William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Zadania dodatkowe

59.

Gwiazda neutronowa jest zimną, zapadniętą pod wpływem własnej grawitacji gwiazdą o gęstości równej gęstości jądra atomowego. Typowa gwiazda neutronowa ma masę dwa razy większą od masy Słońca i promień 12 km.

Jaki byłby ciężar astronauty o masie 100 kg stojącego na jej powierzchni?
Jaki wypływa stąd wniosek o możliwości odwiedzenia gwiazdy neutronowej?

60.

W jakiej odległości od środka Ziemi musi znajdować się ciało, aby działająca na nie wypadkowa siła grawitacji Ziemi i Księżyca była równa zero?
Podstawienie równych wartości obu sił skutkuje dwoma wynikami otrzymanymi z rozwiązania równania kwadratowego. Czy rozumiesz, dlaczego z równania otrzymałeś dwa wyniki, ale tylko jedna z tych odległości ma sens fizyczny?

61.

W jakiej odległości od środka Słońca musi znajdować się statek kosmiczny, aby działająca na niego wypadkowa siła grawitacji Ziemi i Słońca była równa zero?

62.

Oblicz wartość przyspieszenia grawitacyjnego $g$ na powierzchni Ziemi, gdyby nastąpiły następujące zmiany jej własności:

całkowita masa wzrosłaby dwukrotnie, a promień zmniejszyłby się o połowę;
gęstość masy by się podwoiła, a długość promienia pozostałaby niezmieniona;
gęstość masy zmniejszyłaby się o połowę, a całkowita masa pozostałaby bez zmian.

63.

Załóżmy, że możesz komunikować się z mieszkańcami planety w innym układzie słonecznym. Mówią ci oni, że średnica i masa ich planety wynoszą odpowiednio $5 \cdot 10^{3} k m$ oraz $3,6 \cdot 10^{23} k g$ . Dowiadujesz się także, że rekord skoku wzwyż wynosi u nich 2 m. Biorąc pod uwagę fakt, że ten rekord jest bliski ziemskiemu rekordowi skoku wzwyż wynoszącemu 2,4 m, co mógłbyś powiedzieć na temat sprawności fizycznej swoich pozaziemskich przyjaciół?

64.

Załóżmy, że zmierzyłeś swój ciężar na równiku pewnej planety i okazało się, że jest on tylko połową twojego ciężaru na jej biegunie. Masa i średnica tej planety są takie same, jak w przypadku Ziemi. Jaki jest okres obrotu tej planety?
Czy w obliczeniach powinieneś uwzględnić kształt tej planety?

65.

Ciało o masie 100 kg zostało zważone na biegunie północnym i na równiku za pomocą wagi sprężynowej. Jakie było jej wskazanie w tych dwóch punktach? Załóż, że $g = 9,83 {m/s}^{2}$ na biegunie.

66.

Oblicz prędkość potrzebną do ucieczki z Układu Słonecznego, startując z powierzchni Ziemi. Nie uwzględniaj wpływu innych ciał oraz faktu, że Ziemia porusza się po swojej orbicie. [Wskazówka: Nie można użyć Równania 13.6. Skorzystaj z Równania 13.5 i uwzględnij energię potencjalną oddziaływania grawitacyjnego zarówno Ziemi, jak i Słońca.]

67.

Rozważ poprzednie zadanie i tym razem uwzględnij fakt, że prędkość Ziemi na orbicie wokół Słońca wynosi 29,8 km/s.

Jaka prędkość względem Ziemi będzie potrzebna i w jakim kierunku należy opuścić Ziemię, by opuścić nasz Układ Słoneczny?
Jaki będzie kształt trajektorii?

68.

Kometa znajduje się w odległości 1,5 j.a. od Słońca i porusza się z prędkością 24,3 km/s. Czy jest ona związana grawitacyjnie ze Słońcem?

69.

Pewna asteroida znajduje się w odległości 2 j.a. od Słońca i porusza się z prędkością 15,5 km/s. Jej peryhelium znajduje się w odległości 0,4 j.a. od Słońca. Ile wynosi jej prędkość w tym punkcie?

70.

Odpady kosmiczne, pozostawione na orbicie stare satelity i ich wyrzutnie stają się zagrożeniem dla innych satelitów.

Oblicz prędkość orbitalną satelity znajdującego się 900 km nad powierzchnią Ziemi.
Załóżmy, że swobodny nit znajduje się na orbicie o tym samym promieniu, która przecina orbitę satelity pod kątem $90^{\circ}$ . Ile wynosi prędkość nitu względem satelity tuż przed uderzeniem?
Jeśli masa nitu wynosi 0,5 g, i po zderzeniu pozostaje on w satelicie, to ile energii wydziela się w trakcie zderzenia? (Załóż, że prędkość satelity po zderzeniu nie zmienia się znacznie, ponieważ jego masa jest znacznie większa niż masa nitu.)

71.

Satelita o masie 1000 kg znajduje się na orbicie kołowej wokół Ziemi. Promień orbity satelity jest równy dwukrotności promienia Ziemi.

Ile wynosi odległość satelity od środka Ziemi?
Oblicz energię kinetyczną, potencjalną i całkowitą satelity.

72.

Po tym, jak Ceres został uznany za planetę karłowatą, przyjmujemy, że największą znaną asteroidą jest Vesta. Jej masa wynosi $2,67 \cdot 10^{20} k g$ , a średnica mieści się w przedziale od 578 km do 458 km. Zakładając, że Vesta jest w przybliżeniu sferycznie symetryczna, a jej promień wynosi 260 km, oblicz przybliżoną prędkość ucieczki z jej powierzchni.

73.

Oblicz, ile wynosiłby okres orbitalny sondy kosmicznej krążącej po orbicie kołowej na wysokości 10 km nad powierzchnią asteroidy Vesta? Skorzystaj z danych podanych w poprzednim zadaniu.
Dlaczego, delikatnie mówiąc, obliczenia te są bezużyteczne?

74.

Obliczmy prędkość orbitalną naszego Układu Słonecznego wokół centrum Drogi Mlecznej. Załóżmy, że masa wszystkich ciał, znajdujących się wewnątrz objętości ograniczonej promieniem równym naszej odległości od środka galaktyki, wynosi około 100 miliardów mas Słońca. Nasza odległość od centrum Drogi Mlecznej wynosi 26 000 lat świetlnych.

75.

Na podstawie informacji z poprzedniego zadania oblicz, jaką prędkość trzeba osiągnąć, aby uciec z oddziaływania grawitacyjnego Drogi Mlecznej z naszej obecnej pozycji (tzw. czwartą prędkość kosmiczną)?
Czy musiałbyś zwrócić uwagę na ustawienie kierunku prędkości statku kosmicznego, względem prędkości orbitalnej Ziemi w momencie startu?

76.

Mimośród orbity kołowej w równaniu krzywych stożkowych (Równanie 13.10) jest równy zero. Na tej podstawie oraz korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona zastosowanej do przyspieszenia dośrodkowego wykaż, że wartość $α$ w Równaniu 13.10 wynosi $α = \frac{L^{2}}{G M m^{2}}$ , gdzie $L$ jest momentem pędu orbitującego ciała. Wartość $α$ jest stała i opisana tym wyrażeniem niezależnie od rodzaju orbity.

77.

Pokaż, że gdy wartość mimośrodu w równaniu krzywych stożkowych (Równanie 13.10) jest równa jeden, to tor ciała jest parabolą. Aby to wykazać przejdź z układu współrzędnych biegunowych, $r θ$ , do kartezjańskiego układu współrzędnych $x y$ i pokaż, że równanie to ma ogólną postać równania paraboli w układzie kartezjańskim, czyli $x = a y^{2} + b y + c$ .

78.

Korzystając z techniki przedstawionej w podrozdziale Orbity satelitów i ich energia pokaż, że dwie masy $m_{1}$ i $m_{2}$ , poruszające się po orbitach kołowych wokół ich wspólnego środka masy mają całkowitą energię równą $E_{K} + U = E_{K 1} + E_{K 2} - \frac{G m_{1} m_{2}}{r} = - \frac{G m_{1} m_{2}}{2 r}$ . Wyraźnie pokazaliśmy energię kinetyczną obu mas. (Wskazówka: Promienie orbit tych mas wynoszą odpowiednio $r_{1}$ i $r_{2}$ , a $r = r_{1} + r_{2}$ . Uważaj, aby nie pomylić promienia występującego we wzorze na przyspieszenie dośrodkowe, z promieniem występującym we wzorze na siłę grawitacji).

79.

Znając odległość peryhelium $p$ i aphelium $q$ orbity eliptycznej ciała, pokaż, że jego prędkość w peryhelium, $v_{p}$ , jest dana równaniem $v_{p} = \sqrt{\frac{2 G M_{S}}{(q + p)} \frac{q}{p}}$ . (Wskazówka: Skorzystaj z zasady zachowania momentu pędu, by powiązać prędkości $v_{p}$ i $v_{q}$ , a następnie podstaw tę zależność do równania zasady zachowania energii).

80.

Odległość peryhelium komety P/1999 R1 od Słońca wynosi 0,0570 j.a., a odległość jej aphelium wynosi 4,99 j.a.. Wykorzystując wyniki z poprzedniego zadania, oblicz jej prędkość w aphelium.(Wskazówka: Prędkość wyznaczona w poprzednim zadaniu określa prędkość ciała w peryhelium. Skorzystaj z symetrii zagadnienia, aby napisać wyrażenie na prędkość tej komety w aphelium. Alternatywnie możesz wyznaczyć tę prędkość analogicznie jak w poprzednim zadaniu).