Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/fonts/TeX/fontdata.js
Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax

Zadania trudniejsze

81.

Przez środek idealnie sferycznej i pozbawionej atmosfery planety, o jednorodnej gęstości i promieniu R, przekopano tunel. Korzystając z wyrażenia na g podanego w podrozdziale Grawitacja przy powierzchni Ziemi pokaż, że ciało o masie m wrzucone do tunelu będzie poruszało się ruchem harmonicznym. Wyprowadź wzór na okres drgań masy m i pokaż, że jest on równy okresowi ruchu ciała po orbicie o promieniu równym promieniowi tej planety.

82.

Korzystając ze sposobu pokazanego w podrozdziale Grawitacja przy powierzchni Ziemi, znajdź zależność g jako funkcję odległości r od środka powłoki kulistej planety. Załóż, że powłoka ma stałą gęstość ρ, jej promień wewnętrzny na długość Rwew , a promień zewnętrzny ma długość Rzew . Znajdź zależność g(r) zarówno dla Rwew<r<Rzew, jak i dla r<Rwew. Zakładając, że we wnętrzu powłoki planety jest próżnia, opisz jak wyobrażasz sobie podróż przez jej wnętrze.

83.

Pokaż, że prędkość polowa ciała na orbicie kołowej o promieniu r wokół gwiazdy o masie M wynosi ΔSΔt=12GMr. Czy to wyrażenie daje prawidłową wartość prędkości polowej Ziemi wokół Słońca?

84.

Pokaż, że okres orbitalny dwóch ciał o masach m1 i m2, znajdujących sie na orbitach kołowych o promieniach równych odpowiednio r1 i r2, wokół ich wspólnego środka masy jest dany równaniem T=2πr3G(m1+m2), gdzie r=r1+r2. (Wskazówka: Ciała poruszają się po orbitach o promieniach odpowiednio r1 i r2, gdzie r=r1+r2. Użyj wyrażenia na środek masy, aby powiązać oba promienie i zauważ, że oba ciała muszą mieć równe co do wartości, ale przeciwnie skierowane pędy. Zacznij od związku łączącego okres obiegu z obwodem i prędkością orbitalną dla jednego z ciał. Wykorzystaj wynik z poprzedniego zadania, podstawiając pęd w wyrażeniach na energię kinetyczną).

85.

Pokaż, że dla małych zmian wysokości h, takich że hRZ, Równanie 13.4 redukuje się do wyrażenia ΔU=mgh.

86.

Na podstawie Ilustracji 13.9, narysuj wszystkie siły działające na wahadło matematyczne o masie m znajdujące się na szerokości geograficznej φ. Zapisz równanie ruchu wahadła, przyjmując kierunek jednej współrzędnej w stanie równowagi zgodny z kierunkiem przyspieszenia dośrodkowego (do punktu P na rysunku) i drugą współrzędną prostopadłą do niego. Udowodnij, że kąt odchylenia wahadła ε, zdefiniowany jako kąt pomiędzy nicią wahadła a kierunkiem promienia Ziemi, jest wyrażony wzorem tg(φ+ε)=ggω2RZtgφ, gdzie ω jest prędkością ruchu obrotowego Ziemi. Załóż, że Ziemia jest idealną kulą. Ile wynosi kąt odchylenia wahadła na szerokości geograficznej 45 stopni?

87.
  1. Pokaż, że siła pływowa wywierana na małe ciało o masie m, zdefiniowana jako różnica sił grawitacyjnych działających na bliższą i dalszą źródłu pola grawitacyjnego część tego ciała, dana jest równaniem Fpływowa=2GMmR3Δr, gdzie R jest odległością małego ciała o masie m od ciała o masie M będącego źródłem pola grawitacyjnego, Δr jest średnicą małego ciała i ΔrR.
  2. Wyobraź sobie, że wpadasz w czarną dziurę znajdującą się w centrum naszej galaktyki w ten sposób, że jesteś skierowany stopami ku osobliwości. Czarna dziura ma masę równą 4 milionom mas Słońca. Ile wynosiłaby siła pływowa pomiędzy twoją głową a twoimi stopami w momencie, gdy znalazłbyś się na promieniu Schwarzschilda (horyzoncie zdarzeń) czarnej dziury? Załóż, że nogi i głowa mają masę 5,0 kg i są oddalone od siebie o 2 m. Czy przeżyłbyś przejście przez horyzont zdarzeń?
88.

Oblicz zmiany prędkości wymagane do wykonania manewru transferowego Hoffmana ΔvZiemi i ΔvMarsa w trakcie podróży z Ziemi na Marsa. Skorzystaj z Równania 13.7 by obliczyć prędkości orbitalne dla prawie kołowych orbit Ziemi i Marsa. Na podstawie Równania 13.4 i energii całkowitej na orbicie eliptycznej (której długość półosi wielkiej wynosi a ), danej równaniem E=GmMs2a, oblicz prędkości na orbicie transferowej na Ziemi (znajdującej się w peryhelium elipsy) i na Marsie (znajdującym się w aphelium elipsy). Różnica prędkości Δv w każdym z tych punktów jest szukaną prędkością konieczną do wejścia na orbitę transferową na Ziemi i zejścia z niej na Marsie.

Cytowanie i udostępnianie

Ten podręcznik nie może być wykorzystywany do trenowania sztucznej inteligencji ani do przetwarzania przez systemy sztucznej inteligencji bez zgody OpenStax lub OpenStax Poland.

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.