14.2 Pomiar ciśnienia

Manometry

Jedna z najważniejszych klas mierników ciśnienia wykorzystuje fakt, że waga płynu o stałej gęstości dana jest wyrażeniem $p=h\rho g$. Rurka w kształcie litery U, pokazana na Ilustracji 14.12, jest przykładem manometru (ang. manometer); w części (a) oba końce rurki są otwarte na oddziaływanie ciśnienia atmosferycznego w dół jednakowo z obu stron, co prowadzi do zniesienia się efektów oddziaływania.

Z kolei manometr z tylko jedną częścią otwartą na działanie ciśnienia atmosferycznego jest idealnym urządzeniem do pomiaru ciśnienia manometrycznego. Ciśnienie manometryczne dane wyrażeniem $p_{\text{g}}=h\rho g$ można uzsykać przez pomiar $h$. Na przykład załóżmy, że jedną ze stron wygiętej w kształt litery U rurki połączono z obszarem o pewnym ciśnieniu $p_{\text{abs}},$ takim jak balon w części (b) ilustracji lub próżniowo zamknięty słoik z orzeszkami ziemnymi pokazany w części (c). Ciśnienie jest przekazywane bez strat do manometru, przez co poziomy płynu przestają być równe. W części (b) ciśnienie $p_{\text{abs}}$ jest większe niż ciśnienie atmosferyczne, podczas gdy w części (c) $p_{\text{abs}}$ jest mniejsze od ciśnienia atmosferycznego. W obu przypadkach $p_{\text{abs}}$ różni się od ciśnienia atmosferycznego o wielkość $h\rho g,$ gdzie $\rho$ jest gęstością płynu w manometrze. W części (b) ciśnienie $p_{\text{abs}}$ może podtrzymać kolumnę płynu na o wysokości $h$, więc wywierane ciśnienie $p_{\text{abs}}$ musi być większe niż ciśnienie atmosferyczne (ciśnienie manometryczne $p_{\text{g}}$ jest dodatnie). W części (c) ciśnienie atmosferyczne może utrzymać kolumnę płynu o wysokości $h$, więc ciśnienie $p_{\text{abs}}$ jest mniejsze niż atmosferyczne o $h\rho g$ (ciśnienie manometryczne $p_{\text{g}}$ jest ujemne).

Ilustracja 14.12 Jedna strona otwartego manometru jest otwarta na działanie ciśnienia atmosferycznego. (a) Wysokość płynu musi być taka sama po obu stronach, gdyż w przeciwnym przypadku ciśnienie wywierane przez obie strony na dno nie będzie równe i ciecz przepłynie w kierunku niższego poziomu. (b) Dodatnie ciśnienie manometryczne $p_{\text{g}}=h\rho g$ przekazywane do jednej części manometru może utrzymać kolumnę płynu o wysokości $h$. (c) Podobnie jak w poprzednich przypadkach ciśnienie atmosferyczne jest większe niż ujemne ciśnienie manometryczne $p_{\text{g}}$ o wielkość $h\rho g$. Sztywność i szczelność słoika zapobiegają przekazywaniu ciśnienia atmosferycznego do orzeszków.

Barometry

Manometry do pomiaru ciśnienia zwykle zbudowane są z rurki w kształcie litery U wypełnionej płynem (często rtęcią). Barometr (ang. barometer) (patrz Ilustracja 14.13) jest urządzeniem mającym zwykle pojedynczą kolumnę rtęci do pomiaru ciśnienia atmosferycznego. Barometr, wynaleziony przez włoskiego matematyka i fizyka, Evangelistę Torricellego (1608–1647) w 1643 r., składa się ze szklanej rurki zamkniętej z jednej strony i wypełnionej rtęcią. Taką rurkę odwraca się i umieszcza w zbiorniku z rtęcią. Urządzenie mierzy ciśnienie atmosferyczne lub bardziej precyzyjnie ujmując manometryczne, ponieważ w rurce nad rtęcią tworzy się prawie idealna próżnia. Wysokość słupa rtęci spełnia warunek $h\rho g=p_{\text{atm}}$. Gdy ciśnienie atmosferyczne się zmienia, rtęć się podnosi lub opada.

Instytucje podające prognozy pogody dokładnie monitorują zmiany ciśnienia atmosferycznego (często nazywanego ciśnieniem barometrycznym), gdyż podnosząca się rtęć zwykle sygnalizuje poprawę pogody, a opadająca jej pogorszenie. Barometr może być również użyty jako wysokościomierz, ponieważ średnie ciśnienie atmosferyczne zmienia się wraz z wysokością nad poziomem morza. Barometry rtęciowe i manometry są tak powszechne, że do pomiaru ciśnienia atmosferycznego i ciśnienia krwi używa się jednostki milimetr słupa rtęci (mmHg).

Ilustracja 14.13 Barometr rtęciowy mierzy ciśnienie atmosferyczne. Ciśnienie związane z ciężarem słupa rtęci $h\rho g$, równa się ciśnieniu atmosferycznemu. Ciśnienie atmosferyczne może podnieść rtęć do wysokości $h$, powyżej której ciśnienie wynosi zero.

Przykład 14.2

Wysokość płynu w otwartej rurce U-kształtnej

U-kształtną, otwartą z obu stron rurkę wypełnia ciecz o gęstości ${\rho }_1$ do wysokości $h$ z obu stron (Ilustracja 14.14). Następnie do jednego ramienia rurki wlano ciecz o gęstości ${\rho }_2<{\rho }_1$ wskutek czego ciecz 2 osiadła na cieczy 1. Wysokości słupów cieczy w obu ramionach rurki są różne. Wysokość od strony cieczy 2 mierzona od styku dwóch substancji wynosi $h_2$, a wysokość od strony cieczy 1 mierzona od styku dwóch substancji wynosi $h_1$. Wyprowadź wzór na różnicę tych wysokości.

Ilustracja 14.14 Dwa płyny o różnych gęstościach w rurce U-kształtnej.

Strategia rozwiązania

Ciśnienie w punktach leżących na tej samej wysokości po obu stronach rurki U-kształtnej musi być takie samo, jeżeli oba punkty znajdują się w tej samej cieczy. Z tego powodu rozważymy dwa punkty na tym samym poziomie w obu ramionach rurki: jeden z nich leży na styku cieczy po stronie cieczy 1, a drugi to punkt w ramieniu po stronie cieczy 2 znajdujący się na tej samej wysokości co styk cieczy w pierwszym ramieniu. Ciśnienie w każdym punkcie jest wywierane przez ciśnienie atmosferyczne oraz ciężar płynu nad tym punktem.

$$\begin{array}{c}\text{ciśnienie na stronę z cieczą 1}=p_0+{\rho }_{1}g{h}_1\hfill \\ \text{ciśnienie na stronę z cieczą 2}=p_0+{\rho }_{2}g{h}_2\hfill \end{array}$$

Rozwiązanie

Ponieważ oba punkty znajdują się w cieczy 1 i są położone na tej samej wysokości, ciśnienie w nich musi być takie samo. Z tego powodu mamy:

$$p_0+{\rho }_{1}g{h}_1=p_0+{\rho }_{2}g{h}_2.$$

Z tego otrzymujemy:

$${\rho }_1{h}_1={\rho }_2{h}_2.$$

Oznacza to, że różnica wysokości po obu stronach rurki wynosi:

$$h_2-h_1=\left(1-\frac{p_1}{p_2}\right)h_2.$$

Jeżeli podstawimy $p_2=p_1,$ to otrzymamy $h_2=h_1,$ co jest oczywiście zgodne z naszymi założeniami: jeżeli obie strony mają tę samą gęstość, to będą miały tę samą wysokość.

Jednostki ciśnienia

Jak wspomniano wcześniej, jednostką SI ciśnienia jest paskal (Pa) (ang. pascal):

Oprócz paskala w powszechnym użyciu jest wiele innych jednostek (Tabela 14.3). W meteorologii ciśnienie atmosferyczne często wyraża się w milibarach (mbar), przy:

Milibar jest dla meteorologów wygodną jednostką, ponieważ średnie ciśnienie atmosferyczne na poziomie morza wynosi $\mathrm{1,013}\cdot {10}^5\mathrm{P}\mathrm{a}=1013\mathrm{m}\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{r}=1\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{m}$. Wykorzystując równania wyprowadzone w rozważaniach dotyczących ciśnienia na pewnej głębokości w płynie, możemy je podać w milimetrach słupa rtęci. Ciśnienie na dnie kolumny rtęci o wysokości 760 mm w temperaturze $0\text{°C}$ w pojemniku, z którego górnej części usunięto powietrze jest równe 1 atm. W laboratoriach fizyki próżniowej naukowcy często używają innej jednostki, tora (Tr) (ang. torr), nazwanej tak na cześć Torricellego, który, jak wcześniej wspomnieliśmy, wynalazł barometr rtęciowy. 1 Tr jest równy ciśnieniu 1 mmHg.