10.3 Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym

Zmienne kątowe a zmienne liniowe

Jeśli porównamy definicje zmiennych obrotowych (które zdefiniowane zostały w podrozdziale Zmienne opisujące ruch obrotowy) z definicjami zmiennych kinematycznych w ruchu postępowym, zdefiniowanymi w rozdziałach Ruch prostoliniowy i Ruch w dwóch i trzech wymiarach, zauważymy, że istnieje odwzorowanie wielkości liniowych na obrotowe. Położenie, prędkość liniowa i przyspieszenie liniowe mają swoje odpowiedniki w wielkościach obrotowych.

Porównajmy indywidualnie zmienne liniowe i obrotowe. Jednostką zmiennych liniowych położenia jest metr, podczas gdy jednostką położenia kątowego jest bezwymiarowa jednostka radian, co wynika z definicji $\theta =s\text{/}r$, gdzie droga kątowa jest ilorazem dwóch wielkości, z których każda jest wyrażona w jednostkach długości. Jednostką prędkości liniowej jest m/s, a jej odpowiednik, prędkość kątowa, ma jednostkę rad/s. W podrozdziale Zmienne opisujące ruch obrotowy widzieliśmy, że w przypadku ruchu po okręgu o promieniu $r$ prędkość liniowa cząstki jest związana z prędkością kątową zależnością $v=r\omega$. Zależność ta ma zastosowanie również do punktów ciała sztywnego, obracającego się wokół stałej osi. Tutaj rozważamy jedynie ruch po okręgu. W ruchu po okręgu, zarówno jednostajnym jak i niejednostajnym, istnieje jeszcze przyspieszenie dośrodkowe (ang. centripetal acceleration) (patrz rozdział Ruch w dwóch i trzech wymiarach). Wektor przyspieszenia dośrodkowego skierowany jest do wnętrza toru, od cząstki wykonującej ruch po okręgu do osi obrotu. Wyprowadzenie wartości przyspieszenia dośrodkowego przedstawiono w rozdziale Ruch w dwóch i trzech wymiarach. Wartość przyspieszenia dośrodkowego wyraża się wzorem:

gdzie $r$ jest promieniem okręgu.

Tak więc w jednostajnym w ruchu po okręgu, w którym wartość prędkości kątowej jest stała, a przyspieszenie kątowe jest równe zeru, występuje przyspieszenie liniowe – konkretnie przyspieszenie dośrodkowe – ponieważ wartość prędkości liniowej w powyższym Równaniu 10.14 jest stała, a zmienia się kierunek wektora prędkości. Jeżeli ruch po okręgu jest ruchem niejednostajnym i obracające się ciało ma przyspieszenie kątowe, to w tym przypadku występuje zarówno zmieniające się przyspieszenie dośrodkowe (ponieważ zmienia się kierunek i zwrot wektora prędkości), jak i przyspieszenie styczne (ang. tangential acceleration) (ponieważ zmienia się wartość wektora prędkości stycznej). Zależność ta jest pokazana na Ilustracji 10.14, gdzie przedstawiono przyspieszenie dośrodkowe i przyspieszenie styczne, zarówno dla ruchu jednostajnego, jak i ruchu niejednostajnego po okręgu.

Ilustracja 10.14 (a) Ruch jednostajny po okręgu. Wektor przyspieszenia dośrodkowego $a_{\text{d}}$ skierowany jest w kierunku do osi obrotu. Nie ma przyspieszenia stycznego. (b) Niejednostajny ruch po okręgu. Istnienie przyspieszenia kątowego jest przyczyną zmiany wartości przyspieszenia dośrodkowego oraz istnienia przyspieszenia stycznego $a_{\text{s}}$.

Przyspieszenie dośrodkowe wywołane jest ciągłą zmianą kierunku prędkości, podczas gdy przyspieszenie styczne związane jest ze zmianą wartości wektora prędkości. Wektory przyspieszenia stycznego ${\overrightarrow{a}}_{\text{s}}$ i dośrodkowego ${\overrightarrow{a}}_{\text{d}}$ są zawsze prostopadłe do siebie, tak jak to przedstawiono na Ilustracji 10.14. Dla pełnego opisu musimy jeszcze dodać wektor przyspieszenia całkowitego dla punktu obracającego się ciała oraz cząstki wykonującej ruch po okręgu o promieniu $r$. Wektor całkowitego przyspieszenia liniowego (ang. total linear acceleration) $\overrightarrow{a}$ jest sumą wektorową przyspieszenia stycznego i dośrodkowego:

W przypadku niejednostajnego ruchu po okręgu, wektor przyspieszenia całkowitego skierowany jest pod pewnym kątem między wektorami przyspieszenia stycznego i dośrodkowego, tak jak pokazano to na Ilustracji 10.15. Ponieważ ${\overrightarrow{a}}_{\text{d}}\perp {\overrightarrow{a}}_{\text{s}}$, wartość całkowitego przyspieszenia liniowego wynosi:

Zauważ, że jeżeli przyspieszenie kątowe jest równe zero, to całkowite przyspieszenie liniowe jest równe przyspieszeniu dośrodkowemu.

Ilustracja 10.15 Cząstka wykonuje ruch po okręgu z pewnym przyspieszeniem kątowym. Całkowite przyspieszenie liniowe cząstki jest sumą wektorową wektora przyspieszenia dośrodkowego i wektora przyspieszenia stycznego. Wektor całkowitego przyspieszenia liniowego leży pomiędzy wektorami przyspieszenia stycznego i dośrodkowego.

Związek pomiędzy wielkościami kątowymi i liniowymi

Przedstawmy teraz dwa związki między ruchem rotacyjnym i postępowym.

1. Ogólnie rzecz biorąc liniowe równania kinematyczne mają swoje odpowiedniki w równaniach dla ruchu obrotowego. Tabela 10.3 prezentuje cztery liniowe równania kinematyczne i odpowiadające im równania dla ruchu obrotowego. Te dwa zestawy równań są podobne do siebie, ale opisują dwie różne sytuacje fizyczne, tj. obrót i ruch postępowy.

   Ruch obrotowy	Ruch postępowy
   ${\theta }_{\text{k}}={\theta }_0+\bar{\omega }t$	$x=x_0+\bar{v}t$
   ${\omega }_{\text{k}}={\omega }_0+\epsilon t$	$v_{\text{k}}=v_0+at$
   ${\theta }_{\text{k}}={\theta }_0+{\omega }_{0}t+\frac{1}{2}\epsilon t^2$	$x_{\text{k}}=x_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$
   ${\omega }_{\text{k}}^2={\omega }_0^2+2\epsilon (\text{Δ}\theta )$	$v_{\text{k}}^2=v_0^2+2a(\text{Δ}x)$

   Tabela 10.3 Równania kinematyczne dla ruchu obrotowego i postępowego
2. Drugi zestaw zależności dotyczy zmiennych liniowych i obrotowych w szczególnym przypadku ruchu po okręgu. Zależności te pokazano w trzeciej kolumnie Tabeli 10.4, gdzie znajdują się równania łączące zmienne obrotowe ze zmiennymi liniowymi.

   Ruch obrotowy	Ruch postępowy	Związek pomiędzy wielkościami ($r$ = promień okręgu)
   $\theta$	$s$	$\theta =s\text{/}r$
   $\omega$	$v$	$\omega =v\text{/}r$
   $\epsilon$	$a_{\text{s}}$	$\epsilon =a_{\text{s}}\text{/}r$
   	$a_{\text{d}}$	$a_{\text{d}}=v^2\text{/}r$

   Tabela 10.4 Wielkości ruchu postępowego i obrotowego i zależności między nimi

Przykład 10.7

Przyspieszenie liniowe wirówki

Wirówka o promieniu 20 cm zwalnia ze stałym przyspieszeniem kątowym od maksymalnej prędkości obrotowej wynoszącej 10 000 obr/min i zatrzymuje się po upływie 30 s. Przez cały ten czas wirówka obraca się w lewo. Jaka jest wartość całkowitego przyspieszenia liniowego punktu położonego na obrzeżu wirówki w chwili $t=29\mathrm{,}0\mathrm{s}$? Jaki jest kierunek wektora całkowitego przyspieszenia liniowego?

Strategia rozwiązania

Dzięki podanym informacjom możemy obliczyć przyspieszenie kątowe, co następnie pozwoli nam wyznaczyć przyspieszenie styczne. Obliczając prędkość styczną w chwili $t=29\mathrm{,}0\mathrm{s}$ możemy wyznaczyć przyspieszenie dośrodkowe. Dzięki wyznaczonym wartościom przyspieszeń możemy obliczyć całkowite przyspieszenie liniowe. Na podstawie opisu obrotów przedstawionych w zadaniu możemy naszkicować kierunek całkowitego wektora przyspieszenia.

Rozwiązanie

Przyspieszenie kątowe:

$$\epsilon =\frac{\omega -{\omega }_0}{t}=\frac{0\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}\mathrm{s}-{10}^4\cdot 2\pi \text{/}60\mathrm{,}0\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}\mathrm{s}}{30\mathrm{,}0\mathrm{s}}=-34\mathrm{,}9\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}{\mathrm{s}}^2.$$

Stąd, przyspieszenie styczne:

$$a_{\text{s}}=r\epsilon =0\mathrm{,}2\mathrm{m}\cdot \left(-34\mathrm{,}9\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}{\mathrm{s}}^2\right)=-7\mathrm{,}0\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2.$$

Prędkość kątowa w chwili $t=29\mathrm{,}0\mathrm{s}$:

Tak więc, prędkość w chwili $t=29\mathrm{,}0\mathrm{s}$ można wyliczyć jako:

$$v=r\omega =0\mathrm{,}2\mathrm{m}\cdot 35\mathrm{,}1\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}\mathrm{s}=7\mathrm{,}0\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}\text{.}$$

Teraz możemy wyznaczyć przyspieszenie dośrodkowe:

$$a_{\text{d}}=\frac{v^2}{r}=\frac{{\left(7\mathrm{,}0\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}\right)}^2}{0\mathrm{,}2\mathrm{m}}=245\mathrm{,}0\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2.$$

Ponieważ dwa wektory przyspieszenia są do siebie prostopadłe, wartość całkowitego przyspieszenia liniowego to:

$$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_{\text{d}}^2+a_{\text{s}}^2}=\sqrt{{\left(245\mathrm{,}0\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2\right)}^2+{\left(-7\mathrm{,}0\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2\right)}^2}=245\mathrm{,}1\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2.$$

Wirówka ma ujemne przyspieszenie kątowe. Oznacza to, że wiruje z coraz mniejszą prędkością kątową. Całkowity wektor przyspieszenia jest taki, jak pokazano na Ilustracji 10.16. Kąt pomiędzy wektorem przyspieszenia dośrodkowego a wektorem przyspieszenia całkowitego jest równy:

$$\theta =\mathrm{arctg}\left(\frac{-7\mathrm{,}0}{245}\right)=-1\mathrm{,}{6}^{\circ }.$$

Znak ujemny oznacza, że wektor przyspieszenia całkowitego jest ustawiony pod kątem w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.

Ilustracja 10.16 Wektory przyspieszenia dośrodkowego, stycznego i całkowitego. Wirówka zmniejsza obroty, więc przyspieszenie styczne skierowane jest zgodnie z ruchem wskazówek zegara, w kierunku przeciwnym do kierunku obrotu wirówki.

Znaczenie

Z Ilustracji 10.16 wynika, że wektor przyspieszenia stycznego jest skierowany przeciwnie do kierunku obrotów. Wartość przyspieszenia stycznego jest znacznie mniejsza niż przyspieszenia dośrodkowego, więc wektor całkowitego przyspieszenia liniowego będzie tworzyć bardzo mały kąt z wektorem przyspieszenia dośrodkowego.