Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępności
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1

17.2 Prędkość dźwięku

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 117.2 Prędkość dźwięku
  1. Przedmowa
  2. Mechanika
    1. 1 Jednostki i miary
      1. Wstęp
      2. 1.1 Zakres stosowalności praw fizyki
      3. 1.2 Układy jednostek miar
      4. 1.3 Konwersja jednostek
      5. 1.4 Analiza wymiarowa
      6. 1.5 Szacowanie i pytania Fermiego
      7. 1.6 Cyfry znaczące
      8. 1.7 Rozwiązywanie zadań z zakresu fizyki
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Wektory
      1. Wstęp
      2. 2.1 Skalary i wektory
      3. 2.2 Układy współrzędnych i składowe wektora
      4. 2.3 Działania na wektorach
      5. 2.4 Mnożenie wektorów
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Ruch prostoliniowy
      1. Wstęp
      2. 3.1 Położenie, przemieszczenie, prędkość średnia
      3. 3.2 Prędkość chwilowa i szybkość średnia
      4. 3.3 Przyspieszenie średnie i chwilowe
      5. 3.4 Ruch ze stałym przyspieszeniem
      6. 3.5 Spadek swobodny i rzut pionowy
      7. 3.6 Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Ruch w dwóch i trzech wymiarach
      1. Wstęp
      2. 4.1 Przemieszczenie i prędkość
      3. 4.2 Przyspieszenie
      4. 4.3 Rzuty
      5. 4.4 Ruch po okręgu
      6. 4.5 Ruch względny w jednym i dwóch wymiarach
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 5 Zasady dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 5.1 Pojęcie siły
      3. 5.2 Pierwsza zasada dynamiki Newtona
      4. 5.3 Druga zasada dynamiki Newtona
      5. 5.4 Masa i ciężar ciała
      6. 5.5 Trzecia zasada dynamiki Newtona
      7. 5.6 Rodzaje sił
      8. 5.7 Rozkłady sił działających na ciała
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 6 Zastosowania zasad dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 6.1 Rozwiązywanie zadań związanych z zasadami dynamiki Newtona
      3. 6.2 Tarcie
      4. 6.3 Siła dośrodkowa
      5. 6.4 Siła oporu i prędkość graniczna
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 7 Praca i energia kinetyczna
      1. Wstęp
      2. 7.1 Praca
      3. 7.2 Energia kinetyczna
      4. 7.3 Zasada zachowania energii mechanicznej
      5. 7.4 Moc
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 8 Energia potencjalna i zasada zachowania energii
      1. Wstęp
      2. 8.1 Energia potencjalna układu
      3. 8.2 Siły zachowawcze i niezachowawcze
      4. 8.3 Zasada zachowania energii
      5. 8.4 Wykresy energii potencjalnej
      6. 8.5 Źródła energii
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    9. 9 Pęd i zderzenia
      1. Wstęp
      2. 9.1 Pęd
      3. 9.2 Popęd siły i zderzenia
      4. 9.3 Zasada zachowania pędu
      5. 9.4 Rodzaje zderzeń
      6. 9.5 Zderzenia w wielu wymiarach
      7. 9.6 Środek masy
      8. 9.7 Napęd rakietowy
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 10 Obroty wokół stałej osi
      1. Wstęp
      2. 10.1 Zmienne opisujące ruch obrotowy
      3. 10.2 Obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym
      4. 10.3 Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym
      5. 10.4 Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      6. 10.5 Obliczanie momentu bezwładności
      7. 10.6 Moment siły
      8. 10.7 Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
      9. 10.8 Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 11 Moment pędu
      1. Wstęp
      2. 11.1 Toczenie się ciał
      3. 11.2 Moment pędu
      4. 11.3 Zasada zachowania momentu pędu
      5. 11.4 Precesja żyroskopu
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 12 Równowaga statyczna i sprężystość
      1. Wstęp
      2. 12.1 Warunki równowagi statycznej
      3. 12.2 Przykłady równowagi statycznej
      4. 12.3 Naprężenie, odkształcenie i moduł sprężystości
      5. 12.4 Sprężystość i plastyczność
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    13. 13 Grawitacja
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo powszechnego ciążenia
      3. 13.2 Grawitacja przy powierzchni Ziemi
      4. 13.3 Energia potencjalna i całkowita pola grawitacyjnego
      5. 13.4 Orbity satelitów i ich energia
      6. 13.5 Prawa Keplera
      7. 13.6 Siły pływowe
      8. 13.7 Teoria grawitacji Einsteina
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    14. 14 Mechanika płynów
      1. Wstęp
      2. 14.1 Płyny, gęstość i ciśnienie
      3. 14.2 Pomiar ciśnienia
      4. 14.3 Prawo Pascala i układy hydrauliczne
      5. 14.4 Prawo Archimedesa i siła wyporu
      6. 14.5 Dynamika płynów
      7. 14.6 Równanie Bernoulliego
      8. 14.7 Lepkość i turbulencje
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fale i akustyka
    1. 15 Drgania
      1. Wstęp
      2. 15.1 Ruch harmoniczny
      3. 15.2 Energia w ruchu harmonicznym
      4. 15.3 Porównanie ruchu harmonicznego z ruchem jednostajnym po okręgu
      5. 15.4 Wahadła
      6. 15.5 Drgania tłumione
      7. 15.6 Drgania wymuszone
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 16 Fale
      1. Wstęp
      2. 16.1 Fale biegnące
      3. 16.2 Matematyczny opis fal
      4. 16.3 Prędkość fali na naprężonej strunie
      5. 16.4 Energia i moc fali
      6. 16.5 Interferencja fal
      7. 16.6 Fale stojące i rezonans
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 17 Dźwięk
      1. Wstęp
      2. 17.1 Fale dźwiękowe
      3. 17.2 Prędkość dźwięku
      4. 17.3 Natężenie dźwięku
      5. 17.4 Tryby drgań fali stojącej
      6. 17.5 Źródła dźwięków muzycznych
      7. 17.6 Dudnienia
      8. 17.7 Efekt Dopplera
      9. 17.8 Fale uderzeniowe
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
    17. Rozdział 17
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • wyjaśniać związek pomiędzy długością fali dźwiękowej a jej częstotliwością;
  • ustalać prędkość dźwięku w różnych ośrodkach;
  • podawać wzór na prędkość dźwięku z uwzględnieniem temperatury;
  • ustalać prędkość dźwięku w powietrzu w różnych temperaturach.

Dźwięk jak wszystkie fale propaguje się z określoną prędkością oraz posiada określoną częstotliwość (ang. frequency) i długość (ang. wavelength). Różnica między prędkością dźwięku a prędkością światła można zaobserwować, oglądając pokaz sztucznych ogni (Rysunek 17.4). Błysk wybuchu można zaobserwować wcześniej niż usłyszeć jego dźwięk, co sugeruje, że dźwięk propaguje się z ograniczoną i mniejszą prędkością niż światło.

Zdjęcie przedstawia kolorowe fajerwerki oświetlające nocne niebo.
Rysunek 17.4 Kiedy eksplodują fajerwerki, światło widzimy wcześniej niż słyszymy dźwięk, ponieważ propaguje się on wolniej niż światło.

Różnicę między prędkościami światła i dźwięku można również zauważyć podczas wyładowań atmosferycznych. Być może wiesz, że licząc sekundy między zaobserwowanym przez ciebie błyskiem a usłyszanym grzmotem, możesz oszacować jak daleko uderzył piorun. Światło dociera do oka niemal błyskawicznie, a dźwięk na pokonanie kilometra potrzebuje około trzech sekund. Prędkość każdej fali zależy od jej częstotliwości i długości, zgodnie ze wzorem:

v = f λ , v = f λ ,
17.3

gdzie v v jest prędkością dźwięku, f f jest częstotliwością, natomiast λ λ jest długością fali. Dla przypomnienia, z rozdziału Fale wynika, że długość fali jest odległością pomiędzy kolejnymi identycznymi punktami fali. Na powierzchni fali lub na strunie długość fali może być zmierzona pomiędzy dwoma kolejnymi punktami o tej samej wysokości i nachyleniu, na przykład pomiędzy dwoma kolejnymi grzbietami lub dwoma kolejnymi dolinami. Podobnie długość fali dźwiękowej jest odległością pomiędzy dwoma kolejnymi identycznymi punktami fali – na przykład pomiędzy dwoma identycznymi kolejnymi zagęszczeniami (Rysunek 17.5). Częstotliwość fali dźwiękowej jest taka sama jak częstotliwość źródła i jest liczbą fal, które docierają do określonego punktu ośrodka w jednostce czasu.

Zdjęcie przedstawia drgania widełek stroikowych generujących fale dźwiękowe.
Rysunek 17.5 Fala dźwiękowa wyemitowana ze źródła, jakim jest kamerton drgający z częstotliwością f f . Fala dźwiękowa o długości λ λ propaguje się z prędkością v v .

Prędkość dźwięku w różnych ośrodkach

Tabela 17.1 pokazuje, że prędkość dźwięku zależy od tego jak szybko energia akustyczna może być przenoszona przez ośrodek. Z tego powodu wyprowadzenie zależności na prędkość dźwięku w danym ośrodku zależy od rodzaju i stanu ośrodka. Ogólnie, prędkość dźwięku dla fali mechanicznej w ośrodku zależy od pierwiastka kwadratowego ilorazu sprężystości (ang. elasticity) i bezwładności (ang. inertia):

v = sprężystość bezwładność . v = sprężystość bezwładność .

Fale dźwiękowe spełniają równanie falowe wyprowadzone w rozdziale Fale:

2 y ( x , t ) x 2 = 1 v 2 2 y ( x , t ) t 2 . 2 y ( x , t ) x 2 = 1 v 2 2 y ( x , t ) t 2 .

Dla przypomnienia, z rozdziału Fale wynika, że prędkość fali na strunie jest równa v = F T / μ v= F T / μ , gdzie siłą sprężystości jest naprężenie struny F T F T , natomiast gęstość liniowa μ μ jest bezwładnością. W płynach prędkość dźwięku zależy od modułu sprężystości objętościowej i gęstości:

v = K ρ . v = K ρ .
17.4

Prędkość dźwięku w ciele stałym zależy od modułu Younga (ang. Young’s modulus) i gęstości ośrodka:

v = E ρ . v = E ρ .
17.5

W gazie doskonałym (zobacz: Kinetyczna teoria gazów) wzór na prędkość dźwięku jest następujący:

v = κ R T K M , v= κ R T K M ,
17.6

gdzie κ κ jest wykładnikiem adiabaty, R = 8,31 J / ( m o l K ) R=8,31 J / ( m o l K ) jest stałą gazową, T K T K temperaturą bezwzględną w kelwinach, natomiast M M jest masą cząsteczkową. W ogólnym przypadku im bardziej sztywny (mniej ściśliwy) ośrodek, tym wyższa prędkość dźwięku. Analogicznie częstotliwość prostego ruchu harmonicznego jest wprost proporcjonalna do sztywności drgającego obiektu określonego przez k k, stałą sprężystości. Dalej, im większa jest gęstość ośrodka, tym mniejsza jest prędkość dźwięku. Wniosek ten jest analogiczny do faktu, że częstotliwość prostego ruchu harmonicznego jest odwrotnie proporcjonalna do m m masy drgającego ciała. Prędkość dźwięku w powietrzu jest mała, ponieważ powietrze jest łatwo ściśliwe. Ponieważ ciecze i ciała stałe są bardzo sztywne i trudne do ściśnięcia, prędkość dźwięku w tych ciałach jest generalnie większa niż w gazach.

Ośrodek v v (m/s)
Gazy w temperaturze 0 C 0 C
Powietrze 331
Dwutlenek węgla 259
Tlen 316
Hel 965
Wodór 1290
Ciecze w temperaturze 20 C 20 C
Etanol 1160
Rtęć 1450
Woda 1480
Woda morska 1540
Ludzka tkanka 1540
Ciała stałe (fale podłużne lub objętościowe)
Guma wulkanizowana 54
Polietylen 920
Marmur 3810
Szkło 5640
Ołów 1960
Aluminium 5120
Stal 5960
Tabela 17.1 Prędkość dźwięku w różnych ośrodkach Prędkość dźwięku w różnych ośrodkach.

Ponieważ prędkość dźwięku zależy od gęstości materiału, a gęstość zależy od temperatury, istnieje zależność pomiędzy temperaturą ośrodka i prędkością rozchodzącego się w nim dźwięku. Prędkość dźwięku w powietrzu dana jest wzorem:

v = 331 m s 1 + T C 273 C = 331 m s T K 273 K , v=331 m s 1 + T C 273 C =331 m s T K 273 K ,
17.7

gdzie temperatura T C T C dana jest w stopniach Celsjusza, a temperatura T K T K – w kelwinach. Prędkość dźwięku w gazach zależy od średniej prędkości cząsteczek gazu, v rms = 3 k B T / m v rms = 3 k B T / m , gdzie k B k B jest stałą Boltzmana ( 1,38 10 23 J / K ) (1,38 10 23 J / K ), a m m jest masą pojedynczej cząsteczki. Zwróć uwagę, że v v jest prędkością propagacji koherentnego zaburzenia (fala), natomiast v rms v rms opisuje prędkość cząsteczek poruszających się w różnych kierunkach. Z tego powodu uzasadnione jest stwierdzenie, że prędkość dźwięku w powietrzu powinna zależeć od pierwiastka kwadratowego z temperatury. Nie jest to silna zależność. Dla 0 C 0 C prędkość dźwięku wynosi 331 m/s, natomiast dla 20 C 20 C – 343 m/s, czyli niecałe 4 % 4 % przyrostu. Rysunek 17.6 pokazuje, w jaki sposób nietoperz wykorzystuje dźwięk do określenia odległości.

Zdjęcie przedstawia lecącego nietoperza, który emituje fale dźwiękowe. Fale są odbijane od latającego owada i są powracają do nietoperza.
Rysunek 17.6 Nietoperz wykorzystuje zjawisko echa do określenia odległości od zdobyczy. Czas dotarcia echa jest wprost proporcjonalny do odległości. Podobnie działa czujnik LIDAR (ang. Light Detection and Ranging) stosowany w samochodach autonomicznych (bazuje na flach elektromagnetycznych).

Wyprowadzenie wzoru na prędkość dźwięku w powietrzu

Jak wcześniej wspomniano, prędkość dźwięku w ośrodku zależy od rodzaju i stanu ośrodka. Wyprowadzenie zależności na prędkość dźwięku w powietrzu należy rozpocząć od masy przepływu i równania ciągłości omówionego w rozdziale Mechanika płynów.

Rozważmy przepływ płynu przez rurę o przekroju poprzecznym A A (Rysunek 17.7). Masa w małej objętości rury o długości x x jest równa iloczynowi gęstości i objętości m = ρ V = ρ A x . m = ρ V = ρ A x . Natężenie masy przepływu jest równe:

d m d t = d d t ( ρ V ) = d d t ( ρ A x ) = ρ A d x d t = ρ A v . d m d t = d d t (ρV)= d d t (ρAx)=ρA d x d t =ρAv.

Z równania ciągłości z rozdziału Mechanika płynów wynika, że masa przepływu wpływająca do objętości musi być równa masie przepływu wypływającej z objętości: ( ρ A v ) wpływająca = ( ρ A v ) wypływająca . (ρAv ) wpływająca =(ρAv ) wypływająca .

Rysunek przedstawia schematycznie masę przemieszczającą się z prędkością v na odległość x przez cylinder o przekroju poprzecznym A.
Rysunek 17.7 Masa płynu w objętości jest równa iloczynowi objętości i gęstości, m = ρ V = ρ A x . m = ρ V = ρ A x . Strumień masy jest pochodną masy po czasie.

Rozważmy teraz dźwięk propagujący się w płynie. Weźmy infinitezymalnej grubości obszar ułożony wzdłuż powierzchni równego ciśnienia. Gęstość, temperatura i prędkość zmieniają się wzdłuż takiego obszaru o, odpowiednio, d ρ d ρ, d T d T oraz d v d v (Rysunek 17.8).

Rysunek przedstawia schematycznie falę dźwiękową przemieszczającą się w płynie. Gęstość, temperatura i prędkość płynu są różne po obu stronach.
Rysunek 17.8 Fala dźwiękowa propaguje się przez objętość płynu. Gęstość, temperatura i prędkość płynu zmieniają się i są inne po obu stronach

Z równania ciągłości wynika, że strumień masy wpływający do danej objętości jest równy strumieniowi wypływającemu z objętości. W takim przypadku

ρ A v = ( ρ + d ρ ) A ( v + d v ) . ρAv=(ρ+ d ρ)A(v+ d v).

Powyższe równanie można uprościć. Po obustronnym podzieleniu przez powierzchnię AA i po uwzględnieniu, że mnożenie dwóch nieskończenie małych wielkości jest w przybliżeniu równe zero: d p ( d v ) 0 d p( d v)0, otrzymujemy:

ρ v = ( ρ + d ρ ) ( v + d v ) ρ v = ρ v + ρ ( d v ) + ( d ρ ) v + ( d ρ ) ( d v ) 0 = ρ ( d v ) + ( d ρ ) v ρ d v = v d ρ . ρ v = ( ρ + d ρ ) ( v + d v ) ρ v = ρ v + ρ ( d v ) + ( d ρ ) v + ( d ρ ) ( d v ) 0 = ρ ( d v ) + ( d ρ ) v ρ d v = v d ρ .

Wypadkowa siła wywierana na objętość płynu (Rysunek 17.9) jest równa sumie sił po lewej i prawe stronie:

F wyp = p d y d z ( p + d p ) d y d z = p d y d z p d y d z d p d y d z = d p d y d z m a = d p d y d z . F wyp = p d y d z ( p + d p ) d y d z = p d y d z p d y d z d p d y d z = d p d y d z m a = d p d y d z .
Rysunek przedstawia schematycznie falę dźwiękową poruszającą się w objętości płynu o wymiarach dx, dy i dz. Ciśnienie jest różne po przeciwnych stronach.
Rysunek 17.9 Fala dźwiękowa porusza się przez objętość płynu. Siła po każdej stronie jest równa iloczynowi ciśnienia i powierzchni.

Przyspieszenie jest równe sile podzielonej przez masę, a masa jest równa iloczynowi gęstości i objętości, m = ρ V = ρ d x d y d z m=ρV=ρ d x d y d z. Otrzymujemy zatem:

m a = d p d y d z a = d p d y d z m = d p d y d z ρ d x d y d z = d p ρ d x d v d t = d p ρ d x d v = d p ρ d x d t = d p ρ 1 v ρ v d v = d p . m a = d p d y d z a = d p d y d z m = d p d y d z ρ d x d y d z = d p ρ d x d v d t = d p ρ d x d v = d p ρ d x d t = d p ρ 1 v ρ v d v = d p .

Z równania ciągłości ρ d v = v d ρ ρ d v=v d ρ, otrzymujemy:

ρdv=-vdρ-vdρv=-dpv=dpdρρdv=-vdρ-vdρv=-dpv=dpdρ

Rozważmy falę dźwiękową poruszającą się w powietrzu. Podczas procesu sprężania i rozprężania gazu do układu nie jest dostarczane ani oddawane żadne ciepło. Proces, w którym nie występuje żadna wymiana ciepła z układem, nazywa się przemianą adiabatyczną. Jest ona szczegółowo opisana w rozdziale Pierwsze prawo termodynamiki, natomiast na tym etapie wystarczy stwierdzić, że dla procesu adiabatycznego p V κ = const, p V κ = const, gdzie p p jest ciśnieniem, V V jest objętością, a κ κ jest stałą zależną od gazu. Dla powietrza κ = 1,40 κ = 1,40 . Gęstość jest równa iloczynowi liczby moli i masy molowej, podzielonej przez objętość, stąd objętość jest równa V = n M / ρ V=nM/ρ. Liczba moli i masa molowa są stałe i mogą być włączone do stałej, czyli otrzymujemy: p ( 1 / ρ ) κ = const. p(1/ρ ) κ =const. Obliczając logarytm naturalny z obu stron równania, dochodzimy do wyrażenia: ln p κ ln ρ = const . ln p κ ln ρ = const . Obliczając następnie pochodną po gęstości, otrzymujemy:

ln p κ ln ρ = const d d ρ ( ln p κ ln ρ ) = d d ρ ( const ) 1 p d p d ρ κ ρ = 0 d p d ρ = κ p ρ . ln p κ ln ρ = const d d ρ ( ln p κ ln ρ ) = d d ρ ( const ) 1 p d p d ρ κ ρ = 0 d p d ρ = κ p ρ .

Zakładając, że powietrze można uznać za gaz doskonały, możemy skorzystać z równania dla gazu doskonałego:

p V = n R T = m M R T p = m V R T M = ρ R T M . p V = n R T = m M R T p = m V R T M = ρ R T M .

W powyższym wzorze M M oznacza masę molową powietrza:

d p d ρ = κ p ρ = κ ( ρ R T M ) ρ = κ R T M . d p d ρ = κ p ρ = κ ( ρ R T M ) ρ = κ R T M .

Ponieważ prędkość dźwięku jest równa v = d p / d ρ v= d p / d ρ , dalej otrzymujemy:

v = κ R T M . v = κ R T M .

Należy zauważyć, że prędkość jest większa dla wyższych temperatur i mniejsza w przypadku cięższych gazów. Dla powietrza κ = 1,4 κ=1,4, M = 0,02897 k g / m o l M=0,02897 k g / m o l i R = 8,31 J / ( m o l K ) R=8,31 J / ( m o l K ) . Jeśli temperatura wynosi T C = 20 C T C =20 C ( T = 293 K ) (T=293 K ), prędkość dźwięku jest równa v = 343 m/s . v = 343 m/s .

Wzór na prędkość dźwięku w powietrzu v = κ R T / M v= κ R T / M można uprościć do postaci, w której prędkość dźwięku jest funkcją temperatury bezwzględnej:

v = κ R T M = κ R T M ( 273 K 273 K ) = ( 273 K ) κ R M T 273 K 331 m s T 273 K . v = κ R T M = κ R T M ( 273 K 273 K ) = ( 273 K ) κ R M T 273 K 331 m s T 273 K .

Jedną z najważniejszych właściwości dźwięku jest fakt, że prędkość dźwięku jest prawie niezależna od częstotliwości. Ta niezależność jest z pewnością prawdziwa w przestrzeni otwartej, dla dźwięków z zakresu częstotliwości słyszalnych. Gdyby nie była prawdziwa, z pewnością można byłoby to zauważyć, np. w trakcie koncertu orkiestry marszowej na stadionie piłkarskim. Załóżmy, że dźwięki o wysokich częstotliwościach propagowałyby się szybciej – im dalej znajdujesz się od zespołu, tym dźwięki z instrumentów o niskich częstotliwościach są bardziej opóźnione od dźwięków o wysokich częstotliwościach. Tymczasem muzyka ze wszystkich instrumentów dociera w tym samym czasie, niezależnie od odległości, co oznacza, że dźwięki o różnych częstotliwościach muszą propagować się z podobną prędkością. Pamiętajmy, że:

v = f λ . v = f λ .

W danym ośrodku, w pewnych warunkach, v v jest stałe, co oznacza, że istnieje zależność pomiędzy f f a λ λ : im wyższa częstotliwość, tym krótsza długość fali (Rysunek 17.10).

Rysunek przedstawia schematycznie system głośnikowy emitujący fale dźwiękowe. Dźwięki o niższej częstotliwości są emitowane przez dolny duży głośnik; Dźwięki o wyższej częstotliwości są emitowane przez górny mały głośnik.
Rysunek 17.10 W danym ośrodku fale propagują się z taką samą prędkością. Z tego powodu dźwięki o niskich częstotliwościach muszą mieć większe długości fal od dźwięków o wysokich częstotliwościach. Na rysunku dźwięki o niskich częstotliwościach są generowane przez membranę o większej średnicy (głośnik niskotonowy (ang. woofer )), natomiast dźwięki o wyższych częstotliwościach – przez membranę o mniejszej średnicy (głośnik wysokotonowy (ang. tweeter )).

Przykład 17.1

Obliczanie długości fal

Oblicz długości fal dźwięków w temperaturze powietrza równej 30,0 C 30,0 C dla skrajnych częstotliwości określających zakres słyszalności 20 Hz i 20 000 Hz w temperaturze powietrza równej .

Strategia rozwiązania

Aby znaleźć długość fali na podstawie częstotliwości, możemy wykorzystać zależność v = f λ . v = f λ .

Rozwiązanie

  1. Określ znane wielkości. Wielkość v v dana jest wzorem:
    v = 331 m s T 273 K . v=331 m s T 273 K .
  2. Wyraź temperaturę w kelwinach, a następnie podstaw do wzoru:
    v = 331 m s 303 K 273 K = 348,7 m s . v=331 m s 303 K 273 K =348,7 m s .
  3. Rozwiąż zależność i wyznacz długość fali λ λ :
    λ = v f . λ = v f .
  4. Podstaw prędkość i dolną częstotliwość, aby otrzymać maksymalną długość fali:
    λ max = 348,7 m/s 20 Hz = 17 m . λ max = 348,7 m/s 20 Hz = 17 m .
  5. Podstaw prędkość i górną częstotliwość, aby otrzymać minimalną długość fali:
    λ min = 348,7 m/s 20,000 Hz = 0,017 m = 1,7 cm . λ min = 348,7 m/s 20,000 Hz = 0,017 m = 1,7 cm .

Znaczenie

Ponieważ iloczyn f f i λ λ jest wielkością stałą, im niższa częstotliwość f f, tym większa długość fali λ λ i odwrotnie.

Prędkość dźwięku może się zmieniać, gdy dźwięk przechodzi z jednego ośrodka do drugiego, ale zwykle częstotliwość pozostaje taka sama. Podobnie częstotliwość fali na strunie jest równa częstotliwości siły wymuszającej drgania struny. Jeśli v v się zmienia i f f pozostaje taka sama, wówczas długość fali λ λ musi się zmieniać. Wynika to ze wzoru v = f λ v = f λ ; wyższa prędkość dźwięku to większa długość fali dla danej częstotliwości.

Sprawdź, czy rozumiesz 17.1

Wyobraź sobie dwa wybuchy sztucznych ogni. Eksplozję jednego z nich widzisz i słyszysz w tym samym czasie. Jednak zanim usłyszysz wybuch drugiego fajerwerku, kilka milisekund wcześniej widzisz błysk wybuchu. Wytłumacz dlaczego.

Chociaż fale dźwiękowe w powietrzu są falami podłużnymi, w ciele stałym poruszają się w postaci fal podłużnych i poprzecznych. Fale sejsmiczne (ang. seismic waves), które są zasadniczo falami dźwiękowymi w skorupie ziemskiej wytwarzanymi przez trzęsienia ziemi, są ciekawym przykładem tego, jak prędkość dźwięku zależy od sztywności ośrodka. Trzęsienia ziemi wytwarzają zarówno fale podłużne, jak i poprzeczne, które poruszają się z różnymi prędkościami. Moduł sztywności granitu jest większy niż jego moduł ścinania. Z tego powodu prędkość fal podłużnych (P) w granicie podczas trzęsień ziemi jest znacznie większa niż prędkość fal poprzecznych (S). Oba rodzaje fal trzęsień ziemi przemieszczają się wolniej w mniej sztywnych materiałach, takich jak osady. Fale P mają prędkości od 4 do 7 km/s, a zakresy prędkości fal S wynoszą od 2 do 5 km/s. Fale P propagują się dalej niż fale S podczas przechodzenia przez skorupę ziemską. Czas pomiędzy falami P i S jest powszechnie używany do określenia odległości od ich źródła, od epicentrum trzęsienia ziemi. Ponieważ fale S nie przechodzą przez ciekły rdzeń (brak modułu sztywności), a fale P załamują się na granicy płaszcz-jądro, tworzą się dwa obszary cienia.

Rysunek przedstawia fale P i S, które rochodzą się ze źródła. Wskazane są także obszary cieni, w których nie ma fal S. Różnymi kolorami zaznaczono skorupę, płaszcz, zewnętrzne płynne jądro oraz środkowe stałe jądro.
Rysunek 17.11 Trzęsienia ziemi wytwarzają zarówno fale podłużne (fale P), jak i fale poprzeczne (fale S), które poruszają się z różnymi prędkościami. Oba rodzaje fal przemieszczają się z różnymi prędkościami w różnych obszarach Ziemi, ale ogólnie fale poprzeczne (P) propagują się szybciej niż fale poprzeczne (S). Fale poprzeczne (S) nie propagują się przez płynny rdzeń, który tworzy strefę cienia.

Gdy fale dźwiękowe oddalają się od głośnika lub od epicentrum trzęsienia ziemi, ich moc na jednostkę powierzchni maleje. Z tego powodu dźwięk w pobliżu głośnika jest bardzo głośny i staje się coraz cichszy wraz ze wzrostem odległości od głośnika. Fakt ten wyjaśnia również, dlaczego w epicentrum trzęsienia ziemi może wystąpić ogromna ilość szkód, a w obszarach odległych od epicentrum można jedynie odczuć wstrząsy. Moc na jednostkę powierzchni znana jest jako natężenie. W następnym rozdziale zostanie omówione, jak natężenie zależy od odległości od źródła.

Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Creative Commons Attribution License , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
Cytowanie

© 2 mar 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Creative Commons Attribution License . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.