Rozdz. 11 Zadania trudniejsze - Fizyka dla szkół wyższych. Tom 3

Zadania trudniejsze

78.

Elektrony i pozytony są zderzane w akceleratorze kołowym. Wyprowadź równanie na energię zderzenia w układzie środka masy cząstek.

79.

Natężenie promieniowania kosmicznego zazwyczaj silnie maleje wraz ze wzrostem energii cząstek docierających do nas z kosmosu, ale do atmosfery okazjonalnie trafiają wysokoenergetyczne cząstki, które po zderzeniu z jądrem atomowym cząsteczek atmosfery wywołują kaskadę nowych cząstek. Załóż, że promieniowanie kosmiczne o wysokiej energii $10^{10}\si{\giga\electronvolt}$ wytwarza się w zderzeniu cząstek o średnich masach spoczynkowych $\SI{200}{\mega\electronvolt}/c^2$ .

Ile cząstek jest w stanie wytworzyć jeden kwant promieniowania kosmicznego o tak dużej energii?
Jeśli deszcz nowych cząstek pada następnie na obszar o powierzchni $\SI{1}{\kilo\metre\squared}$ , to jaka jest gęstość powierzchniowa cząstek (liczba cząstek na metr kwadratowy)?

80.

Oblicz wielkość czynnika relatywistycznego Lorentza $\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ dla protonów o energii $\SI{1}{\tera\electronvolt}$ wytwarzanych w akceleratorze Tevatron w Laboratorium im. Enrico Fermiego;
Jeśli taki proton rozpadł się na mezon $\pi^{\text{+}}$ o tej samej prędkości, to jaki czas życia pionu zarejestrujemy w laboratorium?
Jaką drogę w tym czasie pokona pion?

81.

W planowanym eksperymencie dotyczącym badania oddziaływań silnych wytwarzana ma być wiązka wtórna złożona z mezonów $\Kappa$ , które z energią kinetyczną $\SI{500}{\mega\electronvolt}$ miałyby rozpraszać się na tarczy atomowej.

Jaką wartość będzie miał czynnik Lorentza $\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ dla tych kaonów?
Jaki średni czas życia miałyby cząstki?
Jaką drogę mogłyby pokonać w laboratorium w czasie swojego życia?

82.

Neutrina są masowo produkowane w supernowych, takich jak supernowa 1987A – należąca do Obłoku Magellana gwiazda odległa o $\num{120000}$ lat świetlnych od Ziemi (jak na supernową jest to stosunkowo blisko Drogi Mlecznej). Gdyby neutrina były obdarzone masą, nie mogłyby się poruszać z prędkością światła, jednak jeśli ich masa jest bardzo mała, to ich prędkość może być bliska prędkości światła.

Załóż, że neutrina mają masę $\SI{7}{\electronvolt}/c^2$ i z supernowej 1987A wylatują z energią kinetyczną $\SI{700}{\kilo\electronvolt}$ . Oblicz czynnik relatywistyczny Lorentza $\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ dla tych neutrin;
Jeśli w tym samym czasie z supernowej wylatuje foton, to o ile wcześniej niż neutrino dotrze on do Ziemi? Ta różnica w czasie podróży jest bardzo niewielka, jeśli weźmiemy pod uwagę fakt, że nie jesteśmy w stanie określić, które dokładnie cząstki wyleciały jednocześnie z supernowej w kierunku Ziemi, a wydajność detekcji neutrin jest bardzo niska (ze względu na ich małą masę i przez to słabe oddziaływanie z materiałem czynnym jakiegokolwiek detektora). Zatem fakt, że neutrina docierają do nas w zaledwie kilka godzin od wybuchu supernowej, stanowi górny limit oszacowania masy neutrin.

Wskazówka: Do obliczenia prędkości neutrin $\nu$ możesz potrzebować rozwinięcia w szereg Taylora ze względu na dużą wartość $\gamma$ .

83.

Założywszy, że orbita Słońca wokół środka Drogi Mlecznej jest kołowa, oblicz prędkość orbitalną Słońca. Wykorzystaj informacje: masa całej Drogi Mlecznej równa $\num{1,5e11}$ masy Słońca (czyli $\SI{3e41}{\kilogram}$ ) może być skupiona w środku orbity w odległości $\num{30000}$ lat świetlnych od Słońca.

84.

Jaką w przybliżeniu siłą człowiek o masie $\SI{70}{\kilogram}$ jest przyciągany przez Galaktykę Andromedy, której masa wynosi ok. $10^{13}$ masy Słońca i którą możemy umieścić w punkcie odległym o $\SI{0,613}{\mega\parsec}$ (odległość od Ziemi)?
Jaki jest stosunek tej siły do masy człowieka (wielkość natężenia pola grawitacyjnego wytwarzanego przez Galaktykę Andromedy na Ziemi)? Zauważ, że Galaktyka Andromedy jest najbliższą nam galaktyką.

85.

Pozostająca w spoczynku względem obserwatora para cząstka–antycząstka ulega anihilacji i cała jej energia spoczynkowa zamienia się w energię dwóch fotonów $\gamma$ biegnących w przeciwnych kierunkach. Jakiej charakterystycznej energii fotonów $\gamma$ należy się spodziewać jako świadectwa anihilacji pary proton-antyproton (fakt, że fotonów o takiej energii prawie się nie rejestruje, oznacza, że udział antymaterii we Wszechświecie jest bardzo niewielki)?
Porównaj tę energię z energią fotonów powstałych z anihilacji par elektron–pozyton ( $\SI{0,511}{\mega\electronvolt}$ ).

86.

Maksimum natężenia promieniowania reliktowego przypada na długość fali $\SI{1,1}{\milli\metre}$ .

Jaką energię w elektronowoltach ma foton o tej długości fali?
Szacuje się, że na każdą cząstkę obdarzoną masą przypada w odległym kosmosie ok. $10^{19}$ fotonów. Oblicz całkowitą energię liczby $10^{19}$ fotonów;
Jeśli przyjmiemy, że każda cząstka masywna ma masę równą mniej więcej połowie masy protonu, to ile wynosi energia spoczynkowa tej cząstki?
Czy otrzymane wyniki świadczą o tym, że przestrzeń kosmiczna jest zdominowana przez materię? Wyjaśnij krótko odpowiedź.

87.

Skorzystaj z zasady nieoznaczoności Heisenberga, aby obliczyć nieoznaczoność energii odpowiadającą przedziałowi czasu $10^{-43}\si{\second}$ ;
Porównaj wynik z energią $10^{19}\si{\giga\electronvolt}$ , przy której zachodzi unifikacja oddziaływań, i omów, dlaczego występuje podobieństwo.