiatraka. Drgania wiatraka powodują, że powierzchnia mleka drga.

Ilustracja 16.26 Kolejne obrazy fali sinusoidalnej. Fala czerwona porusza się w kierunku ujemnej półosi osi $x$, a fala niebieska biegnie w kierunku zgodnym z kierunkiem dodatniej półosi $x$. Fala wypadkowa została zaznaczona czarną linią. Rozważając falę wypadkową w punktach o współrzędnych $x=0\text{m},3\text{m},6\text{m},9\text{m},12\text{m},15\text{m}$, możemy zauważyć, że fala wypadkowa zawsze ma w tych punktach wartość zero, niezależnie od czasu. Punkty te nazywa się węzłami. Pomiędzy każdymi dwoma węzłami występuje strzałka, czyli miejsce, w którym drgania ośrodka osiągają amplitudę równą sumie amplitud poszczególnych fal.

Rozważmy dwie identyczne fale, które biegną w przeciwnych kierunkach. Pierwsza fala opisana jest równaniem falowym $y_1\left(x,t\right)=A\text{sin}\left(kx-\omega t\right)$, natomiast druga równaniem $y_2\left(x,t\right)=A\text{sin}\left(kx+\omega t\right)$. Fale interferują ze sobą, tworząc falę wypadkową:

Zapis ten możemy uprościć, korzystając z tożsamości trygonometrycznej:

gdzie $\alpha =kx$ i $\beta =\omega t$, co daje wyrażenie:

upraszczające się do:

Zauważmy, że fala wypadkowa jest sinusoidalną funkcją położenia pomnożonego przez funkcję cosinus, której argumentem jest czas. Wykres $y(x,t)$ w funkcji $x$ dla różnych chwil czasu przedstawiono na Ilustracji 16.26. Fala oznaczona czerwoną linią porusza się w kierunku przeciwnym do zwrotu osi $x$, fala oznaczona niebieską linią – w kierunku zgodnym ze zwrotem osi $x$, a fala oznaczona czarną linią jest sumą obu fal. Nakładanie się fal czerwonej i niebieskiej prowadzi do naprzemiennych efektów wzmacniania i osłabiania interferencyjnego.

Początkowo, w chwili $t=0$, te dwie fale mają zgodne fazy, a fala wypadkowa ma amplitudę równą dwukrotności amplitudy fal wyjściowych. Fale mają również zgodne fazy w chwili $t=T\text{/}2$. Tak naprawdę fale mają zgodne fazy w chwilach równych każdej całkowitej wielokrotności połowy okresu:

Dla innych chwil czasu fazy tych dwóch fal różnią się o ${180}^{\circ }$ ($\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$), a fala wypadkowa jest równa zero. Ma to miejsce dla:

Zwróćmy uwagę, że w niektórych punktach $x$ fali wypadkowej wychylenie jest równe zero, niezależnie od tego, czy fale składowe są w fazie zgodnej czy w przeciwnej. Te punkty to węzły (ang. node). Zastanówmy się, kiedy się one pojawiając. Rozważmy rozwiązanie, które jest sumą obu fal składowych:

Położenie węzłów znajdziemy, jeśli ustalimy, w których punktach funkcja sinus przyjmuje wartości równe zero.

$$\begin{array}{rl}\sin (kx)& =0\\ kx& =0,\pi ,2\pi ,3\pi ,\dots \\ \frac{2\pi }{\lambda }x& =0,\pi ,2\pi ,3\pi ,\dots \\ x& =0,\frac{\lambda }{2},\lambda ,\frac{3\lambda }{2},\cdots =\frac{n\pi }{2},\text{gdzie}n=\mathrm{0,1},\mathrm{2,3},\dots \end{array}$$

Istnieją również punkty, w których $y$ przyjmuje wartości między $y=\text{±}A$. Te punkty to strzałki (ang. antinode). Ich położenie znajdziemy, ustalając dla jakich wartości $x$ spełniony jest warunek: $\text{sin}\left(kx\right)=\text{±}1$.

$$\begin{array}{rl}\sin (kx)& =\pm 1\\ kx& =\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{2}\dots \\ \frac{2\pi }{\lambda }x& =\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{2}\dots \\ x& =\frac{\lambda }{4},\frac{3\lambda }{4},\frac{5\lambda }{4},\cdots =\frac{n\lambda }{4},\text{gdzie}n=\mathrm{1,3},5,\dots \end{array}$$

Fala wypadkowa pokazana jest na Ilustracji 16.27. Powstała ona z nałożenia się dwóch identycznych fal biegnących w przeciwnych kierunkach. Falę wypadkową można opisać funkcją sinus, jej węzły występują w punktach odpowiadających całkowitym wielokrotnościom długości fali. Strzałki to punkty, w których wychylenia są równe $y=\text{±}2A$ z uwagi na to, że funkcja $\text{cos}\left(\omega t\right)$ przyjmuje wartości między $\pm 1$.

Fala wypadkowa nie porusza się wzdłuż osi $x$, mimo iż powstała z dwóch fal, z których jedna biegła w kierunku zgodnym, a druga w kierunku przeciwnym do zwrotu osi $x$. Ilustracja 16.27 pokazuje kilka możliwych fal wypadkowych. Węzły oznaczone zostały czerwonymi kropkami, a strzałki niebieskimi.

Ilustracja 16.27 Gdy dwie identyczne fale biegną w przeciwnych kierunkach, fala wypadkowa jest falą stojącą. Węzły powstają w punktach odpowiadających całkowitym wielokrotnościom połowy długości fali. Strzałki z kolei odpowiadają nieparzystym wielokrotnościom 1/4 długości fali. Odpowiadające takim punktom wychylenia są równe $y=\text{±}A.$ Węzły zostały oznaczone czerwonymi kropkami, a strzałki niebieskimi.

Popularnym przykładem fal stojących są fale wytwarzane w strunowych instrumentach muzycznych. Gdy szarpniemy strunę, impulsy biegną w przeciwnych kierunkach. Koniec struny jest zamocowany na stałe, zatem węzły powstają w punktach odpowiadających punktom brzegowym takiego układu. Można w nich regulować częstości rezonansowe struny. Zjawisko rezonansu na strunie instrumentu możemy zaobserwować, posługując się układem pokazanym na Ilustracji 16.28.

Ilustracja 16.28 Zestaw laboratoryjny do prezentacji fal stojących na strunie. Na każdym końcu struny o stałej liniowej gęstości masy tworzą się węzły. Oba punkty graniczne struny odległe są o $L$. Odważnik zapewnia naprężenie struny, prędkość fali na strunie jest proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego z naprężenia podzielonego przez liniową gęstość masy.

Zestaw laboratoryjny przedstawia sprężynę połączoną z oscylatorem, który powoduje drgania struny z częstotliwością $f$. Drugi koniec struny jest przerzucony przez bloczek, wzdłuż którego struna porusza się bez tarcia. Wiszący pionowo koniec struny obciążono odważnikiem, który zapewnia stałe jej naprężenie. Struna ma stałą liniową gęstość masy (masa przypadająca na jednostkę długości) $\mu$, a prędkość, z jaką fala biegnie wzdłuż struny, wynosi $v=\sqrt{F_T\text{/}\mu }=\sqrt{mg\text{/}\mu }$ (Równanie 16.7). Symetryczne warunki brzegowe (na każdym końcu struny powstaje węzeł) wyznaczają możliwe częstotliwości, które pobudzają strunę do drgań. Wolno zwiększając częstotliwość od zera, otrzymujemy pierwszy mod $n=1$, co pokazano na Ilustracji 16.29. Pierwszy mod, nazywany też podstawowym lub pierwszą harmoniczną, odpowiada fali o długości równej połowie długości fali, a zatem długość fali jest równa podwojonej odległości pomiędzy węzłami ${\lambda }_1=2L$. Częstotliwość podstawowa (ang. fundamental frequency) lub pierwsza harmoniczna wynosi:

gdzie prędkość fali równa się $v=\sqrt{F_T\text{/}\mu }$. Wzrost częstotliwości przy stałym naprężeniu struny prowadzi do drugiej harmonicznej, czyli $n=2$. Ten mod odpowiada jednostkowej długości fali ${\lambda }_2=L$, a częstotliwość równa się podwojonej częstotliwości podstawowej:

Ilustracja 16.29 Fale stojące powstają wzdłuż struny o długości $L$. Na każdym końcu powstaje węzeł. Węzły określają możliwe częstotliwości, które pobudzają strunę. W celach poglądowych amplituda drgań jest stała. Obraz fali stojącej na strunie to tzw. mod podstawowy. W warunkach laboratoryjnych możemy zmniejszyć amplitudę fali, a zwiększyć częstotliwość.

Dwa kolejne mody, tj. trzecia i czwarta harmoniczna, odpowiadają długościom fali ${\lambda }_3=2L\text{/}3$ i ${\lambda }_4=2L\text{/}4$. Są one wzbudzane przez częstotliwości $f_3=\frac{3v}{2L}=3f_1$ i $f_4=\frac{4v}{2L}=4f_1.$ Częstotliwości wyższe niż $f_1$ nazywa się nadtonami (ang. overtone). Wyrażenia na długość fali i częstotliwość mają postać:

Różne konfiguracje fali stojącej, które można utworzyć wzdłuż struny, przedstawione na Ilustracji 16.29, nazywa się modami normalnymi (ang. normal mode); używa się też zwrotu mody własne lub drgania własne. Generujące je częstości to częstości normalne lub własne. Podsumowując, częstotliwość, która wytwarza pierwszy mod normalny, to częstotliwość podstawowa (lub pierwsza harmoniczna). Każda częstotliwość wyższa od podstawowej to nadton. Częstotliwość, która odpowiada $n=2$, to pierwszy nadton (lub druga harmoniczna). Częstotliwość odpowiadająca $n=3$ to drugi nadton (lub trzecia harmoniczna) itd.

Relacje przedstawione przez Równanie 16.15 i Równanie 16.16 wynikają z równania falowego dla struny, na której końcach powstają węzły lub strzałki. Kiedy na obu końcach struny są takie same warunki, wówczas mówimy o symetrycznych warunkach brzegowych.

Przykład 16.7

Fale stojące na strunie

Rozważmy strunę o długości $L=\mathrm{2,00}\text{m}$, której jeden koniec jest połączony z oscylatorem o regulowanej częstotliwości, jak pokazano na Ilustracji 16.30. Fale biegną wzdłuż struny i odbijają się w miejscu, gdzie występuje bloczek. Struna ma stałą liniową gęstość masy $\mu =\mathrm{0,006}\text{kg/m}$. Drugi koniec struny jest przerzucony przez bloczek o pomijalnej masie, wzdłuż którego struna porusza się bez tarcia. Koniec struny jest obciążony odważnikiem o masie 2,00 kg, który zapewnia stałe naprężenie struny. (a) Jaka jest prędkość fal wzdłuż struny? (b) Narysuj fale stojące odpowiadające trzem pierwszym modom i opisz rysunki, podając długość fali. (c) Podaj częstotliwości, które spowodują powstanie trzech pierwszych modów.

Ilustracja 16.30 Struna połączona z oscylatorem o regulowanej częstotliwości.

Strategia rozwiązania

1. Prędkość fali możemy obliczyć ze wzoru $v=\sqrt{F_T\text{/}\mu }$. Naprężenie pochodzi od obciążnika na końcu struny.
2. Postać fal stojących zależy od warunków brzegowych. Na każdym końcu struny musi powstać węzeł. Pierwszy mod odpowiada połowie długości fali. Drugi obliczymy, gdy dodamy do pierwszego połowę długości fali. Jest to najprostszy sposób, aby na końcach struny powstały węzły. Przykładowo jeśli dodamy 1/4 długości fali, to na końcu struny powstanie strzałka, a wtedy warunki brzegowe nie będą spełnione. Sytuację taką przedstawia Ilustracja 16.31.
3. Ponieważ prędkość fali równa się długości fali pomnożonej przez częstotliwość, to częstotliwość obliczymy jako prędkość fali podzieloną przez jej długość.
   

   Ilustracja 16.31 (a) Rysunek przedstawia drugi mod struny, który spełnia warunki brzegowe, zgodnie z którymi na obu końcach struny powstają węzły. (b) Ta sytuacja jest niedopuszczalna, gdyż nie zostałby utworzony mod normalny ze względu na niespełnienie warunków brzegowych. Na jednym końcu występuje węzeł, a na drugim strzałka.

Rozwiązanie

1. Wychodzimy ze wzoru na prędkość fali na strunie. Naprężenie obliczymy w oparciu o znaną masę odważnika. Liniowa gęstość struny jest podana. Szybkość wynosi:
   
   $$v=\sqrt{\frac{F_T}{\mu }}=\sqrt{\frac{mg}{\mu }}=\sqrt{\frac{2\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{9,8}\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2}{\mathrm{0,006}\mathrm{k}\mathrm{g}\text{/}\mathrm{m}}}=\mathrm{57,15}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.$$
2. Pierwszy normalny mod, przy którym mamy węzły na obu końcach struny, odpowiada połowie długości fali. Następne dwa mody możemy obliczyć, dodając połowę długości fali.
   
3. Częstotliwości pierwszych trzech modów możemy obliczyć ze wzoru $f=v_w\text{/}\lambda .$
   
   $$\begin{array}{}\\ f_1=\frac{v_w}{{\lambda }_1}=\frac{\mathrm{57,15}\text{m/s}}{\mathrm{4,00}\text{m}}=\mathrm{14,29}\text{Hz}\hfill \\ f_2=\frac{v_w}{{\lambda }_2}=\frac{\mathrm{57,15}\text{m/s}}{\mathrm{2,00}\text{m}}=\mathrm{28,58}\text{Hz}\hfill \\ f_3=\frac{v_w}{{\lambda }_3}=\frac{\mathrm{57,15}\text{m/s}}{\mathrm{1,333}\text{m}}=\mathrm{42,87}\text{Hz}\hfill \end{array}$$

Znaczenie

Trzy mody w tym przykładzie mogły powstać dzięki temu, że utrzymywano stałe naprężenie struny, a częstotliwość drgań można było zmieniać. Stałe naprężenie struny powoduje, że fala rozchodzi się ze stałą prędkością. Takie same mody moglibyśmy utworzyć, utrzymując stałą częstotliwość drgań, a zmieniając prędkość fali (przez zmianę masy odważnika).

Swobodne warunki brzegowe, które omówiliśmy w ostatniej sekcji mogą być trudne do wyobrażenia. Jak może wyglądać taki układ, którego jeden koniec jest swobodny i może wykonywać drgania? Na Ilustracji 16.32 pokazano dwie możliwe konfiguracje metalowego pręta (czerwona linia) podpartego w dwóch punktach (podparcia narysowano na niebiesko). Na Ilustracji 16.32 (a) pręt jest podparty na obu końcach. Mówimy tu o ustalonych warunkach brzegowych. Przy pewnych częstotliwościach pręt można wprawić w rezonans. Powstanie fala stojąca o długości równej długości pręta, a na obu końcach pręta powstaną węzły. Na Ilustracji 16.32 (b) pręt jest podparty w punktach, odległych od każdego końca o 1/4 długości pręta. Na obu końcach pręta występują swobodne warunki brzegowe. Przy pewnych częstotliwościach pręt wpada w rezonans, powstaje fala stojąca o długości równej długości pręta, a na obu końcach pręta powstają strzałki. Jeśli nie wiesz, jak zmierzyć długość fali, przypomnij sobie, że mierzy się ją pomiędzy dwoma najbliższymi, identycznymi punktami (Ilustracja 16.33).

Ilustracja 16.32 (a) Pręt metalowy o długości $L$ (czerwony) jest zamocowany na obu końcach (punkty podparcia są zaznaczone niebiesko) na obu końcach. Gdy pręt zostaje pobudzony, to przy pewnych częstotliwościach zacznie rezonować. Długość powstałej fali, będzie równa długości pręta a na obu jego końcach utworzone zostaną węzły. (b) Ten sam metalowy pręt o długości $L$ (czerwony) został podparty w punktach oddalonych od każdego końca o 1/4 jego długości. Przy odpowiednich częstotliwościach pręt wpada w rezonans. Powstała w jego wyniku fala stojąca ma długość równą długości pręta, a na obu jego końcach powstają strzałki.

Ilustracja 16.33 Długość fali można zmierzyć pomiędzy dwoma identycznymi punktami. Dla fali na strunie oznacza to punkty o tych samych wychyleniach i nachyleniach. (a) Długość fali zmierzono pomiędzy dwoma najbliższymi punktami o zerowych wychyleniach, nachylenie jest dodatnie i przyjmuje wartość maksymalną. (b) Długość fali zmierzono pomiędzy dwoma identycznymi punktami, w których wychylenia są maksymalne, a nachylenia równe zero.

Zwróćmy uwagę, że zagadnienie fal stojących może ulec komplikacji. Na Ilustracji 16.32 (a) pokazano mod $n=2$ fali stojącej. Odpowiadająca mu długość fali wynosi $L$. W takim przypadku może też powstać mod $n=1$ fali stojącej o długości równej $2L$. Czy możliwe jest otrzymanie modu $n=1$ dla konfiguracji przedstawionej na Ilustracji 16.32 (b)? Odpowiedź brzmi: nie. W takim przypadku muszą być spełnione dodatkowe warunki brzegowe. Ponieważ pręt jest podparty w punktach odległych o 1/4 swojej długości od każdego końca, w tych miejscach musi pojawić się węzeł, a to ogranicza możliwe mody powstałych fal stojących. Rozważ, czy inne mody fal stojących są możliwe. Zauważ przy tym, że jeśli układ został wprawiony w drgania, które nie prowadzą do rezonansu, to drgania mogą występować, ale ich amplituda jest mniejsza niż amplituda drgań rezonansowych.

W inżynierii mechanicznej stosuje się dźwięki wytwarzane przez drgające części złożonych układów mechanicznych, aby zdiagnozować problemy występujące w takich układach. Przypuśćmy, że jakaś część samochodu rezonuje z częstotliwością równą częstotliwości drgań silnika samochodu, powodując niepożądane drgania w samochodzie. Może to spowodować szybkie zniszczenie silnika. Inżynierowie rejestrują dźwięki wytwarzane przez silnik, następnie stosują procedurę zwaną analizą Fouriera, aby określić częstotliwości wytwarzanych dźwięków, co pozwala ostatecznie wykryć, która część samochodu ulega rezonansowi. Problem można rozwiązać, zmieniając skład chemiczny materiału użytego do produkcji tej części lub jej długość.

W świecie fizyki możemy znaleźć wiele innych przykładów rezonansu fal stojących. Jednym z nich może być powietrze wewnątrz rury, w instrumentach muzycznych, takich jak flety, które pobudzone do rezonansu, stają się źródłem przyjemnych dla ucha dźwięków. Zagadnieniem tym zajmiemy się w rozdziale Dźwięk.

Są też przypadki, w których rezonans może być przyczyną problemów. Skutki trzęsień Ziemi to przykłady działania rezonansu, powstawania fal stojących, a także wzmacniania i wygaszania interferencyjnego. Jeśli budynek zacznie drgać przez kilka sekund z częstotliwością odpowiadającą częstotliwości jego drgań własnych, doprowadzi to do rezonansu, wskutek czego budynek runie. Określone wymiary budynku mogą spełniać warunki do powstania fal stojących, przez co budowle o danej wysokości ulegają zniszczeniu, a inne pozostają nienaruszone. Ważna jest również wielkość dachu. Często hale gimnastyczne, hipermarkety i kościoły ulegają zniszczeniu w większym stopniu niż pojedyncze budynki. Dachy o większej powierzchni podparte jedynie na krawędziach ulegają rezonansowi przy częstotliwościach równych częstotliwości trzęsienia Ziemi, przez co dochodzi do ich zawalenia. Ponieważ fale sejsmiczne biegną wzdłuż powierzchni Ziemi i odbijają się od gęstszych skał, w pewnych miejscach dochodzi do wzmocnienia interferencyjnego. Dlatego też nieraz obszary położone niedaleko od epicentrum wstrząsu nie doznają większych strat, natomiast bardziej odległe zostają zburzone.