14.3 Prawo Pascala i układy hydrauliczne

Prawo Pascala

Zasada Pascala, znana również pod nazwą prawo Pascala (ang. Pascal’s principle), stwierdza, że zmiana ciśnienia przyłożonego do płynu jest przekazywana bez strat do wszystkich jego części i ostatecznie do ścianek naczynia zawierającego płyn. Atomy, które mogą się swobodnie poruszać w naczyniu przekazują ciśnienie do wszystkich części płynu oraz do ścian naczynia. Dowolna zmiana ciśnienia jest przekazywana bez strat.

Zwróćmy uwagę, że zasada ta nie mówi, że ciśnienie jest takie samo we wszystkich częściach. Nie jest to prawdą, na przykład dlatego, że ciśnienie płynu w pobliżu Ziemi zmienia się wraz z wysokością. Zasada ta odnosi się raczej do zmiany ciśnienia. Załóżmy, że umieścimy wodę w cylindrycznym pojemniku o wysokości $H$ i polu przekroju $A$, na którego szczycie znajduje się ruchomy tłok o masie $m$ (Ilustracja 14.15). Przyłożenie dodatkowego ciężaru $Mg$ do tłoka zwiększa ciśnienie na szczycie o $Mg\text{/}A$, ponieważ ta dodatkowa siła jest przyłożona również do powierzchni $A$ tłoka zamykającej cylinder:

Ilustracja 14.15 Ciśnienie płynu zmienia się, gdy płyn zostanie poddany dodatkowemu ciśnieniu. (a) Ciśnienie na górną warstwę płynu jest inne niż ciśnienie na dolną warstwę. (b) Wzrost ciśnienia spowodowany przez dodanie ciężaru do tłoka jest taki sam w każdym punkcie płynu, na przykład $p_{\text{góra nowe}}-p_{\text{góra}}=p_{\text{dół nowe}}-p_{\text{dół}}$.

Zgodnie z zasadą Pascala ciśnienie we wszystkich punktach wody zmienia się o tę samą wielkość $Mg\text{/}A$. Zatem ciśnienie przy dnie również zwiększa się o $Mg\text{/}A$. Ciśnienie przy dnie zbiornika stanowi sumę ciśnienia atmosferycznego, ciśnienia związanego z działaniem słupa płynu oraz ciśnienia wywieranego przez dodatkową masę. Zmiana ciśnienia przy dnie naczynia związana z dodatkową masą wynosi:

Ponieważ zmiany ciśnienia są takie same w każdym miejscu w płynie, nie potrzebujemy dodatkowych indeksów wskazujących, czy mówimy o dodatkowym ciśnieniu na górze, czy na dole naczynia:

Zastosowania zasady Pascala oraz układów hydraulicznych

Układy hydrauliczne są podstawą działania hamulców samochodowych, podnośników hydraulicznych i wielu innych układów mechanicznych (Ilustracja 14.16).

Ilustracja 14.16 Typowy układ hydrauliczny złożony z dwóch wypełnionych płynem cylindrów, zamkniętych tłokami i połączonych rurą zwaną przewodem hydraulicznym. Skierowana w dół siła ${\overrightarrow{F}}_1$ przyłożona do lewego tłoka powoduje zmianę ciśnienia przekazywaną bez strat do wszystkich części płynu w naczyniu. Wywołuje to skierowaną ku górze siłę ${\overrightarrow{F}}_2$ działającą na prawy tłok. Siła ta jest większa niż ${\overrightarrow{F}}_1$, ponieważ pole powierzchni prawego tłoka jest większe.

Możemy wyprowadzić związek między siłami w tym prostym układzie hydraulicznym, stosując zasadę Pascala. Zwróćmy uwagę, że oba tłoki znajdują się na tej samej wysokości, więc nie ma różnicy ciśnień związanej z głębokością. Ciśnienie związane z siłą $F_1$ działającą na powierzchnię $A_1$ wynosi:

Zgodnie z zasadą Pascala ciśnienie to zostaje przekazane bez strat do wszystkich punktów w płynie oraz do ścian naczynia. W związku z tym ciśnienie $p_2$ równe $p_1$ działa również przy drugim tłoku. Otrzymujemy $p_1=p_2.$ Ponieważ jednak $p_2=F_2\text{/}{A}_2,$ otrzymujemy ostateczny wynik:

Równanie to wiąże stosunki sił do powierzchni w dowolnym układzie hydraulicznym, pod warunkiem, że tłoki znajdują się na tej samej wysokości oraz że można pominąć tarcie obecne w układzie.

Układy hydrauliczne mogą zwiększać lub zmniejszać przyłożoną do nich siłę. Aby zwiększyć siłę, ciśnienie przykłada się do większej powierzchni. Na przykład jeżeli siłę 100 N przyłożymy do lewego cylindra (Ilustracja 14.16), a prawy cylinder ma powierzchnię pięciokrotnie większą, to siła wyjściowa będzie wynosiła 500 N. Układy hydrauliczne działają analogicznie do dźwigni prostych, ale mają tę zaletę, że ciśnienie może być przekazywane nawet wzdłuż wymyślnie poskręcanych przewodów, w kilka miejsc jednocześnie.

Przykładem takiego urządzenia jest podnośnik hydrauliczny (ang. hydraulic jack). Używa się go do podnoszenia dużych ciężarów, na przykład w warsztatach do unoszenia samochodów. Podnośnik składa się z nieściśliwego płynu umieszczonego w U-kształtnej rurze zakończonej z obu stron ruchomymi tłokami. Mała siła przyłożona do małej powierzchni może zrównoważyć znacznie większą siłę przyłożoną po drugiej stronie do znacznie większej powierzchni (Ilustracja 14.17).

Ilustracja 14.17 (a) Działanie podnośnika hydraulicznego oparte jest na przyłożeniu sił $(F_1\text{,}{F}_2)$ do nieściśliwego płynu w rurze o kształcie litery U przy użyciu ruchomych tłoków $(A_1,A_2)$ z obu stron rury. (b) Podnośniki hydrauliczne są powszechnie używane w warsztatach do unoszenia samochodów, co umożliwia przeprowadzanie napraw i przeglądów.

Używając zasady Pascala, możemy pokazać, że siła niezbędna do podniesienia samochodu jest mniejsza niż ciężar samochodu:

gdzie $F_1$ jest siłą przyłożoną w celu podniesienia samochodu, $A_1$ polem poprzecznego przekroju miniejszego tłoka, $A_2$ polem przekroju poprzecznego większego tłoka, a $F_2$ ciężarem samochodu.

Przykład 14.3

Obliczanie siły na cylindry hamulcowe

Rozważmy samochodowy układ hydrauliczny pokazany na Ilustracji 14.18. Załóżmy, że siłę 100 N przyłożono do pedału hamulca (działającego jako źródło siły hamującej), który działa na cylinder pedału hamulcowego (działający jako główny cylinder) przy użyciu dźwigni. Na cylinder została wywarta siła 500 N. Ciśnienie wytworzone na cylindrze pedału hamulcowego jest przekazywane do cylindrów hamulcowych przy czterech kołach pojazdu. Cylinder pedału hamulcowego średnicę 0,500 cm, a każdy z cylindrów hamulcowych przy kołach ma średnicę 2,50 cm. Oblicz wartość siły $F_2$ wytworzonej przy każdym z cylindrów hamulcowych przy kołach.

Ilustracja 14.18 Hamulce hydrauliczne wykorzystują zasadę Pascala. Kierowca naciska na pedał hamulca, działając wzmacnianą przez dźwignię prostą siłą, przekazywaną do układu hydraulicznego. Przy każdym z identycznych cylindrów hamulcowych przy kołach wytwarzane jest takie samo ciśnienie, i z tego powodu każdy z nich działa taką samą siłą $F_2$ na swoje koło. Kołowe przekroje poprzeczne cylindra pedału hamulcowego i cylindrów przy kołach przedstawiają odpowiednio przez $A_1$ oraz $A_2$.

Strategia rozwiązania

Znamy siłę $F_1$ przyłożoną do cylindra pedału hamulcowego. Pole przekrojów poprzecznych $A_1$ oraz $A_2$ można obliczyć z podanych średnic. Do znalezienia siły możemy więc użyć następującej relacji $F_2$:

$$\frac{F_1}{A_1}=\frac{F_2}{A_2}.$$

Dzięki przekształceniu algebraicznemu, otrzymujemy z jednej strony $F_2$ i podstawiamy znane wartości.

Rozwiązanie

Zasada Pascala zastosowana do układu hamulcowego zadana jest przez $\frac{F_1}{A_1}=\frac{F_2}{A_2}:$

$$\begin{array}{rl}{F}_2& =\frac{A_2}{A_1}{F}_1=\frac{\pi r_2^2}{\pi r_1^2}{F}_1\\ & =\frac{(\mathrm{1,25}\mathrm{c}\mathrm{m}{)}^2}{(\mathrm{0,250}\mathrm{c}\mathrm{m}{)}^2}\cdot 500\mathrm{N}=1.25\cdot {10}^4\mathrm{N}\end{array}$$

Znaczenie

Wartość ta to siła wywierana przez każdy z czterech cylindrów przy kołach. Zwróćmy uwagę, że przy kołach możemy zainstalować dowolna liczbę cylindrów. Jeżeli każdy z nich ma średnicę 2,50 cm, to będzie działał siłą $1\mathrm{,}25\cdot {10}^4\mathrm{N}$. Prosty układ hydrauliczny jest przykładem maszyny prostej i w związku z tym może zwiększać siłę, ale nie może wykonywać większej pracy, niż praca wykonana nad nim. Praca to siła pomnożona przez drogę, na której działa siła, więc tłok cylindra przy kole pokonuje mniejszą drogę niż tłok przy pedale hamulcowym. Dodatkowo, im więcej kół dodamy, tym mniejszą drogę tłok cylindra przebędzie przy każdym z nich. Wiele układów hydraulicznych, takich jak system wspomagania hamowania lub układy hamulcowe w ciężkich maszynach, wykorzystuje pompy z zewnętrznym napędem, który wykonuje większość pracy w układzie.