1.6 Cyfry znaczące

Niepewność względna

Niepewność pomiarową można przedstawić również jako procent zmierzonej wartości. Jeśli pomiar $A$ obarczony jest niepewnością $\mathrm{\Delta }A$, to niepewność względną (ang. relative uncertainty) definiuje się jako

Niepewność w obliczeniach

Wszystkie obliczenia oparte na pomiarach różnych wielkości obarczone są jakąś niepewnością. Na przykład pole powierzchni podłogi obliczone na podstawie długości i szerokości ma niepewność, ponieważ mają ją również długość i szerokość. Jak duża jest niepewność wartości obliczanej poprzez mnożenie lub dzielenie? Jeżeli pomiary, z których korzystasz podczas obliczeń, mają małe niepewności (nie większe niż kilka procent), w celu obliczenia niepewności wyniku możesz skorzystać z metody dodawania niepewności procentowych (ang. method of adding percents). Według tej metody wyrażona w procentach niepewność wartości, obliczonej na podstawie mnożenia lub dzielenia, jest sumą wyrażonych w procentach niepewności poszczególnych wartości użytych podczas obliczeń. Jeśli na przykład podłoga ma długość równą 4,00 m oraz szerokość równą 3,00 m, a wartości te obarczone są odpowiednio niepewnością 2% i 1%, to pole powierzchni tej podłogi jest równe $\mathrm{12,0}{\mathrm{m}}^2$, a niepewność pomiaru wynosi 3%. (Wartość niepewności możemy przedstawić też jako $\mathrm{0,36}{\mathrm{m}}^2$, ponieważ $\mathrm{12,0}{\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{0,03}=\mathrm{0,36}{\mathrm{m}}^2$, co zaokrąglamy do $\mathrm{0,4}{\mathrm{m}}^2$, ponieważ wartość pola powierzchni podłogi podana jest z dokładnością do jednej dziesiątej metra).

Zera

Podczas omawiania zagadnienia cyfr znaczących należy szczególnie skupić się na zerach. Zera w liczbie 0,053 nie są cyframi znaczącymi, ponieważ nie wpływają na wartość, otaczają jedynie przecinek. Liczba 0,053 ma dwie cyfry znaczące. Zera w liczbie 10,053 są cyframi znaczącymi – liczba ta ma pięć cyfr znaczących. Zera w liczbie 1300 mogą, ale nie muszą być cyframi znaczącymi – zależy to od sposobu zapisu. Mogą one oznaczać, że wartość liczby jest znana do ostatniej cyfry, mogą także być cyframi wypełniającymi. 1300 może mieć więc dwie, trzy lub cztery cyfry znaczące. Aby uniknąć niejednoznaczności, powinniśmy skorzystać z notacji wykładniczej. 1300 możemy zapisać jako $\mathrm{1,3}·{10}^3$, $\mathrm{1,30}·{10}^3$ lub $\mathrm{1,300}·{10}^3$ w zależności od tego, czy ma dwie, trzy czy cztery cyfry znaczące. Zera są cyframi znaczącymi, chyba że służą jedynie jako cyfry wypełniające.

Cyfry znaczące w obliczeniach

Jeżeli podczas obliczeń operujemy na pomiarach o różnym stopniu precyzji, liczba cyfr znaczących wyniku nie może być większa niż liczba cyfr znaczących pomiaru o najmniejszej precyzji. Wyróżniamy dwie zasady: jedną dla mnożenia i dzielenia, a drugą dla dodawania i odejmowania.

1. Jeśli chodzi o mnożenie i dzielenie, wynik powinien mieć taką samą liczbę cyfr znaczących jak wartość pomiaru o najniższym stopniu precyzji. Jeśli znamy promień koła, możemy obliczyć jego pole powierzchni, korzystając ze wzoru $A=\pi r^2$. Sprawdźmy, ile cyfr znaczących ma wartość pola koła, którego promień jest równy $r=\mathrm{1,2}\mathrm{m}$ (ma dwie cyfry znaczące). Używając kalkulatora o ośmiocyfrowym wyświetlaczu, otrzymalibyśmy

   $$A=\pi r^2=\mathrm{3,141}5927\dots \cdot {\left(\mathrm{1,2}\mathrm{m}\right)}^2=\mathrm{4,523}8934{\mathrm{m}}^2.$$

   Jednak wartość promienia podana jest z dokładnością do dwóch cyfr znaczących, co oznacza, że otrzymany wynik należy zaokrąglić:

   $$A=\mathrm{4,5}{\mathrm{m}}^2,$$

   mimo tego, że $\pi$ podane jest z dokładnością do ośmiu cyfr znaczących.

2. W przypadku dodawania lub odejmowania wynik nie może mieć więcej cyfr po przecinku niż najmniej precyzyjny pomiar. Załóżmy, że w sklepie spożywczym kupujemy 7,56 kg ziemniaków – ważymy je przy pomocy wagi o precyzji 0,01 kg. W naszym laboratorium przy pomocy wagi o precyzji 0,001 kg odmierzamy 6,052 kg ziemniaków i zostawiamy je tam. Następnie wracamy do domu, skąd zabieramy 13,7 kg ziemniaków, zważonych przy pomocy wagi łazienkowej o precyzji 0,1 kg. Ile kilogramów ziemniaków mamy i ilu cyfr znaczących powinniśmy użyć przy formułowaniu odpowiedzi? Masę otrzymujemy dzięki prostemu dodawaniu i odejmowaniu:

   $$\left(\mathrm{7,56}\mathrm{kg}-\mathrm{6,052}\mathrm{kg}\right)+\mathrm{13,7}\mathrm{kg}=\mathrm{15,208}\mathrm{kg}\text{.}$$

   Po dokonaniu obliczeń znajdujemy pomiar o najniższej precyzji: 13,7 kg. Wartość ta podana jest z dokładnością do jednego miejsca po przecinku, a więc wynik końcowy również powinien być podany z taką dokładnością. Zaokrąglamy otrzymany wcześniej wynik do części dziesiętnych i uzyskujemy 15,2 kg.

Cyfry znaczące w tym podręczniku

Większość liczb w tej książce podawana jest z dokładnością do trzech cyfr znaczących. Poza tym wszystkie wartości przedstawiane w danym przykładzie mają odpowiednią liczbę cyfr znaczących. Na przykład wynik podawany jest z dokładnością do trzech cyfr znaczących, ponieważ wartość początkowa również miała taką dokładność. Jeśli wartość początkowa ma mniej cyfr znaczących, wynik również będzie miał ich mniej. Liczba cyfr znaczących jest również odpowiednio dobrana do sytuacji. W przypadku niektórych dziedzin, zwłaszcza w optyce, potrzebne są liczby o wysokim stopniu precyzji. Jeżeli podana jest dokładna wartość liczby, jak na przykład 2 we wzorze na obwód koła, $C=2\pi r$, nie ma ona wpływu na liczbę cyfr znaczących wyniku. Przeliczniki, takie jak na przykład $100\mathrm{c}\mathrm{m}=1\mathrm{m}$, są uznawane za wartości dokładne i również nie mają wpływu na liczbę cyfr znaczących wyniku.