10.1 Zmienne opisujące ruch obrotowy

Prędkość kątowa

Jednostajny ruch po okręgu (omówiony wcześniej w rozdziale Ruch w dwóch i trzech wymiarach) jest ruchem po okręgu ze stałą wartością prędkości (szybkością). Chociaż jest to najprostszy przypadek ruchu obrotowego, jest on bardzo przydatny w wielu sytuacjach. Użyjemy go, aby wprowadzić zmienne obrotowe.

Ilustracja 10.2 przedstawia cząstkę poruszającą się po okręgu. Układ współrzędnych jest stały i służy jako punkt odniesienia do określenia położenia cząstki. Wektor położenia cząstki (wektor zaczepiony w początku układu współrzędnych i kończący się w miejscu znajdowania się cząstki) tworzy kąt $\theta$ z osią $x$, który rośnie w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, gdy cząstka przesuwa się po okręgu. Kąt $\theta$ nazywamy położeniem kątowym (ang. angular position) cząstki. W miarę przesuwania się cząstki po okręgu zakreśla ona łuk o długości $s$.

Ilustracja 10.2 Cząstka porusza się po okręgu w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara, zakreślając łuk o długości $s$. Jej wektor położenia tworzy dodatni kąt $\theta$ z osią $x$.

Związek pomiędzy wartością kąta $\theta$ a promieniem okręgu i długością łuku wyraża się wzorem:

Kąt $\theta$, kątowe położenie cząstki, mierzony jest w radianach (rad). Kąt $2\pi$ radianów odpowiada w mierze łukowej kątowi ${360}^{\circ }$. Należy zauważyć, że kąt wyrażony w radianach jest ilorazem dwóch długości, a zatem jest wielkością bezwymiarową. Gdy cząstka porusza się po okręgu, jej położenie kątowe zmienia się, powodując zmianę kąta o wartość $\text{Δ}\theta .$

Kątowi $\theta$ możemy przypisać wektor $\overrightarrow{\theta }$. Wektor $\overrightarrow{\theta }$ jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny $xy$ na Ilustracji 10.3. Wektory położenia $\overrightarrow{r}$ i długości łuku $\overrightarrow{s}$ leżą w płaszczyźnie $xy$. Te trzy wektory związane są relacją:

Oznacza to, że wektor długości łuku jest iloczynem wektorowym wektora kąta i wektora położenia, tak jak to pokazano na Ilustracji 10.3.

Ilustracja 10.3 Wektor kąta skierowany jest wzdłuż osi $z$, a wektory położenia i długości łuku leżą w płaszczyźnie $xy$. Widzimy, że $\overrightarrow{s}=\overrightarrow{\theta }\times \overrightarrow{r}$. Wszystkie trzy wektory są wzajemnie do siebie prostopadłe.

Wartość wektora prędkości kątowej (ang. angular velocity), oznaczona jako $\omega$, jest szybkością zmian kąta $\theta$, gdy cząstka porusza się po łuku. Chwilowa wartość prędkości kątowej (ang. instantaneous angular velocity) jest definiowana jako granica, przy $\text{Δ}t\text{→}0$, średniej prędkości kątowej $\stackrel{\text{–}}{\omega }=\mathrm{\Delta }\theta \text{/}\mathrm{\Delta }t$:

gdzie $\theta$ jest kątem obrotu (Ilustracja 10.3). Jednostką prędkości kątowej jest radian na sekundę (rad/s). Prędkość kątową możemy w prosty sposób powiązać z częstotliwością $f$ (zwaną też prędkością obrotową), wyrażaną w obrotach na sekundę (obr/s). Aby wyznaczyć prędkość kątową, musimy pomnożyć liczbę obrotów na sekundę przez $2\pi$, ponieważ jeden pełny obrót oznacza przemieszczenie kątowe równe $2\pi$ radianów:

Położenie kątowe w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara będziemy uważali za dodatnie, a położenie kątowe w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara za ujemne.

Związek pomiędzy prędkością kątową a prędkością liniową w ruchu po okręgu możemy wyznaczyć poprzez zróżniczkowanie po czasie równania na przesunięcie kątowe (Równanie 10.1). Zapiszmy to równanie w postaci:

Obliczając pochodną po czasie i uwzględniając, że promień okręgu jest wielkością stałą, otrzymujemy:

gdzie $\theta \left(\mathrm{d}r\text{/}\mathrm{d}t\right)=0$. W powyższym równaniu $\mathrm{d}s\text{/}\mathrm{d}t$ jest właśnie prędkością liniową $v$ cząstki w ruchu po okręgu, przedstawionej na Ilustracji 10.3 skierowaną zgodnie z kierunkiem wektora $\overrightarrow{s}$. W ten sposób, stosując równanie na prędkość kątową (Równanie 10.3) otrzymujemy:

Zatem prędkość liniowa cząstki w ruchu po okręgu jest iloczynem prędkości kątowej i promienia okręgu. Z równania tego wynika, że przy stałej prędkości kątowej, prędkość liniowa cząstki wzrasta wraz z odległością od osi obrotu. Efekt ten pokazuje Ilustracja 10.4. Na obracającej się ze stałą prędkością kątową tarczy umieszczono, w różnych odległościach od osi obrotu, dwie cząstki. Gdy tarcza się obraca, prędkość cząstek wzrasta liniowo wraz ze wzrostem odległości od osi obrotu. Na podstawie Ilustracji 10.4 możemy stwierdzić, że: $v_1=r_1{\omega }_1$ oraz $v_2=r_2{\omega }_2$. Ponieważ prędkości kątowe wszystkich punktów tarczy są jednakowe (${\omega }_1={\omega }_2$), to otrzymamy $v_1\text{/}{r}_1=v_2\text{/}{r}_2$, czyli $v_2=(r_2\text{/}{r}_1)v_1$. Ponieważ $r_2>r_1$, to $v_2>v_1$, innymi słowy prędkość liniowa jest wprost proporcjonalna do promienia.

Ilustracja 10.4 Dwie cząstki umieszczone na obracającej się tarczy mają różne prędkości, w zależności od ich odległości od osi obrotu.

Do tej pory używaliśmy wartości prędkości kątowej $\omega =\mathrm{d}\theta \text{/}\mathrm{d}t$, która to wielkość jest wielkością skalarną – jest to zmiana położenia kątowego w zależności od czasu. Wektor $\overrightarrow{\omega }$ jest wektorem związanym z prędkością kątową i jest skierowany wzdłuż osi obrotu. Przydaje się, gdy opisujemy ruch obrotowy ciała sztywnego, bo wówczas chcemy znać zarówno położenie osi obrotu, jak i kierunek, w którym nasze ciało obraca się wokół tej osi – zgodnie ze wskazówkami zegara, czy też przeciwnie do ich ruchu. Prędkość kątowa przedstawiona jako wektor daje nam te informacje. Kierunek wektora prędkości kątowej $\overrightarrow{\omega }$ jest określany przez tak zwaną regułę prawej dłoni (ang. right-hand rule). Mówi ona, że jeżeli palce prawej dłoni zgięte są w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara od osi $x$ do osi $y$ (w kierunku, w którym wzrasta $\theta$), to odgięty kciuk wskazuje kierunek dodatniej części osi $z$ (Ilustracja 10.5). Wektor prędkości kątowej $\overrightarrow{\omega }$ skierowany zgodnie z kierunkiem osi $z$ wskazuje na obroty w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, podczas gdy wektor prędkości kątowej $\overrightarrow{\omega }$ skierowany przeciwnie do kierunku osi $z$ wskazuje na obroty zgodne z kierunkiem ruchu wskazówek zegara.

Ilustracja 10.5 Ilustracja zastosowania reguły prawej dłoni w przypadku obrotów w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Zgodnie z regułą prawej dłoni, wektor prędkości kątowej skierowany jest w kierunku zgodnym z kierunkiem osi $z$.

Można udowodnić, że wektor prędkości stycznej równy jest

Czyli prędkość styczna jest iloczynem wektorowym prędkości kątowej i wektora położenia, tak jak to pokazano na Ilustracji 10.6. Część (a) rysunku przedstawia sytuację, w której wektor prędkości kątowej skierowany jest zgodnie z kierunkiem osi $z$, co oznacza, że ruch odbywa się w płaszczyźnie $xy$ przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara. W części (b) wektor prędkości kątowej skierowany jest przeciwnie do kierunku osi $z$, co oznacza, że obrót odbywa się w płaszczyźnie $xy$, w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.

Ilustracja 10.6 Wektory na rysunku przedstawiają prędkość kątową, wektor położenia oraz wektor prędkości liniowej. (a) Wektor prędkości kątowej skierowany jest zgodnie z kierunkiem osi $z$, co oznacza obrót w płaszczyźnie $xy$ w kierunku przeciwnym do kierunku obrotu wskazówek zegara. (b) Wektor prędkości kątowej skierowany jest w kierunku przeciwnym do kierunku osi $z$, wskazując na obrót w płaszczyźnie $xy$ w kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu wskazówek zegara.

Przyspieszenie kątowe

Właśnie omówiliśmy prędkość kątową dla ruchu jednostajnego po okręgu, ale nie wszystkie ruchy są jednostajne. Wyobraźmy sobie łyżwiarza wirującego z wyciągniętymi rękami – jeśli przyciągnie ręce do siebie, jego prędkość kątowa wzrośnie – lub wirujący dysk twardy komputera, zwalniający aż do zatrzymania po wyłączeniu. Omówimy tę sytuację w dalszych podrozdziałach, ale widzimy już potrzebę zdefiniowania przyspieszenia kątowego do opisu sytuacji, w których zmienia się $\omega$. Im szybciej zmienia się $\omega$, tym większe jest przyspieszenie kątowe. Zdefiniujmy chwilowe przyspieszenie kątowe (ang. instantaneous angular acceleration) jako pochodną prędkości kątowej po czasie:

tj. granicę średniego przyspieszenia kątowego przy $\mathrm{\Delta }t$ dążącym do zera, $\stackrel{\text{–}}{\epsilon }=\mathrm{\Delta }\omega \text{/}\mathrm{\Delta }t$, gdy $\text{Δ}t\text{→}0$.

Jednostką przyspieszenia kątowego jest (rad/s)/s czyli ${\text{rad/s}}^2$.

W podobny sposób, w jaki zdefiniowaliśmy wektor prędkości kątowej $\overrightarrow{\omega }$, możemy teraz zdefiniować wektor przyspieszenia kątowego $\overrightarrow{\epsilon }$ (Ilustracja 10.7). Jego długością jest wartość bezwzględna przyspieszenia kątowego $\epsilon$, zdefiniowana powyższym równaniem (Równanie 10.6). Jeżeli wektor prędkości kątowej $\overrightarrow{\omega }$ jest skierowany wzdłuż osi $+z$, tak jak to pokazano na Ilustracji 10.7, a $\mathrm{d}\omega \text{/}\mathrm{d}t$ ma wartość dodatnią, wówczas przyspieszenie kątowe $\overrightarrow{\epsilon }$ jest dodatnie i skierowane zgodnie z kierunkiem osi $+z$. Podobnie, jeżeli wektor prędkości kątowej $\overrightarrow{\omega }$ jest skierowany zgodnie z osią $+z$, a $\mathrm{d}\omega \text{/}\mathrm{d}t$ jest ujemne, wówczas przyspieszenie kątowe jest ujemne, a wektor $\overrightarrow{\epsilon }$ skierowany jest w kierunku przeciwnym do osi $+z$.

Ilustracja 10.7 Rysunki (a) oraz (b) przedstawiają obroty w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. (a) Wektory przyspieszenia kątowego i prędkości kątowej mają ten sam kierunek i zwrot, co oznacza wzrost wartości prędkości kątowej. (b) Wektor przyspieszenia kątowego jest skierowany przeciwnie do wektora prędkości kątowej, więc wartość prędkości kątowej maleje.

Wektor przyspieszenia stycznego możemy wyrazić jako iloczyn wektorowy wektora przyspieszenia kątowego i wektora położenia. Wyrażenie to możemy otrzymać poprzez zróżniczkowanie wyrażenia $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{r}$ (wykonanie tego pozostawiamy czytelnikowi jako ćwiczenie). Otrzymamy wówczas:

Zależność pomiędzy przyspieszeniem stycznym a kątowym przedstawia Ilustracja 10.8.

Wyrażenie na przyspieszenie styczne punktu obracającego się ciała można otrzymać podobnie, jak uzyskaliśmy zależność pomiędzy prędkością styczną a prędkością kątową. Jeżeli zróżniczkujemy po czasie Równanie 10.7 – pamiętając, że $r$ ma stałą wartość – otrzymamy:

Tak więc wartość przyspieszenia stycznego $a_{\text{t}}$ jest równa iloczynowi promienia i przyspieszenia kątowego. Równania na prędkość i przyspieszenie styczne są ważne przy opisywaniu ruchu toczących się ciał (patrz podrozdział Moment pędu). Zastosujmy te pojęcia do analizy kilku prostych scenariuszy obrotu wokół stałej osi. Zanim to zrobimy, przedstawimy strategię rozwiązywania zadań, która przyda się do opisu kinematyki ruchu obrotowego.

Ilustracja 10.8 (a) Przyspieszenie kątowe skierowane jest w kierunku dodatnim osi $z$ dając przyspieszenie styczne w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. (b) Przyspieszenie kątowe jest skierowane w kierunku ujemnym osi $z$ dając przyspieszenie styczne w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.

Zastosujmy teraz powyższą strategię rozwiązywania zadań do analizy kilku konkretnych przykładów.

Sprawdź, czy rozumiesz 10.1

Łopatki wentylatora w lotniczym silniku turbowentylatorowym (na zdjęciu poniżej) przyspieszane są w ciągu 20 s od spoczynku do prędkości obrotowej 40,0 obr/s. Jej wzrost jest stały w czasie. (Silnik turbowentylatorowy GE90-115B montowany w Boeingu 777, jak pokazano na zdjęciu, jest obecnie największym silnikiem turbowentylatorowym na świecie, o sile ciągu osiągającej 510 kN).

1. Jaka jest wartość średniego przyspieszenia kątowego?
2. Jaka jest wartość chwilowego przyspieszenia kątowego w dowolnej chwili w ciągu pierwszych 20 s?

Ilustracja 10.9 (Źródło: “Bubinator”/ Wikimedia Commons)

Przykład 10.3

Turbina wiatrowa

Turbina wiatrowa (Ilustracja 10.10) na farmie wiatrowej jest wyłączana w celu wykonania konserwacji. Potrzeba 30 s, aby wirnik turbiny zwolnił od roboczej prędkości kątowej do pełnego zatrzymania. W czasie zatrzymywania jego prędkość kątowa maleje z czasem, zgodnie z zależnością $\omega (t)=\left[{\left(t-30\mathrm{,}0\right)}^2\text{/}100\mathrm{,}0\right]\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}\mathrm{s}$. Jeśli turbina obraca się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, patrząc w kierunku kartki, to:

1. jaki jest kierunek wektora prędkości kątowej i wektora przyspieszenia?
2. Jaka jest wartość średniego przyspieszenia kątowego?
3. Jaka jest wartość chwilowego przyspieszenia kątowego dla $t=0\mathrm{,}0\mathrm{s}$; $t=15\mathrm{,}0\mathrm{s}$; $t=30\mathrm{,}0\mathrm{s}$?

Ilustracja 10.10 Turbina wiatrowa obracająca się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, widok z przodu.

Strategia rozwiązania

1. Wiemy, że turbina obraca się w płaszczyźnie rysunku, w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Za pomocą reguły prawej dłoni (Ilustracja 10.6) możemy określić kierunek wektora prędkości kątowej i wektora przyspieszenia kątowego.
2. W celu wyznaczenia średniego przyspieszenia kątowego musimy obliczyć wartości początkową i końcową prędkości kątowej. Znak wartości przyspieszenia kątowego określimy korzystając z rezultatów otrzymanych w punkcie (a).
3. Mamy daną zależność prędkości kątowej od czasu. Korzystając z niej wyznaczymy zależności przyspieszenia kątowego od czasu poprzez wyznaczenie pierwszej pochodnej zależności prędkości od czasu.

Rozwiązanie

1. Ponieważ turbina obraca się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, to wektor prędkości kątowej $\overrightarrow{\omega }$ jest skierowany przed płaszczyznę kartki. Ponieważ jednak wartość prędkości kątowej maleje, wektor przyspieszenia kątowego $\overrightarrow{\epsilon }$ wskazuje w kierunku przeciwnym do wektora prędkości kątowej.

2. Początkowa wartość prędkości kątowej, w chwili $t=0$ wynosi $\omega =9\mathrm{,}0\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}\mathrm{s}$ Końcowa wartość prędkości kątowej jest równa zero, więc średnia wartość przyspieszenia kątowego równa się

   $$\stackrel{\text{–}}{\epsilon }=\frac{\mathrm{\Delta }\omega }{\mathrm{\Delta }t}=\frac{\omega -{\omega }_0}{t-t_0}=\frac{0\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}\mathrm{s}-9\mathrm{,}0\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}\mathrm{s}}{30\mathrm{,}0\mathrm{s}-0\mathrm{s}}=-0\mathrm{,}3\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}{\mathrm{s}}^2.$$

3. Wyliczając pierwszą pochodną zależności prędkości kątowej od czasu otrzymamy: $\epsilon =\mathrm{d}\omega \text{/}\mathrm{d}t=\left[\left(t-30\mathrm{,}0\right)\text{/}50\mathrm{,}0\right]\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}{\mathrm{s}}^2$

   $$\epsilon (0\mathrm{,}0\mathrm{s})=-0\mathrm{,}6\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}{\mathrm{s}}^2\mathrm{,}\epsilon (15\mathrm{,}0\mathrm{s})=-0\mathrm{,}3\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}{\mathrm{s}}^2,\epsilon (30\mathrm{,}0\mathrm{s})=0\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}{\mathrm{s}}^2.$$

Znaczenie

Z obliczeń w punktach (a) i (b) wynika, że przyspieszenie kątowe $\epsilon$ i średnie przyspieszenie kątowe $\stackrel{\text{–}}{\epsilon }$ mają ujemne wartości. Wektor przyspieszenia kątowego turbiny ma przeciwny zwrot do wektora jej prędkości kątowej.

Znamy już podstawowe słownictwo do opisu kinematyki ruchu obrotowego wokół stałej osi i związków pomiędzy wielkościami obrotowymi. Więcej wielkości i związków pomiędzy nimi omówimy w następnym podrozdziale.