Rozdz. 13 Zadania trudniejsze - Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1

Zadania trudniejsze

81.

Przez środek idealnie sferycznej i pozbawionej atmosfery planety, o jednorodnej gęstości i promieniu $R$ , przekopano tunel. Korzystając z wyrażenia na $g$ podanego w podrozdziale Grawitacja przy powierzchni Ziemi pokaż, że ciało o masie $m$ wrzucone do tunelu będzie poruszało się ruchem harmonicznym. Wyprowadź wzór na okres drgań masy m i pokaż, że jest on równy okresowi ruchu ciała po orbicie o promieniu równym promieniowi tej planety.

82.

Korzystając ze sposobu pokazanego w podrozdziale Grawitacja przy powierzchni Ziemi, znajdź zależność $g$ jako funkcję odległości $r$ od środka powłoki kulistej planety. Załóż, że powłoka ma stałą gęstość $ρ$ , jej promień wewnętrzny na długość _{$R_{wew}$}, a promień zewnętrzny ma długość _{$R_{zew}$}. Znajdź zależność $g (r)$ zarówno dla $R_{wew} < r < R_{zew}$ , jak i dla $r < R_{wew}$ . Zakładając, że we wnętrzu powłoki planety jest próżnia, opisz jak wyobrażasz sobie podróż przez jej wnętrze.

83.

Pokaż, że prędkość polowa ciała na orbicie kołowej o promieniu $r$ wokół gwiazdy o masie $M$ wynosi $\frac{Δ S}{Δ t} = \frac{1}{2} \sqrt{G M r}$ . Czy to wyrażenie daje prawidłową wartość prędkości polowej Ziemi wokół Słońca?

84.

Pokaż, że okres orbitalny dwóch ciał o masach $m_{1}$ i $m_{2}$ , znajdujących sie na orbitach kołowych o promieniach równych odpowiednio $r_{1}$ i $r_{2}$ , wokół ich wspólnego środka masy jest dany równaniem $T = 2 π \sqrt{\frac{r^{3}}{G (m_{1} + m_{2})}}$ , gdzie $r = r_{1} + r_{2}$ . (Wskazówka: Ciała poruszają się po orbitach o promieniach odpowiednio $r_{1}$ i $r_{2}$ , gdzie $r = r_{1} + r_{2}$ . Użyj wyrażenia na środek masy, aby powiązać oba promienie i zauważ, że oba ciała muszą mieć równe co do wartości, ale przeciwnie skierowane pędy. Zacznij od związku łączącego okres obiegu z obwodem i prędkością orbitalną dla jednego z ciał. Wykorzystaj wynik z poprzedniego zadania, podstawiając pęd w wyrażeniach na energię kinetyczną).

85.

Pokaż, że dla małych zmian wysokości $h$ , takich że $h ≪ R_{Z}$ , Równanie 13.4 redukuje się do wyrażenia $Δ U = m g h$ .

86.

Na podstawie Ilustracji 13.9, narysuj wszystkie siły działające na wahadło matematyczne o masie $m$ znajdujące się na szerokości geograficznej φ. Zapisz równanie ruchu wahadła, przyjmując kierunek jednej współrzędnej w stanie równowagi zgodny z kierunkiem przyspieszenia dośrodkowego (do punktu $P$ na rysunku) i drugą współrzędną prostopadłą do niego. Udowodnij, że kąt odchylenia wahadła $ε$ , zdefiniowany jako kąt pomiędzy nicią wahadła a kierunkiem promienia Ziemi, jest wyrażony wzorem $tg (φ + ε) = \frac{g}{g - ω^{2} R_{Z}} tg φ$ , gdzie $ω$ jest prędkością ruchu obrotowego Ziemi. Załóż, że Ziemia jest idealną kulą. Ile wynosi kąt odchylenia wahadła na szerokości geograficznej 45 stopni?

87.

Pokaż, że siła pływowa wywierana na małe ciało o masie $m$ , zdefiniowana jako różnica sił grawitacyjnych działających na bliższą i dalszą źródłu pola grawitacyjnego część tego ciała, dana jest równaniem $F_{pływowa} = \frac{2 G M m}{R^{3}} Δ r$ , gdzie $R$ jest odległością małego ciała o masie $m$ od ciała o masie $M$ będącego źródłem pola grawitacyjnego, $Δ r$ jest średnicą małego ciała i $Δ r ≪ R$ .
Wyobraź sobie, że wpadasz w czarną dziurę znajdującą się w centrum naszej galaktyki w ten sposób, że jesteś skierowany stopami ku osobliwości. Czarna dziura ma masę równą 4 milionom mas Słońca. Ile wynosiłaby siła pływowa pomiędzy twoją głową a twoimi stopami w momencie, gdy znalazłbyś się na promieniu Schwarzschilda (horyzoncie zdarzeń) czarnej dziury? Załóż, że nogi i głowa mają masę 5,0 kg i są oddalone od siebie o 2 m. Czy przeżyłbyś przejście przez horyzont zdarzeń?

88.

Oblicz zmiany prędkości wymagane do wykonania manewru transferowego Hoffmana $Δ v_{Ziemi}^{}$ i $Δ v_{Marsa}^{}$ w trakcie podróży z Ziemi na Marsa. Skorzystaj z Równania 13.7 by obliczyć prędkości orbitalne dla prawie kołowych orbit Ziemi i Marsa. Na podstawie Równania 13.4 i energii całkowitej na orbicie eliptycznej (której długość półosi wielkiej wynosi $a$ ), danej równaniem $E = - \frac{G m M_{s}}{2 a^{}}$ , oblicz prędkości na orbicie transferowej na Ziemi (znajdującej się w peryhelium elipsy) i na Marsie (znajdującym się w aphelium elipsy). Różnica prędkości $Δ v$ w każdym z tych punktów jest szukaną prędkością konieczną do wejścia na orbitę transferową na Ziemi i zejścia z niej na Marsie.