14.4 Prawo Archimedesa i siła wyporu

Prawo Archimedesa

Jaka jest wartość siły wyporu? Aby odpowiedzieć na to pytanie, zastanówmy się nad tym, co by się stało, gdyby usunąć znanurzony przedmiot z płynu jak na Ilustracji 14.21. Gdy w płynie nie ma przedmiotu, objętość, w której znajdował się wcześniej, jest zajmowana przez płyn o ciężarze $w_{\text{prz}}.$ Ten ciężar jest podtrzymywany przez otaczający płyn, więc siła wyporu musi być równa $w_{\text{prz}},$ czyli ciężarowi płynu wypartego przez przedmiot.

Prawo to nazwano imieniem greckiego matematyka i wynalazcy Archimedesa (287–212 p.n.e.), który sformułował powyższą zasadę na długo przed powstaniem pojęcia siły.

Ilustracja 14.21 (a) Obiekt zanurzony w płynie doświadcza siły wyporu $F_{\text{W}}.$ Zacznie się on unosić, jeżeli $F_{\text{W}}$ będzie większa niż ciężar obiektu. Jeżeli $F_{\text{W}}$ jest mniejsza niż ciężar obiektu, to będzie on tonął. (b) Jeżeli usuniemy obiekt, to przestrzeń po nim zostanie zastąpiona wodą o ciężarze $Q_{\text{prz}}.$ Ponieważ ciężar ten musi być podtrzymywany przez otaczający płyn, siła wyporu musi być równa ciężarowi wypartego płynu.

Prawo Archimedesa odnosi się do siły wyporu, która pojawia się, gdy ciało zostanie całkowicie lub częściowo umieszczone w wodzie. Siła związana z ciśnieniem płynu działa na ciało prostopadle do jego powierzchni. Innymi słowy siła związana z ciśnieniem na spodzie ciała jest skierowana ku górze, podczas gdy siła działająca na jego górę jest skierowana ku dołowi. Siły związane z ciśnieniem działające na boki są skierowane do wewnątrz ciała.

Ponieważ spód zanurzonego ciała znajduje się na większej głębokości niż jego szczyt, ciśnienie na dolną część ciała jest większe niż ciśnienie na górną część, jak pokazano na Ilustracji 14.20. W związku z tym powstaje wypadkowa siła działająca na ciało ku górze. Ta siła nazywana jest siłą wyporu lub po prostu wypornością.

Gęstość a prawo Archimedesa

Gruda gliny wrzucona do wody tonie, jednak jeżeli uformujemy z niej statek, to będzie on pływał. Z powodu swojego kształtu statek z gliny wypiera więcej wody niż gruda gliny i w związku z tym doświadcza większej siły wyporu, mimo że masy są identyczne. Ta sama zasada obowiązuje w przypadku stalowych statków.

Średnia gęstość przedmiotu determinuje to, czy będzie on pływał, czy zatonie. Jeżeli jego średnia gęstość jest mniejsza niż gęstość otaczającego płynu, to będzie się on unosił w kierunku powierzchni. Dzieje się tak dlatego, że gęstszy płyn zawiera więcej masy w tej samej objętości, co pociąga za sobą jego większą wagę. Siła wyporu, równa ciężarowi wypartego płynu, jest większa niż ciężar obiektu. Podobnie obiekt o większej gęstości niż płyn zatonie.

Rozmiar części obiektu zanurzonej w płynie zależy od tego, jaka jest jego gęstość względem płynu. Na Ilustracji 14.22 rozładowany statek ma mniejszą gęstość i w związku z tym mniejsza jego część jest zanurzona w porównaniu z sytuacją, gdy statek jest załadowany. Możemy wyprowadzić wyrażenie określające, w jakiej części przedmiot jest zanurzony, rozważając te gęstości. Zanurzoną część możemy wyrazić stosunkiem zanurzonej objętości do pełnej objętości przedmiotu, czyli:

Zanurzona objętość równa jest objętości wypartego płynu, którą nazwiemy $V_{\mathrm{pł}}$. Możemy teraz uzyskać zależność między gęstościami, podstawiając $\rho =m\text{/}V$ do tego wyrażenia. Otrzymujemy dzięki temu:

gdzie ${\rho }_{\text{o}}$ jest średnią gęstością obiektu, a ${\rho }_{\text{pł}}$ gęstością płynu. Ponieważ obiekt unosi się na powierzchni, jego masa oraz masa wypartego płynu muszą być takie same, więc skracają się w równaniu, dzięki czemu uzyskujemy:

Tej zależności można używać do pomiaru gęstości.

Ilustracja 14.22 Rozładowany statek (a) mniej zanurza się w wodzie niż załadowany (b).

Wiele obiektów lub substancji o niższej gęstości unosi się w płynach o wyższej gęstości: olej na wodzie, balon z gorącym powietrzem w atmosferze, kawałek korka w winie, góra lodowa w słonej wodzie czy gorący wosk w „lampie lawowej”. Mniej oczywistym przykładem są łańcuchy górskie unoszące się na położonej pod nimi gęstszej skorupie ziemskiej i płaszczu. Nawet stała powierzchnia Ziemi ma pewne własności płynów.

Pomiar gęstości

Jedna z najczęstszych technik określania gęstości pokazano na Ilustracji 14.23.

Ilustracja 14.23 (a) Moneta jest ważona w powietrzu. (b) Pomiar pozornego ciężaru zanurzonej w wodzie monety. Te dwa pomiary są wykorzystywane do obliczenia gęstości monety.

Przedmiot, w tym przypadku monetę, ważymy najpierw w powietrzu, a następnie po zanurzeniu w płynie. Jeżeli znamy gęstość płynu, to możemy obliczyć również gęstość monety, co pozwala określić jej autentyczność. Tej samej techniki możemy użyć do obliczenia gęstości płynu, jeżeli znamy gęstość monety.

Wszystkie powyższe obliczenia oparte są na prawie Archimedesa, które stwierdza, że siła wyporu działająca na przedmiot równa jest ciężarowi płynu przez ten przedmiot wypartego. Fakt ten z kolei oznacza, że obiekty pozornie tracą na wadze po zanurzeniu – wagę po zanurzeniu nazywamy wagą pozorną. Przedmiot doświadcza utraty wagi równej ciężarowi wypartego płynu. Inaczej mówiąc, na wadze szalkowej mierzącej masę pozorna utrata masy równa się masie wypartego płynu. Czyli pozorna utrata wagi równa jest wadze wypartego płynu, a pozorna utrata masy równa jest masie wypartego płynu.