Zadania trudniejsze
Przez środek idealnie sferycznej i pozbawionej atmosfery planety, o jednorodnej gęstości i promieniu R, przekopano tunel. Korzystając z wyrażenia na g podanego w podrozdziale Grawitacja przy powierzchni Ziemi pokaż, że ciało o masie m wrzucone do tunelu będzie poruszało się ruchem harmonicznym. Wyprowadź wzór na okres drgań masy m i pokaż, że jest on równy okresowi ruchu ciała po orbicie o promieniu równym promieniowi tej planety.
Korzystając ze sposobu pokazanego w podrozdziale Grawitacja przy powierzchni Ziemi, znajdź zależność g jako funkcję odległości r od środka powłoki kulistej planety. Załóż, że powłoka ma stałą gęstość ρ, jej promień wewnętrzny na długość Rwew , a promień zewnętrzny ma długość Rzew . Znajdź zależność g(r) zarówno dla Rwew<r<Rzew, jak i dla r<Rwew. Zakładając, że we wnętrzu powłoki planety jest próżnia, opisz jak wyobrażasz sobie podróż przez jej wnętrze.
Pokaż, że prędkość polowa ciała na orbicie kołowej o promieniu r wokół gwiazdy o masie M wynosi ΔSΔt=12√GMr. Czy to wyrażenie daje prawidłową wartość prędkości polowej Ziemi wokół Słońca?
Pokaż, że okres orbitalny dwóch ciał o masach m1 i m2, znajdujących sie na orbitach kołowych o promieniach równych odpowiednio r1 i r2, wokół ich wspólnego środka masy jest dany równaniem T=2π√r3G(m1+m2), gdzie r=r1+r2. (Wskazówka: Ciała poruszają się po orbitach o promieniach odpowiednio r1 i r2, gdzie r=r1+r2. Użyj wyrażenia na środek masy, aby powiązać oba promienie i zauważ, że oba ciała muszą mieć równe co do wartości, ale przeciwnie skierowane pędy. Zacznij od związku łączącego okres obiegu z obwodem i prędkością orbitalną dla jednego z ciał. Wykorzystaj wynik z poprzedniego zadania, podstawiając pęd w wyrażeniach na energię kinetyczną).
Pokaż, że dla małych zmian wysokości h, takich że h≪RZ, Równanie 13.4 redukuje się do wyrażenia ΔU=mgh.
Na podstawie Ilustracji 13.9, narysuj wszystkie siły działające na wahadło matematyczne o masie m znajdujące się na szerokości geograficznej φ. Zapisz równanie ruchu wahadła, przyjmując kierunek jednej współrzędnej w stanie równowagi zgodny z kierunkiem przyspieszenia dośrodkowego (do punktu P na rysunku) i drugą współrzędną prostopadłą do niego. Udowodnij, że kąt odchylenia wahadła ε, zdefiniowany jako kąt pomiędzy nicią wahadła a kierunkiem promienia Ziemi, jest wyrażony wzorem tg(φ+ε)=gg−ω2RZtgφ, gdzie ω jest prędkością ruchu obrotowego Ziemi. Załóż, że Ziemia jest idealną kulą. Ile wynosi kąt odchylenia wahadła na szerokości geograficznej 45 stopni?
- Pokaż, że siła pływowa wywierana na małe ciało o masie m, zdefiniowana jako różnica sił grawitacyjnych działających na bliższą i dalszą źródłu pola grawitacyjnego część tego ciała, dana jest równaniem Fpływowa=2GMmR3Δr, gdzie R jest odległością małego ciała o masie m od ciała o masie M będącego źródłem pola grawitacyjnego, Δr jest średnicą małego ciała i Δr≪R.
- Wyobraź sobie, że wpadasz w czarną dziurę znajdującą się w centrum naszej galaktyki w ten sposób, że jesteś skierowany stopami ku osobliwości. Czarna dziura ma masę równą 4 milionom mas Słońca. Ile wynosiłaby siła pływowa pomiędzy twoją głową a twoimi stopami w momencie, gdy znalazłbyś się na promieniu Schwarzschilda (horyzoncie zdarzeń) czarnej dziury? Załóż, że nogi i głowa mają masę 5,0 kg i są oddalone od siebie o 2 m. Czy przeżyłbyś przejście przez horyzont zdarzeń?
Oblicz zmiany prędkości wymagane do wykonania manewru transferowego Hoffmana ΔvZiemi i ΔvMarsa w trakcie podróży z Ziemi na Marsa. Skorzystaj z Równania 13.7 by obliczyć prędkości orbitalne dla prawie kołowych orbit Ziemi i Marsa. Na podstawie Równania 13.4 i energii całkowitej na orbicie eliptycznej (której długość półosi wielkiej wynosi a ), danej równaniem E=−GmMs2a, oblicz prędkości na orbicie transferowej na Ziemi (znajdującej się w peryhelium elipsy) i na Marsie (znajdującym się w aphelium elipsy). Różnica prędkości Δv w każdym z tych punktów jest szukaną prędkością konieczną do wejścia na orbitę transferową na Ziemi i zejścia z niej na Marsie.