William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

1.6 Zasada Huygensa

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

opisywać zasadę Huygensa;
wyjaśniać prawo odbicia, wykorzystując zasadę Huygensa;
wyjaśniać prawo załamania, wykorzystując zasadę Huygensa;
używać zasady Huygensa do wyjaśnienia dyfrakcji.

Dotychczas w tym rozdziale omawialiśmy zjawiska optyczne, używając pojęcia promienia świetlnego. Jednakże opis pewnych zjawisk wymaga analizy i wyjaśnienia w kontekście falowych właściwości światła. Jest to szczególnie ważne, gdy długość fali jest porównywalna z wymiarem przyrządów optycznych, takich jak szczelina w przypadku dyfrakcji. Teoria wprowadzona przez Huygensa pozwala opisać takie sytuacje.

Ilustracja 1.25 pokazuje, jak wygląda fala poprzeczna widziana z góry i z boku. Można wyobrazić sobie światło jako falę propagującą się w sposób pokazany na rysunku, chociaż w rzeczywistości nie widać jej drgań w przestrzeni. Z góry widać czoła fali (grzbiety fali), podobnie jak w przypadku oglądanych z góry fal morskich. Widok z boku byłby wykresem pola elektrycznego lub magnetycznego. Widok z góry wydaje się wygodniejszy przy wprowadzaniu pojęć z zakresu optyki falowej (ang. wave optics).

Figura składa się z trzech rysunków fali. Pierwszy rysunek ukazuje ją od góry. Fala rozprzestrzenia się na prawo i wygląda jak seria pionowych pasków o jasności płynnie i cyklicznie zmieniającej się od ciemnej do jasnej. Drugi rysunek pokazuje falę z boku. Tu również fala rozprzestrzenia się w prawo, lecz wygląda jak sinusoida oscylująca w górę i w dół wokół czarnej osi skierowanej w prawo. Trzeci rysunek ukazuje falę w rzucie ukośnym, w perspektywie. Jest to fala o tej samej długości, co na poprzednich rysunkach. Wygląda jak pofalowana powierzchnia. — Ilustracja 1.25 Fala poprzeczna, na przykład fala elektromagnetyczna, widziana z góry i z boku. Kierunek rozchodzenia się (propagacji) fali jest prostopadły do czół fali (grzbietów fali) i opisany przez promień.

Holenderski fizyk Christiaan Huygens (1629–1695) opracował przekonującą teorię, która szczegółowo opisuje sposób rozchodzenia się fal. Zasada Huygensa (ang. Huygens’ principle) mówi, że dla pewnego znanego położenia czoła fali wszystkie jego punkty są źródłami kulistych fal wtórnych rozprzestrzeniających się w tym samym kierunku i z tą samą prędkością co fala pierwotna. Nowe czoło fali jest wyznaczone przez powierzchnię styczną do powierzchni fal wtórnych.

Ilustracja 1.26 pokazuje konstrukcję geometryczną wykorzystującą zasadę Huygensa. Czoło fali ma postać prostej, która się przemieszcza; może ono odpowiadać zarówno grzbietowi, jak i dolinie fali. Każdy punkt czoła fali jest źródłem półkolistej fali wtórnej, która porusza się z prędkością $v$ . Możemy narysować tę falę po upływie czasu $t$ , w którym przebędzie ona drogę $s = v t$ . Nowe czoło fali jest płaszczyzną styczną do powierzchni fal wtórnych i znajduje się w miejscu, w którym znajdzie się fala po upływie czasu $t$ . Zasada Huygensa jest słuszna dla wszystkich typów fal, włączając w to fale wytwarzane na powierzchni wody, fale dźwiękowe i świetlne. Zasada ta tłumaczy nie tylko to, w jaki sposób rozchodzą się fale świetlne, ale także wyjaśnia prawa odbicia i załamania. Ponadto przekonamy się, że zasada Huygensa wyjaśnia warunki interferencji promieni świetlnych.

Figura przedstawia dwie linie proste ustawione pionowo. Lewa linia jest opisana jako stare czoło fali, a prawa linia jako nowe czoło fali. W środku, czarna pozioma strzałka skierowana w prawo przecina obie linie. Stare czoło fali przebiega przez sześć kropek rozmieszczonych w równych odstępach, tak że nad strzałką są cztery kropki, a pod strzałką są dwie kropki. Każda z kropek jest środkiem własnego półokręgu, a wszystkie półokręgi mają ten sam rozmiar. Nowe czoło fali jest styczne do prawego skraju wszystkich półokręgów. Z jednej z kropek wychodzi strzałka wskazująca na punkt na jej półokręgu. Przy strzałce jest wzór: s równa się v razy t. — Ilustracja 1.26 Zasada Huygensa została zastosowana do czoła fali płaskiej. Każdy punkt czoła fali jest źródłem półkolistych fal wtórnych, które pokonują drogę $s = v t$ . Nowe czoło fali jest linią styczną do czół fal wtórnych.

Odbicie

Ilustracja 1.27 pokazuje, w jaki sposób zwierciadło odbija padającą falę pod kątem równym kątowi padania, potwierdzając prawo odbicia. Gdy czoło fali pada na zwierciadło, fale wtórne najpierw są wytwarzane po lewej stronie zwierciadła, a następnie po prawej. Fale wtórne wytwarzane bliżej lewej strony zdążyły przemieścić się dalej w określonym czasie, tworząc czoło fali poruszające się w pokazanym kierunku.

Na rysunku widać regularną siatkę złożoną z czterech poziomych, równoległych, równo rozstawionych promieni światła, które padają na lustro obrócone pod kątem 45 stopni do kierunku padania promieni. Promienie zostają odbite pionowo w dół. Narysowane są też dwa dodatkowe promienie odbite od niewidocznej, górnej części lustra. W miejscach przecięcia promieni padających i odbitych narysowano kropki. Wokół kropek narysowano półokręgi. Półokręgi skierowane w prawo symbolizują fale wtórne promieni padających, zaś półokręgi skierowane w dół symbolizują fale wtórne promieni odbitych. — Ilustracja 1.27 Zasada Huygensa została zastosowana do czoła fali płaskiej padającej na zwierciadło. Fale koliste (wtórne) powstają wtedy, gdy dany punkt czoła fali dociera do zwierciadła. Styczna do powierzchni powstających fal kolistych wytycza nowe czoło fali odbitej pod kątem równym kątowi padania. Kierunek rozchodzenia się fali jest prostopadły do czoła fali i przedstawiony jako strzałka skierowana pionowo w dół.

Załamanie

Na gruncie zasady Huygensa możemy również wyjaśnić prawo załamania (Ilustracja 1.28). Każda fala kolista pokazana na rysunku była wytworzona w momencie, gdy czoło fali przekraczało granicę między ośrodkami. Ponieważ prędkość światła w drugim ośrodku jest mniejsza, fale przebywają w tym samym czasie krótszą drogę, w konsekwencji nowe czoło fali zmienia kierunek. To wyjaśnia, dlaczego promień zmienia kierunek (przesuwa się w stronę normalnej), kiedy światło zmniejsza swoją prędkość w drugim ośrodku. Z zależności geometrycznych przedstawionych na Ilustracji 1.28 (Przykład 1.6) da się wyprowadzić prawo Snella.

Rysunek przedstawia dwa ośrodki rozdzielone poziomą linią opisaną jako powierzchnia. Górny ośrodek oznakowano jako ośrodek 1, a dolny jako ośrodek 2. Przez ośrodek 1 biegnie promień ukośnie w prawo i w dół padając na powierzchnię. Przerywana pionowa linia prostopadła do powierzchni przecina oba ośrodki w punkcie padania promienia. Promień załamany w ośrodku 2 odchyla się w dół, w kierunku przerywanej linii. Droga promienia tworzy kąt teta 1 z linią przerywaną w ośrodku 1 oraz kąt teta 2 z linią przerywaną w ośrodku 2, przy czym kąt teta 2 jest mniejszy niż kąt teta 1. Linie opisane jako czoła fali przebiegają prostopadle do promienia padającego i do promienia załamanego. Linie te narysowano w równych odstępach w każdym ośrodku, lecz w ośrodku 2 są one bliżej siebie niż w ośrodku 1. Odstęp między tymi liniami jest opisany jako v 1 w ośrodku 1 i jako v 2 w ośrodku 2, przy czym v 2 jest mniejsze niż v 1. — Ilustracja 1.28 Zasada Huygensa zastosowana dla fali płaskiej przemieszczającej się z jednego ośrodka do drugiego, w którym prędkość fali jest mniejsza. Promień ugina się w kierunku normalnej, ponieważ fale poruszające się w drugim ośrodku mają mniejszą prędkość.

Przykład 1.6

Wyprowadzenie prawa załamania

Rozpatrując geometrię czoła fali w ośrodku pierwszym i drugim, wyprowadźmy prawo załamania.

Strategia rozwiązania

Przypatrzmy się Ilustracji 1.29, który jest powiększeniem Ilustracji 1.28. Widać na nim, że padające czoło fali właśnie dociera do punktu

A

na powierzchni ośrodka 2, podczas, gdy punkt

B

tego samego czoła fali wciąż znajduje się w ośrodku 1. W czasie

Δ t

potrzebnym do przemieszczenia się czoła fali z punktu

B

do punktu

B^{'}

znajdującego się na powierzchni ośrodka 2 fala poruszała się z prędkością

v_{1} = c ∕ n_{1}

, natomiast fale koliste poruszające się w ośrodku 2 przebywają drogę

A A^{'} = v_{2} Δ t

, gdzie

v_{2} = c ∕ n_{2}

. Zauważmy, że w tym przypadku prędkość

v_{2}

jest mniejsza od

v_{1}

, ponieważ

n_{1} < n_{2}

.

Rysunek stanowi geometryczne przedstawienie załamania promienia i związanego z nim czoła fali. Pozioma powierzchnia rozdziela dwa ośrodki: ośrodek 1 o współczynniku załamania n 1 oraz ośrodek 2 o współczynniku załamania n 2. Z ośrodka 1 do ośrodka 2 wpada promień światła. Dociera do powierzchni w punkcie A i załamuje się w kierunku normalnej w ośrodku 2. Przez punkt A przebiega prostopadła do promienia w ośrodku 1 przerywana linia opisana jako czoło fali. Promień pada na powierzchnię pod kątem teta 1. Obok narysowany jest drugi promień równoległy do pierwszego znajdujący się dalej od powierzchni. W chwili, gdy pierwszy promień pada na powierzchnię, ten promień znajduje się w punkcie B, zaś do powierzchni dociera w punkcie B prim. W punkcie B prim narysowana jest przerywaną linią normalna powierzchni, a także ciągłą linią czoło fali tego promienia, prostopadłe do niego. Kąt między normalną a drugim promieniem także wynosi teta 1. Trójkąt utworzony przez punkty A, B, i B prim jest trójkątem prostokątnym, z kątem teta 1 przy wierzchołku A i kątem prostym przy wierzchołku B. Promienie załamane w punktach A i B prim odginają się w kierunku normalnych, tworząc z nimi kąty teta 2. Czoło fali załamanej prostopadłe do obu promieni załamanych jest narysowane w punkcie B prim. To czoło fali przecina pierwszy promień w punkcie A prim i tworzy z powierzchnią kąt theta 2. — Ilustracja 1.29 Geometryczne przedstawienie prawa załamania przy przejściu promienia z ośrodka 1 do ośrodka 2.

Rozwiązanie

Fragment o długości

A B^{'}

jest wspólny dla dwóch trójkątów:

A B B^{'}

w ośrodku 1 i

A A^{'} B^{'}

w ośrodku 2. Z geometrii rysunku wynika, że kąt

∠ B A B'

jest równy kątowi padania

θ_{1}

, natomiast

∠ A B' A'

jest równy kątowi załamania

θ_{2}

.

Długość odcinka $A B^{'}$ można wyznaczyć na dwa sposoby (dwa trójkąty)

A B^{'} = \frac{B B^{'}}{sin θ_{1}} = \frac{A A^{'}}{sin θ_{2}} .

Przekształcając powyższe równanie oraz podstawiając $A A^{'} = c Δ t ∕ n_{2}$ i $B B^{'} = c Δ t ∕ n_{1}$ , otrzymujemy

\frac{sin θ_{1}}{c Δ t ∕ n_{1}} = \frac{sin θ_{2}}{c Δ t ∕ n_{2}} .

Skracając czynnik $c Δ t$ , otrzymujemy wyrażenie

n_{1} sin θ_{1} = n_{2} sin θ_{2} .

Znaczenie

Prawo załamania, omówione w podrozdziale Rozszczepienie, zostało sformułowane przez Snella na podstawie doświadczeń. Wyprowadzenie go wymaga jednak zastosowania zasady Huygensa i zrozumienia, że prędkość światła jest różna w różnych ośrodkach.

Sprawdź, czy rozumiesz 1.5

W Przykładzie 1.6 przyjęliśmy $n_{1} < n_{2}$ . Jeżeli $n_{2}$ zmalałoby tak, że $n_{1} > n_{2}$ i prędkość światła w ośrodku 2 byłaby większa niż w ośrodku 1, co stałoby się długością odcinka $A A^{'}$ ? Co stałoby się z czołem fali $A^{'} B^{'}$ i jaki byłby kierunek promienia załamanego?

Materiały pomocnicze

Ta aplikacja autorstwa Waltera Fendta przedstawia procesy odbicia i załamania, wykorzystujące fale koliste Huygensa, z możliwością zmiany parametrów. Nie zapomnij nacisnąć „Next step”, aby wyświetlić fale koliste. Zobaczysz tworzące się czoła fal: odbitej i załamanej.

Dyfrakcja

Co się wydarzy, gdy fala świetlna przejdzie przez otwarte drzwi do ciemnego pomieszczenia? Dla światła obserwujemy wyraźny, jasny obszar o szerokości wejścia na podłodze pokoju, ale nie występuje ugięcie fali świetlnej na krawędziach drzwi, więc światło nie dociera do innych miejsc pokoju. Natomiast kiedy dźwięk przechodzi przez drzwi pokoju, słyszymy go wszędzie, czyli odczuwamy, że dźwięk rozchodzi się w każdym kierunku (Ilustracja 1.30). Z czego wynika różnica w zachowaniu fal dźwiękowych i fal świetlnych w tym przypadku? Odpowiedź jest następująca: światło ma bardzo małą długość fali i z tego względu zachowuje się jak promień (nie ulega ugięciu). Natomiast dźwięk ma długość fali porównywalną z rozmiarem drzwi, w związku z czym ugina się na otworze drzwiowym i dociera do wszystkich miejsc w pokoju. Dla częstotliwości $1000 Hz$ przy prędkości dźwięku $c$ długość fali wynosi

λ = \frac{c}{f} = \frac{330 m/s}{1000 s^{−1}} = 0,33 m,

zatem jest około trzy razy mniejsza niż szerokość wejścia.

Ilustracja przedstawia widok z góry na plan zawierający ścianę, w której są otwarte drzwi. Ściana rozciąga się pionowo przez całą wysokość rysunku, a otwór drzwiowy jest przedstawiony jako przerwa w ścianie. Skrzydło drzwi jest widoczne w pozycji otwartej po lewej stronie ściany, do pełnego otwarcia czyli dotknięcia ściany brakuje mu około 45 stopni. Światło z dopiskiem małe lambda pada z lewej strony prostopadle do ściany. Część światła przechodzi przez otwarty otwór drzwiowy. Pas światła przechodzący przez drzwi ma ostre brzegi, widoczne w postaci prostoliniowych cieni przy obu końcach otworu wejściowego. Cień za skrzydłem otwartych drzwi również ma ostre brzegi. Na rysunku po prawej stronie przedstawiono identyczny plan. Linia równoległa do ściany reprezentuje czoło fali dźwiękowej zbliżającej się do drzwi. W otworze drzwiowym znajduje się 5 kropek w równych odstępach, opisanych numerami od 1 do 5. Na prawo od każdej kropki narysowano półokrąg wchodzący do pokoju po prawej stronie ściany. Wszystkie te półokręgi są objęte linią w kształcie nawiasu kwadratowego z zaokrąglonymi rogami. Ta linia opisana jest jako dźwięk. Zaznaczono pięć promieni prowadzących od linii w kształcie nawiasu do wnętrza pokoju po prawej stronie ściany. Trzy z tych promieni kierują się poziomo w prawo, jeden promień ukośnie w górę i w prawo i jeden ukośnie w dół w prawo. Ten ostatni promień trafia do ucha osoby widzianej od góry. Opis brzmi: człowiek w pokoju słyszy dźwięk, mimo że stoi za rogiem. — Ilustracja 1.30 (a) Światło, przechodząc przez otwór drzwiowy, wytwarza wyraźny kontur cienia na podłodze. Ponieważ długość fali światła jest bardzo mała w porównaniu do rozmiaru drzwi, traktowane jest ono jak promień. (b) Fale dźwiękowe uginają się i docierają do wszystkich miejsc w pokoju, ujawnia się falowa natura dźwięku, ponieważ długości fal dźwiękowych są porównywalne do rozmiarów drzwi.

Jeśli światło przechodzi przez mniejsze otwory, takie jak szczeliny, możemy użyć zasady Huygensa, aby przekonać się, że światło ugina się jak fala dźwiękowa (Ilustracja 1.31). Ugięcie fali na krawędziach otworu lub na przeszkodzie nazywane jest dyfrakcją (ang. diffraction). Dyfrakcja jest zjawiskiem falowym i zachodzi dla wszystkich rodzajów fal. Jeżeli obserwujemy dyfrakcję dla pewnych zjawisk, jest to dowód, że mamy do czynienia z falą. Zatem pozioma dyfrakcja wiązki laserowej po przejściu przez szczeliny na Ilustracji 1.31 jest dowodem, że światło jest falą. Więcej szczegółów na temat dyfrakcji poznamy w rozdziale Dyfrakcja.