15.6 Drgania wymuszone

Zaśpiewaj głośno jakiś dźwięk przy fortepianie (Ilustracja 15.28) z odseparowanymi tłumikami strun. W odpowiedzi instrument wyda identyczny dźwięk, ponieważ struny o częstotliwościach takich jak twój głos będą w rezonansie z wygenerowaną przez ciebie falą akustyczną. To dobry przykład pokazujący, że struny fortepianu najłatwiej zmusić do drgań z częstotliwościami własnymi. W tym podrozdziale opiszemy sytuację z przyłożeniem siły wymuszającej do oscylatora harmonicznego. Działanie siły wymuszającej zwiększa energię układu przy pewnej częstotliwości, niekoniecznie tej samej, co częstotliwość drgań własnych oscylatora. Warto przypomnieć, że częstotliwość drgań własnych oscylatora jest to częstotliwość swobodnych drgań układu zachodzących w nieobecności zarówno siły wymuszającej, jak i oporu ośrodka.

Większość z nas bawiła się zabawkami składającymi się z ciała zawieszonego na elastycznej gumce, a więc układami podobnymi do pokazanego na Ilustracji 15.29. Wyobraź sobie, że palec na rysunku jest twoim palcem. Początkowo trzymasz palec w bezruchu i możesz stwierdzić, że kulka wykonuje drgania w górę i w dół. Możesz też zauważyć słabe tłumienie drgań. Jeśli powoli zaczniesz poruszać palcem w górę i w dół, kulka będzie podążać za palcem, a drgania będą miały małą amplitudę. Jeżeli następnie zwiększysz częstotliwość ruchu palca, to kulka zareaguje oscylacjami z rosnącą amplitudą drgań. Jeśli będziesz wymuszać drgania kulki z częstotliwością drgań własnych oscylatora, wówczas ich amplituda przy każdej kolejnej oscylacji będzie coraz większa. Zjawisko wprowadzenia układu w drgania o częstotliwości równej częstotliwości drgań własnych oscylatora nazywa się rezonansem. W sytuacji, kiedy występują drgania wymuszone, mówimy że układ rezonuje. Kiedy częstotliwość wymuszania drgań jest stopniowo zwiększana powyżej częstotliwości rezonansowej, amplituda drgań kulki ulega zmniejszeniu. W warunkach, gdy twój palec oscyluje bardzo szybko, oscylacje kulki praktycznie zanikają.

Przeprowadźmy proste doświadczenie. Przymocujmy klocek o masie $m$ do sprężyny zanurzonej w naczyniu z lepką cieczą. To podobny układ do omawianego już wcześniej oscylatora harmonicznego tłumionego. Tym razem zamiast podwieszać swobodny koniec sprężyny do sztywnego zawieszenia, przymocujmy ją do tarczy napędzanej przez silnik o zmiennej częstotliwości obrotów. Silnik rotuje z prędkością kątową $\omega$. Obracająca się tarcza dostarcza energię do układu poprzez wykonanie pracy na skutek działania siły wymuszającej $F_{\mathrm{w}\mathrm{y}\mathrm{m}}=F_0\sin (\omega t)$ na sprężynę. Układ eksperymentalny pokazano na Ilustracji 15.30.

Możemy przeanalizować ruch klocka o masie $m$, stosując drugą zasadę dynamiki Newtona $({\overrightarrow{F}}_{\mathrm{w}\mathrm{y}\mathrm{p}}=m\overrightarrow{a})$. Proponowane równanie różniczkowe jest podobne do równania dla oscylatora harmonicznego tłumionego, przy czym dodano człon związany z siłą wymuszającą:

Kiedy oscylator zaczyna wykonywać drgania pod wpływem okresowej siły wymuszającej, początkowy ruch klocka może wydawać się przebiegiem chaotycznym, dlatego stan ten nazywamy przejściowym. Po pewnym czasie drgania oscylatora stabilizują się, a ruch klocka staje się periodyczny (stan ustalony). W warunkach stabilizacji rozwiązanie równania różniczkowego można przedstawić jako:

Pozostaje w ramach ćwiczenia udowodnić, że to rozwiązanie spełnia równanie różniczkowe. Po wyznaczeniu pierwszej i drugiej pochodnej przemieszczenia względem czasu $x(t)$ i podstawieniu ich do równania różniczkowego możemy stwierdzić, że $x\left(t\right)=A\text{sin}\left(\omega t+\varphi \right)$ jest rozwiązaniem, jeśli amplituda drgań wynosi:

gdzie ${\omega }_0=\sqrt{k\text{/}m}$ jest częstością kołową własną układu klocka na sprężynie. Przypomnijmy, że częstość kątowa, a co za tym idzie i częstotliwość siły wymuszającej, może być regulowana kontrolką silnika. Zatem amplituda drgań klocka zależy od częstotliwości siły wymuszającej. Ponadto im mniejsza wartość mianownika, tym większe wychylenie klocka od położenia równowagi. Aby wyznaczyć maksymalną amplitudę drgań należy więc znaleźć taką częstość, zwaną częstością rezonansową ${\omega }_{\text{rez}}$, dla której mianownik Równania 15.29 przyjmuje minimum. W tym celu wyznaczamy pochodną funkcji pod pierwiastkiem i przyrównujemy ją do zera:

Jednym z rozwiązań powyższego równania jest $\omega =0$. Oznaczałoby to, że wartość siły wymuszającej pozostaje stała wraz z upływem czasu, co jest sprzeczne z naszymi założeniami. Dlatego też to rozwiązanie należy odrzucić i skupić się na drugim czynniku równania:

Odrzucamy ujemne rozwiązanie i otrzymujemy wzór na częstość rezonansową:

Amplituda drgań klocka będzie największa, kiedy częstość drgań siły wymuszającej będzie równa częstości rezonansowej. W celu wyznaczenia maksymalnej wartości wychylenia od położenia równowagi należy do Równania 15.29 podstawić Równanie 15.31:

Ilustracja 15.31 przedstawia wykres amplitudy drgań oscylatora tłumionego w funkcji częstotliwości periodycznej siły wymuszającej drgania. Każda z trzech krzywych została wykreślona dla innej wartości współczynnika tłumienia. Szczególnie wysokie maksima obserwuje się dla układów z minimalnym udziałem tłumienia, co przekłada się na mniejsze straty energetyczne ze względu na opór ośrodka. Zauważmy, że amplituda drgań rośnie, gdy współczynnik tłumienia maleje, a w granicy nieobecności tłumienia $\left(b=0\right)$ amplituda drgań przyjmuje wartość nieskończoności.

Zauważmy również, że siła wymuszająca o małej amplitudzie może spowodować odpowiedź oscylatora w postaci bardzo dużych amplitud drgań. Zjawisko to znane jest jako rezonans. Często przytaczanym przykładem rezonansu jest rodzic popychający dziecko na huśtawce. Kiedy dziecko chce się huśtać wyżej, rodzic nie próbuje popchnąć huśtawki z rozbiegu, przykładając ogromną jednorazową siłę w bardzo krótkim czasie. Stosuje raczej strategię kolejnych, małych pchnięć huśtawki z odpowiednią częstotliwością, a amplituda wahnięć huśtawki stopniowo wzrasta. Jest to rozsądniejsze rozwiązanie.

Warto zauważyć, że szerokości krzywych rezonansowych pokazanych na Ilustracji 15.31 zależą od współczynnika tłumienia: im mniejsze tłumienie, tym krzywa jest węższa. Zatem w warunkach małego tłumienia częstotliwość siły wymuszającej musi być dobrana bardzo precyzyjnie, aby uzyskać rezonans. Na przykład radio ma obwód składający się z rezystora, kondensatora i cewki. Obwód ten cechuje wąska krzywa rezonansowa oraz możliwość strojenia częstotliwości, co przekłada się na selektywny wybór częstotliwości stacji radiowej. Dobroć układu zdefiniowana jest jako stosunek własnej częstości kołowej oscylatora do szerokości krzywej rezonansowej $\left(Q={\omega }_0\text{/}\mathrm{\Delta }\omega \right)$, tak jak pokazano na Ilustracji 15.32. W warunkach słabego tłumienia parametr dobroci wynosi $Q\approx {\omega }_{0}m\text{/}b$.

Opisane cechy drgań wymuszonych znajdują zastosowanie w wielu układach. Na przykład obrazowanie metodą rezonansu magnetycznego jest szeroko stosowanym narzędziem diagnostyki medycznej, w którym to jądra atomowe (głównie wodoru) rezonują z falami radiowymi (rzędu 100 MHz). We wszystkich tych przypadkach sprawność transferu energii od źródła siły wymuszającej do oscylatora jest najwyższa w warunkach rezonansu. Ilustracja 15.33 przedstawia zdjęcie słynnego mostu Tacoma, który jest jednym z najgłośniejszych przypadków niszczącej siły drgań wymuszonych. Inny przykład to most Millennium w Londynie, który z tego samego powodu trzeba było na krótko zamknąć w celu oceny zniszczeń spowodowanych zjawiskiem rezonansu. Przed ponownym otwarciem trzeba było przebudować konstrukcję mostu.