13.1 Prawo powszechnego ciążenia

Historia teorii grawitacji

Pierwsi filozofowie zastanawiali się, dlaczego ciała mają naturalną tendencję do spadania na ziemię. Arystoteles (384–322 p.n.e.) wierzył, że z natury skała szuka Ziemi, a ogień z natury szuka niebios. Brahmagupta (598~665) postulował, że Ziemia jest kulą i wszystkie ciała pozostają do niej w naturalnym powinowactwie, spadając w kierunku jej środka niezależnie od tego, gdzie się znajdują.

Ruch Słońca, Księżyca i planet także był badany przez tysiące lat. Ruchy te z zadziwiającą dokładnością zostały opisane przez Ptolemeusza (100~170), którego teoria geocentryczna (wszystkie ciała niebieskie krążą wokół Ziemi) przedstawiała trajektorię planet, jako punktów krążących po mniejszych okręgach (epicyklach), których środki z kolei krążą po większych okręgach (deferentach) wokół Ziemi. Aż do XVII wieku brak było jednak jasnych wywodów, w których ktokolwiek powiązałby ruch ciał niebieskich z ruchem ciał spadających na Ziemię.

Mikołaj Kopernik (1473–1543) jest powszechnie uznawany za pierwszą osobę, która sprzeciwiła się geocentrycznemu systemowi Ptolemeusza, sugerując system heliocentryczny, w którym to Słońce jest w centrum Układu Słonecznego. Idea ta została poparta przez niesamowicie precyzyjne pomiary ruchu planet dokonane gołym okiem przez Tychona Brahe (1546–1601) oraz ich analizę przeprowadzoną przez Johannesa Keplera (1571–1630) i Galileusza (1564–1642). Kepler pokazał, że planety poruszają się po elipsach (pierwsze z jego praw omawiane w podrozdziale Prawa Keplera), a Robert Hooke (1635–1703) (ten sam, który sformułował prawo Hooke’a dotyczące sprężystości) intuicyjnie zasugerował, że ruchy te wynikają z przyciągania planet przez Słońce. Jednak to Isaac Newton (1642–1727) powiązał przyspieszenie ciał w pobliżu powierzchni Ziemi z przyspieszeniem dośrodkowym Księżyca na orbicie okołoziemskiej.

Na koniec w podrozdziale Teoria grawitacji Einsteina, przyjrzymy się teorii względności zaproponowanej przez Alberta Einsteina (1879–1955) w 1916 roku. Jego teoria wywodzi się z zupełnie innego podejścia, w którym grawitacja wynika z faktu, że masa zakrzywia czas i przestrzeń. W konsekwencji jego teoria dała początek wielu niezwykłym przewidywaniom, z których zasadniczo wszystkie zostały potwierdzone w ciągu wielu dziesięcioleci po jej opublikowaniu (jednym z tych przewidywań jest także detekcja fal grawitacyjnych, pochodzących z połączenia się dwóch czarnych dziur w roku 2015).

Prawo powszechnego ciążenia

Newton zauważył, że ciała przy powierzchni Ziemi (znajdujące się w odległości $R_Z$ od środka Ziemi) spadają swobodnie z przyspieszeniem $g$ a przyspieszenie dośrodkowe Księżyca, znajdującego się w odległości około $60R_Z$, jest około ${60}^2$ razy mniejsze niż $g$. Mógł to wyjaśnić zakładając, że pomiędzy dowolnymi dwoma ciałami istnieje siła, której wartość jest proporcjonalna do iloczynu mas tych ciał, podzielonego przez kwadrat odległości między nimi. Dzisiaj wiemy, że odwrotna proporcjonalność do kwadratu odległości jest powszechna w przyrodzie dla źródeł punktowych. Siła, pochodząca od dowolnego źródła punktowego, rozkłada się równomiernie na powierzchni kuli o promieniu $r$, której środek znajduje się w punkcie, w którym zlokalizowane jest źródło. Powierzchnia tej kuli jest proporcjonalna do $r^2$. W późniejszych rozdziałach zobaczymy tę samą zależność od odległości dla elektrostatycznej siły kulombowskiej.

Jak widać na Ilustracji 13.2, wektor ${\overrightarrow{F}}_{12}$ jest skierowany od ciała 1 do ciała 2 i reprezentuje siłę przyciągania między ciałami. Równy co do wartości, ale o przeciwnym zwrocie, wektor ${\overrightarrow{F}}_{21}$ reprezentuje siłę grawitacji wywieraną na ciało 2 przez ciało 1.

Ilustracja 13.2 Siła grawitacji działająca wzdłuż prostej łączącej środki mas dwóch ciał.

Te dwie równe co do wartości lecz przeciwnie skierowane siły odzwierciedlają trzecią zasadę dynamiki Newtona, która była omawiana wcześniej. Należy zwrócić uwagę, że ściślej rzecz ujmując, Równanie 13.1 odnosi się do mas punktowych — cała masa zlokalizowana jest w jednym punkcie. Jednak wzór ten można zastosować także do dowolnych ciał o symetrii sferycznej, gdzie $r$ jest odległością między środkami mas tych ciał. W wielu przypadkach równanie to można zastosować także dla niesymetrycznych ciał, jeśli tylko odległość między nimi jest wystarczająco duża w porównaniu do ich rozmiarów. Wówczas można przyjąć, że $r$ jest odległością między środkami mas tych ciał. W takim przypadku ciała te możemy traktować jak obiekty punktowe.

Doświadczenie Cavendisha

Prawie wiek później, po tym jak Newton ogłosił prawo powszechnego ciążenia, Henry Cavendish (1731–1810) wyznaczył stałą proporcjonalności $G$, przeprowadzając żmudny eksperyment. Skonstruował on urządzenie podobne do przedstawionego na Ilustracji 13.3. W stanie równowagi, dwie sztywno zamocowane duże masy umieszczone są symetrycznie w pobliżu dwóch mniejszych mas zawieszonych na skrętnej nici. Przyciąganie grawitacyjne między masami powoduje skręcenie nici, którego wartość można zmierzyć.

Stała $G$ nazywana jest uniwersalną stałą grawitacji (ang. universal gravitational constant), a jej wartość wyznaczona przez Cavendisha wynosi $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2\text{/}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^2$. Określenie „uniwersalna” bierze się stąd, że naukowcy uważają, iż stała ta odnosi się do wszystkich mas niezależnie od ich składu oraz że ma ona tę samą wartość w całym Wszechświecie. Wartość stałej $G$ jest niezwykle mała, co świadczy o tym, że siła grawitacji jest bardzo słaba. Siła przyciągania między ciałami o masie tak małej jak nasze ciała, czy nawet budynki, jest nieprawdopodobnie mała. Na przykład dwa ciała o masie 1 kg oddalone od siebie o 1 metr oddziałują na siebie siłą $\mathrm{6,7}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}$. Jest to ciężar typowego ziarnka pyłku kwiatowego.

Ilustracja 13.3 Cavendish wykorzystywał urządzenie podobne do przedstawionego na rysunku, aby zmierzyć przyciąganie grawitacyjne między dwiema kulami ($m$), powieszonymi na skrętnej nici i dwiema nieruchomymi kulami ($M$). Jest to typowy eksperyment przeprowadzany w laboratoriach studenckich. Wbrew pozorom jest on jednak dość wymagający. Pojazdy przejeżdżające na zewnątrz laboratorium mogą powodować wibracje, które skutecznie zakłócą pomiar siły grawitacji.

Pomimo że grawitacja jest najsłabszą z czterech podstawowych sił przyrody, jej działanie utrzymuje nas na Ziemi, powoduje ruch planet po orbitach wokół Słońca, ruch Słońca wokół środka masy naszej galaktyki oraz łączy od kilku milionów galaktyk w gromady galaktyk. Grawitacja jest siłą formującą Wszechświat.

Przykład 13.1

Zderzenie na orbicie

Rozważmy przypadek dwóch prawie sferycznych pojazdów kosmicznych znajdujących się na pewnej orbicie wokół Ziemi, każdy o masie 9000 kg i średnicy 4 m. Początkowo znajdują się one w spoczynku względem siebie, a odległość między ich środkami mas wynosi 10 m. (Jak zobaczymy w podrozdziale Prawa Keplera, oba pojazdy orbitują wokół Ziemi z tą samą prędkością i oddziałują ze sobą prawie tak samo, jakby znajdowały się w przestrzeni kosmicznej). Wyznacz siłę grawitacji działającą między nimi i ich przyspieszenie początkowe. Oszacuj przez jaki czas będą one dryfować razem, i jak szybko będą poruszać się w momencie zderzenia.

Strategia rozwiązania

Skorzystamy z prawa powszechnego ciążenia, by wyznaczyć siłę działającą między nimi, a następnie użyjemy drugiej zasady dynamiki Newtona, by znaleźć przyspieszenie każdego z pojazdów. Do oszacowania założymy, że ich przyspieszenie jest stałe i użyjemy równań dla ruchu jednostajnie przyspieszonego z rozdziału Ruch prostoliniowy, aby znaleźć czas trwania ruchu i ich prędkość w momencie kolizji.

Rozwiązanie

Wartość siły grawitacji między pojazdami wynosi:

$$\left|{\overrightarrow{F}}_{12}\right|=F_{12}=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\frac{\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2}{\mathrm{k}\mathrm{g}}\cdot \frac{9000\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 9000\mathrm{k}\mathrm{g}}{(10\mathrm{m}{)}^2}=\mathrm{5,4}\cdot {10}^{-5}\mathrm{N}.$$

Przyspieszenie początkowe każdego z pojazdów wynosi:

$$a=\frac{F}{m}=\frac{\mathrm{5,4}\cdot {10}^{-5}\mathrm{N}}{9000\mathrm{k}\mathrm{g}}=6\cdot {10}^{-9}\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}.$$

Średnica pojazdów wynosi 4 m, więc pojazdy przemieszczają się od odległości 10 m do 4 m ku sobie, czyli każdy z nich przebywa dystans 3 m. Analogiczne obliczenia do przeprowadzonych powyżej, gdy pojazdy oddalone są od siebie o 4 m, dają wartość przyspieszenia wynoszącą $\mathrm{3,8}\cdot {10}^{-8}\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2$, a więc średnia tych dwóch wartości wynosi $\mathrm{2,2}\cdot {10}^{-8}\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2$. Zakładając stałe przyspieszenie o takiej wartości oraz przyjmując prędkość początkową pojazdów względem siebie równą zero, to pojazdy zderzą się z prędkością daną równaniem:

$$v^2=v_0^2+2a(x-x_0),\text{gdzie}{v}_0=0\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s},$$

więc:

$$v=\sqrt{2\cdot \mathrm{2,2}\cdot {10}^{-8}\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot 3\mathrm{m}}=\mathrm{3,6}\cdot {10}^{-4}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.$$

Następnie, korzystając z równania $v^{}=v_0+at$, znajdujemy $t=v\text{/}a=\mathrm{1,63}\cdot {10}^4\mathrm{s}$, czyli około 4,6 godziny.

Znaczenie

Powyższe obliczenia, włączając wyznaczoną na początku siłę grawitacji, mają charakter jedynie szacunkowy, gdyż pojazdy tylko w przybliżeniu są sferycznie symetryczne. Uwidaczniają one jednak fakt, że siła ta jest niewiarygodnie mała. Astronauci podczas prac w przestrzeni kosmicznej, nawet na obiekcie tak masywnym jak Międzynarodowa Stacja Kosmiczna (ang. International Space Station (ISS)), muszą być z nią stale połączeni, jak pokazuje Ilustracja 13.4. Przyciąganie grawitacyjne nie mogłoby uchronić astronauty przed odlotem w otwartą przestrzeń kosmiczną, nawet przy najmniejszym, przypadkowym odepchnięciu się od stacji.

Ilustracja 13.4 Zdjęcie pokazuje Edwarda White’a przywiązanego do wahadłowca podczas spaceru kosmicznego. (Źródło: NASA)

Oddziaływanie grawitacyjne między dwoma ciałami o masach porównywalnych z masą pojazdów kosmicznych jest naprawdę niewielkie. Jednak wpływ grawitacji, jaki Ziemia wywiera na ciebie, jest na tyle istotny, że upadek na ziemię nawet z wysokości tylko kilku metrów może być niebezpieczny. W następnym podrozdziale przyjrzymy się sile grawitacji przy powierzchni Ziemi.

Przykład 13.2

Przyciąganie grawitacyjne pomiędzy galaktykami

Wyznacz przyspieszenie naszej galaktyki, Drogi Mlecznej, wynikające z obecności najbliższej nam galaktyki o podobnych rozmiarach, galaktyki Andromedy (Ilustracja 13.5). Przybliżona masa każdej z galaktyk wynosi 800 miliardów mas Słońca, a odległość między nimi wynosi 2,5 miliona lat świetlnych. (Zauważ, że masa galaktyki Andromedy nie jest tak dobrze znana. Uważa się, że jej masa jest nieco większa niż masa naszej galaktyki.) Każda z tych galaktyk ma średnicę wynoszącą w przybliżeniu 100 000 lat świetlnych $(1\text{rok świetlny}=\mathrm{9,5}\cdot {10}^{15}\mathrm{m})$.

Ilustracja 13.5 Galaktyki oddziałują grawitacyjnie na ogromnych odległościach. Galaktyka Andromedy jest galaktyką spiralną położoną najbliżej Drogi Mlecznej. Galaktyki te zbliżają się do siebie i w przyszłości dojdzie do ich zderzenia. (Źródło: Boris Štromar)

Strategia rozwiązania

Podobnie jak w poprzednim przykładzie skorzystamy z prawa powszechnego ciążenia, aby wyznaczyć siłę przyciągania grawitacyjnego między tymi galaktykami, a następnie wykorzystamy drugą zasadę dynamiki Newtona, aby obliczyć przyspieszenie Drogi Mlecznej. Obie galaktyki możemy traktować jako masy punktowe, gdyż odległość miedzy nimi jest 25 razy większa niż ich rozmiary. Masa Słońca (patrz Dodatek D) wynosi $2\cdot {10}^{30}\mathrm{k}\mathrm{g}$. Rok świetlny to jednostka odległości stosowana w astronomii równa odległości, jaką światło pokonuje w próżni w czasie jednego roku, wynosząca $\mathrm{9,5}\cdot {10}^{15}\mathrm{m}$.

Rozwiązanie

Wartość siły grawitacji wynosi:

$$F_{12}=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\frac{\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2}{\mathrm{k}{\mathrm{g}}^2}\cdot \frac{(800\cdot {10}^9\cdot 2\cdot {10}^{30}\mathrm{k}\mathrm{g}{)}^2}{(\mathrm{2,5}\cdot {10}^6\cdot \mathrm{9,5}\cdot {10}^{15}\mathrm{m}{)}^2}=3\cdot {10}^{29}\mathrm{N}.$$

Przyspieszenie Drogi Mlecznej jest równe:

$$a=\frac{F}{m}=\frac{3\cdot {10}^{29}\mathrm{N}}{800\cdot {10}^9\cdot 2\cdot {10}^{30}\mathrm{k}\mathrm{g}}=\mathrm{1,9}\cdot {10}^{-13}\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}.$$

Znaczenie

Czy ta wartość przyspieszenia nie wydaje ci się zadziwiająco mała? Jeśli początkowo galaktyki były względem siebie w spoczynku, to będą przyspieszały bezpośrednio w swoim kierunku, w punkcie odpowiadającym środkowi masy galaktyk. Oszacujmy czas, po jakim dojdzie do zderzenia. Początkowe przyspieszenie jest rzędu $~{10}^{\mathrm{-13}}{\text{m/s}}^2$ stąd na podstawie wzoru $v=at$ możemy zobaczyć, że każda z galaktyk potrzebuje $~{10}^{13}\text{s}$, aby osiągnąć prędkość ${\mathrm{1\; m/s}}^{}$, a wówczas zbliżą się one do siebie tylko o $-\mathrm{0,5}\cdot {10}^{13}\mathrm{m}$. Jest to odległość o dziewięć rzędów mniejsza niż początkowa odległość między nimi. W rzeczywistości takie ruchy galaktyk są bardziej złożone. Wymienione dwie galaktyki, wraz z około 50 innymi mniejszymi galaktykami, są związane grawitacyjnie w lokalną gromadę galaktyk. Nasza lokalna gromada galaktyk jest związana grawitacyjnie z innymi gromadami galaktyk, tworząc tzw. supergromadę galaktyk. Wszystko to jest częścią wielkiego kosmicznego tańca, który pokazano na Ilustracji 13.6, a jego przyczyną jest grawitacja.

Ilustracja 13.6 Według obliczeń wykonanych w przykładzie oraz na podstawie obserwacji Wszechświata prowadzonych przez astronomów, nasza galaktyka zderzy się z galaktyką Andromedy za około 4 miliardy lat. (Źródło: NASA)