10.7 Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego

Równanie Newtona dla ruchu obrotowego

Dotychczas wiele z omówionych wielkości używanych do opisu ruchu obrotowego ma swoje odpowiedniki w wielkościach opisujących ruch postępowy. Ostatnią taką wielkością, którą omawialiśmy, był moment siły – obrotowy odpowiednik siły. Powstaje pytanie: czy dla ruchu obrotowego istnieje równanie analogiczne do drugiego prawa Newtona dla ruchu postępowego, $\sum \overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$, które zawiera moment siły? Aby odpowiedzieć na to pytanie, przeanalizujmy na początek ruch cząstki punktowej o masie $m$ poruszającej się dookoła pewnej osi, po okręgu o promieniu $r$. Niech na tę cząstkę działa stała co do wartości siła $F$ (patrz rysunek).

Ilustracja 10.37 Leżący na idealnie gładkim stole (brak tarcia) przywiązany do sznurka krążek porusza się po okręgu o promieniu $r$. Siłą dośrodkową jest siła naprężenia sznurka. Na krążek działa prostopadła do promienia siła $F$, nadająca mu stałe przyspieszenie styczne.

Zastosujmy drugą zasadę dynamiki dla ruchu postępowego, aby określić przyspieszenie liniowe naszej cząstki. Siła ta powoduje, że cząstka porusza się z przyspieszeniem stycznym o wartości $a=F\text{/}m$. Wartość przyspieszenia stycznego jest proporcjonalna do wartości przyspieszenia kątowego, zgodnie z zależnością $a=r\epsilon$. Wstawiając to wyrażenie do równania dla drugiej zasady dynamiki dla ruchu postępowego otrzymujemy:

Mnożąc obie strony przez $r$ otrzymujemy:

Zauważmy, że lewa strona tego równania jest momentem siły liczonym względem osi obrotu, gdzie $r$ jest ramieniem siły, a $F$ jest wartością siły. Siła $F$ jest prostopadła do promienia $r$. Przypomnijmy, że moment bezwładności cząstki punktowej jest równy $I=m{r}^2$. Moment siły prostopadłej do promienia okręgu w naszym przypadku (Ilustracja 10.37) można zapisać jako:

Moment siły działającej na cząstkę jest równy momentowi bezwładności liczonemu względem osi obrotu pomnożonemu przez przyspieszenie kątowe. Możemy uogólnić to równanie na równanie dla ciała sztywnego obracającego się wokół ustalonej osi.

Iloczyn $I\epsilon$ jest wielkością skalarną i może być dodatni lub ujemny (przeciwny lub zgodny z ruchem wskazówek zegara), zależnie od znaku wypadkowego momentu siły. Należy pamiętać o konwencji, że przyspieszenie kątowe przeciwne do ruchu wskazówek zegara jest dodatnie. Zatem, jeśli ciało sztywne obraca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara pod wpływem dodatniego momentu siły (przeciwnego do ruchu wskazówek zegara), to jego przyspieszenie kątowe jest dodatnie.

Powyższe równanie (Równanie 10.26) jest drugim prawem Newtona dla dynamiki ruchu obrotowego i mówi nam, jaki jest związek momentu siły z momentem bezwładności i przyspieszeniem kątowym. Nazywamy je drugą zasadą dynamiki dla ruchu obrotowego (ang. Newton’s second law for rotation). Korzystając z tego równania możemy rozwiązać całą grupę zagadnień związanych z siłami i obrotami. Nic dziwnego, że formuła opisująca skutki działania momentu siły na ciało sztywne (a więc obrót) zawiera moment bezwładności, ponieważ jest to wielkość, która określa, jak łatwo lub trudno jest zmienić ruch obrotowy obiektu.

Wyprowadzenie drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego w postaci wektorowej

Podobnie jak poprzednio, kiedy wyznaczaliśmy przyspieszenie kątowe, możemy również wyznaczyć wektor momentu siły. Drugie prawo dynamiki $\sum \overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$ określa związek między siłą wypadkową a wielkością kinematyczną ruchu postępowego obiektu. Równoważnik tego równania dla ruchu obrotowego można otrzymać stosując zależność pomiędzy przyspieszeniem kątowym, położeniem i wektorem przyspieszenia stycznego:

Policzmy iloczyn wektorowy $\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{a}$ wykorzystując własności iloczynu wektorowego (należy pamiętać, że $\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{\epsilon }=0$):

Policzmy teraz wypadkowy moment siły:

Ponieważ $m{r}^2$ jest momentem bezwładności masy punktowej, otrzymujemy:

Jest to równanie wyrażające drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego zapisane w postaci wektorowej. Wektor momentu siły ma ten sam kierunek, co wektor przyspieszenia kątowego.

Zastosowanie równań dynamiki ruchu obrotowego

Zanim zastosujemy równanie dynamiki ruchu obrotowego do opisu konkretnych codziennych sytuacji, ustalmy ogólną strategię rozwiązywania zadań w tej kategorii.

Przykład 10.16

Wyznaczenie wpływu rozkładu masy na ruch obrotowy karuzeli

Wyobraź sobie ojca kręcącego karuzelą na placu zabaw (Ilustracja 10.38). Działa on z siłą 250 N na brzeg karuzeli o masie 200,0 kg. Promień karuzeli wynosi 1,50 m. Oblicz przyspieszenie kątowe karuzeli spowodowane przyłożeniem tej siły:

1. gdy nikogo nie ma na karuzeli;
2. gdy dziecko o masie 8,0 kg siedzi w odległości 1,25 m od środka; załóż, że karuzela jest jednorodną tarczą, a tarcie można zaniedbać.

Ilustracja 10.38 Aby uzyskać maksymalny moment siły, mężczyzna popycha karuzelę przykładając siłę do punktów leżących na jej obrzeżu, prostopadle do promienia karuzeli.

Strategia rozwiązania

Wypadkowy moment pędu dany jest wyrażeniem $\sum \overrightarrow{M}=I\overrightarrow{\epsilon }$. Aby wyznaczyć $\epsilon$, musimy najpierw wyliczyć moment siły $M$ (który jest taki sam w obu przypadkach) i moment bezwładności $I$ (większy w drugim przypadku).

Rozwiązanie

1. Moment bezwładności jednorodnej tarczy względem jej środka jest równy
   $$\frac{1}{2}m{R}^2.$$
   Dla danych z zadania $m=50\mathrm{k}\mathrm{g}$ i $R=1\mathrm{,}50\mathrm{m}$ otrzymujemy:
   $$I=0\mathrm{,}500\cdot 50\mathrm{,}0\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot {\left(1\mathrm{,}50\mathrm{m}\right)}^2=56\mathrm{,}25\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot {\mathrm{m}}^2.$$
   Wyznaczając wypadkowy moment sił zauważamy, że działająca siła jest prostopadła do promienia, a tarcie jest nieistotnie, zatem:
   $$M=rF\sin \theta =1\mathrm{,}50\mathrm{m}\cdot 250\mathrm{,}0\mathrm{N}=375\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}.$$
   Wstawiając tę wartość do wzoru na przyspieszenie kątowe otrzymujemy:
   $$\epsilon =\frac{M}{I}=\frac{375\mathrm{,}0\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}}{56\mathrm{,}25\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot {\mathrm{m}}^2}=6\mathrm{,}67\frac{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}{{\mathrm{s}}^2}.$$
2. Spodziewamy się, że w tej sytuacji przyspieszenie kątowe karuzeli będzie mniejsze, ponieważ moment bezwładności jest większy, gdy na karuzeli jest dziecko. Aby wyznaczyć całkowity moment bezwładności $I$, najpierw wyznaczamy moment bezwładności dziecka $I_{\text{d}}$. Zastąpimy dziecko masą punktową w odległości 1,25 m od osi obrotu. Wówczas:
   $$I_{\text{d}}=m{R}^2=18\mathrm{,}0\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot {\left(1\mathrm{,}25\mathrm{m}\right)}^2=28\mathrm{,}13\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot {\mathrm{m}}^2.$$
   Całkowity moment bezwładności jest sumą momentów bezwładności karuzeli i dziecka (liczonych względem tej samej osi):
   $$I=28\mathrm{,}13\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot {\mathrm{m}}^2+56\mathrm{,}25\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot {\mathrm{m}}^2=84\mathrm{,}38\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot {\mathrm{m}}^2.$$
   Ostatecznie otrzymujemy:
   $$\epsilon =\frac{M}{I}=\frac{375\mathrm{,}0\mathrm{N}}{84\mathrm{,}38\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot {\mathrm{m}}^2}=4\mathrm{,}44\frac{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}{{\mathrm{s}}^2}.$$

Znaczenie

Zgodnie z oczekiwaniami, przyspieszenie kątowe jest mniejsze, gdy dziecko znajduje się na karuzeli, niż wtedy, gdy karuzela jest pusta. Otrzymane przyspieszenia kątowe są dość duże częściowo z powodu faktu, że tarcie uznano za nieistotne. Gdyby na przykład ojciec naciskał prostopadle przez 2,00 s, nadałby pustej karuzeli prędkość kątową 13,3 rad/s, a tylko 8,89 rad/s, gdyby było na niej dziecko. Jeśli chodzi o liczby obrotów na sekundę, prędkość kątowa wynosi odpowiednio 2,12 obr/s i 1,41 obr/s.