William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

1.3 Załamanie

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

opisywać, jak zmienia się kierunek promienia światła przy przejściu przez granicę dwóch ośrodków;
stosować prawo załamania światła w rozwiązywaniu zadań.

Patrząc na akwarium, często dostrzegamy zadziwiające zjawiska. Na przykład może nam się wydawać, że ta sama ryba znajduje się w dwóch miejscach (Ilustracja 1.12). Dzieje się tak, ponieważ światło biegnące od ryby do obserwatora zmienia swój kierunek, gdy wychodzi z akwarium. W tym przypadku światło, aby dotrzeć do naszych oczu, może poruszać się dwoma różnymi drogami. Zmiana kierunku biegu promienia światła wynikająca ze zmiany współczynnika załamania nazywa się załamaniem (ang. refraction) i zależy od zmiany prędkości światła $v = c ∕ n$ . Za wiele zjawisk optycznych, począwszy od najprostszych, takich jak przejście światła przez soczewkę, kończąc na transmisji danych w światłowodach, odpowiada załamanie światła.

Rysunek przedstawia osobę patrzącą na akwarium od strony jego narożnika. Ryba znajdująca się w narożniku widoczna jest jednocześnie w dwóch miejscach. Każdy z obrazów ryby powstaje w wyniku załamania światła na jednej z prostopadłych szyb narożnika. Figura B obok przedstawia analogiczną sytuację na zdjęciu. — Ilustracja 1.12 (a) Patrząc na akwarium, widzimy tę samą rybę w dwóch różnych położeniach, ponieważ kierunek wiązki światła zmienia się, gdy przechodzi ona z wody do powietrza. W tym przypadku światło może dotrzeć do obserwatora dwoma różnymi drogami, więc ryba zdaje się znajdować w dwóch różnych miejscach. Takie ugięcie wiązki światła jest nazywane załamaniem i odpowiada za wiele innych zjawisk optycznych. (b) Zdjęcie przedstawia załamanie światła dla ryby znajdującej się w pobliżu górnej części akwarium.

Ilustracja 1.13 pokazuje, jak promień światła zmienia kierunek, kiedy przechodzi z jednego ośrodka do drugiego. Tak jak wcześniej, kąty są mierzone względem prostej prostopadłej do powierzchni (normalnej) w punkcie, w którym promień światła przechodzi przez granicę ośrodków. (Część padającego światła zostaje odbita od powierzchni, jednakże w tej chwili skupimy się na świetle, które przechodzi do drugiego ośrodka). Zmiana kierunku promienia światła zależy od wartości współczynników załamania światła (podrozdział Rozchodzenie się światła) ośrodków, na granicy których zachodzi załamanie. W rozważanej sytuacji ośrodek 2 ma większy współczynnik załamania światła niż ośrodek 1, tzn. światło w ośrodku 2 rozchodzi się wolniej niż w ośrodku 1. Na Ilustracji 1.13 (a) widzimy, że kierunek załamanego promienia światła odchyla się w stronę normalnej, kiedy światło przechodzi z ośrodka o mniejszym współczynniku załamania światła do ośrodka o większym współczynniku załamania. W sytuacji odwrotnej, jak pokazuje Ilustracja 1.13 (b), kierunek promienia światła odchyla się od normalnej, gdyż światło przechodzi z ośrodka o większym współczynniku załamania do ośrodka o mniejszym współczynniku załamania. Przebieg promieni światła w obu przypadkach jest taki sam, ale poruszają się w przeciwną stronę.

Figura ilustruje załamanie światła na granicy dwóch ośrodków. Na obu rysunkach ośrodek 1 znajduje się nad ośrodkiem 2, a ich granica jest pozioma. Przez oba ośrodki przebiega, załamując się na granicy, pojedynczy promień świetlny. W miejscu przecięcia promienia z granicą ośrodków narysowana jest linia prostopadła do granicy. Na rysunku a, promień światła pada z góry i przechodzi z ośrodka 1 do ośrodka 2. W ośrodku 1, promień padający tworzy kąt teta 1 z linią prostopadłą do granicy, zaś promień załamany w ośrodku 2 tworzy mniejszy kąt teta 2 z linią prostopadłą. Na rysunku b, promień światła pada z dołu i przechodzi z ośrodka 2 do ośrodka 1. W ośrodku 2, promień padający tworzy kąt teta 2 z linią prostopadłą do granicy ośrodków, zaś promień załamany w ośrodku 1 tworzy większy kąt teta 1 z linią prostopadłą. Kąt teta 1 na rysunku a jest równy kątowi teta 1 na rysunku 2. Podobnie, kąt teta 2 na rysunku a jest równy kątowi teta 2 na rysunku b. — Ilustracja 1.13 Zmiana kierunku promienia światła zależy od tego, jak współczynnik załamania zmienia się przy przejściu z jednego ośrodka do drugiego. W sytuacjach pokazanych powyżej współczynnik załamania jest większy dla ośrodka 2 niż dla ośrodka 1. (a) Promień światła odchyla się w kierunku do normalnej, wnikając do ośrodka o większym współczynniku załamania światła. (b) Promień światła odchyla się od normalnej, wchodząc do ośrodka o mniejszym współczynniku załamania światła.

Zmiana kierunku promienia światła towarzysząca przejściu do innego ośrodka zależy zarówno od kąta padania, jak i wartości, o jaką zmienia się prędkość światła. Dla promienia światła o określonym kącie padania duża zmiana prędkości światła w ośrodku powoduje dużą zmianę kąta załamania. Prawo załamania światła (ang. law of refraction) znane również jako prawo Snella (ang. Snell’s law; holenderski matematyk Willebrord Snell (1580–1626) odkrył je w 1621 r.) przyjmuje postać

n_{1} sin θ_{1} = n_{2} sin θ_{2},

1.4

gdzie $n_{1}$ i $n_{2}$ to współczynniki załamania światła w ośrodkach 1 i 2, a $θ_{1}$ i $θ_{2}$ to kąty pomiędzy promieniami światła a normalną do powierzchni w ośrodkach 1 i 2. Promień przychodzący jest nazywany promieniem padającym, promień wychodzący jest nazywany promieniem załamanym, a związane z nimi kąty nazwano odpowiednio kątem padania i kątem załamania.

Doświadczenia wykonane przez Snella dowiodły spełnienia prawa załamania, a charakterystyczna wielkość – współczynnik załamania $n$ – może być przypisany do danego ośrodka, a jego wartość zmierzona. Snell nie wiedział wtedy, że prędkość światła zmienia się w różnych ośrodkach, a ma to kluczowe znaczenie, na przykład wtedy, gdy będziemy wyprowadzać teoretycznie prawo załamania, korzystając z zasady Huygensa w podrozdziale Zasada Huygensa.

Przykład 1.2

Wyznaczanie współczynnika załamania światła

Wyznaczmy współczynnik załamania światła dla ośrodka 2 z Ilustracji 1.13 (a), przyjmując, że ośrodkiem 1 jest powietrze, kąt padania wynosi

30 °

, a kąt załamania

22 °

.

Strategia rozwiązania

Współczynnik załamania światła dla powietrza przyjmuje wartość 1 w większości przypadków (przy zaokrągleniu do czterech cyfr znaczących jest to

1,000

). Z tego wynika, że

n_{1} = 1

. Z treści odczytujemy wartości kątów

θ_{1} = 30 °

i

θ_{2} = 22 °

. Biorąc pod uwagę powyższe dane, widzimy, że jedyną niewiadomą w prawie Snella jest

n_{2}

. Korzystając z prawa Snella, wyznaczamy

n_{2}

.

Rozwiązanie

Z prawa Snella wiemy, że

n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2 \implies n_2 = n_1\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} \text{.}

Podstawiając dane liczbowe, otrzymujemy

n_{2} = 1 \cdot \frac{sin 30 °}{sin 22 °} = \frac{0,5}{0,375} = 1,33 .

Znaczenie

Jest to współczynnik załamania światła w wodzie, który Snell mógł wyznaczyć, mierząc kąty i wykonując obliczenia. Wyznaczona wartość wynosi

1,33

, co jest odpowiednią wartością współczynnika załamania dla wody w każdej sytuacji, np. gdy promień światła przechodzi ze szkła do wody. Dzisiaj możemy łatwo sprawdzić, że współczynnik załamania zależy od prędkości światła w ośrodku, mierząc tę prędkość bezpośrednio.

Materiały pomocnicze

Korzystając z symulacji, zbadaj ugięcie (załamanie) światła pomiędzy dwoma ośrodkami o różnych współczynnikach załamania. Zobacz, jak zmiana ośrodków z powietrza na wodę i szkło wpływa na kąt załamania. Skorzystaj z kątomierza, by zmierzyć kąty, i zobacz, czy jesteś w stanie odtworzyć układ z Przykładu 1.2. Dodatkowo, wykonując pomiar, potwierdź, że kąt odbicia jest równy kątowi padania.

Przykład 1.3

Większe kąty załamania

Przyjmijmy, że w sytuacji z Przykładu 1.2 światło przechodzi z powietrza do diamentu, a kąt padania wynosi

30 °

. Obliczmy kąt załamania

θ_{2}

w diamencie.

Strategia rozwiązania

Ponownie współczynnik załamania światła w powietrzu przyjmujemy jako

n_{1} = 1

, oprócz tego dany jest kąt

θ_{1} = 30 °

. Współczynnik załamania dla diamentu znajdujemy w Tabeli 1.1,

n_{2} = 2,419

. Jedyną niewiadomą w prawie Snella jest kąt

θ_{2}

, który chcemy wyznaczyć.

Rozwiązanie

Z prawa Snella wyznaczamy

sin θ_{2}

sin θ_{2} = \frac{n_{1}}{n_{2}} sin θ_{1} .

Po podstawieniu danych otrzymujemy

sin θ_{2} = \frac{1}{2,419} sin 30 ° = 0,413 \cdot 0,5 = 0,207 .

Zatem kąt załamania wynosi

θ_{2} = arc sin (0,207) = 11,9 ° .

Znaczenie

Dla tego samego kąta padania

30 °

wyznaczony kąt załamania w diamencie jest znacznie mniejszy niż w wodzie (

11,9 °

zamiast

22 °

– zob. Przykład 1.2). Oznacza to większą zmianę kierunku biegu promienia w diamencie. Powodem dużej zmiany kierunku promienia jest duża zmiana współczynnika załamania światła (lub prędkości). Podsumowując, im większa jest zmiana prędkości światła w ośrodku, tym większa zmiana kierunku biegu promienia.

Sprawdź, czy rozumiesz 1.2

W Tabeli 1.1 widzimy, że kolejnym ciałem po diamencie o największym współczynniku załamania jest cyrkon. Jaki będzie nowy kąt załamania, jeśli diament z Przykładu 1.3 zostanie zastąpiony cyrkonem?