William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

opisywać cechy przepływu;
obliczać strumień objętościowy;
opisywać relację pomiędzy strumieniem a prędkością;
rozumieć konsekwencje równania ciągłości w kontekście zachowania masy.

W pierwszej części tego rozdziału zajmowaliśmy się statyką płynów, czyli płynami w spoczynku. Pozostała część rozdziału dotyczy dynamiki płynów, czyli badania ich w ruchu. Nawet najbardziej podstawowy ruch płynu może się okazać bardzo skomplikowany. Z tego powodu w wielu przykładach ograniczymy nasze rozważania do płynów idealnych (ang. ideal fluid). Płyn idealny jest to płyn o pomijalnej lepkości (ang. viscosity). Lepkość to miara wewnętrznego tarcia w płynie – omówimy ją bardziej szczegółowo w rozdziale Lepkość i turbulencja. W oparciu o kilka przykładów przeanalizujemy płyn nieściśliwy, to znaczy taki, w którym zmiana objętości wymaga ogromnej siły, czyli jego gęstość w całej objętości pozostaje stała.

Cechy przepływu

W dziedzinach takich jak meteorologia do zilustrowania przepływu płynu często używamy wektorów prędkości. Na przykład ruch powietrza w atmosferze podczas wiatru może być przedstawiony przez wektory wskazujące wartość i kierunek prędkości w dowolnym punkcie na mapie. Ilustracja 14.24 prezentuje wektory prędkości opisujące wiatry podczas huraganu Artur w 2014 r.

Ilustracja przedstawia mapę ciśnień huraganu Artur przemieszczającego się wzdłuż Wschodniego Wybrzeża. Centrum niskiego ciśnienia oznaczono niebieską kropką. Prędkość wiatru jest najwyższa w pobliżu centrum niskiego ciśnienia, a wiatry poruszają się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara wokół tego punktu.

Ilustracja 14.24 Naniesione wektory prędkości pokazują kierunki i wartości prędkości wiatrów w huraganie Artur. Zwróćmy uwagę na cyrkulację wiatru wokół oka huraganu. Wartości prędkości są największe w jego pobliżu. Kolory przedstawiają względne wirowości, czyli miarę wirowania wiatru.

Inną metodą przedstawiania przepływu płynu jest linia prądu. Linia prądu oddaje drogę przebytą przez małą objętość płynu podczas przepływu. Prędkość jest zawsze styczna do linii prądu. Diagramy na Ilustracji 14.25 używają linii prądu do zilustrowania dwóch przykładów płynu poruszającego się w rurze. Pierwszy wykazuje cechy przepływu laminarnego (ang. laminar flow), reprezentowanego przez gładkie, równoległe linie prądu. Zwróćmy uwagę, że w przykładzie pokazanym w części (a) prędkość płynu jest największa w centrum i maleje w pobliżu ścian rury z powodu lepkości płynu i tarcia między ścianami a płynem. Jest to szczególny przypadek przepływu laminarnego, gdzie tarcie między płynem a rurą jest wysokie, nazywany przypadkiem warunków brzegowych bez poślizgu. Drugi diagram prezentuje przepływ turbulentny (ang. turbulent flow), w którym linie prądu są nieregularne i zmienne w czasie. W przepływie turbulentnym trajektorie płynu są nieregularne, gdyż różne jego części mieszają się i tworzą małe, kołowe regiony przypominające wiry. Może się tak zdarzyć, gdy prędkość płynu osiągnie pewną prędkość krytyczną.

Ilustracja (a) prezentuje schemat przepływu laminarnego pokazanego jako warstwy płynu poruszające się w równoległych trajektoriach. Ilustracja (b) jest schematyczną prezentacją przepływu turbulentnego, pokazanego jako warstwy płynu poruszającego się po nieregularnych, przecinających się trajektoriach.

Ilustracja 14.25 (a) Przepływ laminarny można przedstawić jako warstwy płynu poruszające się po równoległych, regularnych trajektoriach. (b) W przepływie turbulentnym różne obszary płynu poruszają się wzdłuż nieregularnych, przecinających się trajektorii, co skutkuje występowaniem obszarów mieszania i wirami.

Strumień i jego związek z prędkością

Objętość płynu przepływającego w pewnym miejscu przez powierzchnię w jednostce czasu zwana jest strumieniem (ang. flow rate) $Q$ lub bardziej precyzyjnie, strumieniem objętościowym. Może być on zapisany jako:

Q = \frac{d V}{d t},

14.13

gdzie $V$ jest objętością, a $t$ upływem czasu. Na Ilustracji 14.26 objętość cylindra wynosi $A x$ , więc strumień objętościowy równy jest:

Q = \frac{d V}{d t} = \frac{d}{d t} (A x) = A \frac{d x}{d t} = A v .

Ilustracja przedstawia schemat jednorodnej rury o polu przekroju A. Płyn przepływa przez rurę. Objętość płynu równa V przepływa na wysokości punktu P w czasie.

Ilustracja 14.26 Strumień objętości to objętość płynu przepływająca w pewnym punkcie przez powierzchnię

A

w jednostce czasu. Tutaj zacieniony cylinder płynu przepływa przez powierzchnię w punkcie

P

w jednorodnej rurze w czasie

t

.

Jednostką SI strumienia objętościowego jest $m^{3} /s$ , ale w powszechnym użyciu jest kilka innych jednostek, takich jak na litry na minutę (l/min). Zwróć uwagę, że litr (l) to 1/1000 $m^{3}$ lub 1000 $c m^{3}$ $(10^{- 3} m^{3} lub 10^{3} c m^{3})$ .

Strumień objętościowy i prędkość są powiązanymi, lecz różnymi od siebie wielkościami fizycznymi. Aby precyzyjnie odróżnić je od siebie, rozważmy strumień objętościowy w rzece. Im większa prędkość wody, tym większy strumień objętościowy rzeki, ale strumień zależy również od wymiarów i kształtu rzeki. Na przykład bystry strumień górski niesie znacznie mniej wody niż Amazonka w Brazylii. Ilustracja 14.26 przedstawia strumień objętościowy. Wynosi on $Q = d V / d t = A v$ , gdzie $A$ jest polem przekroju rury, a $v$ wartością prędkości.

Szczegółowa relacja między strumieniem $Q$ , a średnią prędkością $v$ jest następująca:

Q = A v,

gdzie $A$ jest polem przekroju, a $v$ średnią prędkością. Mówi nam ona, że strumień jest wprost proporcjonalny zarówno do średniej prędkości płynu, jak i do pola przekroju rzeki, rury czy innego przewodu. Im grubszy przewód, tym większe pole jego przekroju. Ilustracja 14.26 obrazuje sposób uzyskania powyższej relacji. Zacieniony cylinder ma objętość $V = A x$ , która przepływa przez powierzchnię $A$ w punkcie $P$ w czasie $t$ . kiedy podzielimy obie strony tej zależności przez $t$ , otrzymujemy:

\frac{V}{t} = \frac{A x}{t} .

Zauważmy, że $Q = V / t$ , a średnia prędkość wynosi $v = x / t$ . Równanie upraszcza się do $Q = A v$ .

Ilustracja 14.27 przedstawia płyn nieściśliwy płynący przez rurę o malejącym promieniu. Ponieważ jest on nieściśliwy, to ta sama jego ilość musi przepływać przez każdy przekrój rury w danym czasie, aby utrzymać ciągłość przepływu. Przepływ jest ciągły, ponieważ nie ma w nim żadnych źródeł ani odpływów, które dodają lub usuwają masę, więc masa wpływająca do rury musi być równa masie z niej wypływającej. W tym przypadku, ponieważ pole przekroju rury się zmniejsza, prędkość musi rosnąć. Ten sposób rozumowania można rozszerzyć i powiedzieć, że strumień musi być taki sam w każdym punkcie rury. W szczególności w dowolnych punktach 1 i 2:

\begin{matrix} Q_{1} & = & Q_{2}, \\ A_{1} v_{1} & = & A_{2} v_{2} . \end{matrix}

14.14

Wynik ten nosi nazwę równania ciągłości (ang. equation of continuity) i obowiązuje w każdym nieściśliwym płynie (o stałej gęstości). Konsekwencje tego równania można zaobserwować, gdy woda wypływa z węża przez wąski otwór przy dyszy: za dyszą prędkość wody jest bardzo duża, co tak naprawdę jest powodem, dla którego taka właśnie jest budowa końcówki węża. Z drugiej strony, gdy rzeka wpływa do jednej strony rezerwuaru (np. jeziora), woda znacząco zwalnia. Prędkość ta wzrośnie, gdy woda będzie wypływała po drugiej stronie rezerwuaru. Innymi słowy, prędkość rośnie, gdy pole przekroju maleje, a maleje, gdy pole przekroju rośnie.

Rysunek przedstawia schemat rury, która zwęża się od pola przekroju A1 do pola przekroju A2. Płyn przepływa przez rurę. Objętość V1 mija punkt 1, zlokalizowany od strony szerokiego pola przekroju w czasie t. Objętość płynu V2 mija punkt 2 zlokalizowany od strony małego pola przekroju w czasie t.

Ilustracja 14.27 Gdy rura się zwęża, ta sama objętość rozkłada się na większej długości. Aby ta sama objętość minęła powierzchnie w punktach 1 i 2 w tym samym czasie, prędkość musi być większa w punkcie 2. Proces ten jest odwracalny: jeżeli płyn porusza się w przeciwnym kierunku, jego prędkość maleje ze wzrostem szerokości rury. (Zwróć uwagę, że względne objętości obu cylindrów oraz odpowiadające im prędkości nie są narysowane w odpowiedniej skali.)

Ponieważ ciecze są praktycznie nieściśliwe, równanie ciągłości obowiązuje dla nich wszystkich. Gazy można ścisnąć, więc równanie ciągłości należy stosować do nich ostrożnie, jeżeli pojawia się zjawisko sprężenia lub rozprężenia.

Przykład 14.5

Obliczenie prędkości płynu przy wylocie węża

Dysza węża o średnicy 0,500 cm doczepiona jest do węża ogrodowego o promieniu 0,900 cm. Strumień objętościowy przez wąż i dyszę wynosi 0,500 l/s. Oblicz prędkość wody (a) w wężu i (b) przy wylocie.

Strategia rozwiązania

Aby obliczyć obie prędkości, możemy wykorzystać wyprowadzone zależności między strumieniem a prędkością. Do opisania węża użyjemy indeksu 1, a dla dyszy indeksu 2.

Rozwiązanie

Rozwiązujemy równanie na strumień ze względu na prędkość i używamy $π r_{1}^{2}$ , aby obliczyć pole przekroju węża. Otrzymujemy:

$v = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{π r_{1}^{2}} .$

Podstawiając wartości i dokonawszy odpowiednich konwersji jednostek, uzyskujemy:

$v = \frac{0,500 l / s \cdot 10^{- 3} m^{3} / l}{3,14 (9,00 \cdot 10^{- 3} m)^{2}} = 1,96 \frac{m}{s} .$
Moglibyśmy powtórzyć te obliczenia, aby uzyskać prędkość przy wylocie $v_{2}$ , ale zamiast tego użyjemy równania ciągłości, aby spojrzeć na problem z innej perspektywy. Zgodnie z tym równaniem:

$A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2} .$

Jeśli rozwiążemy ze względu $v_{2}$ i podstawimy $π r^{2}$ jako pole przekroju, uzyskamy:

$v_{2} = \frac{A_{1}}{A_{2}} v_{1} = \frac{π r_{1}^{2}}{π r_{2}^{2}} v_{1} = \frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}} v_{1} .$

Po podstawieniu wartości dochodzimy do:

$v_{2} = \frac{(0,900 c m)^{2}}{(0,250 c m)^{2}} 1,96 \frac{m}{s} = 25,5 \frac{m}{s} .$

Znaczenie

Prędkość 1,96 m/s wydaje się prawidłowa dla wody wylatującej z węża bez wąskiej dyszy na końcu. Dysza powoduje przyspieszenie strumienia, kierując wodę przez otwór o mniejszej powierzchni.

Rozwiązanie ostatniej części przykładu pokazuje, że prędkość jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu promienia rury, co sprawia, że pojawiają się znaczące efekty, gdy promień się zmienia. Możemy na przykład zdmuchnąć świeczkę z dość dużej odległości układając usta w rurkę, podczas gdy dmuchając z otwartymi ustami, raczej się nam to nie uda.

Zachowanie masy

Szybkość przepływu płynu może być również opisana przez strumień masy (ang. mass flow rate) lub inaczej masowe natężenie przepływu. Jest to szybkość, z jaką masa płynu przepływa przez powierzchnię w danym punkcie. Spójrzmy jeszcze raz na Ilustrację 14.26, lecz tym razem przyjrzyjmy się masie zawartej w zacienionej objętości. Masę tę można obliczyć z gęstości i objętości:

m = ρ V = ρ A x .

Strumień masy wynosi więc:

\frac{d m}{d t} = \frac{d}{d t} (ρ A x) = ρ A \frac{d x}{d t} = ρ A v,

gdzie $ρ$ jest gęstością, $A$ polem przekroju, a $v$ wartością prędkości. Pojęcie strumienia masy jest ważne w dynamice płynów i używane w rozwiązywaniu wielu problemów. Rozważmy na przykład Ilustrację 14.28. Rura na nim zaczyna się wlotem o polu powierzchni $A_{1}$ i zwęża się do wylotu o mniejszej powierzchni przekroju $A_{2}$ . Masa płynu wchodzącego do rury musi być równa masie płynu opuszczającego rurę. Z tego powodu prędkość przy wylocie $(v_{2})$ jest większa niż prędkość przy wlocie $(v_{1})$ . Wiedząc, że masa płynu wchodzącego do rury musi być równa masie płynu opuszczającego ją, możemy wyliczyć zależność między prędkością a polem powierzchni przekroju, zrównując szybkość zmiany masy wpływającej i wypływającej:

\begin{aligned} {(\frac{d m}{d t})}_{1} & = {(\frac{d m}{d t})}_{2} \\ ρ_{1} A_{1} v_{1} & = ρ_{2} A_{2} v_{2} . \end{aligned}

14.15

Równanie 14.15 jest znane również jako równanie ciągłości w postaci ogólnej. Jeżeli gęstość płynu pozostaje stała w obszarze zmniejszającego się pola przekroju, innymi słowy jeżeli płyn jest nieściśliwy, to w równaniu ciągłości gęstości się skracają:

A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2} .

Równanie ciągłości zzredukowaliśmy do postaci opisującej równość strumieni objętościowych: wchodzącego do rury oraz opuszczającego ją.

Ilustracja pokazuje schematycznie przepływ płynu przez jednorodną rurę o polu przekroju A. Objętość płynu równa v razy delta t przechodzi przez pole przekroju rury w czasie delta t.

Ilustracja 14.28 Rozważania geometryczne pomocne w wyprowadzeniu równania ciągłości. Masa płynu wchodzącego do zacienionego obszaru musi być w każdej chwili taka sama jak masa płynu opuszczającego ten obszar, jeżeli płyn jest nieściśliwy.

14.5 Dynamika płynów