Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępności
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1

14.6 Równanie Bernoulliego

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 114.6 Równanie Bernoulliego
  1. Przedmowa
  2. Mechanika
    1. 1 Jednostki i miary
      1. Wstęp
      2. 1.1 Zakres stosowalności praw fizyki
      3. 1.2 Układy jednostek miar
      4. 1.3 Konwersja jednostek
      5. 1.4 Analiza wymiarowa
      6. 1.5 Szacowanie i pytania Fermiego
      7. 1.6 Cyfry znaczące
      8. 1.7 Rozwiązywanie zadań z zakresu fizyki
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Wektory
      1. Wstęp
      2. 2.1 Skalary i wektory
      3. 2.2 Układy współrzędnych i składowe wektora
      4. 2.3 Działania na wektorach
      5. 2.4 Mnożenie wektorów
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Ruch prostoliniowy
      1. Wstęp
      2. 3.1 Położenie, przemieszczenie, prędkość średnia
      3. 3.2 Prędkość chwilowa i szybkość średnia
      4. 3.3 Przyspieszenie średnie i chwilowe
      5. 3.4 Ruch ze stałym przyspieszeniem
      6. 3.5 Spadek swobodny i rzut pionowy
      7. 3.6 Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Ruch w dwóch i trzech wymiarach
      1. Wstęp
      2. 4.1 Przemieszczenie i prędkość
      3. 4.2 Przyspieszenie
      4. 4.3 Rzuty
      5. 4.4 Ruch po okręgu
      6. 4.5 Ruch względny w jednym i dwóch wymiarach
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 5 Zasady dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 5.1 Pojęcie siły
      3. 5.2 Pierwsza zasada dynamiki Newtona
      4. 5.3 Druga zasada dynamiki Newtona
      5. 5.4 Masa i ciężar ciała
      6. 5.5 Trzecia zasada dynamiki Newtona
      7. 5.6 Rodzaje sił
      8. 5.7 Rozkłady sił działających na ciała
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 6 Zastosowania zasad dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 6.1 Rozwiązywanie zadań związanych z zasadami dynamiki Newtona
      3. 6.2 Tarcie
      4. 6.3 Siła dośrodkowa
      5. 6.4 Siła oporu i prędkość graniczna
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 7 Praca i energia kinetyczna
      1. Wstęp
      2. 7.1 Praca
      3. 7.2 Energia kinetyczna
      4. 7.3 Zasada zachowania energii mechanicznej
      5. 7.4 Moc
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 8 Energia potencjalna i zasada zachowania energii
      1. Wstęp
      2. 8.1 Energia potencjalna układu
      3. 8.2 Siły zachowawcze i niezachowawcze
      4. 8.3 Zasada zachowania energii
      5. 8.4 Wykresy energii potencjalnej
      6. 8.5 Źródła energii
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    9. 9 Pęd i zderzenia
      1. Wstęp
      2. 9.1 Pęd
      3. 9.2 Popęd siły i zderzenia
      4. 9.3 Zasada zachowania pędu
      5. 9.4 Rodzaje zderzeń
      6. 9.5 Zderzenia w wielu wymiarach
      7. 9.6 Środek masy
      8. 9.7 Napęd rakietowy
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 10 Obroty wokół stałej osi
      1. Wstęp
      2. 10.1 Zmienne opisujące ruch obrotowy
      3. 10.2 Obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym
      4. 10.3 Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym
      5. 10.4 Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      6. 10.5 Obliczanie momentu bezwładności
      7. 10.6 Moment siły
      8. 10.7 Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
      9. 10.8 Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 11 Moment pędu
      1. Wstęp
      2. 11.1 Toczenie się ciał
      3. 11.2 Moment pędu
      4. 11.3 Zasada zachowania momentu pędu
      5. 11.4 Precesja żyroskopu
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 12 Równowaga statyczna i sprężystość
      1. Wstęp
      2. 12.1 Warunki równowagi statycznej
      3. 12.2 Przykłady równowagi statycznej
      4. 12.3 Naprężenie, odkształcenie i moduł sprężystości
      5. 12.4 Sprężystość i plastyczność
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    13. 13 Grawitacja
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo powszechnego ciążenia
      3. 13.2 Grawitacja przy powierzchni Ziemi
      4. 13.3 Energia potencjalna i całkowita pola grawitacyjnego
      5. 13.4 Orbity satelitów i ich energia
      6. 13.5 Prawa Keplera
      7. 13.6 Siły pływowe
      8. 13.7 Teoria grawitacji Einsteina
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    14. 14 Mechanika płynów
      1. Wstęp
      2. 14.1 Płyny, gęstość i ciśnienie
      3. 14.2 Pomiar ciśnienia
      4. 14.3 Prawo Pascala i układy hydrauliczne
      5. 14.4 Prawo Archimedesa i siła wyporu
      6. 14.5 Dynamika płynów
      7. 14.6 Równanie Bernoulliego
      8. 14.7 Lepkość i turbulencje
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fale i akustyka
    1. 15 Drgania
      1. Wstęp
      2. 15.1 Ruch harmoniczny
      3. 15.2 Energia w ruchu harmonicznym
      4. 15.3 Porównanie ruchu harmonicznego z ruchem jednostajnym po okręgu
      5. 15.4 Wahadła
      6. 15.5 Drgania tłumione
      7. 15.6 Drgania wymuszone
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 16 Fale
      1. Wstęp
      2. 16.1 Fale biegnące
      3. 16.2 Matematyczny opis fal
      4. 16.3 Prędkość fali na naprężonej strunie
      5. 16.4 Energia i moc fali
      6. 16.5 Interferencja fal
      7. 16.6 Fale stojące i rezonans
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 17 Dźwięk
      1. Wstęp
      2. 17.1 Fale dźwiękowe
      3. 17.2 Prędkość dźwięku
      4. 17.3 Natężenie dźwięku
      5. 17.4 Tryby drgań fali stojącej
      6. 17.5 Źródła dźwięków muzycznych
      7. 17.6 Dudnienia
      8. 17.7 Efekt Dopplera
      9. 17.8 Fale uderzeniowe
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
    17. Rozdział 17
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • określać znaczenie składników równania Bernoulliego;
  • wiązać równanie Bernoulliego z zasadą zachowania energii;
  • wyprowadzać zasadę Bernoulliego z równania Bernoulliego;
  • wykonywać obliczenia, posługując się zasadą Bernoulliego;
  • opisywać zastosowania zasady Bernoulliego.

Jak pokazaliśmy na Rysunku 14.27, gdy płyn wpływa do węższego kanału, jego prędkość rośnie. Oznacza to, że jego energia kinetyczna również wzrasta. Jest to związane z pracą wykonaną nad płynem podczas wtłaczania go do kanału. Pracę wykonuje również siła grawitacji, jeżeli płyn zmienia swoje położenie pionowe.

Gdy kanał się zwęża, pojawia się różnica ciśnień. Powoduje powstanie to siły wypadkowej, ponieważ iloczyn ciśnienia i pola powierzchni równy jest sile, i to właśnie ona wykonuje pracę. Przypomnijmy sobie twierdzenie o pracy i energii:

W wyp = 1 2 m v 2 1 2 m v 0 2 . W wyp = 1 2 m v 2 1 2 m v 0 2 .

Wykonana praca zwiększa energię kinetyczną płynu. W wyniku tego ciśnienie spada w szybko poruszającym się płynie niezależnie od tego, czy jest on zawarty w rurze, czy w innym przewodzie.

Można wymienić wiele przypadków, gdy ciśnienie spada w szybko poruszającym się płynie. Na przykład zasłony prysznicowe mają ten nieprzyjemny zwyczaj, że wybrzuszają się w kierunku prysznica, gdy jest on włączony. Powodem jest to, że szybki strumień wody i powietrza wytwarza region niskiego ciśnienia wewnątrz osłoniętego zasłonami obszaru, podczas gdy ciśnienie po drugiej stronie nadal równe jest ciśnieniu atmosferycznemu. Ta różnica ciśnień powoduje powstanie siły wypadkowej, wpychającej zasłony do środka. Podobnie, gdy samochód wyprzedza ciężarówkę na autostradzie, kierowcy mają wrażenie, że oba samochody się przyciągają. Powód jest taki sam jak poprzednio: duża prędkość powietrza pomiędzy samochodem a ciężarówką powoduje powstanie obszaru niższego ciśnienia pomiędzy pojazdami, przez co oba są wpychane do środka przez ciśnienie na zewnątrz (Rysunek 14.29). Efekt ten zaobserwowano już w połowie XIX w., kiedy to stwierdzono, że wymijające się pociągi, poruszające się w przeciwnych kierunkach, przechylają się niebezpiecznie ku sobie.

Ilustracja przedstawia widok z góry samochodu wyprzedzającego ciężarówkę na autostradzie. Powietrze pomiędzy pojazdami porusza się w wąskim kanale, co prowadzi do wzrostu prędkości od v1 do v2, co z kolei pociąga spadek ciśnienia pomiędzy pojazdami od Po do Pi.
Rysunek 14.29 Widok z góry samochodu wyprzedzającego ciężarówkę na autostradzie. Powietrze pomiędzy pojazdami porusza się w węższym kanale, więc jego prędkość wzrasta ( v 2 v 2 jest większe niż v 1 v 1 ), co sprawia, że ciśnienie pomiędzy nimi spada ( p i p i jest mniejsze niż p o ) . p o ) . Większe ciśnienie po zewnętrznych stronach samochodów pcha je ku sobie.

Zachowanie energii i równanie Bernoulliego

Zastosowanie zasady zachowania energii do przepływu laminarnego bez tarcia doprowadziło do odkrycia bardzo użytecznego związku między ciśnieniem a prędkością przepływu w płynach. Związek ten nazywamy równaniem Bernoulliego (ang. Bernoulli’s equation), od nazwiska Daniela Bernoulliego (1700–1782), który opublikował wyniki swoich badań nad ruchem płynów w książce Hydrodynamica (1738).

Rozważmy nieściśliwy płyn przepływający przez rurę o zmiennej średnicy i wysokości, jak pokazano na Rysunku 14.30. Indeksy 1 i 2 na rysunku oznaczają dwie lokalizacje w rurze i przedstawiają zależność między polami przekrojów A A, prędkością przepływu v v, wysokością nad ziemią y y oraz ciśnieniem p p w każdym punkcie. Zakładamy tutaj, że gęstość w obu punktach jest taka sama – z tego powodu oznaczamy ją jako ρ ρ bez indeksów i, ponieważ płyn jest nieściśliwy, objętości zacienionych obszarów muszą być równe.

Ilustracja przedstawia schemat płynu przepływającego w S-kształtnej rurze o polu przekroju zmniejszającym się od A1 (lewa, dolna część) do A2 (prawa, górna część). Lewa strona jest na wysokości y1 nad ziemią; prawa strona jest na wysokości y2 nad ziemią. Płyn porusza się z prędkością v1 w dolnej części i z prędkością v2 w górnej. Objętość płynu dv zajmuje dx1 w dolnej części i dx2 w górnej części rury.
Rysunek 14.30 Rozważania geometryczne pomocne w wyprowadzeniu równania Bernoulliego.

Zakładamy dodatkowo, że w płynie nie działają żadne siły lepkości, dlatego energia każdej jego części będzie zachowana. Aby wyprowadzić równanie Bernoulliego, najpierw obliczymy pracę wykonaną nad płynem:

d W = F 1 d x 1 F 2 d x 2 d W= F 1 d x 1 F 2 d x 2
d W = p 1 A 1 d x 1 p 2 A 2 d x 2 = p 1 d V p 2 d V = ( p 1 p 2 ) d V . d W= p 1 A 1 d x 1 p 2 A 2 d x 2 = p 1 d V p 2 d V=( p 1 p 2 ) d V.

Wykonana praca związana jest z zachowawczą siłą grawitacji i zmianą energii kinetycznej płynu. Zmiana energii kinetycznej płynu wynosi:

d K = 1 2 m 2 v 2 2 1 2 m 1 v 1 2 = 1 2 ρ d V ( v 2 2 v 1 2 ) . d K= 1 2 m 2 v 2 2 1 2 m 1 v 1 2 = 1 2 ρ d V( v 2 2 v 1 2 ).

Zmiana energii potencjalnej jest następująca:

d U = m g y 2 m g y 1 = ρ d V g ( y 2 y 1 ) . d U=mg y 2 mg y 1 =ρ d Vg( y 2 y 1 ).

Równanie na energię można więc przekształcić do następującej postaci:

d W = d K + d U ( p 1 p 2 ) d V = 1 2 ρ d V ( v 2 2 v 1 2 ) + ρ d V g ( y 2 y 1 ) ( p 1 p 2 ) d V = 1 2 ρ ( v 2 2 v 1 2 ) + ρ g ( y 2 y 1 ) . d W = d K + d U ( p 1 p 2 ) d V = 1 2 ρ d V ( v 2 2 v 1 2 ) + ρ d V g ( y 2 y 1 ) ( p 1 p 2 ) d V = 1 2 ρ ( v 2 2 v 1 2 ) + ρ g ( y 2 y 1 ) .

Po przeniesieniu wyrazów otrzymujemy równanie Bernoulliego:

p 1 + 1 2 ρ v 1 2 + ρ g y 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g y 2 . p 1 + 1 2 ρ v 1 2 + ρ g y 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g y 2 .

Zależność ta oznacza, że energia mechaniczna dowolnego elementu płynu zmienia się w wyniku pracy wykonanej nad tym elementem przez płyn znajdujący się poza nim. Wykonanie tej pracy powodowane jest przez ciśnienie zmieniające się wzdłuż toru przepływu płynu. Ponieważ oba punkty wybraliśmy dowolnie, równanie Bernoulliego możemy zapisać w postaci bardziej ogólnej jako zasadę zachowania wzdłuż toru przepływu płynu.

Równanie Bernoulliego

Dla nieściśliwego płynu bez tarcia, suma ciśnień statycznego i dynamicznego zachowana jest nie tylko w czasie, ale również wzdłuż linii prądu:

p + 1 2 ρ v 2 + ρ g y = constant. p + 1 2 ρ v 2 + ρ g y = constant.
14.16

Szczególną uwagę należy tu zwrócić na fakt, że w sytuacji dynamicznej ciśnienia na tej samej wysokości w różnych częściach płynu mogą być różne, jeżeli części te mają różną prędkość przepływu.

Analiza równania Bernoulliego

Zgodnie z równaniem Bernoulliego w małej objętości płynu wzdłuż toru jej ruchu poszczególne wielkości równania mogą się zmieniać, ale ich suma pozostanie stała. Równanie to jest tak naprawdę wygodną formą zapisu prawa zachowania energii w nieściśliwym płynie przy braku oporów ruchu.

W ogólnej postaci równanie Bernoulliego ma trzy elementy, a jego zastosowanie jest bardzo szerokie. Aby lepiej je zrozumieć, rozważmy kilka szczegółowych przypadków ilustrujących i upraszczających jego znaczenie.

Równanie Bernoulliego dla płynów statycznych

Na początek rozważmy bardzo prostą sytuację, w której płyn jest statyczny, czyli v 1 = v 2 = 0 . v 1 = v 2 = 0 . Równanie Bernoulliego w tym przypadku przyjmuje postać:

p 1 + ρ g h 1 = p 2 + ρ g h 2 . p 1 + ρ g h 1 = p 2 + ρ g h 2 .

Możemy jeszcze bardziej je uprościć, podstawiając h 2 = 0 . h 2 = 0 . (Możemy wybrać dowolną wysokość jako wysokość referencyjną i przypisać jej wartość zero. Często się tak robi w rozważaniach dotyczących siły grawitacji.) Wówczas otrzymujemy:

p 2 = p 1 + ρ g h 1 . p 2 = p 1 + ρ g h 1 .

Równanie to mówi nam, że w płynach statycznych ciśnienie rośnie z głębokością. Gdy poruszamy się od punktu 1 do punktu 2 w płynie, głębokość rośnie o h 1 h 1 i w związku z tym p 2 p 2 jest większe niż p 1 p 1 o ρ g h 1 ρ g h 1 . W najprostszym przypadku p 1 p 1 wynosi zero na szczycie płynu i otrzymujemy znane już wyrażenie p = ρ g h p = ρ g h . Przypomnijmy sobie, że p = ρ g h p=ρgh i Δ U g = m g h Δ U g =mgh. Równanie Bernoulliego potwierdza fakt, że zmiana ciśnienia spowodowana ciężarem płynu wynosi ρ g h ρ g h . Pomimo tego, że wprowadziliśmy równanie Bernoulliego w celu opisania płynów w ruchu, zawiera ono wiele zasad, którymi zajmowaliśmy się wcześniej, badając płyny statyczne.

Poziomy przepływ płynu

Załóżmy, że płyn porusza się, ale jego głębokość pozostaje stała h 1 = h 2 h 1 = h 2 . W tych warunkach równanie Bernoulliego przyjmuje postać:

p 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 . p 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 .

Sytuacje, w których przepływ płynu odbywa się na stałym poziomie są tak częste, że równanie to stanowi przedmiot osobnych rozważań, jest to jednak nadal to samo równanie Bernoulliego. (Zwróćmy ponownie uwagę, że opisuje ono ruch małego elementu płynu wzdłuż toru jego ruchu.) Równanie Bernoulliego w tej postaci podkreśla fakt, że w poruszającym się płynie ciśnienie spada, gdy wzrasta prędkość: jeżeli v 2 v 2 jest większe niż v 1 v 1 , to p 2 p 2 musi być mniejsze niż p 1 p 1 , aby równanie było spełnione.

Przykład 14.6

Obliczanie ciśnienia

W Przykładzie 14.5, obliczyliśmy, że prędkość wody w wężu zwiększyła się z 1,96 m/s do 25,5 m/s podczas przechodzenia z węża do dyszy. Oblicz ciśnienie w wężu, wiedząc, że ciśnienie absolutne w dyszy wynosi 1,01 10 5 N / m 2 1,01 10 5 N / m 2 (równe ciśnieniu atmosferycznemu, jak być powinno) i zakładając przepływ bez oporów na stałej wysokości.

Strategia rozwiązania

Mamy tu do czynienia z przepływem na stałej głębokości, czyli możemy zastosować uproszczone równanie Bernoulliego. Użyjemy indeksu 1 dla wartości wewnątrz węża i 2 dla wartości w dyszy. Naszym zadaniem jest więc wyliczyć p 1 p 1 .

Rozwiązanie

Rozwiązanie prawa Bernoulliego dla przepływu poziomego ze względu na p 1 p 1 prowadzi do:
p 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 1 2 ρ v 1 2 = p 2 + 1 2 ρ ( v 2 2 v 1 2 ) . p 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 1 2 ρ v 1 2 = p 2 + 1 2 ρ ( v 2 2 v 1 2 ) .

Podstawiając wartości, otrzymujemy:

p 1 = 1,01 10 5 N m 2 + 1 2 10 3 k g m 3 [ ( 25,5 m s ) 2 ( 1,96 m s ) 2 ] = 4,24 10 5 N m 2 . p 1 = 1,01 10 5 N m 2 + 1 2 10 3 k g m 3 [ ( 25,5 m s ) 2 ( 1,96 m s ) 2 ] = 4,24 10 5 N m 2 .

Znaczenie

Tak jak się spodziewaliśmy, ciśnienie absolutne wewnątrz węża jest większe niż przy dyszy, ponieważ v v jest większe niż w dyszy. Ciśnienie p 2 p 2 w dyszy musi być równe atmosferycznemu, ponieważ woda wytryskuje w kierunku atmosfery bez zmiany innych wartości.

Zastosowania prawa Bernoulliego dla przepływu poziomego

W wielu urządzeniach oraz sytuacjach codziennego życia odnajdujemy przypadki, w których płyn przepływa na stałej wysokości i które mogą być analizowane przy pomocy uproszczonego równania.

Porywanie płynu

Możliwość wykorzystania spadku ciśnienia w szybko poruszających się płynach do wprawiania materii w ruch zauważono już dawno temu. Większe ciśnienie na zewnątrz szybko poruszającego się płynu wpycha inne płyny w szybki strumień. Proces ten nazywany jest czasem porywaniem (ang. entrainment) (w polskiej literaturze mówi się o „zasysaniu” lub „ssącym działaniu strugi”, jednak pojęcie „porywanie”, również używane, wydaje się tu zręczniejsze - przyp. tłum.). Urządzenia wykorzystujące porywanie, takie jak pompy do unoszenia wody na niskie wysokości, stosowane na przykład do osuszania bagien i innych nisko położonych obszarów, są w użytku od starożytności. Inne urządzenia wykorzystujące to zjawisko przedstawiono na Rysunku 14.31.

Ilustracja (a) prezentuje palnik Bunsena: powietrze i gaz ziemny wchodzą na dole naczynia i poruszają się ku górze. Ilustracja (b) przedstawia atomizer: ściśnięcie elastycznej gruszki wywołuje powstanie przepływu poziomego strumienia powietrza, który porywa kropelki perfum ku górze i wypycha na zewnątrz butelki. Ilustracja (c) przedstawia rysunek zwykłego aspiratora, w którym woda porusza się od góry do dołu i porywa powietrze wchodzące z boku. Ilustracja (d) jest rysunkiem komina, w którym przepływ gorącego powietrza w górę porywa zimne powietrze dostające się z boków.
Rysunek 14.31 Urządzenia stosujące porywanie wykorzystują zwiększoną prędkość płynu do wytworzenia niższego ciśnienia, które porywa jeden rodzaj płynu do wnętrza drugiego. (a) Palnik Bunsena używa regulowanej dyszy, która porywa powietrze, aby regulować spalanie. (b) Po ściśnięciu gruszki atomizera, podmuch powietrza porywa kropelki perfum. (c) Powszechnie stosowany aspirator używa szybkiego strumienia wody do wytworzenia obszaru niskiego ciśnienia. Aspiratory mogą być używane jako pompy ssące w zastosowaniach dentystycznych i chirurgicznych lub do osuszania zalanej piwnicy czy wytworzenia niższego ciśnienia w zbiorniku. (d) Komin podgrzewacza wody jest tak zaprojektowany, aby porywał powietrze do wnętrza rury wychodzącej na zewnątrz pomieszczenia.

Pomiar prędkości

Rysunek 14.32 pokazuje dwa urządzenia, wykorzystujące prawo Bernoulliego do pomiaru prędkości płynu. Manometr w części (a) jest połączony z dwiema rurkami wystarczająco małymi, aby nie zaburzyć znacząco przepływu. Rurka z otworem skierowanym ku nadlatującemu płynowi wytwarza przed sobą martwy punkt, w którym prędkość wynosi zero ( v 1 = 0 v 1 = 0 ), podczas gdy prędkość płynu w pobliżu drugiej rurki, która ma otwór z boku, wynosi v 2 v 2 . Oznacza to, że równanie Bernoulliego:

p 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 p 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2

możemy zapisać jako:

p 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 . p 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 .

Czyli ciśnienie p 2 p 2 nad drugim otworem jest zmniejszone o ρ v 2 / 2 ρ v 2 /2, więc płyn w manometrze podnosi się o h h po stronie połączonej z drugim otworem i dodatkowo otrzymujemy:

h 1 2 ρ v 2 2 . h 1 2 ρ v 2 2 .

(Przypomnijmy, że symbol oznacza „proporcjonalny do”.) Rozwiązując ze względu na v 2 v 2 , zauważamy, że:

v 2 h . v 2 h .

Część (b) prezentuje wersję tego urządzenia powszechnie używaną do pomiaru prędkości płynów. Jest ono często wykorzystywane jako czujnik prędkości powietrza w samolotach.

Ilustracja (a) przedstawia rysunek manometru połączonego z dwiema rurkami, które są wystarczająco blisko siebie i są wystarczająco małe, aby nie zaburzać przepływu. Rurka 1 ma otwór na końcu skierowany do przepływu, podczas gdy rurka 2 ma otwór z boku. Ilustracja (b) przedstawia rysunek manometru, który jest podłączony do dwóch rurek, z których jedna (rurka 2) jest osadzona we wnętrzu drugiej (rurka 1). Rurka 1 jest otwarta od strony nadpływającego płynu, a rurka 2 ma otwór z boku.
Rysunek 14.32 Pomiar prędkości oparty na równaniu Bernoulliego. (a) Do dwóch rurek, które są na tyle blisko i są na tyle małe, że nie zaburzają przepływu płynu, podłączono manometr. Rurka 1 ma otwór w kierunku poruszającego się płynu, przez co powstaje przed nim martwy punkt, w którym prędkość płynu wynosi zero. Rurka 2 ma otwór z boku, więc płyn ma tam prędkość v v , co powoduje spadek ciśnienia w tym miejscu. Różnica ciśnień na manometrze wynosi ρ v 2 2 / 2 ρ v 2 2 / 2 , więc h h jest proporcjonalne do ρ v 2 2 / 2 ρ v 2 2 / 2 . (b) Urządzenie tego typu nazywa się rurką Prandtla (ang. Prandtl tube ), określa się je również mianem rurki Pitota (choć w rzeczywistości rurka Prandtla jest udoskonaleniem rurki Pitota - przyp. tłum.).

Wąż strażacki

Wszystkie przedstawione dotychczas zastosowania równania Bernoulliego wykorzystywały założenia upraszczające, takie jak stała wysokość czy stałe ciśnienie. Kolejny przykład stanowi bardziej ogólne zastosowanie równania Bernoulliego, w którym zmieniają się zarówno ciśnienie, jak i prędkość oraz wysokość.

Przykład 14.7

Obliczanie ciśnienia: dysza węża strażackiego

Węże strażackie używane w dużych pożarach mają wewnętrzną średnicę 6,40 cm (Rysunek 14.33). Załóżmy, że strumień objętościowy w takim wężu ma wartośc 40,0 l/s, pod ciśnieniem manometrycznym równym 1,62 10 6 N / m 2 1,62 10 6 N / m 2 . Wąż sięga do wysokości 10,0 m wzdłuż drabiny i kończy się dyszą o wewnętrznej średnicy 3,00 cm. Jakie jest ciśnienie w dyszy?
Ilustracja prezentuje wóz strażacki z wysuniętą drabiną. Strażak na szczycie drabiny używa węża do gaszenia pożaru. Przepływ wody jest równoległy do podłoża i odbywa się na wysokości.
Rysunek 14.33 Ciśnienie w dyszy tego węża strażackiego jest mniejsze niż na poziomie Ziemi z dwóch powodów: po pierwsze woda musi zostać wyniesiona na wysokość dyszy, po drugie, przy dyszy zwiększa się jej prędkość. Pomimo tego spadku ciśnienia woda może wywierać znaczną siłę na przedmioty, w które uderza, dzięki swojej energii kinetycznej. Ciśnienie strumienia wody zrównuje się z atmosferycznym w momencie, gdy opuszcza ona dyszę.

Strategia rozwiązania

Ponieważ wysokość nie jest stała, musimy rozwiązać pełne równanie Bernoulliego ze względu na ciśnienie.

Rozwiązanie

Pełne równanie ma następującą postać:
p 1 + 1 2 ρ v 1 2 + ρ g h 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g h 2 p 1 + 1 2 ρ v 1 2 + ρ g h 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g h 2

gdzie indeks 1 odnosi się do warunków na poziomie ziemi, a indeks 2 do warunków przy dyszy. Na początku musimy znaleźć prędkości v 1 v 1 i v 2 v 2 . Ponieważ Q = A 1 v 1 Q = A 1 v 1 , uzyskujemy:

v 1 = Q A 1 = 40,0 10 3 m 3 / s π ( 3,20 10 2 m ) 2 = 12,4 m s . v 1 = Q A 1 = 40,0 10 3 m 3 / s π ( 3,20 10 2 m ) 2 =12,4 m s .

Podobnie obliczamy:

v 2 = 56,6 m s . v 2 =56,6 m s .

Jest to dość duża prędkość, dzięki której woda może dosięgnąć ognia. Podstawimy teraz zero za h 1 h 1 i rozwiążemy równanie Bernoulliego ze względu na p 2 p 2 :

p 2 = p 1 + 1 2 ρ ( v 1 2 v 2 2 ) ρ g h 2 . p 2 = p 1 + 1 2 ρ ( v 1 2 v 2 2 ) ρ g h 2 .

Podstawiamy znane wartości i dochodzimy do:

p 2 = 1,62 10 6 N m 2 + 1 2 10 3 k g m 3 [ ( 12,4 m s ) 2 ( 56,6 m s ) 2 ] 10 3 k g m 3 9,80 m s 2 10,0 m = 2900 N m 2 . p 2 = 1,62 10 6 N m 2 + 1 2 10 3 k g m 3 [ ( 12,4 m s ) 2 ( 56,6 m s ) 2 ] 10 3 k g m 3 9,80 m s 2 10,0 m = 2900 N m 2 .

Znaczenie

Uzyskana wartość jest ciśnieniem manometrycznym, ponieważ wyjściowe ciśnienie również było podane względem ciśnienia atmosferycznego. W związku z tym ciśnienie za dyszą równa się ciśnieniu atmosferycznemu, gdyż woda wypływa do atmosfery bez zmiany innych warunków, w których się znajduje.
Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Creative Commons Attribution License , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
Cytowanie

© 2 mar 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Creative Commons Attribution License . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.