William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

określać znaczenie składników równania Bernoulliego;
wiązać równanie Bernoulliego z zasadą zachowania energii;
wyprowadzać zasadę Bernoulliego z równania Bernoulliego;
wykonywać obliczenia, posługując się zasadą Bernoulliego;
opisywać zastosowania zasady Bernoulliego.

Jak pokazaliśmy na Ilustracji 14.27, gdy płyn wpływa do węższego kanału, jego prędkość rośnie. Oznacza to, że jego energia kinetyczna również wzrasta. Jest to związane z pracą wykonaną nad płynem podczas wtłaczania go do kanału. Pracę wykonuje również siła grawitacji, jeżeli płyn zmienia swoje położenie pionowe.

Gdy kanał się zwęża, pojawia się różnica ciśnień. Powoduje powstanie to siły wypadkowej, ponieważ iloczyn ciśnienia i pola powierzchni równy jest sile, i to właśnie ona wykonuje pracę. Przypomnijmy sobie twierdzenie o pracy i energii:

W_{wyp} = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2} .

Wykonana praca zwiększa energię kinetyczną płynu. W wyniku tego ciśnienie spada w szybko poruszającym się płynie niezależnie od tego, czy jest on zawarty w rurze, czy w innym przewodzie.

Można wymienić wiele przypadków, gdy ciśnienie spada w szybko poruszającym się płynie. Na przykład zasłony prysznicowe mają ten nieprzyjemny zwyczaj, że wybrzuszają się w kierunku prysznica, gdy jest on włączony. Powodem jest to, że szybki strumień wody i powietrza wytwarza region niskiego ciśnienia wewnątrz osłoniętego zasłonami obszaru, podczas gdy ciśnienie po drugiej stronie nadal równe jest ciśnieniu atmosferycznemu. Ta różnica ciśnień powoduje powstanie siły wypadkowej, wpychającej zasłony do środka. Podobnie, gdy samochód wyprzedza ciężarówkę na autostradzie, kierowcy mają wrażenie, że oba samochody się przyciągają. Powód jest taki sam jak poprzednio: duża prędkość powietrza pomiędzy samochodem a ciężarówką powoduje powstanie obszaru niższego ciśnienia pomiędzy pojazdami, przez co oba są wpychane do środka przez ciśnienie na zewnątrz (Ilustracja 14.29). Efekt ten zaobserwowano już w połowie XIX w., kiedy to stwierdzono, że wymijające się pociągi, poruszające się w przeciwnych kierunkach, przechylają się niebezpiecznie ku sobie.

Ilustracja przedstawia widok z góry samochodu wyprzedzającego ciężarówkę na autostradzie. Powietrze pomiędzy pojazdami porusza się w wąskim kanale, co prowadzi do wzrostu prędkości od v1 do v2, co z kolei pociąga spadek ciśnienia pomiędzy pojazdami od Po do Pi.

Ilustracja 14.29 Widok z góry samochodu wyprzedzającego ciężarówkę na autostradzie. Powietrze pomiędzy pojazdami porusza się w węższym kanale, więc jego prędkość wzrasta (

v_{2}

jest większe niż

v_{1}

), co sprawia, że ciśnienie pomiędzy nimi spada (

p_{i}

jest mniejsze niż

p_{o}) .

Większe ciśnienie po zewnętrznych stronach samochodów pcha je ku sobie.

Zachowanie energii i równanie Bernoulliego

Zastosowanie zasady zachowania energii do przepływu laminarnego bez tarcia doprowadziło do odkrycia bardzo użytecznego związku między ciśnieniem a prędkością przepływu w płynach. Związek ten nazywamy równaniem Bernoulliego (ang. Bernoulli’s equation), od nazwiska Daniela Bernoulliego (1700–1782), który opublikował wyniki swoich badań nad ruchem płynów w książce Hydrodynamica (1738).

Rozważmy nieściśliwy płyn przepływający przez rurę o zmiennej średnicy i wysokości, jak pokazano na Ilustracji 14.30. Indeksy 1 i 2 na rysunku oznaczają dwie lokalizacje w rurze i przedstawiają zależność między polami przekrojów $A$ , prędkością przepływu $v$ , wysokością nad ziemią $y$ oraz ciśnieniem $p$ w każdym punkcie. Zakładamy tutaj, że gęstość w obu punktach jest taka sama – z tego powodu oznaczamy ją jako $ρ$ bez indeksów i, ponieważ płyn jest nieściśliwy, objętości zacienionych obszarów muszą być równe.

Ilustracja przedstawia schemat płynu przepływającego w S-kształtnej rurze o polu przekroju zmniejszającym się od A1 (lewa, dolna część) do A2 (prawa, górna część). Lewa strona jest na wysokości y1 nad ziemią; prawa strona jest na wysokości y2 nad ziemią. Płyn porusza się z prędkością v1 w dolnej części i z prędkością v2 w górnej. Objętość płynu dv zajmuje dx1 w dolnej części i dx2 w górnej części rury.

Ilustracja 14.30 Rozważania geometryczne pomocne w wyprowadzeniu równania Bernoulliego.

Zakładamy dodatkowo, że w płynie nie działają żadne siły lepkości, dlatego energia każdej jego części będzie zachowana. Aby wyprowadzić równanie Bernoulliego, najpierw obliczymy pracę wykonaną nad płynem:

d W = F_{1} d x_{1} - F_{2} d x_{2}

d W = p_{1} A_{1} d x_{1} - p_{2} A_{2} d x_{2} = p_{1} d V - p_{2} d V = (p_{1} - p_{2}) d V .

Wykonana praca związana jest z zachowawczą siłą grawitacji i zmianą energii kinetycznej płynu. Zmiana energii kinetycznej płynu wynosi:

d K = \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} - \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} = \frac{1}{2} ρ d V (v_{2}^{2} - v_{1}^{2}) .

Zmiana energii potencjalnej jest następująca:

d U = m g y_{2} - m g y_{1} = ρ d V g (y_{2} - y_{1}) .

Równanie na energię można więc przekształcić do następującej postaci:

\begin{aligned} d W & = d K + d U \\ (p_{1} - p_{2}) d V & = \frac{1}{2} ρ d V (v_{2}^{2} - v_{1}^{2}) + ρ d V g (y_{2} - y_{1}) \\ (p_{1} - p_{2}) d V & = \frac{1}{2} ρ (v_{2}^{2} - v_{1}^{2}) + ρ g (y_{2} - y_{1}) . \end{aligned}

Po przeniesieniu wyrazów otrzymujemy równanie Bernoulliego:

p_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g y_{1} = p_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g y_{2} .

Zależność ta oznacza, że energia mechaniczna dowolnego elementu płynu zmienia się w wyniku pracy wykonanej nad tym elementem przez płyn znajdujący się poza nim. Wykonanie tej pracy powodowane jest przez ciśnienie zmieniające się wzdłuż toru przepływu płynu. Ponieważ oba punkty wybraliśmy dowolnie, równanie Bernoulliego możemy zapisać w postaci bardziej ogólnej jako zasadę zachowania wzdłuż toru przepływu płynu.

Równanie Bernoulliego

Dla nieściśliwego płynu bez tarcia, suma ciśnień statycznego i dynamicznego zachowana jest nie tylko w czasie, ale również wzdłuż linii prądu:

p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g y = constant.

14.16

Szczególną uwagę należy tu zwrócić na fakt, że w sytuacji dynamicznej ciśnienia na tej samej wysokości w różnych częściach płynu mogą być różne, jeżeli części te mają różną prędkość przepływu.

Analiza równania Bernoulliego

Zgodnie z równaniem Bernoulliego w małej objętości płynu wzdłuż toru jej ruchu poszczególne wielkości równania mogą się zmieniać, ale ich suma pozostanie stała. Równanie to jest tak naprawdę wygodną formą zapisu prawa zachowania energii w nieściśliwym płynie przy braku oporów ruchu.

W ogólnej postaci równanie Bernoulliego ma trzy elementy, a jego zastosowanie jest bardzo szerokie. Aby lepiej je zrozumieć, rozważmy kilka szczegółowych przypadków ilustrujących i upraszczających jego znaczenie.

Równanie Bernoulliego dla płynów statycznych

Na początek rozważmy bardzo prostą sytuację, w której płyn jest statyczny, czyli $v_{1} = v_{2} = 0 .$ Równanie Bernoulliego w tym przypadku przyjmuje postać:

p_{1} + ρ g h_{1} = p_{2} + ρ g h_{2} .

Możemy jeszcze bardziej je uprościć, podstawiając $h_{2} = 0 .$ (Możemy wybrać dowolną wysokość jako wysokość referencyjną i przypisać jej wartość zero. Często się tak robi w rozważaniach dotyczących siły grawitacji.) Wówczas otrzymujemy:

p_{2} = p_{1} + ρ g h_{1} .

Równanie to mówi nam, że w płynach statycznych ciśnienie rośnie z głębokością. Gdy poruszamy się od punktu 1 do punktu 2 w płynie, głębokość rośnie o $h_{1}$ i w związku z tym $p_{2}$ jest większe niż $p_{1}$ o $ρ g h_{1}$ . W najprostszym przypadku $p_{1}$ wynosi zero na szczycie płynu i otrzymujemy znane już wyrażenie $p = ρ g h$ . Przypomnijmy sobie, że $p = ρ g h$ i $Δ U_{g} = - m g h$ . Równanie Bernoulliego potwierdza fakt, że zmiana ciśnienia spowodowana ciężarem płynu wynosi $ρ g h$ . Pomimo tego, że wprowadziliśmy równanie Bernoulliego w celu opisania płynów w ruchu, zawiera ono wiele zasad, którymi zajmowaliśmy się wcześniej, badając płyny statyczne.

Poziomy przepływ płynu

Załóżmy, że płyn porusza się, ale jego głębokość pozostaje stała $h_{1} = h_{2}$ . W tych warunkach równanie Bernoulliego przyjmuje postać:

p_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} = p_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} .

Sytuacje, w których przepływ płynu odbywa się na stałym poziomie są tak częste, że równanie to stanowi przedmiot osobnych rozważań, jest to jednak nadal to samo równanie Bernoulliego. (Zwróćmy ponownie uwagę, że opisuje ono ruch małego elementu płynu wzdłuż toru jego ruchu.) Równanie Bernoulliego w tej postaci podkreśla fakt, że w poruszającym się płynie ciśnienie spada, gdy wzrasta prędkość: jeżeli $v_{2}$ jest większe niż $v_{1}$ , to $p_{2}$ musi być mniejsze niż $p_{1}$ , aby równanie było spełnione.

Przykład 14.6

Obliczanie ciśnienia

W Przykładzie 14.5, obliczyliśmy, że prędkość wody w wężu zwiększyła się z 1,96 m/s do 25,5 m/s podczas przechodzenia z węża do dyszy. Oblicz ciśnienie w wężu, wiedząc, że ciśnienie absolutne w dyszy wynosi

1,01 \cdot 10^{5} N / m^{2}

(równe ciśnieniu atmosferycznemu, jak być powinno) i zakładając przepływ bez oporów na stałej wysokości.

Strategia rozwiązania

Mamy tu do czynienia z przepływem na stałej głębokości, czyli możemy zastosować uproszczone równanie Bernoulliego. Użyjemy indeksu 1 dla wartości wewnątrz węża i 2 dla wartości w dyszy. Naszym zadaniem jest więc wyliczyć

p_{1}

.

Rozwiązanie

Rozwiązanie prawa Bernoulliego dla przepływu poziomego ze względu na

p_{1}

prowadzi do:

p_{1} = p_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} - \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} = p_{2} + \frac{1}{2} ρ (v_{2}^{2} - v_{1}^{2}) .

Podstawiając wartości, otrzymujemy:

\begin{aligned} p_{1} & = 1,01 \cdot 10^{5} \frac{N}{m^{2}} + \frac{1}{2} 10^{3} \frac{k g}{m^{3}} [{(25,5 \frac{m}{s})}^{2} - {(1,96 \frac{m}{s})}^{2}] \\ = 4,24 \cdot 10^{5} \frac{N}{m^{2}} . \end{aligned}

Znaczenie

Tak jak się spodziewaliśmy, ciśnienie absolutne wewnątrz węża jest większe niż przy dyszy, ponieważ

v

jest większe niż w dyszy. Ciśnienie

p_{2}

w dyszy musi być równe atmosferycznemu, ponieważ woda wytryskuje w kierunku atmosfery bez zmiany innych wartości.

Zastosowania prawa Bernoulliego dla przepływu poziomego

W wielu urządzeniach oraz sytuacjach codziennego życia odnajdujemy przypadki, w których płyn przepływa na stałej wysokości i które mogą być analizowane przy pomocy uproszczonego równania.

Porywanie płynu

Możliwość wykorzystania spadku ciśnienia w szybko poruszających się płynach do wprawiania materii w ruch zauważono już dawno temu. Większe ciśnienie na zewnątrz szybko poruszającego się płynu wpycha inne płyny w szybki strumień. Proces ten nazywany jest czasem porywaniem (ang. entrainment) (w polskiej literaturze mówi się o „zasysaniu” lub „ssącym działaniu strugi”, jednak pojęcie „porywanie”, również używane, wydaje się tu zręczniejsze - przyp. tłum.). Urządzenia wykorzystujące porywanie, takie jak pompy do unoszenia wody na niskie wysokości, stosowane na przykład do osuszania bagien i innych nisko położonych obszarów, są w użytku od starożytności. Inne urządzenia wykorzystujące to zjawisko przedstawiono na Ilustracji 14.31.

Ilustracja (a) prezentuje palnik Bunsena: powietrze i gaz ziemny wchodzą na dole naczynia i poruszają się ku górze. Ilustracja (b) przedstawia atomizer: ściśnięcie elastycznej gruszki wywołuje powstanie przepływu poziomego strumienia powietrza, który porywa kropelki perfum ku górze i wypycha na zewnątrz butelki. Ilustracja (c) przedstawia rysunek zwykłego aspiratora, w którym woda porusza się od góry do dołu i porywa powietrze wchodzące z boku. Ilustracja (d) jest rysunkiem komina, w którym przepływ gorącego powietrza w górę porywa zimne powietrze dostające się z boków.

Ilustracja 14.31 Urządzenia stosujące porywanie wykorzystują zwiększoną prędkość płynu do wytworzenia niższego ciśnienia, które porywa jeden rodzaj płynu do wnętrza drugiego. (a) Palnik Bunsena używa regulowanej dyszy, która porywa powietrze, aby regulować spalanie. (b) Po ściśnięciu gruszki atomizera, podmuch powietrza porywa kropelki perfum. (c) Powszechnie stosowany aspirator używa szybkiego strumienia wody do wytworzenia obszaru niskiego ciśnienia. Aspiratory mogą być używane jako pompy ssące w zastosowaniach dentystycznych i chirurgicznych lub do osuszania zalanej piwnicy czy wytworzenia niższego ciśnienia w zbiorniku. (d) Komin podgrzewacza wody jest tak zaprojektowany, aby porywał powietrze do wnętrza rury wychodzącej na zewnątrz pomieszczenia.

Pomiar prędkości

Ilustracja 14.32 pokazuje dwa urządzenia, wykorzystujące prawo Bernoulliego do pomiaru prędkości płynu. Manometr w części (a) jest połączony z dwiema rurkami wystarczająco małymi, aby nie zaburzyć znacząco przepływu. Rurka z otworem skierowanym ku nadlatującemu płynowi wytwarza przed sobą martwy punkt, w którym prędkość wynosi zero ( $v_{1} = 0$ ), podczas gdy prędkość płynu w pobliżu drugiej rurki, która ma otwór z boku, wynosi $v_{2}$ . Oznacza to, że równanie Bernoulliego:

p_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} = p_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2}

możemy zapisać jako:

p_{1} = p_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} .

Czyli ciśnienie $p_{2}$ nad drugim otworem jest zmniejszone o $ρ v^{2} / 2$ , więc płyn w manometrze podnosi się o $h$ po stronie połączonej z drugim otworem i dodatkowo otrzymujemy:

h \propto \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} .

(Przypomnijmy, że symbol $\propto$ oznacza „proporcjonalny do”.) Rozwiązując ze względu na $v_{2}$ , zauważamy, że:

v_{2} \propto \sqrt{h} .

Część (b) prezentuje wersję tego urządzenia powszechnie używaną do pomiaru prędkości płynów. Jest ono często wykorzystywane jako czujnik prędkości powietrza w samolotach.

Ilustracja (a) przedstawia rysunek manometru połączonego z dwiema rurkami, które są wystarczająco blisko siebie i są wystarczająco małe, aby nie zaburzać przepływu. Rurka 1 ma otwór na końcu skierowany do przepływu, podczas gdy rurka 2 ma otwór z boku. Ilustracja (b) przedstawia rysunek manometru, który jest podłączony do dwóch rurek, z których jedna (rurka 2) jest osadzona we wnętrzu drugiej (rurka 1). Rurka 1 jest otwarta od strony nadpływającego płynu, a rurka 2 ma otwór z boku.

Ilustracja 14.32 Pomiar prędkości oparty na równaniu Bernoulliego. (a) Do dwóch rurek, które są na tyle blisko i są na tyle małe, że nie zaburzają przepływu płynu, podłączono manometr. Rurka 1 ma otwór w kierunku poruszającego się płynu, przez co powstaje przed nim martwy punkt, w którym prędkość płynu wynosi zero. Rurka 2 ma otwór z boku, więc płyn ma tam prędkość

v

, co powoduje spadek ciśnienia w tym miejscu. Różnica ciśnień na manometrze wynosi

ρ v_{2}^{2} / 2

, więc

h

jest proporcjonalne do

ρ v_{2}^{2} / 2

. (b) Urządzenie tego typu nazywa się rurką Prandtla (ang. Prandtl tube), określa się je również mianem rurki Pitota (choć w rzeczywistości rurka Prandtla jest udoskonaleniem rurki Pitota - przyp. tłum.).

Wąż strażacki

Wszystkie przedstawione dotychczas zastosowania równania Bernoulliego wykorzystywały założenia upraszczające, takie jak stała wysokość czy stałe ciśnienie. Kolejny przykład stanowi bardziej ogólne zastosowanie równania Bernoulliego, w którym zmieniają się zarówno ciśnienie, jak i prędkość oraz wysokość.

Przykład 14.7

Obliczanie ciśnienia: dysza węża strażackiego

Węże strażackie używane w dużych pożarach mają wewnętrzną średnicę 6,40 cm (Ilustracja 14.33). Załóżmy, że strumień objętościowy w takim wężu ma wartośc 40,0 l/s, pod ciśnieniem manometrycznym równym

1,62 \cdot 10^{6} N / m^{2}

. Wąż sięga do wysokości 10,0 m wzdłuż drabiny i kończy się dyszą o wewnętrznej średnicy 3,00 cm. Jakie jest ciśnienie w dyszy?

Ilustracja prezentuje wóz strażacki z wysuniętą drabiną. Strażak na szczycie drabiny używa węża do gaszenia pożaru. Przepływ wody jest równoległy do podłoża i odbywa się na wysokości.

Ilustracja 14.33 Ciśnienie w dyszy tego węża strażackiego jest mniejsze niż na poziomie Ziemi z dwóch powodów: po pierwsze woda musi zostać wyniesiona na wysokość dyszy, po drugie, przy dyszy zwiększa się jej prędkość. Pomimo tego spadku ciśnienia woda może wywierać znaczną siłę na przedmioty, w które uderza, dzięki swojej energii kinetycznej. Ciśnienie strumienia wody zrównuje się z atmosferycznym w momencie, gdy opuszcza ona dyszę.