16.3 Prędkość fali na naprężonej strunie

Prędkość fali na naprężonej strunie

Aby przekonać się, w jaki sposób prędkość fali na strunie zależy od jej naprężenia i liniowej gęstości, rozważmy rozchodzący się wzdłuż niej impuls (Ilustracja 16.13). Kiedy struna znajduje się w położeniu równowagi, naprężenie struny $F_T$ jest stałe. Rozważmy krótki odcinek struny o masie równej $\text{Δ}m=\mu \text{Δ}x.$ Odcinek ten znajduje się w położeniu równowagi, a naprężenia działające na każdy z jego końców odcinka są równe co do wartości, ale mają przeciwne zwroty.

Ilustracja 16.13 Odcinek struny poddany naprężeniu $F_T$. Znajduje się on w stanie równowagi statycznej, a naprężenia działające na każdy jego koniec są równe co do wartości, ale przeciwnie skierowane.

Jeśli szarpniemy naciągniętą strunę, wzdłuż niej powstanie fala poprzeczna, która będzie się rozchodzić w kierunku zgodnym ze zwrotem osi $x$, co pokazano na Ilustracji 16.14. W celach poglądowych zaznaczono rozważany powyżej odcinek. Wykonuje on drgania w płaszczyźnie prostopadłej do ruchu fali pod wpływem działania siły sprężystości, ale nie przemieszcza się wzdłuż osi $x$. Naprężenia $F_T$ są przyłożone do obu końców odcinka i skierowane wzdłuż osi $x$. Siły te są stałe i niezależne od położenia oraz czasu.

Ilustracja 16.14 Naciągniętą strunę szarpnięto, co spowodowało wytworzenie impulsu, biegnącego wzdłuż struny w kierunku zgodnym ze zwrotem osi $x$.

Załóżmy, że wychylenie struny z położenia równowagi jest małe. Siła wypadkowa działająca na rozważany odcinek jest skierowana wzdłuż struny i stanowi sumę jej naprężenia oraz siły sprężystości. Składowe $x$ naprężenia równoważą się, dlatego do wyliczenia siły wypadkowej rozważamy jedynie składowe $y$. Wartość składowej $x$ siły naprężenia struny oznaczono jako $F_T$ (Ilustracja 16.14). Składową $y$ siły naciągu wyliczymy, jeśli zauważymy, że $\mathrm{tg}{\theta }_1=-F_1\text{/}{F}_T$ i $\mathrm{tg}{\theta }_2=-F_2\text{/}{F}_T$. Tangens kąta $\theta$ $(\mathrm{tg}\theta )$ jest równy nachyleniu funkcji w danym punkcie, co można obliczyć po prostu jako pochodną cząstkową $y$ po $x$ w tym punkcie. Stosunek $F_1\text{/}{F}_T$ ma wartość ujemną w punkcie $x_1$, a $F_2\text{/}{F}_T$ jest równe nachyleniu w punkcie $x_2$:

Siła wypadkowa działająca na rozważany odcinek może być zapisana jako:

Na mocy drugiej zasady dynamiki Newtona siła wypadkowa równa się iloczynowi masy i przyspieszenia. Gęstość liniowa struny $\mu$ jest to masa przypadająca na jednostkę długości struny, a masa odcinka struny wynosi $\mu \text{Δ}x$, stąd otrzymujemy:

Po podzieleniu przez $F_T\text{Δ}x$ i przyjęciu, że $\text{Δ}x$ dąży do zera, mamy:

Przypomnijmy, że liniowe równanie falowe ma postać:

Stąd:

Po wyliczeniu $v$ z powyższej zależności przekonamy się, że prędkość fali na strunie zależy od naprężenia i gęstości liniowej.

Prędkość fal w cieczach

Prędkość fali na strunie zależy od pierwiastka kwadratowego z naprężenia podzielonego przez masę przypadającą na jednostkę długości. Ogólnie rzecz ujmując, prędkość fali w ośrodku zależy od własności sprężystych ośrodka i jego bezwładności:

Sprężystość ośrodka oznacza zdolność jego cząsteczek do osiągania stanu równowagi po zaburzeniu. Bezwładność oznacza opór, jaki cząsteczki stawiają wobec zmian prędkości.

Prędkość fali podłużnej w płynie zależy od jego gęstości i modułu sprężystości objętościowej:

Moduł sprężystości objętościowej (moduł Helmholtza) definiuje się jako $K=-\frac{\text{Δ}p}{\raisebox{1ex}{$\text{Δ}V$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$V_0$}\right.},$ gdzie $\text{Δ}p$ oznacza zmianę ciśnienia, a mianownik wyraża stosunek zmiany objętości do objętości początkowej, natomiast $\rho \equiv \frac{m}{V}$ oznacza masę przypadającą na jednostkę objętości. Przykładowo dźwięk jest falą mechaniczną, która może się rozchodzić w płynie lub ciele stałym. Prędkość dźwięku w powietrzu przy ciśnieniu atmosferycznym, wynoszącym $\mathrm{1,013}\cdot {10}^5\mathrm{P}\mathrm{a}$, oraz w temperaturze $20\text{°}\text{C}$ wynosi $v_{\text{s}}\approx \mathrm{343,00}\text{m/s}.$ Ponieważ gęstość zależy od temperatury, prędkość dźwięku w powietrzu zależy od temperatury powietrza. Będziemy to zagadnienie omawiali w rozdziale Dźwięk.