Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępności
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1

14.7 Lepkość i turbulencje

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 114.7 Lepkość i turbulencje
  1. Przedmowa
  2. Mechanika
    1. 1 Jednostki i miary
      1. Wstęp
      2. 1.1 Zakres stosowalności praw fizyki
      3. 1.2 Układy jednostek miar
      4. 1.3 Konwersja jednostek
      5. 1.4 Analiza wymiarowa
      6. 1.5 Szacowanie i pytania Fermiego
      7. 1.6 Cyfry znaczące
      8. 1.7 Rozwiązywanie zadań z zakresu fizyki
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Wektory
      1. Wstęp
      2. 2.1 Skalary i wektory
      3. 2.2 Układy współrzędnych i składowe wektora
      4. 2.3 Działania na wektorach
      5. 2.4 Mnożenie wektorów
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Ruch prostoliniowy
      1. Wstęp
      2. 3.1 Położenie, przemieszczenie, prędkość średnia
      3. 3.2 Prędkość chwilowa i szybkość średnia
      4. 3.3 Przyspieszenie średnie i chwilowe
      5. 3.4 Ruch ze stałym przyspieszeniem
      6. 3.5 Spadek swobodny i rzut pionowy
      7. 3.6 Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Ruch w dwóch i trzech wymiarach
      1. Wstęp
      2. 4.1 Przemieszczenie i prędkość
      3. 4.2 Przyspieszenie
      4. 4.3 Rzuty
      5. 4.4 Ruch po okręgu
      6. 4.5 Ruch względny w jednym i dwóch wymiarach
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 5 Zasady dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 5.1 Pojęcie siły
      3. 5.2 Pierwsza zasada dynamiki Newtona
      4. 5.3 Druga zasada dynamiki Newtona
      5. 5.4 Masa i ciężar ciała
      6. 5.5 Trzecia zasada dynamiki Newtona
      7. 5.6 Rodzaje sił
      8. 5.7 Rozkłady sił działających na ciała
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 6 Zastosowania zasad dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 6.1 Rozwiązywanie zadań związanych z zasadami dynamiki Newtona
      3. 6.2 Tarcie
      4. 6.3 Siła dośrodkowa
      5. 6.4 Siła oporu i prędkość graniczna
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 7 Praca i energia kinetyczna
      1. Wstęp
      2. 7.1 Praca
      3. 7.2 Energia kinetyczna
      4. 7.3 Zasada zachowania energii mechanicznej
      5. 7.4 Moc
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 8 Energia potencjalna i zasada zachowania energii
      1. Wstęp
      2. 8.1 Energia potencjalna układu
      3. 8.2 Siły zachowawcze i niezachowawcze
      4. 8.3 Zasada zachowania energii
      5. 8.4 Wykresy energii potencjalnej
      6. 8.5 Źródła energii
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    9. 9 Pęd i zderzenia
      1. Wstęp
      2. 9.1 Pęd
      3. 9.2 Popęd siły i zderzenia
      4. 9.3 Zasada zachowania pędu
      5. 9.4 Rodzaje zderzeń
      6. 9.5 Zderzenia w wielu wymiarach
      7. 9.6 Środek masy
      8. 9.7 Napęd rakietowy
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 10 Obroty wokół stałej osi
      1. Wstęp
      2. 10.1 Zmienne opisujące ruch obrotowy
      3. 10.2 Obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym
      4. 10.3 Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym
      5. 10.4 Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      6. 10.5 Obliczanie momentu bezwładności
      7. 10.6 Moment siły
      8. 10.7 Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
      9. 10.8 Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 11 Moment pędu
      1. Wstęp
      2. 11.1 Toczenie się ciał
      3. 11.2 Moment pędu
      4. 11.3 Zasada zachowania momentu pędu
      5. 11.4 Precesja żyroskopu
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 12 Równowaga statyczna i sprężystość
      1. Wstęp
      2. 12.1 Warunki równowagi statycznej
      3. 12.2 Przykłady równowagi statycznej
      4. 12.3 Naprężenie, odkształcenie i moduł sprężystości
      5. 12.4 Sprężystość i plastyczność
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    13. 13 Grawitacja
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo powszechnego ciążenia
      3. 13.2 Grawitacja przy powierzchni Ziemi
      4. 13.3 Energia potencjalna i całkowita pola grawitacyjnego
      5. 13.4 Orbity satelitów i ich energia
      6. 13.5 Prawa Keplera
      7. 13.6 Siły pływowe
      8. 13.7 Teoria grawitacji Einsteina
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    14. 14 Mechanika płynów
      1. Wstęp
      2. 14.1 Płyny, gęstość i ciśnienie
      3. 14.2 Pomiar ciśnienia
      4. 14.3 Prawo Pascala i układy hydrauliczne
      5. 14.4 Prawo Archimedesa i siła wyporu
      6. 14.5 Dynamika płynów
      7. 14.6 Równanie Bernoulliego
      8. 14.7 Lepkość i turbulencje
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fale i akustyka
    1. 15 Drgania
      1. Wstęp
      2. 15.1 Ruch harmoniczny
      3. 15.2 Energia w ruchu harmonicznym
      4. 15.3 Porównanie ruchu harmonicznego z ruchem jednostajnym po okręgu
      5. 15.4 Wahadła
      6. 15.5 Drgania tłumione
      7. 15.6 Drgania wymuszone
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 16 Fale
      1. Wstęp
      2. 16.1 Fale biegnące
      3. 16.2 Matematyczny opis fal
      4. 16.3 Prędkość fali na naprężonej strunie
      5. 16.4 Energia i moc fali
      6. 16.5 Interferencja fal
      7. 16.6 Fale stojące i rezonans
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 17 Dźwięk
      1. Wstęp
      2. 17.1 Fale dźwiękowe
      3. 17.2 Prędkość dźwięku
      4. 17.3 Natężenie dźwięku
      5. 17.4 Tryby drgań fali stojącej
      6. 17.5 Źródła dźwięków muzycznych
      7. 17.6 Dudnienia
      8. 17.7 Efekt Dopplera
      9. 17.8 Fale uderzeniowe
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
    17. Rozdział 17
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • opisywać, czym jest lepkość;
  • obliczać strumień i opór za pomocą prawa Poiseuille’a;
  • rozumieć mechanizm spadku ciśnienia w związku z oporem;
  • obliczać liczbę Reynoldsa dla przedmiotu poruszającego się w płynie;
  • wykorzystywać liczbę Reynoldsa dla systemu do stwierdzenia, czy przepływ jest laminarny, czy turbulentny;
  • określać, w jakich warunkach przedmiot osiąga prędkość graniczną.

W rozdziale Zastosowania praw Newtona, gdzie wprowadziliśmy pojęcie tarcia, przekonaliśmy się, że przedmiot ślizgający się po podłodze z pewną prędkością początkową, na który nie działa żadna siła wypadkowa, zatrzyma się po pewnym czasie z powodu działania siły tarcia. Siła tarcia zależy od rodzaju materiałów, które są w kontakcie, i jest proporcjonalna do siły normalnej. W tym samym rozdziale omówiliśmy również opór powietrza i pokazaliśmy, że jest on proporcjonalny do prędkości przy małych prędkościach, a przy dużych - do kwadratu prędkości. W tym rozdziale dowiemy się więcej o siłach tarcia działających w płynach podczas ich ruchu. Na przykład na płyn przepływający przez rurę działa siła tarcia między nim a ścianami rury. Tarcie pojawia się również pomiędzy różnymi warstwami płynu. Te siły oporu zmieniają sposób, w jaki płyn porusza się przez rurę.

Lepkość i przepływ laminarny

Kiedy nalewasz sok do szklanki, płyn porusza się swobodnie i szybko. Ale kiedy wlewasz miód na kromkę chleba, przepływa on powoli i przykleja się do łyżki czy słoika. Różnicę powoduje tarcie, zarówno wewnątrz płynu, jak i pomiędzy płynem a jego otoczeniem. Tę cechę płynów nazywamy lepkością. Sok ma małą lepkość, a miód - dużą.

Precyzyjna definicja lepkości wykorzystuje pojęcie laminarności, czyli przepływu nieturbulentnego. Rysunek 14.34 pokazuje schematycznie, czym różni się przepływ laminarny od turbulentnego. Podczas przepływu laminarnego warstwy płynu poruszają się bez mieszania, a w przypadku przepływu turbulentnego warstwy się mieszają i mogą pojawić się obszary, w których wystąpią znaczne prędkości w kierunku innym niż wypadkowy przepływ.

Ilustracja (a) prezentuje schematycznie przepływ laminarny, w którym warstwy poruszają się bez mieszania. Prędkości płynu są różne dla różnych warstw. Ilustracja (b) prezentuje schematycznie przepływ turbulentny, spowodowany przeszkodą. Przepływ turbulentny miesza płyn, dając w efekcie niejednorodną prędkość.
Rysunek 14.34 (a) W przypadku przepływu laminarnego nie dochodzi do mieszania się warstw. Zwróćmy uwagę, że lepkość sprawia, iż warstwy płynu pociągają się nawzajem, podobnie jak dzieje się to z warstwami stałymi. Prędkość w pobliżu dolnej części przepływu ( v b v b ) jest mniejsza niż w pobliżu powierzchni ( v t v t ), ponieważ w tym przypadku powierzchnia pojemnika zawierającego płyn jest na spodzie. (b) Przeszkoda w pojemniku powoduje przepływ turbulentny, który miesza płyn. W takiej sytuacji występuje więcej oddziaływań, płyn zostaje podgrzany i pojawiają się większe opory niż w przypadku przepływu laminarnego.

Turbulencja (ang. turbulence) to taki przepływ, w którym warstwy płynu się mieszają, tworząc zawirowania i zwroty w przepływie. Są dwa główne powody turbulencji: pierwszym jest przeszkoda o ostrych końcach, taka jak kran, która powoduje turbulencje przez wprowadzenie do przepływu prędkości do niego prostopadłych; drugim powodem jest duża prędkość. Przy dużej prędkości płynu oddziaływanie między sąsiadującymi warstwami oraz ich otoczeniem może powodować wiry i zawracanie płynu. Na Rysunku 14.35 prędkość przyspieszającego dymu dochodzi do momentu, w którym zaczynają się tworzyć wiry z powodu tarcia między dymem a otaczającym go powietrzem.

Ilustracja przedstawia zdjęcie dymu, który unosi się równomiernie na dole, a na górze duża prędkość powoduje powstawanie wirów.
Rysunek 14.35 Dym unosi się równomiernie przez pewien czas, a później zaczynają w nim powstawać wiry. Równomierna część przepływu jest laminarna, natomiast w części z wirami obserwujemy turbulencje. Dym unosi się szybciej w obszarze przepływu laminarnego niż w obszarze przepływu turbulentnego, co oznacza, że turbulencja powoduje większe opory ruchu. (Źródło: „Creativity103”/Flickr)

Rysunek 14.36 przedstawia pomiar lepkości w płynie. Płyn, którego lepkość chcemy zmierzyć, umieszczamy pomiędzy dwiema równoległymi płytkami. Dolna jest umocowana do podłoża, podczas gdy górna porusza się w prawo, pociągając ze sobą płyn. Warstwa płynu w kontakcie z którąś z tych płytek nie porusza się względem niej, więc górna warstwa ma prędkość v v, a dolna pozostaje w spoczynku. Każda kolejna warstwa od góry wywiera siłę na warstwę poniżej, próbując pociągnąć ją ze sobą, co wywołuje powstawanie ciągłej zmiany prędkości od v v aż do 0, jak pokazano na rysunku. Podczas pomiaru należy zwracać uwagę, aby przepływ był laminarny, czyli aby warstwy się nie mieszały. Ruch zaprezentowany na rysunku przypomina ciągły ruch ścinający. Płyny mają zerową wytrzymałość na ścinanie, więc szybkość, z jaką odpowiadają na siłę ścinającą, jest związana z tymi samymi czynnikami geometrycznymi A A oraz L L, jak deformacja ścinająca w ciałach stałych. Na diagramie płyn jest początkowo w spoczynku. Warstwa płynu w kontakcie z poruszającą się płytką doznaje przyspieszenia i zaczyna się poruszać z powodu tarcia między nimi. Następna warstwa jest w kontakcie z poruszającą się warstwą. Ponieważ pojawia się tarcie pomiędzy tymi dwiema warstwami, ta warstwa również doznaje przyspieszenia. Sytuacja ta powtarza się aż do osiągnięcia dna płynu.

Ilustracja jest schematycznym rysunkiem układu do pomiaru lepkości przepływu laminarnego płynu między dwiema płytkami o polu A. L to odległość między płytkami. Dolna płytka jest przymocowana. Gdy górna płytka zostaje wprawiona w ruch, pociąga za sobą płyn.
Rysunek 14.36 Pomiar lepkości dla przepływu laminarnego między dwiema płytkami o polu powierzchni A A . Dolna płytka jest przymocowana do podłoża. Gdy górna płytka zostaje wprawiona w ruch, pociąga za sobą płyn.

Aby utrzymywać górną płytkę z Rysunku 14.36 w ruchu jednostajnym z prędkością v v, potrzebna jest siła F F. Eksperymenty wykazały, że siła ta zależy od czterech czynników. Pierwszym z nich jest wymóg prostej proporcjonalności F F do v v (jest tak do czasu aż prędkość nie wzrośnie do wartości, po której zaczynają występować turbulencje - w tym momencie zaczyna być potrzebna znacznie większa siła, a jej zależność od v v staje się znacznie bardziej skomplikowana). Po drugie, F F musi być proporcjonalna do pola powierzchni płytki A A. Ten związek wydaje się naturalny, ponieważ A A jest wprost proporcjonalne do ilości przepływającego płynu. Po trzecie, F F jest odwrotnie proporcjonalna do odległości między płytkami L L. Ten związek również wydaje się naturalny: L L działa jak ramię dźwigni – im dłuższe ramię, tym mniejsza siła jest potrzebna. Po czwarte, F F jest wprost proporcjonalna do współczynnika lepkości (ang. coefficient of viscosity), η η. Im większa lepkość, tym większa siła jest potrzebna. Powyższe związki mogą być podsumowane przy pomocy następującego równania:

F = η v A L . F = η v A L .

Równanie to jest definicją współczynnika lepkości płynu η η. Po jego rozwiązaniu ze względu na η η otrzymujemy:

η = F L v A , η= F L v A ,
14.17

czyli definicję współczynnika lepkości płynu uzyskaną przez rozważenie procedury jego pomiaru.

Jednostką SI lepkości jest N m / [ ( m / s ) m 2 ] = ( N / m 2 ) s N m / [ ( m / s ) m 2 ] = ( N / m 2 ) s lub P a s P a s . Tabela 14.4 podaje współczynniki lepkości dla różnych płynów. Wartość lepkości różni się między płynami o wiele rzędów wielkości. Zgodnie z oczekiwaniami lepkości gazów są znacznie niższe niż w przypadku cieczy i często zależą od temperatury.

Płyn Temperatura
( °C) ( °C)
Lepkość
η η ( Pa s ) ( Pa s )
Powietrze 0 0,0171
20 0,0181
40 0,0190
100 0,0218
Amoniak 20 0,00974
Dwutlenek węgla 20 0,0147
Hel 20 0,0196
Wodór 0 0.0090
Rtęć 20 0,0450
Tlen 20 0,0203
Para wodna 100 0,0130
Woda ciekła 0 1,792
20 1,002
37 0,6947
40 0,653
100 0,282
Krew 20 3,015
37 2,084
Plazma krwi 20 1,810
37 1,257
Alkohol etylowy 20 1,20
Metanol 20 0,584
Olej (ciężki, maszynowy) 20 660
Olej (silnikowy, SAE 10) 30 200
Oliwa z oliwek 20 138
Gliceryna 20 1500
Miód 20 2000–10000
Syrop klonowy 20 2000–3000
Mleko 20 3,0
Olej kukurydziany 20 65
Tabela 14.4 Współczynniki lepkości różnych płynów

Przepływ laminarny płynu w rurze. Prawo Poiseuille’a

Co jest przyczyną przepływu? Odpowiedź na to pytanie nie zaskakuje – przepływ powoduje różnica ciśnień. Tak naprawdę istnieje bardzo prosta relacja między przepływem horyzontalnym a ciśnieniem. Strumień Q Q ma kierunek od wyższego ciśnienia do niższego. Im większa różnica ciśnień pomiędzy dwoma punktami, tym większy strumień. Relację tę możemy wyrazić następująco:

Q = p 2 p 1 R , Q= p 2 p 1 R ,

gdzie p 1 p 1 i p 2 p 2 są ciśnieniami w dwóch różnych miejscach, takich jak końce rury, a R R jest oporem stawianym przepływowi. Opór R R zawiera wszystkie elementy, które wpływają na przepływ, za wyjątkiem ciśnienia. Na przykład R R jest większe w rurze długiej niż w krótkiej. Im większa lepkość płynu, tym większa wartość R R. Turbulencje znacznie podwyższają wartość R R, a zwiększenie średnicy rury ją zmniejsza.

Jeżeli lepkość wynosi zero, to tarcie wynosi zero i opory stawiane przepływowi są również zerowe. Porównując przepływ płynu nielepkiego z przepływem płynu lepkiego, widzimy, że (Rysunek 14.37) płyn lepki ma największą prędkość w centrum przepływu, co wynika z tarcia o ściany rury. Efekt działania lepkości możemy zaobserwować w palniku Bunsena (część (c) rysunku), pomimo niewielkiej gęstości gazu ziemnego.

Ilustracja (a) jest schematycznym rysunkiem przepływu nielepkiego w rurze. Wszystkie warstwy płynu poruszają się z tą samą szybkością. Ilustracja (b) jest schematycznym rysunkiem przepływu lepkiego płynu w rurze. Warstwy w środku rury poruszają się z większą prędkością. Ilustracja (c) jest zdjęciem palnika Bunsena z płomieniem w kształcie stożka.
Rysunek 14.37 (a) Jeżeli płyn przepływający w rurze ma pomijalną lepkość, wówczas prędkość jest taka sama w całej rurze. (b) Gdy lepki płyn przepływa przez rurę, to jego prędkość przy ścianach wynosi zero i rośnie stopniowo w miarę zbliżania się do środka rury, gdzie osiąga maksymalną wartość. (c) Kształt płomienia w palniku Bunsena wynika z profilu prędkości w rurze. (Źródło: modyfikacja zdjęcia Jasona Woodheada)

Opór R R stawiany laminarnemu przepływowi nieściśliwego płynu o lepkości η η przez poziomą rurę o jednorodnym promieniu r r i długości l l, opisuje równanie:

R = 8 η l π r 4 . R = 8 η l π r 4 .
14.18

Równanie to nazywa się prawem Poiseuille’a (ang. Poiseuille’s law) na cześć francuskiego uczonego J. L. Poiseuille'a (1797–1869), który je wyprowadził, próbując wyjaśnić przepływ krwi w ciele.

Przeanalizujmy równanie Poiseuille’a na R R i przekonajmy się, czy jest ono intuicyjne. Widzimy, że opór jest wprost proporcjonalny zarówno do lepkości płynu η η, jak i do długości rury l l. Oba te elementy bezpośrednio wpływają na tarcie doświadczane przez płyn – im większa jest wartość któregoś z nich, tym większy opór i mniejszy strumień. Promień r r rury wpływa na opór, co również jest intuicyjne, ponieważ im większy promień, tym większy strumień (przy zachowaniu pozostałych parametrów). Zaskakuje jednak fakt, że r r jest podniesione do potęgi czwartej. Wykładnik ten oznacza, że zmiana promienia rury ma ogromny wpływ na opór. Na przykład dwukrotne zwiększenie promienia zmniejsza opór 2 4 = 16 2 4 = 16 -krotnie.

Jeśli połączymy Q = ( p 2 p 1 ) / R Q=( p 2 p 1 )/R z R = 8 η l / ( π r 4 ) R=8ηl/ ( π r 4 ) uzyskamy następujące równanie na strumień:

Q = ( p 2 p 1 ) π r 4 8 η l . Q = ( p 2 p 1 ) π r 4 8 η l .
14.19

To równanie opisuje przepływ laminarny w rurze. Nazywane jest często prawem Poiseuille’a dla przepływu laminarnego lub po prostu prawem Poiseuille’a (Rysunek 14.38).

Ilustracja jest schematem rury o długości l i promieniu r. Płyn przepływa przez rurę w kierunku od większego ciśnienia p2 do niższego ciśnienia p1. Przepływ jest laminarny i jest większy w środku rury.
Rysunek 14.38 Prawo Poiseuille'a stosuje się do laminarnego nieściśliwego płynu o lepkości η η przez rurę o długości l l i promieniu r r . Płyn porusza się od większego ciśnienia do mniejszego. Strumień Q Q jest wprost proporcjonalny do różnicy ciśnień p 2 p 1 p 2 p 1 , a odwrotnie proporcjonalny do długości rury l l i lepkości płynu η η . Strumień wzrasta z promieniem o czynnik r 4 r 4 .

Przykład 14.8

Wykorzystanie strumienia: układy klimatyzacji

Układ klimatyzacji zaprojektowano tak, aby dostarczał powietrze pod ciśnieniem manometrycznym 0,054 Pa w temperaturze 20 ° C . 20 ° C . Powietrze jest przesyłane izolowanym przewodem o przekroju kołowym, którego średnica wynosi 18,00 cm. Ma on długość 20 m i wylot w pomieszczeniu, gdzie panuje ciśnienie atmosferyczne 101,30 kPa. Ma ono długość 12 m, szerokość 6 m i wysokość 3 m. (a) Jaki jest strumień objętościowy przepływający przez rurę, zakładając przepływ laminarny? (b) Oszacuj, ile czasu trzeba, aby całkowicie wymienić powietrze w pokoju. (c) Robotnicy decydują się oszczędzić trochę pieniędzy przez użycie przewodu o średnicy 9,00 cm. Jaki będzie strumień w tym przypadku?

Strategia rozwiązania

Jeśli przyjmiemy przepływ laminarny, prawo Poiseuille’a mówi, że:
Q = ( p 2 p 1 ) π r 4 8 η l = d V d t Q= ( p 2 p 1 ) π r 4 8 η l = d V d t

Musimy porównać promienie przewodu przed redukcją i po redukcji strumienia. Zauważmy, że znamy średnicę przewodu, więc, aby obliczyć promień, musimy podzielić ją przez 2.

Rozwiązanie

  1. Jeśli założymy stałą różnicę ciśnień i użyjemy lepkości η = 0,0181 mPa s η = 0,0181 mPa s , otrzymujemy:
    Q = 0,052 P a 3,14 ( 0,09 m ) 4 8 0,0181 10 3 P a s 20 m = 3,84 10 3 m 3 s . Q= 0,052 P a 3,14 ( 0,09 m ) 4 8 0,0181 10 3 P a s 20 m =3,84 10 3 m 3 s .
  2. Załózmy stały przepływ Q = d V d t Δ V Δ t Q= d V d t Δ V Δ t
    Δ t = Δ V Q = 12 m 6 m 3 m 3,84 10 3 m 3 / s = 5,63 10 4 = 15,63 h . Δt= Δ V Q = 12 m 6 m 3 m 3,84 10 3 m 3 / s =5,63 10 4 =15,63 h .
  3. Stosujemy założenia przepływu laminarnego, dzięki czemu z prawa Poiseuille’a uzyskujemy:
    Q = 0,054 P a 3,14 ( 0,045 m ) 4 8 0,0181 10 3 P a s 20 m = 2,4 10 4 m 3 s . Q= 0,054 P a 3,14 ( 0,045 m ) 4 8 0,0181 10 3 P a s 20 m =2,4 10 4 m 3 s .

    Widzimy więc, że redukcja promienia przewodu o połowę, zmniejszy strumień do 6,25% początkowej wartości.

Znaczenie

Ogólnie, w przypadku przepływu laminarnego, zmniejszenie promienia ma bardziej odczuwalne konsekwencje, niż zwiększenie jego długości. Jeżeli zostanie ona zwiększona przy zachowaniu pozostałych warunków, to strumień maleje o:
Q A Q B = ( p 2 p 1 ) π r A 4 8 η l A ( p 2 p 1 ) π r B 4 8 η l B = l B l A Q B = l A l B Q A . Q A Q B = ( p 2 p 1 ) π r A 4 8 η l A ( p 2 p 1 ) π r B 4 8 η l B = l B l A Q B = l A l B Q A .

Dwukrotne zwiększenie długości zmniejsza strumień do połowy początkowej wartości.

Jeżeli promień zostanie zmniejszony, a wartości pozostałych zmiennych pozostaną takie same, to strumień zmaleje o znacznie większy czynnik.

Q A Q B = ( p 2 p 1 ) π r A 4 8 η l A ( p 2 p 1 ) π r B 4 8 η l B = ( r A r B ) 4 Q B = ( r B r A ) 4 Q A Q A Q B = ( p 2 p 1 ) π r A 4 8 η l A ( p 2 p 1 ) π r B 4 8 η l B = ( r A r B ) 4 Q B = ( r B r A ) 4 Q A

Zmniejszenie promienia o połowę zmniejsza strumień do jednej szesnastej początkowego strumienia.

Przepływ i opory jako przyczyny spadków ciśnienia

Ciśnienie wody w domach i mieszkaniach bywa mniejsze podczas zwiększonego jej zużycia, na przykład w gorące, słoneczne dni. Spadek ciśnienia następuje w głównej magistrali wodociągowej, przed dotarciem wody do pojedynczych mieszkań. Rozważmy sytuację [pokazaną na Rysunku 14.39, czyli przepływ w głównej magistrali. Przekształcając równania na strumień, możemy zrozumieć, dlaczego ciśnienie wody dopływającej do mieszkania p 1 p 1 spada podczas zwiększonego zapotrzebowania:

Q = p 2 p 1 R p 2 p 1 = R Q . Q = p 2 p 1 R p 2 p 1 = R Q .

W tym przypadku p 2 p 2 to ciśnienie wody przy przepompowni, a R R to opór w głównej magistrali wodociągowej. Podczas zwiększonego zużycia strumień Q Q ma dużą wartość. Oznacza to, że różnica p 2 p 1 p 2 p 1 również musi być duża, dlatego p 1 p 1 musi zmaleć. Przepływ i jego opory powodują spadek ciśnienia z p 2 p 2 do p 1 p 1 . Równanie p 2 p 1 = R Q p 2 p 1 = R Q jest spełnione zarówno dla przepływu laminarnego, jak i dla turbulentnego.

Ilustracja przedstawia schematyczny rysunek kilku małych przyłączy wiodących do poszczególnych domów, które łączą się w główną magistralę.
Rysunek 14.39 Podczas zwiększonego zużycia w głównej magistrali występuje znaczący spadek ciśnienia i ciśnienie p 1 p 1 wody dostarczanej użytkownikowi jest znacznie mniejsze niż ciśnienie p 2 p 2 wytworzone przy stacji wodociągowej. Jeżeli przepływ jest mały, spadek ciśnienia jest pomijalny i p 2 p 1 p 2 p 1 .

Aby przeanalizować spadek ciśnienia pojawiający się w bardziej złożonych systemach, w których promień nie jest wszędzie taki sam, możemy również użyć p 2 p 1 = R Q p 2 p 1 = R Q . Opór jest znacznie większy w miejscach zwężenia, takich jak zmiany w obrębie tętnicy wieńcowej. Dla konkretnego strumienia Q Q, spadek ciśnienia jest największy w tym miejscu, w którym przewód jest najwęższy. Właśnie w ten sposób kurek kontroluje przepływ wody. Dodatkowo R R jest znacznie zwiększony przez turbulencje, więc przewężenia je wywołujące znacznie zmniejszają ciśnienie poniżej. Płytka miażdżycowa w tętnicy zmniejsza ciśnienie, a co za tym idzie także przepływ, zarówno przez zwiększenie oporu, jak i wytwarzanie turbulencji.

Pomiar turbulencji

Parametr zwany liczbą Reynoldsa (ang. Reynolds number) R e Re może powiedzieć nam, czy przepływ ma charakter laminarny, czy turbulentny. Dla przepływu w rurze o stałej średnicy liczbę Reynoldsa definiujemy jako:

R e = 2 ρ v r η (przepływ w rurze) Re= 2 ρ v r η (przepływ w rurze)
14.20

gdzie ρ ρ jest gęstością płynu, v v jego prędkością, η η jego lepkością, a r r promieniem rury. Liczba Reynoldsa to wielkość bezwymiarowa. Doświadczenia pokazały, że R e Re jest związane z powstawaniem turbulencji. Dla R e Re poniżej około 2000 przepływ jest laminarny. Dla R e Re powyżej 3000 przepływ jest turbulentny.

Dla wartości R e Re pomiędzy około 2000 a 3000 przepływ jest niestabilny, czyli bywa laminarny, ale małe przeszkody czy zaburzenia na powierzchni płynu mogą sprawić, że stanie się on turbulentny. Przepływ może również oscylować losowo pomiędzy przepływem laminarnym a turbulentnym. Przepływ płynu o liczbie Reynoldsa pomiędzy 2000 a 3000 stanowi dobry przykład zachowania chaotycznego. System jest chaotyczny, jeżeli jego zachowanie jest tak czułe na zmianę pewnego czynnika, że niezwykle trudno je przewidzieć. Przewidzenie, czy przepływ płynu o liczbie Reynoldsa w tym zakresie jest laminarny, czy turbulentny okazuje się trudne, choć nie niemożliwe, z powodu wyjątkowo dużego wpływu czynników, takich jak nierówności powierzchni czy przeszkody, na rodzaj przepływu. Niewielka zmiana w jednym czynniku ma nieproporcjonalnie duży (czyli nieliniowy) wpływ na własności przepływu.

Przykład 14.9

Zastosowanie strumienia: przepływ turbulentny czy przepływ laminarny

W Przykładzie 14.8 obliczyliśmy, że strumień objętościowy systemu klimatyzacyjnego wynosi Q = 3,84 10 3 m 3 / s Q=3,84 10 3 m 3 / s Te obliczenia zakładały przepływ laminarny. (a) Czy założenie to było prawidłowe? (b) Przy jakiej wartości prędkości przepływ stałby się turbulentny?

Strategia rozwiązania

Aby określić, czy przepływ powietrza przez układ klimatyzacyjny jest laminarny, musimy po pierwsze obliczyć jego prędkość. W tym celu możemy się posłużyć:
Q = A v = π r 2 v . Q = A v = π r 2 v .

Następnie możemy obliczyć liczbę Reynoldsa, używając poniższego równania, i sprawdzić, czy zawiera się ona w zakresie przepływu laminarnego:

R e = 2 ρ v r η . Re= 2 ρ v r η .

Rozwiązanie

  1. Podstawienie podanych wartości prowadzi do:
    v = Q π r 2 = 3,84 10 3 m 3 / s 3,14 ( 0,09 m ) 2 = 0,15 m s R e = 2 ρ v r η = 2 1,23 k g / m 3 0,15 m / s 0,09 m 0,0181 10 3 P a s = 1835. v = Q π r 2 = 3,84 10 3 m 3 / s 3,14 ( 0,09 m ) 2 = 0,15 m s R e = 2 ρ v r η = 2 1,23 k g / m 3 0,15 m / s 0,09 m 0,0181 10 3 P a s = 1835.

    Ponieważ liczba Reynoldsa wynosi 1835 < 2000, przepływ jest laminarny, a nie turbulentny. Założenie lainarności przepływu okazało się prawidłowe.
  2. Aby obliczyć maksymalną prędkość powietrza, przy której przepływ będzie laminarny, obliczmy liczbę Reynoldsa.
    R e = 2 ρ v r η 2000 v = 2000 0,0181 10 3 P a s 2 1,23 P a s 0,09 m = 0,16 m s . R e = 2 ρ v r η 2000 v = 2000 0,0181 10 3 P a s 2 1,23 P a s 0,09 m = 0,16 m s .

Znaczenie

Podczas przekazywania płynu z jednego miejsca w drugie korzystnie jest ograniczyć turbulencje. Pociąga ona za sobą straty energii, gdyż jej część, która w zamyśle miała służyć transportowi płynu, ulega rozproszeniu w miejscach, w których tworzą się wiry. W tym przypadku układ klimatyzacyjny będzie mniej wydajny, gdy prędkość powietrza przekroczy 0,16 m/s, ponieważ przy niej zaczną się pojawiać turbulencje.
Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Creative Commons Attribution License , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
Cytowanie

© 2 mar 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Creative Commons Attribution License . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.