William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

wyjaśniać zjawiska odbicia fal mechanicznych na granicy ośrodka i ich przechodzenia przez granicę ośrodka;
definiować pojęcia interferencji i superpozycji;
znajdować falę wypadkową dwóch fal sinusoidalnych, różniących się jedynie fazą.

Do tej pory zajmowaliśmy się falami mechanicznymi rozchodzącymi się w ośrodku, nie uwzględniając tego, co się stanie, jeśli fala napotka granicę ośrodka lub jeśli napotka inną falę, rozchodzącą się w tym samym ośrodku. Fala, która napotka granicę ośrodka, może ulec całkowitemu lub częściowemu odbiciu od niej. Na przykład jeśli staniemy w pewnej odległości od urwiska i krzykniemy, to usłyszymy dźwięk odbity od urwiska, czyli echo. Fale rozchodzące się w tym samym ośrodku mogą ze sobą oddziaływać. Jeśli do sadzawki wpadną dwa kamienie w niewielkiej odległości od siebie, to fale, które się utworzą, nałożą się na siebie. To zjawisko nazywamy interferencją. W tym rozdziale zajmiemy się nim bardziej szczegółowo, wykazując, że zjawisko to różni się od zagadnień punktu materialnego czy bryły sztywnej. Później, gdy będziemy zajmować się fizyką współczesną, zobaczymy, że dopiero gdy badamy materię na poziomie atomowym, możemy zauważyć podobieństwa między falami a cząstkami.

Odbicie i transmisja

Fala rozchodząc się w ośrodku i napotyka jego granicę, ulega odbiciu. Fala, która biegnie w kierunku granicy ośrodka, to fala padająca, natomiast fala, która odbiła się od granicy, to fala odbita. Sposób, w jaki odbija się od granicy ośrodka, zależy od warunków brzegowych, a dokładnie od tego, czy granica jest ustalona i wynosi zero, czy może przyjmować dowolne wartości (Ilustracja 16.17). Przez ustalone warunki brzegowe (ang. fixed boundary condition) rozumiemy sytuację, gdy granica ośrodka nie ma swobody ruchu. Analogicznie, swobodne warunki brzegowe (ang. free boundary condition) oznaczają sytuację, gdy granica ośrodka może zmieniać swoje położenie.

Rysunek a składa się z dwóch części. Na każdym mamy strunę zamocowaną z prawej strony do słupa, który nie ma swobody ruchu. Górny rysunek jest oznaczony jako sytuacja przed odbiciem. Impuls biegnie wzdłuż struny z prędkością v indeks dolny i. Dolny rysunek oznacza sytuację po odbiciu. Impuls biegnie w lewo z prędkością v indeks dolny R. Rysunek b ma dwie części; na każdej mamy strunę zamocowaną z prawej strony do drążka, który ma swobodę ruchu. Górny rysunek oznacza sytuację przed odbiciem. Impuls biegnie na prawo z prędkością v indeks dolny i. Dolny rysunek odnosi się do sytuacji po odbiciu. Impuls biegnie w lewo z prędkością v indeks dolny R.

Ilustracja 16.17 (a) Jeden koniec struny jest ustalony i nie ma swobody ruchu. Fala biegnąca wzdłuż struny, napotykając ustalone warunki brzegowe, po odbiciu zmienia fazę o

180^{\circ}

(π r a d)

w porównaniu z fazą fali padającej. (b) Jeden koniec struny jest zamocowany do drążka o pomijalnej masie, przy czym drążek ma swobodę ruchu. Fala rozchodząca się wzdłuż struny, napotykając swobodne warunki brzegowe , odbija się i zmienia fazę o

0^{\circ}

(0 r a d)

w porównaniu z fazą fali padającej.

Ilustracja 16.17 (a) prezentuje sytuację dla ustalonych warunków brzegowych. Jeden koniec struny jest przytwierdzony do ściany, co zapobiega przemieszczaniu się ośrodka (tu: struny). Amplituda fali odbitej jest równa amplitudzie fali padającej, ale faza fali odbitej różni się o $180^{\circ}$ $(π r a d)$ od fazy fali padającej. Zmianę fazy możemy objaśnić, korzystając z trzeciej zasady dynamiki Newtona, zgodnie z którą jeśli ciało $A$ działa na ciało $B$ , wówczas ciało $B$ oddziałuje na ciało $A$ siłą o takiej samej wartości, ale skierowaną przeciwnie. Kiedy fala padająca napotyka przeszkodę w postaci ściany, to siła, z jaką struna oddziałuje na ścianę, ma przeciwny zwrot do siły, z jaką ściana oddziałuje na strunę. Zwróćmy uwagę, że grzbiet fali padającej odpowiada dolinie fali odbitej i vice versa.

Ilustracja 16.17 (b) pokazuje z kolei swobodne warunki brzegowe. Koniec struny jest zamocowany do drążka o pomijalnej masie, przez co struna ma swobodę ruchu. Również i w tym przypadku fala padająca odbija się od granicy ośrodków, ale w takich warunkach fale odbita i padająca mają zgodne fazy. Fala, padając na granicę ośrodków, działa na drążek siłą, która powoduje jego przyspieszenie. Maksymalne wychylenie drążka równa się amplitudzie fali. Następnie drążek wraca do położenia równowagi pod wpływem siły sprężystości struny. Jak pokazano na rysunku, położenie grzbietu fali padającej odpowiada położeniu grzbietu fali odbitej. Analogicznie położenie doliny fali padającej odpowiadałoby położeniu doliny fali odbitej. Amplitudy fali padającej i odbitej są sobie równe.

Czasami jednak granica ośrodka nie jest ani ustalona, ani swobodna. Na Ilustracji 16.18 (a) przedstawiono sytuację, w której struna o małej liniowej gęstości masy jest połączona ze struną o większej liniowej gęstości masy. Wówczas oprócz fali odbitej i fali padającej występuje dodatkowo fala przechodząca, która jest w zgodnej fazie z falą padającą. Amplitudy fal przechodzącej i odbitej są mniejsze niż amplituda fali padającej. Jeśli naprężenia obu strun są równe, wówczas fala rozchodzi się szybciej w strunie o niższej liniowej gęstości masy.

Na rysunku pokazano dwie struny, górną oznaczono jako sytuacja przed odbiciem,a dolną po odbiciu. Na górnej strunie znajduje się pik, oznaczony jako fala padająca, która biegnie w prawo z prędkością v indeks dolny i. Dolna struna posiada dwa piki. Pik po lewej oznaczono jako fala przechodząca, która rozchodzi się na prawo z prędkością v indeks dolny T. Pik po lewej stronie oznaczono jako fala odbita. Biegnie on w lewo z prędkością v indeks dolny R. Jego amplituda jest mniejsza niż amplituda fali padającej i jest z stosunku do niego odwrócony. Rysunek b przedstawia dwie struny, górną, odnoszącą się do sytuacji przed odbiciem i dolną, odpowiadającą sytuacji po odbiciu. Pik górnej struny został oznaczony jako fala padająca, która biegnie w prawo z prędkością v indeks dolny i. Struna dolna posiada dwa piki. Pik po lewej stronie został oznaczony jako fala przechodząca, pik po prawej jako fala odbita.

Ilustracja 16.18 Fale biegnące wzdłuż dwóch typów strun: pogrubioną linią zaznaczono falę biegnącą wzdłuż struny o większej liniowej gęstości masy, a cieńszą linią zaznaczono falę wzdłuż struny o mniejszej liniowej gęstości. Obie struny poddano takim samym naprężeniom. Fala biegnąca wzdłuż struny o niższej gęstości liniowej porusza się szybciej niż fala biegnąca wzdłuż struny o wyższej gęstości. (a) Jeśli fala przechodzi z ośrodka o mniejszej gęstości liniowej do ośrodka o większej gęstości, to faza fali odbitej różni się o

180^{\circ}

(π r a d)

od fazy fali padającej, a faza fali przechodzącej jest zgodna z fazą fali padającej. (b) Gdy fala przechodzi z ośrodka o większej gęstości liniowej do ośrodka o mniejszej gęstości, fazy fali odbitej i przechodzącej są zgodne z fazą fali padającej.

Na Ilustracji 16.18 (b) struna o dużej liniowej gęstości masy jest połączona ze struną o małej liniowej gęstości. Faza fali odbitej w takim przypadku jest zgodna z fazą fali padającej. Pojawia się również fala przechodząca o fazie zgodnej z fazą fali padającej. Amplitudy fal przechodzącej i odbitej są mniejsze niż amplituda fali padającej. Jeśli naprężenia obu strun są jednakowe, fala rozchodzi się szybciej w strunie o niższej gęstości masy.

Superpozycja i interferencja

Większość fal występujących w przyrodzie to jednak bardziej skomplikowane, zjawiska. Większość ciekawych fal mechanicznych stanowią kombinacje dwóch lub większej liczby fal rozchodzących się w tym samym ośrodku. Aby nauczyć się je analizować, musimy poznać zagadnienie superpozycji fal.

Rozważmy dwa impulsy o takiej samej amplitudzie, które biegną naprzeciwko siebie w tym samym ośrodku, jak pokazano na Ilustracji 16.19. W efekcie fale pokryją się, w wyniku czego powstanie fala o amplitudzie dwa razy większej, a następnie fale zaczną biec w przeciwnych kierunkach. Zjawisko to nazywa się interferencją (ang. interference).

Na pięciu kolejnych rysunkach pokazano etapy, które można wyróżnić w sytuacji, gdy dwa impulsy biegną naprzeciwko siebie. W chwili t1 impulsy są oddalone od siebie. Amplitudy obu impulsów wynoszą A. W chwili t2 impulsy znajdują się blisko siebie, tworząc falę, posiadającą dwa piki. W chwili t3 piki nałożyły się na siebie, tworząc jeden pik o amplitudzie 2A. W chwili t4 pik ulega separacji, tworząc ponownie dwie piki o amplitudach równym wyjściowym amplitudom A. W chwili t5 sytuacja jest tożsama z sytuacją przedstawioną na pierwszym rysunku.

Ilustracja 16.19 Impulsy biegną naprzeciwko siebie i ulegają interferencji. Pojęcie interferencji odnosi się do sytuacji, kiedy fale nałożą się na siebie.

Aby prześledzić zjawisko interferencji, posłużymy się zasadą superpozycji fal. Dla fal mechanicznych zasada superpozycji (ang. superposition) mówi, że jeśli co najmniej dwie fale biegnące nałożą się na siebie w tym samym punkcie, to wypadkowe położenie cząstki ośrodka w tym punkcie jest algebraiczną sumą położeń tego punktu dla każdej fali z osobna. Zasadę superpozycji można stosować dla fal na strunie, fal dźwiękowych, fal na powierzchni wody i innych. Fale elektromagnetyczne także jej podlegają, ale w ich przypadku nie dodaje się położeń punktu ośrodka, lecz natężenia pól elektrycznego i magnetycznego. Fale, które nie podlegają zasadzie superpozycji, to fale nieliniowe. W tym rozdziale mówimy tylko o falach liniowych, w szczególności sinusoidalnych.

W celu wyjaśnienia zasady superpozycji posłużymy się liniowym równaniem falowym. W podrozdziale Matematyczny opis fal zdefiniowaliśmy falę liniową jako falę, której reprezentacją matematyczną jest liniowe równanie falowe. W przypadku fali poprzecznej na strunie, na którą działa siła sprężystości o charakterze liniowym, ma ono postać:

\frac{\partial^{2} y (x, t)}{\partial x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} y (x, t)}{\partial t^{2}} .

Każda funkcja falowa $y (x, t) = y (x \mp v t),$ której argument jest funkcją liniową $(x \mp v t)$ , jest rozwiązaniem liniowego równania falowego. Jeśli funkcje falowe $y_{1} (x, t)$ i $y_{2} (x, t)$ są rozwiązaniami liniowych równań falowych, to suma dwóch funkcji $y_{1} (x, t) + y_{2} (x, t)$ jest również rozwiązaniem liniowego równania falowego. Na fale mechaniczne, które spełniają zasadę superpozycji, zwykle narzucone jest ograniczenie, że amplitudy muszą być małe w stosunku do długości fali. Jeśli amplituda byłaby zbyt duża, to ośrodek uległby takiemu odkształceniu, że siła sprężystości przestałaby być liniowa.

Fale mogą ulegać interferencji konstruktywnej lub destruktywnej. Na Ilustracji 16.20 pokazano dwie identyczne fale sinusoidalne, które mają takie same fazy. Ilustracja 16.20 (a) i (b) przedstawia dwie fale liniowe, natomiast na Ilustracji 16.20 (c) pokazano falę wypadkową utworzoną w wyniku algebraicznego dodania tych fal. Zarówno grzbiety, jak i doliny obu fal leżą w tych samych miejscach. W takim przypadku zachodzi wzmacnianie, inaczej interferencja konstruktywna (ang. constructive interference), w wyniku czego powstaje fala o amplitudzie dwukrotnie większej niż amplitudy fal wyjściowych, ale o tej samej długości.

Ilustracja 16.21 przedstawia dwie takie same fale, których fazy różnią się o $180^{\circ}$ . W takim przypadku zachodzi wygaszanie, inaczej interferencja destruktywna (ang. destructive interference). Ilustracja 16.21 (a) i (b) przedstawia dwie wyjściowe fale, natomiast Ilustracja 16.21 (c) pokazuje falę, która jest wynikiem superpozycji dwóch fal. Ponieważ położenie grzbietu jednej fali odpowiada położeniu doliny drugiej, amplituda fali wypadkowej wynosi zero, innymi słowy w przypadku wygaszania fala znika.

Rysunki a i b pokazują fale o amplitudach A i długościach lambda. Obie fale mają zgodne fazy. Rys. a jest opisany jako y1 nawias x, t nawias równa się A sinus nawias kx minus omega t nawias. Rys. b ma opis y2 nawias x, t nawias równa się A sinus nawias kx minus omega t nawias. Rys. c przedstawia falę, która jest w zgodnej fazie z dwiema powyższymi. Jej amplituda wynosi 2A, a długość lambda. Jest opisana następująco: y nawias x, t nawias równa się y1 plus y2 równa się 2A sinus nawias kx minus omega t nawias.

Ilustracja 16.20 Wzmacnianie interferencyjne dwóch fal prowadzi do powstania fali o dwukrotnie większej amplitudzie, lecz o tej samej długości.

Rys. a i b pokazują fale o amplitudach A i długościach lambda. Fale są w przeciwnych fazach. Rys. a jest oznaczony następująco: y1 nawias x, t nawias równa się A sinus nawias kx minus omega t plus pi nawias. Rys. b jest opisany y2 nawias x, t nawias równa się A sinus nawias kx minus omega t nawias. Rys. c pokazuje falę o zerowej amplitudzie. Jest ona opisana jako y nawias x, t nawias równa się y1 plus y2 równa się 0.

Ilustracja 16.21 Wygaszanie dwóch fal, których fazy różnią się o

180^{\circ}

(π r a d)

, prowadzi do powstania fali o zerowej amplitudzie.

Gdy fale liniowe ulegają interferencji, fala wypadkowa jest algebraiczną sumą fal składowych, jak zaprezentowaliśmy to przy okazji omawiania zasady superpozycji. Fakt ten zilustrowano na Ilustracji 16.22, gdzie widzimy dwie fale (zaznaczone liniami niebieską i czerwoną) oraz falę wypadkową (zaznaczoną linią czarną).

Na rysunku mamy trzy fale. Dla dwóch z nich, niebieskiej i czerwonej wartość y zmienia się w granicach między -10 a plus 10. Obie fale mają tę samą długość i są nieco przesunięte w fazie. Trzecia fala, zaznaczona na czarno, ma tę samą długość, co dwie wymienione wyżej, ale większą amplitudę. Poniżej narysowano fragment wykresu w powiększeniu. Dla x równego w przybliżeniu 0,74, wartość y fal narysowanych na czerwono i niebiesko wynoszą odpowiednio y1 = 8 i y2 = 10. Wartość y fali zaznaczonej na czarno wynosi y1 + y2 = 18. Dla x równego 1, wartość y fal czerwonej i niebieskiej wynosi 9.5. Wartość y dla czarnej fali wynosi y1 + y2 = 19.

Ilustracja 16.22 Gdy dwie fale rozchodzące się w tym samym ośrodku interferują ze sobą, to wychylenie fali wypadkowej w każdym punkcie jest sumą algebraiczną fal składowych. Na rysunku widzimy dwie fale (linie czerwona i niebieska) dodane do siebie oraz falę wypadkową (linia czarna). Mogą one reprezentować dowolne rodzaje fal liniowych, na przykład fale powstające na powierzchni sadzawki, fale na strunie, dźwięk, fale elektromagnetyczne.

Superpozycja większości fal prowadzi do powstania efektów, które są kombinacją interferencji konstruktywnej i destruktywnej, przy czym efekt zależy od miejsca i czasu obserwacji. Dźwięki wytwarzane przez wieżę stereo w jednym miejscu są głośne, a w innych ciche. Oznacza to, że w niektórych miejscach zachodzi interferencyjne wzmacnianie, a w innych osłabianie. Wieża stereo ma co najmniej dwa głośniki. Dźwięki wytwarzane przez każdy z nich mogą odbijać się od ścian. Wszystkie fale odbite interferują ze sobą, a fala wypadkowa jest ich superpozycją.

Rozważyliśmy kilka przykładów, w których superpozycji ulegały fale podobne do siebie. Na Ilustracji 16.23 prezentujemy przykład superpozycji dwóch różnych fal, gdzie po dodaniu zaburzeń obu otrzymujemy falę wypadkową.

Na rysunku pokazano trzy fale. Fala 1 ma większą długość i amplitudę niż fala 2. Fala 3, która jest falą wypadkową posiada nieregularny kształt.

Ilustracja 16.23 Superpozycja fal nieidentycznych prowadzi zarówno do wzmacniania, jak i do osłabiania interferencyjnego.

W przypadkach, gdy co najmniej dwie fale mechaniczne interferują ze sobą, obraz interferencyjny utworzony przez falę wypadkową może być dość skomplikowany, nieposiadający żadnych rozpoznawalnych cech. To właśnie ta złożoność powoduje, że dźwięk brzmi ciekawie i chcemy go słuchać. Innym wartym wspomnienia przykładem superpozycji są fale stojące, które są wytwarzane przez fale biegnące w różnych kierunkach. Fale stojące omówimy w następnym podrozdziale.

Materiały pomocnicze

Spróbuj wykorzystać tę symulację, aby wytworzyć fale. Jako źródła możesz użyć cieknącego kranu, głośnika lub lasera. Aby utworzyć wzór interferencyjny, musisz użyć drugiego źródła fali lub pary szczelin. Do obserwacji możesz wybrać jedno źródło lub dwa źródła. W przypadku symulacji z wykorzystaniem dwóch źródeł możesz zaobserwować wzór interferencyjny, jaki powstanie na skutek dodawania się fal o różnych częstotliwościach i amplitudach.

Superpozycja fal sinusoidalnych o różnych fazach

Wiele przypadków, z którymi mamy do czynienia w fizyce, dotyczy dwóch fal sinusoidalnych o tych samych amplitudach, liczbach falowych i częstościach kołowych, ale różnych fazach:

\begin{matrix} y_{1} (x, t) = A sin (k x - ω t + ϕ), \\ y_{2} (x, t) = A sin (k x - ω t) . \end{matrix}

Jeśli te dwie fale rozchodzą się w tym samym ośrodku, to fala wypadkowa, która powstaje wskutek superpozycji, ma postać:

y_{R} (x, t) = y_{1} (x, t) + y_{2} (x, t) = A sin (k x - ω t + ϕ) + A sin (k x - ω t) .

Jeśli zastosujemy tożsamość trygonometryczną:

sin u + sin v = 2 sin (\frac{u + v}{2}) cos (\frac{u - v}{2}),

gdzie $u = k x - ω t + ϕ$ i $v = k x - ω t$ , to fala wypadkowa przyjmie postać:

\begin{matrix} y_{R} (x, t) & = y_{1} (x, t) + y_{2} (x, t) = A sin (k x - ω t + ϕ) + A sin (k x - ω t) \\ = 2 A sin (\frac{(k x - ω t + ϕ) + (k x - ω t)}{2}) cos (\frac{(k x - ω t + ϕ) - (k x - ω t)}{2}) \\ = 2 A sin (k x - ω t + \frac{ϕ}{2}) cos (\frac{ϕ}{2}) . \end{matrix}

Powyższe równanie można też zapisać jako:

y_{R} (x, t) = [2 A cos (\frac{ϕ}{2})] sin (k x - ω t + \frac{ϕ}{2}) .

16.13

Fala wypadkowa ma tę samą liczbę falową i tę samą częstość kołową co fala pierwotna. Jej amplituda wynosi $A_{R} = 2 A \cos (ϕ / 2)$ , a faza początkowa równa się połowie fazy początkowej fali pierwotnej. Przykłady fal, które różnią się jedynie fazą, zostały pokazane na Ilustracji 16.24. Fale zaznaczone na niebiesko i czerwono mają te same amplitudy, liczby falowe i częstości kołowe, ale różne fazy. Oznacza to, że mają te same okresy, długości i częstotliwości. Fala zaznaczona na czarno jest wynikiem superpozycji tych dwóch fal. Gdy różnica faz tych fal wynosi zero, wówczas są one w zgodnych fazach, a fala wypadkowa ma tę samą liczbę falową i częstość kołową, natomiast jej amplituda równa się dwukrotnej amplitudzie fal wyjściowych (patrz: Ilustracja 16.24 (a)). Jest to przykład wzmacniania interferencyjnego. Jeśli różnica faz wynosi $180^{\circ}$ , to wynikiem interferencji jest wygaszanie (patrz: Ilustracja 16.24 (c)). Fala wypadkowa ma amplitudę równą zero. Przy każdej innej różnicy faz powstaje fala o liczbie falowej i częstości kołowej równych tym parametrom obu fal padających. Faza początkowa fali wypadkowej wynosi $ϕ / 2$ , a jej amplituda $2 A cos (ϕ / 2) .$ Przykłady pokazano na Ilustracji 16.24 (b) i (d).

Grzbiet niebieskiej fali odpowiada dolinie czerwonej fali i vice versa. Rysunek d ma podpis delta phi równe 3 pi przez 2 radiany. Fale czerwona i niebieska mają amplitudy równe 10 m a amplituda czarnej fali wynosi 15 m. Jej długość jest równa długości fali składowych. Grzbiet czarnej fali znajduje się w miejscu, gdzie przecinają się linie czerwona i niebieska.

Ilustracja 16.24 Superpozycja dwóch fal o tych samych amplitudach, długościach, częstotliwościach, ale różnych fazach. Fala czerwona jest opisana funkcją falową

y_{1} (x, t) = A sin (k x - ω t)

, natomiast fala niebieska funkcją

y_{2} (x, t) = A sin (k x - ω t + ϕ)

. Na czarno zaznaczono falę będącą wynikiem dodania tych dwóch fal. Różnice faz fal wynoszą: (a)

0,00 rad,

(b)

π / 2 rad,

(c)

π rad,

(d)

3 π / 2 rad

.

16.5 Interferencja fal

Odbicie i transmisja

Superpozycja i interferencja

Superpozycja fal sinusoidalnych o różnych fazach