Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępności
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1

14.1 Płyny, gęstość i ciśnienie

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 114.1 Płyny, gęstość i ciśnienie
  1. Przedmowa
  2. Mechanika
    1. 1 Jednostki i miary
      1. Wstęp
      2. 1.1 Zakres stosowalności praw fizyki
      3. 1.2 Układy jednostek miar
      4. 1.3 Konwersja jednostek
      5. 1.4 Analiza wymiarowa
      6. 1.5 Szacowanie i pytania Fermiego
      7. 1.6 Cyfry znaczące
      8. 1.7 Rozwiązywanie zadań z zakresu fizyki
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Wektory
      1. Wstęp
      2. 2.1 Skalary i wektory
      3. 2.2 Układy współrzędnych i składowe wektora
      4. 2.3 Działania na wektorach
      5. 2.4 Mnożenie wektorów
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Ruch prostoliniowy
      1. Wstęp
      2. 3.1 Położenie, przemieszczenie, prędkość średnia
      3. 3.2 Prędkość chwilowa i szybkość średnia
      4. 3.3 Przyspieszenie średnie i chwilowe
      5. 3.4 Ruch ze stałym przyspieszeniem
      6. 3.5 Spadek swobodny i rzut pionowy
      7. 3.6 Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Ruch w dwóch i trzech wymiarach
      1. Wstęp
      2. 4.1 Przemieszczenie i prędkość
      3. 4.2 Przyspieszenie
      4. 4.3 Rzuty
      5. 4.4 Ruch po okręgu
      6. 4.5 Ruch względny w jednym i dwóch wymiarach
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 5 Zasady dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 5.1 Pojęcie siły
      3. 5.2 Pierwsza zasada dynamiki Newtona
      4. 5.3 Druga zasada dynamiki Newtona
      5. 5.4 Masa i ciężar ciała
      6. 5.5 Trzecia zasada dynamiki Newtona
      7. 5.6 Rodzaje sił
      8. 5.7 Rozkłady sił działających na ciała
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 6 Zastosowania zasad dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 6.1 Rozwiązywanie zadań związanych z zasadami dynamiki Newtona
      3. 6.2 Tarcie
      4. 6.3 Siła dośrodkowa
      5. 6.4 Siła oporu i prędkość graniczna
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 7 Praca i energia kinetyczna
      1. Wstęp
      2. 7.1 Praca
      3. 7.2 Energia kinetyczna
      4. 7.3 Zasada zachowania energii mechanicznej
      5. 7.4 Moc
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 8 Energia potencjalna i zasada zachowania energii
      1. Wstęp
      2. 8.1 Energia potencjalna układu
      3. 8.2 Siły zachowawcze i niezachowawcze
      4. 8.3 Zasada zachowania energii
      5. 8.4 Wykresy energii potencjalnej
      6. 8.5 Źródła energii
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    9. 9 Pęd i zderzenia
      1. Wstęp
      2. 9.1 Pęd
      3. 9.2 Popęd siły i zderzenia
      4. 9.3 Zasada zachowania pędu
      5. 9.4 Rodzaje zderzeń
      6. 9.5 Zderzenia w wielu wymiarach
      7. 9.6 Środek masy
      8. 9.7 Napęd rakietowy
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 10 Obroty wokół stałej osi
      1. Wstęp
      2. 10.1 Zmienne opisujące ruch obrotowy
      3. 10.2 Obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym
      4. 10.3 Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym
      5. 10.4 Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      6. 10.5 Obliczanie momentu bezwładności
      7. 10.6 Moment siły
      8. 10.7 Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
      9. 10.8 Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 11 Moment pędu
      1. Wstęp
      2. 11.1 Toczenie się ciał
      3. 11.2 Moment pędu
      4. 11.3 Zasada zachowania momentu pędu
      5. 11.4 Precesja żyroskopu
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 12 Równowaga statyczna i sprężystość
      1. Wstęp
      2. 12.1 Warunki równowagi statycznej
      3. 12.2 Przykłady równowagi statycznej
      4. 12.3 Naprężenie, odkształcenie i moduł sprężystości
      5. 12.4 Sprężystość i plastyczność
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    13. 13 Grawitacja
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo powszechnego ciążenia
      3. 13.2 Grawitacja przy powierzchni Ziemi
      4. 13.3 Energia potencjalna i całkowita pola grawitacyjnego
      5. 13.4 Orbity satelitów i ich energia
      6. 13.5 Prawa Keplera
      7. 13.6 Siły pływowe
      8. 13.7 Teoria grawitacji Einsteina
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    14. 14 Mechanika płynów
      1. Wstęp
      2. 14.1 Płyny, gęstość i ciśnienie
      3. 14.2 Pomiar ciśnienia
      4. 14.3 Prawo Pascala i układy hydrauliczne
      5. 14.4 Prawo Archimedesa i siła wyporu
      6. 14.5 Dynamika płynów
      7. 14.6 Równanie Bernoulliego
      8. 14.7 Lepkość i turbulencje
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fale i akustyka
    1. 15 Drgania
      1. Wstęp
      2. 15.1 Ruch harmoniczny
      3. 15.2 Energia w ruchu harmonicznym
      4. 15.3 Porównanie ruchu harmonicznego z ruchem jednostajnym po okręgu
      5. 15.4 Wahadła
      6. 15.5 Drgania tłumione
      7. 15.6 Drgania wymuszone
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 16 Fale
      1. Wstęp
      2. 16.1 Fale biegnące
      3. 16.2 Matematyczny opis fal
      4. 16.3 Prędkość fali na naprężonej strunie
      5. 16.4 Energia i moc fali
      6. 16.5 Interferencja fal
      7. 16.6 Fale stojące i rezonans
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 17 Dźwięk
      1. Wstęp
      2. 17.1 Fale dźwiękowe
      3. 17.2 Prędkość dźwięku
      4. 17.3 Natężenie dźwięku
      5. 17.4 Tryby drgań fali stojącej
      6. 17.5 Źródła dźwięków muzycznych
      7. 17.6 Dudnienia
      8. 17.7 Efekt Dopplera
      9. 17.8 Fale uderzeniowe
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
    17. Rozdział 17
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • opisywać stany skupienia materii;
  • opisywać cechy stanów skupienia materii na poziomie molekularnym i atomowym;
  • określać różnice między materiałami ściśliwymi i nieściśliwymi;
  • definiować ciśnienie i jego jednostki w układzie SI;
  • porównywać gęstości różnych substancji;
  • opisywać związek między ciśnieniem a siłą;
  • obliczać siłę, znając ciśnienie i pole powierzchni.

Materia najczęściej występuje w postaci ciał stałych, cieczy lub gazów. Są one znane jako trzy podstawowe stany skupienia materii (ang. phases of matter). W tym podrozdziale przyjrzymy się szczegółowo każdemu z nich.

Cechy ciał stałych

Ciała stałe są sztywne i mają konkretne kształty oraz określone objętości. Ich atomy lub cząstki znajdują się blisko siebie i oddziałują ze sobą znacznymi siłami. Ciała stałe przyjmują postać określoną przez rodzaje tych oddziaływań pomiędzy molekułami. Mimo że rzeczywiste ciała stałe nie są nieściśliwe, to zmiana ich kształtu wymaga zadziałania dużą siłą. W niektórych przypadkach oddziaływania między molekułami mogą sprawić, że cząstki zorganizują się w sieć, jak pokazano na Rysunku 14.2. Strukturę tej trójwymiarowej sieci można przedstawić przy pomocy cząstek powiązanych ze sobą sztywnymi więzami (przedstawionymi jako sztywne sprężyny), które umożliwiają ruch w ograniczonym zakresie. Nawet duża siła powoduje jedynie małe przesunięcia między atomami lub cząsteczkami tej sieci, a ciało stałe zachowuje swój kształt. Ciała stałe opierają się również siłom ścinającym (są to siły przyłożone równolegle do powierzchni, jak opisano to w rozdziale Równowaga statyczna i sprężystość.)

Cechy płynów

Ciecze (ang. liquids) i gazy (ang. gases) są uważane za płyny (ang. fluids), ponieważ poddają się siłom ścinającym, podczas gdy ciała stałe (ang. solids) im się opierają. Podobnie jak w przypadku ciał stałych, cząsteczki płynu są związane z sąsiadującymi cząsteczkami, ale łączy je znacznie mniej więzów. Cząsteczki płynów nie są zaczepione w konkretnym miejscu i mogą się przemieszczać względem siebie. Odległości między cząsteczkami są podobne do odległości w ciałach stałych, więc ciecze również mają określoną objętość, ale ich kształt zależy od naczynia, w którym się znajdują. Cząsteczki gazów nie są wzajemnie powiązane i odległości między nimi mogą być bardzo duże. Poruszają się one w taki sposób, aby wypełnić cały pojemnik, w którym się znajdują, dlatego gazy nie mają ani konkretnego kształtu, ani określonej objętości (Rysunek 14.2).

Ilustracja (a) prezentuje ułożenie atomów w ciele stałym. Atomy są w ścisłym kontakcie z sąsiadującymi atomami i są utrzymywane w miejscu przez siły reprezentowane na rysunku jako sprężyny. Ilustracja (b) prezentuje ułożenie atomów w cieczach. Atomy są w ścisłym kontakcie, ale mogą się przesuwać względem siebie. Ilustracja (c) prezentuje ułożenie atomów w gazach. Atomy mogą się swobodnie poruszać, a odległości między nimi są duże.
Rysunek 14.2 (a) Atomy w ciałach stałych zawsze są w ścisłym kontakcie ze swoimi sąsiadami i utrzymują je w miejscu siły przedstawione tutaj w postaci sprężyn. (b) Atomy w cieczach również pozostają w kontakcie ze sobą nawzajem, ale mogą się przesuwać względem siebie. Siły między atomami mocno przeciwdziałają próbom ściśnięcia płynu (c) Atomy w gazie mogą się poruszać swobodnie, a odległości między nimi są duże. Gaz musi być trzymany w zamkniętym pojemniku, aby zapobiec jego swobodnemu rozprężaniu oraz ucieczce.

Ciecze łatwo ulegają deformacji po przyłożeniu siły i nie powracają do swojego oryginalnego kształtu, gdy przestanie ona działać. Dzieje się tak, ponieważ atomy lub cząsteczki w cieczach mogą się przesuwać i zmieniać położenie względem sąsiadujących cząsteczek. Innymi słowy, ciecze płyną (są więc rodzajem płynu), a ich molekuły utrzymują się razem w wyniku wzajemnych oddziaływań. Gdy ciecz znajduje się w pojemniku bez pokrywy, to pozostanie w nim. Atomy są ciasno upakowane, więc ciecze, podobnie jak ciała stałe, przeciwstawiają się próbom ściśnięcia, a do zmiany ich objętości potrzebna jest ogromna siła.

W przeciwieństwie do cieczy odległości między atomami w gazach są bardzo duże i w związku z tym siły między nimi są niewielkie, z wyjątkiem sytuacji zderzenia atomów. Cechy te sprawiają, że względnie łatwo je ścisnąć oraz mogą one płynąć (z tego powodu uznajemy je za płyny). Gazy, inaczej niż ciecze, szybko uciekają z otwartego pojemnika.

W tym rozdziale zarówno gazy jak i ciecze nazywamy płynami, rozróżniając je tylko w sytuacjach, gdy zachowują się odmiennie. Istnieje jeszcze inna faza materii, zwana plazmą (ang. plasma), która występuje w bardzo wysokich temperaturach. W takich warunkach molekuły rozpadają się na atomy, a te na naładowane ujemnie elektrony oraz naładowane dodatnio protony. Stan ten nie będzie szczegółowo opisywany w tym rozdziale, ponieważ ma właściwości odmienne od pozostałych trzech stanów skupienia, z powodu silnych oddziaływań elektrycznych między ładunkami.

Gęstość

Załóżmy, że kawałek mosiądzu i kawałek drewna mają dokładnie tę samą masę. Dlaczego po wrzuceniu ich do zbiornika z wodą drewno będzie się unosiło, a mosiądz zatonie (Rysunek 14.3)? Dzieje się tak, ponieważ mosiądz ma gęstość większą, a drewno mniejszą niż woda.

Ilustracja (a) przedstawia zdjęcie dużego bloku drewnianego i małego bloku mosiężnego umieszczonych na wadze. Waga wskazuje identyczny ciężar obu kawałków. Ilustracja (b) przedstawia zdjęcie dużego kawałka drewna w akwarium i małego kawałka mosiądzu. Mały kawałek mosiądzu opada na dno, a kawałek drewna unosi się na wodzie.
Rysunek 14.3 (a) Kawałek mosiądzu i kawałek drewna mają ten sam ciężar i masę, ale kawałek drewna ma znacznie większą objętość. (b) Gdy umieścimy je w akwarium z wodą, mosiądz zatonie, a drewno będzię się unosiło na jej powierzchni. (Na obu ilustracjach widać ten sam kawałek drewna – na rysunku (a) został on obrócony na bok, aby zmieścił się na wadze.)

Gęstość jest ważną cechą substancji. Musimy ją znać, aby, na przykład, móc powiedzieć, czy obiekt będzie pływał po powierzchni płynu, czy zatonie.

Gęstość

Średnia gęstość (ang. density) substancji lub przedmiotu jest zdefiniowana jako masa przypadająca na jednostkę objętości:

ρ = m V ρ = m V
14.1

gdzie grecka litera ρ ρ (rho) oznacza gęstość, m m jest masą, a V V objetością.

Jednostką SI gęstości jest kg/m 3 kg/m 3 . Tabela 14.1 podaje kilka przykładowych wartości. Jednostką układu CGS (Centymetr, Gram, Sekunda) gęstości jest gram na centymetr sześcienny ( g/cm 3 g/cm 3 ), gdzie:

1 g c m 3 = 1000 k g m 3 . 1 g c m 3 =1000 k g m 3 .

System metryczny został zaprojektowany w taki sposób, aby woda miała gęstość 1 g/cm 3 1 g/cm 3 , co równoważne jest 10 3 kg/m 3 10 3 kg/m 3 . Dlatego podstawowa jednostka masy, czyli kilogram, została zdefiniowana jako 1000 mL wody, która ma objętość 1000 cm 3 1000 cm 3 .

Ciała stałe
( 0.0 ° C 0.0 ° C )
Ciecze
( 0.0 ° C 0.0 ° C )
Gazy
( 0.0 ° C , 0.0 ° C , 101.3 kPa)
Substancja ρ ( k g / m 3 ) ρ ( k g / m 3 ) Substancja ρ ( k g / m 3 ) ρ ( k g / m 3 ) Substancja ρ ( k g / m 3 ) ρ ( k g / m 3 )
Aluminium 2,70 10 3 2,70 10 3 Benzen 8,79 10 2 8,79 10 2 Powietrze 1,29 10 0 1,29 10 0
Kość 1,90 10 3 1,90 10 3 Krew 1,05 10 3 1,05 10 3 Dwutlenek węgla 1,98 10 0 1,98 10 0
Mosiądz 8,44 10 3 8,44 10 3 Alkohol etylowy 8,06 10 2 8,06 10 2 Tlenek węgla 1,25 10 0 1,25 10 0
Beton 2,40 10 3 2,40 10 3 Benzyna 6,80 10 2 6,80 10 2 Hel 1,80 10 1 1,80 10 1
Miedź 8,92 10 3 8,92 10 3 Gliceryna 1,26 10 3 1,26 10 3 Wodór 9,00 10 2 9,00 10 2
Korek 2,40 10 2 2,40 10 2 Rtęć 1,36 10 4 1,36 10 4 Metan 7,20 10 2 7,20 10 2
Powierzchnia Ziemi 3,30 10 3 3,30 10 3 Oliwa z oliwek 9,20 10 2 9,20 10 2 Azot 1,25 10 0 1,25 10 0
Szkło 2,60 10 3 2,60 10 3 Podtlenek azotu 1,98 10 0 1,98 10 0
Złoto 1,93 10 4 1,93 10 4 Tlen 1,43 10 0 1,43 10 0
Granit 2,70 10 3 2,70 10 3
Żelazo 7,86 10 3 7,86 10 3
Ołów 1,13 10 4 1,13 10 4
Drewno dębowe 7,10 10 2 7,10 10 2
Drewno sosnowe 3,73 10 2 3,73 10 2
Platyna 2,14 10 4 2,14 10 4
Polistyren 1,00 10 2 1,00 10 2
Wolfram 1,93 10 4 1,93 10 4
Uran 1,87 10 3 1,87 10 3
Tabela 14.1 Gęstości niektórych substancji

Jak łatwo zauważymy, przyglądając się Tabeli 14.1, gęstość obiektu może pomóc w określeniu jego składu. Na przykład gęstość złota jest 2,5 razy większa niż gęstość żelaza, którego gęstość jest z kolei 2,5 razy większa niż gęstość glinu. Gęstość informuje nas również o stanie skupienia materii oraz jej strukturze. Zauważmy, że gęstości cieczy i ciał stałych są w przybliżeniu porównywalne, co doskonale potwierdza, że ich atomy pozostają w ścisłym kontakcie. Gęstości gazów są znacznie mniejsze niż gęstości cieczy i ciał stałych, ponieważ atomy gazów znajdują się w dużych odległościach od siebie. Gęstości gazów podaje się w tak zwanych warunkach normalnych, czyli temperaturze normalnej 0,0 ° C 0,0 ° C i pod normalnym ciśnieniem 101,3 kPa. Istnieje silna zależność między gęstością a temperaturą i ciśnieniem. Gęstości ciał stałych i płynów przedstawia się w normalnej temperaturze 0,0 ° C 0,0 ° C , a ich wartości zwykle rosną wraz ze spadkiem temperatury.

Tabela 14.2 pokazuje gęstość wody w różnych stanach skupienia oraz temperaturach. Rośnie ona ze spadkiem temperatury i osiąga maksimum przy 4,0 ° C 4,0 ° C , a następnie zmniejsza się ze spadkiem temperatury poniżej 4,0 ° C 4,0 ° C . Ta cecha gęstości wody wyjaśnia, dlaczego lód tworzy się na powierzchni wody.

Substancja ρ ( k g / m 3 ) ρ ( k g / m 3 )
Lód ( 0 °C ) ( 0 °C ) 9,170 10 2 9,170 10 2
Woda ( 0 ° C ) ( 0 ° C ) 9,998 10 2 9,998 10 2
Woda ( 4 ° C ) ( 4 ° C ) 1,000 10 3 1,000 10 3
Woda ( 20 ° C ) ( 20 ° C ) 9,982 10 2 9,982 10 2
Woda ( 100 ° C ) ( 100 ° C ) 9,584 10 2 9,584 10 2
Para ( 100 ° C, 101.3 kPa ) ( 100 ° C, 101.3 kPa ) 1,670 10 2 1,670 10 2
Woda morska ( 0 ° C ) ( 0 ° C ) 1,030 10 3 1,030 10 3
Tabela 14.2 Gęstości wody

Gęstość substancji nie musi być stała w jej objętości. Jeżeli jest stała w całej objętości, to mówimy, że substancja jest jednorodna (homogeniczna) (ang. homogeneous substance). Przykładem może być jednolity pręt metalowy. Dla takiej substancji gęstość jest stała w objętości, a gęstość każdej próbki ma taką samą wartość jak średnia. Jeżeli gęstość substancji nie jest stała, to nazywamy ją niejednorodną (heterogeniczną) (ang. heterogeneous substance). Kawałek sera szwajcarskiego to przykład substancji heterogenicznej, ponieważ zawiera ona zarówno lity ser, jak i wypełnione gazem przestrzenie. Gęstość w konkretnym punkcie substancji niejednorodnej nazywamy gęstością lokalną i podajemy jako funkcję położenia: ρ = ρ ( x , y , z ) ρ = ρ ( x , y , z ) (Rysunek 14.4).

Ilustracja przedstawia naczynie wypełnione płynem. Małe sześciany narysowane w różnych miejscach naczynia wskazują miejsca, w których określana jest gęstość lokalna
Rysunek 14.4 Gęstość może się zmieniać w obrębie mieszanki niejednorodnej. Gęstość lokalną możemy obliczyć, dzieląc masę interesującego nas fragmentu przez jego objętość.

Gęstość lokalną można otrzymać jako granicę średniej gęstości w małej objętości, której wymiary dążą do zera:

ρ = lim Δ V 0 Δ m Δ V , ρ = lim Δ V 0 Δ m Δ V ,
14.2

gdzie ρ ρ jest gęstością, m m masą, a V V objętością.

Ponieważ jedną z cech gazów jest duża ściśliwość, ich gęstości zmieniają się z temperaturą w znaczący sposób, natomiast gęstości cieczy, jako substancji względnie nieściśliwych, nie zależą znacznie od temperatury. Z tego powodu gęstości cieczy często traktujemy jako stałe, równe ich średnim gęstościom.

Gęstość jest własnością wymiarową, więc gdy porównujemy gęstości dwóch substancji, musimy wziąć pod uwagę również jednostki. Dlatego do porównywania gęstości stosujemy inną, bezwymiarową cechę nazywaną gęstością względną. Definiujemy ją jako iloraz gęstości materiału i gęstości wody w temperaturze 4,0 °C 4,0 °C pod ciśnieniem 1 atm, czyli 1000 kg/m 3 1000 kg/m 3 :

gęstość względna = gęstość materiału gęstość wody . gęstość względna = gęstość materiału gęstość wody .

Do porównania stosujemy gęstość wody, wynoszącą 1 g/cm 3 1 g/cm 3 , ponieważ używamy jej też w definicji kilograma. Bezwymiarowość gęstości względnej umożliwia jej stosowanie w porównaniach między różnymi materiałami, bez konieczności uwzględniania jednostek ich gęstości. Na przykład, gęstość glinu wynosi 2,7 g/cm 3 g/cm 3 (2700 kg/m 3 kg/m 3 ), a gęstość względna 2,7, niezależnie od użytych jednostek. Gęstość właściwa jest szczególnie użyteczna w kontekście unoszenia, które omówimy w dalszych częściach tego rozdziału.

Ciśnienie

Bez wątpienia słyszeliście słowo „ciśnienie” w odniesieniu do krwi (wysokie lub niskie ciśnienie krwi) oraz do pogody (układy wysokiego i niskiego ciśnienia). Są to jednak tylko dwa z wielu przykładów ciśnienia płynów. (Przypomnijmy sobie, że wprowadziliśmy pojęcie ciśnienia w rozdziale Równowaga statyczna i sprężystość, w kontekście ich naprężenia.)

Ciśnienie

Ciśnienie ( p p) definiujemy jako wartość siły normalnej do powierzchni F F na jednostkę powierzchni A A, do której siła jest przyłożona, czyli:

p = F A . p = F A .
14.3

Ciśnienie (ang. pressure) w konkretnym punkcie definiujemy jako siłę d F d F, z jaką płyn działa na nieskończenie małey element powierzchni d A d A, zawierający ten punkt, z czego otrzymujemy p = d F / d A p= d F/ d A.

Siła może wywoływać różne efekty w zależności od pola powierzchni, na którą działa. Na przykład siła przyłożona do powierzchni 1 mm 2 1 mm 2 wywiera 100 razy większe ciśnienie niż ta sama siła przyłożona do powierzchni 1 cm 2 . 1 cm 2 . Z tego powodu ostra igła przebija skórę po przyłożeniu niewielkiej siły, ale przyłożenie tej samej siły przy pomocy palca skóry nie narusza (Rysunek 14.5).

Ilustracja A przedstawia osobę, której skóra jest naciskana palcem na wysokości ramienia. Pokazano, że siła przyłożona jest do dużej powierzchni, wskutek czego ciśnienie jest niewielkie. Ilustracja B prezentuje osobę, której skóra przekłuwana jest igłą nałożoną na strzykawkę, na wysokości ramienia. Pokazano, że siła przyłożona jest do małej powierzchni, co skutkuje dużym ciśnieniem.
Rysunek 14.5 (a) Osoba ukłuta palcem może się zdenerwować, ale siła ukłucia nie będzie miała żadnego trwałego efektu. (b) Ta sama siła przyłożona do powierzchni równej powierzchni naostrzonej części igły wystarcza do przebicia skóry.

Zwróćmy uwagę, że chociaż siła jest wektorem, ciśnienie jest skalarem. Dzieje się tak dlatego, że ciśnienie definiujemy jako wielkość proporcjonalna do wartości składowej siły prostopadłej do powierzchni. Jednostką SI ciśnienia jest paskal (Pa). Nazwano ją tak na cześć francuskiego matematyka i fizyka Blaise'a Pascala (1623–1662):

1 P a = 1 N m 2 . 1 P a =1 N m 2 .

Jednak używamy jeszcze kilku innych jednostek ciśnienia – omówimy je w dalszej części tego rozdziału.

Zmiany ciśnienia z głębokością w płynie o stałej gęstości

Ciśnienie zdefiniowane dla wszystkich stanów materii, jest szczególnie istotne dla płynów. W tym kontekście ważną ich cechę stanowi fakt, że nie stawiają one znaczącego oporu siłom działającym równolegle do powierzchni płynu. Cząsteczki płynu przemieszczają się pod wpływem takiej siły. Siła prostopadła przyłożona do powierzchni ściska i rozpręża płyn. Gdy spróbujemy ścisnąć płyn, stwierdzimy, że siła reakcji w każdym punkcie wewnątrz skierowana jest na zewnątrz, równoważąc siłę przyłożoną do cząsteczek na powierzchni płynu.

Rozważmy płyn o stałej gęstości pokazany na Rysunku 14.6. Ciśnienie na dnie naczynia wywołane jest ciśnieniem atmosferycznym ( p 0 ) ( p 0 ) i ciśnieniem związanym z ciężarem płynu. Ciśnienie pochodzące od płynu równe jest jego ciężarowi podzielonemu przez pole powierzchni. Ciężar płynu to jego masa pomnożona przez przyspieszenie grawitacyjne.

Ilustracja przedstawia rysunek pojemnika. Podstawa pojemnika ma powierzchnię A. Pojemnik wypełniony jest płynem do wysokości h. Z prawej strony rysunku naniesiono tekst: “Objętość V równa się A razy h.”
Rysunek 14.6 Spód tego naczynia podpiera cały ciężar płynu w nim zawartego. Ściany pionowe nie mogą wywierać na płyn siły skierowanej ku górze (ponieważ nie może on stawiać oporu siłom stycznym), więc spód naczynia musi równoważyć cały ciężar płynu.

Ponieważ gęstość jest stała, ciężar możemy obliczyć przy użyciu gęstości:

Q = m g = ρ V g = ρ A h g . Q = m g = ρ V g = ρ A h g .

Ciśnienie na dnie naczynia jest więc równe sumie ciśnienia atmosferycznego (ang. atmospheric pressure) oraz ciężaru płynu podzielonego przez powierzchnię spodu naczynia:

p = p 0 + ρ A h g A = p 0 + ρ h g . p = p 0 + ρ A h g A = p 0 + ρ h g .

To równanie jest spełnione tylko do głębokości, do której płyn ma stałą gęstość.

Ciśnienie na pewnej głębokości dla płynu o stałej gęstości

Ciśnienie na pewnej głębokości dla płynu o stałej gęstości równe jest sumie ciśnienia atmosferycznego i ciśnienia wywieranego przez ciężar płynu, czyli:

p = p 0 + ρ h g , p = p 0 + ρ h g ,
14.4

gdzie p p jest ciśnieniem na rozważanej głębokości, p 0 p 0 ciśnieniem atmosferycznym, ρ ρ gęstością płynu, g g przyspieszeniem ziemskim, a h h głębokością.

Fotografia przedstawia tamę postawioną na rzece.
Rysunek 14.7 Tama Trzech Przełomów zbudowana na rzece Jangcy w środkowych Chinach w roku 2008 stworzyła ogromny rezerwuar wodny, co spowodowało wysiedlenie ponad miliona osób. (Źródło: „Le Grand Portage”/Flickr)

Przykład 14.1

Jaką siłę musi wytrzymać tama?

Rozważmy ciśnienie i siłę działające na tamę utrzymującą rezerwuar wodny (Rysunek 14.7). Załóżmy, że tama ma 500 m szerokości, a woda ma głębokość 80,0 m, u podstawy tamy, jak pokazano poniżej. (a) Jakie jest średnie ciśnienie na tamę spowodowane naporem wody? (b) Oblicz siłę wywieraną na tamę.
Rysunek schematycznie przedstawia tamę o długości L i wysokości h wzniesioną na rzece. Po rzece płynie mały kajak z pasażerem. Na rysunku jest wzór F równa się p razy A, p równa się h razy p razy g.

Średnie ciśnienie p p spowodowane naporem wody jest ciśnieniem na średniej głębokości h = 40,0 m h=40,0 m , ponieważ ciśnienie rośnie ono liniowo z głębokością. Siła wywierana na tamę przez wodę równa się średniemu ciśnieniu pomnożonemu przez powierzchnię styku: F = p A F = p A .

Rozwiązanie

  1. Średnie ciśnienie wywołane ciężarem płynu wynosi:
    p = h ρ g . p = h ρ g .
    14.5

    Podstawiając gęstość wody z Tabeli 14.1 i przyjmując, że h h jest średnią głębokością, wynoszącą 40,0 m, otrzymujemy:
    p = 40,0 m 10 3 k g m 3 9,80 m s 2 = 3,92 10 5 N m 2 = 392 k P a . p = 40,0 m 10 3 k g m 3 9,80 m s 2 = 3,92 10 5 N m 2 = 392 k P a .
  2. Wcześniej obliczyliśmy wartość p p. Pole powierzchni tamy wynosi:
    A = 80,0 m 500 m = 4,00 10 4 m 2 , A=80,0 m 500 m =4,00 10 4 m 2 ,

    czyli
    F = 3,92 10 5 N m 2 4,00 10 4 m 2 = 1,57 10 10 N . F = 3,92 10 5 N m 2 4,00 10 4 m 2 = 1,57 10 10 N .

Znaczenie

Mimo że siła ta wydaje się ogromna, to jest ona niewielka w porównaniu z ciężarem wody w rezerwuarze ( 1,96 10 13 N 1,96 10 13 N ). W rzeczywistości stanowi ona jedynie 0,0800% tego ciężaru.

Sprawdź, czy rozumiesz 14.1

Czy tamę trzeba byłoby przeprojektować, gdyby rezerwuar w Przykładzie 14.1 obejmował dwa razy większą powierzchnię, ale miał tę samą głębokość?

Ciśnienie w płynie statycznym w jednorodnym polu grawitacyjnym

Płyn statyczny (ang. static fluid) to płyn, który nie jest w ruchu. W dowolnym punkcie wewnątrz niego, ciśnienie we wszystkich kierunkach musi być takie samo, bo w przeciwnym przypadku punkt ten zacząłby przyspieszać w odpowiedzi na działającą siłę wypadkową.

Ciśnienie w dowolnym punkcie płynu statycznego zależy jedynie od głębokości. Jak powiedzieliśmy wcześniej, ciśnienie w płynach w pobliżu powierzchni Ziemi zmienia się wraz z głębokością, w związku ze zmieniającym się ciężarem płynu ponad pewnym poziomem. W powyższym przykładzie założyliśmy, że gęstość jest stała i że średnia gęstość płynu dobrze oddaje gęstość lokalną. Jest to rozsądne przybliżenie dla płynów takich jak woda, na które musi działać duża siła, żeby zmienić ich objętość. Na przykład w basenie pływackim gęstość jest w przybliżeniu stała, a wodę na dnie tylko w niewielkim stopniu ściska woda znajdująca się powyżej. Jednak jeśli będziemy się poruszali w górę atmosfery, zetkniemy się z zupełnie inną sytuacją. Gęstość powietrza zaczyna zmieniać się istotnie już w niewielkiej odległości od powierzchni Ziemi.

Aby wyprowadzić wzór na zmianę ciśnienia z głębokością w zbiorniku zawierającym płyn o gęstości ρ ρ na powierzchni Ziemi, musimy rozpocząć od założenia, że gęstość płynu nie jest stała. Na płyn znajdujący się głębiej działają większe siły niż na ten znajdujący się w pobliżu powierzchni, co wynika z dodatkowego ciężaru płynu położonego powyżej. Z tego powodu ciśnienie obliczone na konkretnej głębokości jest inne niż ciśnienie obliczone przy założeniu stałej gęstości.

Wyobraźmy sobie cienki element płynu na głębokości h h, jak pokazano na Rysunku 14.8. Niech ma on pole powierzchni przekroju poprzecznego A A oraz wysokość Δ y Δ y . Siły działające na ten element związane są z ciśnieniem p ( y ) p(y) powyżej i ciśnieniem p ( y + Δ y ) p ( y + Δ y ) poniżej jego położenia. Ciężar samego elementu pokazany jest na oddzielnym rysunku.

Ilustracja A jest schematycznym rysunkiem cylindra wypełnionego płynem i otwartego na oddziaływanie atmosfery od góry. Dysk A o masie Delta m, powierzchni A, identycznej z powierzchnią cylindra oraz wysokością Delta y jest umieszczony wewnątrz płynu. Słup płynu o wysokości h jest umieszczony powyżej dysku. Ilustracja B jest schematycznym rysunkiem siły Delta m x g wywieranej przez dysk, p (y) x A wywieranej przez płyn powyżej dysku oraz p (y + Delta y) x A wywieranej przez płyn poniżej dysku.
Rysunek 14.8 Siły działające na element masy wewnątrz płynu. Ciężar elementu pokazany jest na oddzielnym rysunku.

Ponieważ element płynu pomiędzy y y a y + Δ y y + Δ y nie przyspiesza, siły muszą się równoważyć. W kartezjańskim układzie współrzędnych, którego oś y y jest skierowana ku górze, uzyskujemy następujące równanie ruchu elementu y y:

p ( y + Δ y ) A p ( y ) A g Δ m = 0 ( Δ y < 0 ) . p(y+Δy)Ap(y)AgΔm=0(Δy<0).
14.6

Zwróćmy uwagę, że gdyby ten element miał niezerową składową przyspieszenia wzdłuż osi y y, prawa strona nie wynosiłaby zero, lecz równałaby się iloczynowi masy i przyspieszenia w kierunku y y. Masę elementu możemy zapisać przy pomocy gęstości płynu i objętości elementu:

Δ m = | ρ A Δ y | = ρ A Δ y ( Δ y < 0 ) . Δ m = | ρ A Δ y | = ρ A Δ y ( Δ y < 0 ) .

Po wstawieniu wyrażenia na Δ m Δ m do Równania 14.6, a następnie podzieleniu obu stron przez A Δ y A Δ y , otrzymujemy:

p ( y + Δ y ) p ( y ) Δ y = ρ g . p ( y + Δ y ) p ( y ) Δ y = ρ g .
14.7

Przechodząc do granicy nieskończenie cienkiego elementu Δ y 0 Δ y 0 , uzyskujemy następujące równanie różniczkowe, które opisuje zmianę ciśnienia w płynie:

d p d y = ρ g . d p d y =ρg.
14.8

Równanie to pokazuje, że szybkość zmiany ciśnienia w płynie wraz z głębokością jest proporcjonalna do gęstości tego płynu. Rozwiązanie powyższego równania zależy od tego, czy gęstość ρ ρ jest stała, czy zmienia się wraz z głębokością, innymi słowy zależy od funkcji ρ ( y ) ρ(y).

Jeżeli zakres analizowanych głębokości nie jest zbyt duży, to możemy przyjąć założenie o stałej gęstości. Jeżeli zakres ten jest wystarczająco duży, aby ciśnienie znacząco się zmieniało, tak jak w przypadku atmosfery, to nastąpi znacząca zmiana gęstości wraz ze zmianą głębokości. W takim przypadku nie możemy przyjąć założenia o stałej gęstości.

Ciśnienie w płynie o stałej gęstości

Użyjmy Równania 14.9, aby wyprowadzić wzór na ciśnienie na głębokości h h liczonej od powierzchni zbiornika dla płynu, dla którego możemy założyć stałą gęstość, na przykład wody.

Schematyczny rysunek zlewki wypełnionej płynem do wysokości h. Płyn podlega ciśnieniu P0 równemu zero przy powierzchni oraz P przy dnie zlewki.

Musimy scałkować Równanie 14.9 w granicach od y = 0 y = 0 , gdzie ciśnienie jest ciśnieniem atmosferycznym p 0 p 0 , do y = h y=h:

p 0 p d p = 0 h ρ g d y p p 0 = ρ g h p = p 0 + ρ g h . p 0 p d p = 0 h ρ g d y p p 0 = ρ g h p = p 0 + ρ g h .
14.9

Oznacza to, że ciśnienie na pewnej głębokości płynu znajdującego się na powierzchni Ziemi jest równe ciśnieniu atmosferycznemu ρ g h ρ gh, jeżeli gęstość płynu jest stała na całej wysokości, jak pokazaliśmy wcześniej.

Zwróćmy uwagę, że ciśnienie w płynie zależy jedynie od głębokości liczonej od powierzchni płynu, niezależnie od kształtu pojemnika. W związku z tym w pojemniku, w którym płyn może się przemieszczać swobodnie, pozostaje on na tym samym poziomie w każdej części pojemnika niezależnie od jego kształtu, jak pokazano to na Rysunku 14.9.

Fotografia kilku pojemników o różnych kształtach połączonych przy dnie szklaną rurką, wypełnionych czerwonym płynem. Płyn znajduje się na tej samej wysokości we wszystkich pojemnikach.
Rysunek 14.9 Jeżeli płyn może przemieszczać się swobodnie pomiędzy częściami pojemnika, podnosi się do tej samej wysokości w każdej części. W zaprezentowanym pojemniku ciśnienie na dole każdej kolumny jest takie samo – gdyby było inaczej, to płyn przemieszczałby się do momentu wyrównania ciśnień.

Zmiany ciśnienia atmosferycznego wraz z wysokością

Zmiany ciśnienia atmosferycznego wraz z wysokością są szczególnie interesujące. Zakładając, że temperatura powietrza jest stała i że termodynamiczne prawo gazów doskonałych stanowi dobre jego przybliżenie, możemy obliczyć zmiany ciśnienia atmosferycznego wraz z wysokością. (Prawo gazów doskonałych omawiamy w późniejszym rozdziale, ale zakładamy, że Czytelnik zna je ze szkoły średniej.) Niech p ( y ) p(y) oznacza ciśnienie atmosferyczne na wysokości y y. Gęstość ρ ρ na wysokości y y, temperatura T T w skali Kelvina (K) oraz masa m m cząsteczek powietrza są powiązane z ciśnieniem całkowitym na mocy prawa gazów doskonałych w następujący sposób:

p = ρ k B T m , p=ρ k B T m ,
14.10

gdzie k B k B jest stałą Boltzmanna o wartości 1,38 10 23 J / K 1,38 10 23 J / K .

Być może spotkaliście się z prawem gazów doskonałych w postaci p V = n R T p V = n R T , gdzie n n jest liczbą moli, a R R stałą gazową. Tutaj to samo prawo zostało zapisane w innej postaci, z zastosowaniem gęstości ρ ρ zamiast objętości V V. Jeżeli ciśnienie p p zmienia się wraz z wysokością, to podobnie zmienia się gęstość ρ ρ. Po podstawieniu gęstości z prawa gazów doskonałych szybkość zmiany ciśnienia z wysokością przedstawimy jako:

d p d y = p m g k B T , d p d y =p m g k B T ,

gdzie stałe zostały zebrane w nawiasie. Po zastąpieniu tych stałych jednym symbolem α α , równanie przyjmuje znacznie prostszą postać:

d p d y = α p d p p = α d y p 0 p ( y ) d p p = 0 y α d y [ ln p ] p 0 p ( y ) = [ α y ] 0 y ln p ln p 0 = α y ln ( p p 0 ) = α y , d p d y = α p d p p = α d y p 0 p ( y ) d p p = 0 y α d y [ ln p ] p 0 p ( y ) = [ α y ] 0 y ln p ln p 0 = α y ln ( p p 0 ) = α y ,

z czego otrzymujemy rozwiązanie:

p ( y ) = p 0 e α y . p(y)= p 0 e α y .

Widzimy, że ciśnienie atmosferyczne spada wykładniczo wraz z wysokością, ponieważ oś y y skierowana jest ku górze, a y y przyjmuje wartości dodatnie dla warstw atmosfery powyżej poziomu morza. Ciśnienie spada o 1 / e 1/e, gdy wysokość zmienia się o 1 / α 1/α, co daje nam fizyczną interpretację α α. Stała 1 / α 1/α jest współczynnikiem charakteryzującym zmiany ciśnienia wraz z wysokością, nazywanym współczynnikiem strat ciśnienia.

Możemy uzyskać przybliżoną wartość α α, jeśli użyjemy masy cząsteczki azotu jako przybliżenia cząsteczki powietrza. W temperaturze 27 °C, 27 °C, , czyli 300 K, obliczamy:

α = m g k B T = 4,8 10 26 k g 9,81 m / s 2 1,38 10 23 J / K 300 K = 1 8800 1 m α= m g k B T = 4,8 10 26 k g 9,81 m / s 2 1,38 10 23 J / K 300 K = 1 8800 1 m

Czyli na każde 8800 m ciśnienie powietrza spada o 1 / e 1/e lub w przybliżeniu o jedną trzecią. Daje nam to jedynie ogólne pojęcie tego, co się dzieje naprawdę, ponieważ w naszych obliczeniach przyjęliśmy zarówno stałą temperaturę, jak i stałą wartość g g na całej rozważanej wysokości, tymczasem żadne z tych założeń nie jest w rzeczywistości spełnione.

Kierunek ciśnienia w płynie

Ciśnienie w płynie nie ma kierunku, ponieważ jest wartością skalarną, natomiast siły wywoływane przez nie mają wyraźnie określone kierunki: zawsze są przyłożone prostopadle do dowolnej powierzchni. Powodem tego jest fakt, że płyn nie może się opierać siłom ścinającym ani sam ich wywierać. W związku z tym w płynie statycznym znajdującym się w naczyniu siła na jego ściany jest skierowana prostopadle do powierzchni wewnętrznej. Podobnie ciśnienie oddziałuje prostopadle do powierzchni dowolnego przedmiotu umieszczonego w płynie. Rysunek 14.10 przedstawia ciśnienie wywierane przez powietrze na ściany opony oraz przez wodę na ciało pływaka.

Ilustracja (a) przedstawia schematyczny rysunek opony wypełnionej powietrzem. Ciśnienie wewnątrz opony powoduje, że powietrze wywiera siłę prostopadłą do wszystkich powierzchni, z którymi jest w kontakcie, łącznie z zaworem. Na ilustracji (b) przedstawiono schematyczny rysunek pływaka pod wodą. Woda oddziałuje na wszystkie powierzchnie pływaka, wypadkowa siła wyporu działa na pływaka ku górze.
Rysunek 14.10 (a) Sprężone powietrze wewnątrz opony oddziałuje siłami prostopadłymi do wszystkich powierzchni, z którymi jest w kontakcie. Strzałki przedstawiają kierunki i wartości sił w różnych punktach. (b) Siła wywierana przez wodę jest prostopadła do wszystkich powierzchni pływaka, ponieważ wpłynęłaby w miejsce przez niego zajmowane, gdyby go tam nie było. Strzałki przedstawiają kierunki i wartości sił wywieranych na pływaka w różnych miejscach.
Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Creative Commons Attribution License , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
Cytowanie

© 2 mar 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Creative Commons Attribution License . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.