17.2 Prędkość dźwięku

Prędkość dźwięku w różnych ośrodkach

Tabela 17.1 pokazuje, że prędkość dźwięku zależy od tego jak szybko energia akustyczna może być przenoszona przez ośrodek. Z tego powodu wyprowadzenie zależności na prędkość dźwięku w danym ośrodku zależy od rodzaju i stanu ośrodka. Ogólnie, prędkość dźwięku dla fali mechanicznej w ośrodku zależy od pierwiastka kwadratowego ilorazu sprężystości (ang. elasticity) i bezwładności (ang. inertia):

Fale dźwiękowe spełniają równanie falowe wyprowadzone w rozdziale Fale:

Dla przypomnienia, z rozdziału Fale wynika, że prędkość fali na strunie jest równa $v=\sqrt{F_T\text{/}\mu }$, gdzie siłą sprężystości jest naprężenie struny $F_T$, natomiast gęstość liniowa $\mu$ jest bezwładnością. W płynach prędkość dźwięku zależy od modułu sprężystości objętościowej i gęstości:

Prędkość dźwięku w ciele stałym zależy od modułu Younga (ang. Young’s modulus) i gęstości ośrodka:

W gazie doskonałym (zobacz: Kinetyczna teoria gazów) wzór na prędkość dźwięku jest następujący:

gdzie $\kappa$ jest wykładnikiem adiabaty, $R=\mathrm{8,31}\mathrm{J}\text{/}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\cdot \mathrm{K})$ jest stałą gazową, $T_K$ temperaturą bezwzględną w kelwinach, natomiast $M$ jest masą cząsteczkową. W ogólnym przypadku im bardziej sztywny (mniej ściśliwy) ośrodek, tym wyższa prędkość dźwięku. Analogicznie częstotliwość prostego ruchu harmonicznego jest wprost proporcjonalna do sztywności drgającego obiektu określonego przez $k$, stałą sprężystości. Dalej, im większa jest gęstość ośrodka, tym mniejsza jest prędkość dźwięku. Wniosek ten jest analogiczny do faktu, że częstotliwość prostego ruchu harmonicznego jest odwrotnie proporcjonalna do $m$ masy drgającego ciała. Prędkość dźwięku w powietrzu jest mała, ponieważ powietrze jest łatwo ściśliwe. Ponieważ ciecze i ciała stałe są bardzo sztywne i trudne do ściśnięcia, prędkość dźwięku w tych ciałach jest generalnie większa niż w gazach.

Ponieważ prędkość dźwięku zależy od gęstości materiału, a gęstość zależy od temperatury, istnieje zależność pomiędzy temperaturą ośrodka i prędkością rozchodzącego się w nim dźwięku. Prędkość dźwięku w powietrzu dana jest wzorem:

gdzie temperatura $T_C$ dana jest w stopniach Celsjusza, a temperatura $T_K$ – w kelwinach. Prędkość dźwięku w gazach zależy od średniej prędkości cząsteczek gazu, $v_{\text{rms}}=\sqrt{3k_{B}T\text{/}m}$, gdzie $k_B$ jest stałą Boltzmana $(\mathrm{1,38}\cdot {10}^{-23}\mathrm{J}\text{/}\mathrm{K})$, a $m$ jest masą pojedynczej cząsteczki. Zwróć uwagę, że $v$ jest prędkością propagacji koherentnego zaburzenia (fala), natomiast $v_{\text{rms}}$ opisuje prędkość cząsteczek poruszających się w różnych kierunkach. Z tego powodu uzasadnione jest stwierdzenie, że prędkość dźwięku w powietrzu powinna zależeć od pierwiastka kwadratowego z temperatury. Nie jest to silna zależność. Dla $0{}^{\circ }\mathrm{C}$ prędkość dźwięku wynosi 331 m/s, natomiast dla $20{}^{\circ }\mathrm{C}$ – 343 m/s, czyli niecałe $4\text{\%}$ przyrostu. Ilustracja 17.6 pokazuje, w jaki sposób nietoperz wykorzystuje dźwięk do określenia odległości.

Ilustracja 17.6 Nietoperz wykorzystuje zjawisko echa do określenia odległości od zdobyczy. Czas dotarcia echa jest wprost proporcjonalny do odległości. Podobnie działa czujnik LIDAR (ang. Light Detection and Ranging) stosowany w samochodach autonomicznych (bazuje na flach elektromagnetycznych).

Wyprowadzenie wzoru na prędkość dźwięku w powietrzu

Jak wcześniej wspomniano, prędkość dźwięku w ośrodku zależy od rodzaju i stanu ośrodka. Wyprowadzenie zależności na prędkość dźwięku w powietrzu należy rozpocząć od masy przepływu i równania ciągłości omówionego w rozdziale Mechanika płynów.

Rozważmy przepływ płynu przez rurę o przekroju poprzecznym $A$ (Ilustracja 17.7). Masa w małej objętości rury o długości $x$ jest równa iloczynowi gęstości i objętości $m=\rho V=\rho Ax.$ Natężenie masy przepływu jest równe:

Z równania ciągłości z rozdziału Mechanika płynów wynika, że masa przepływu wpływająca do objętości musi być równa masie przepływu wypływającej z objętości: $(\rho Av{)}_{\text{wpływająca}}=(\rho Av{)}_{\text{wypływająca}}.$

Ilustracja 17.7 Masa płynu w objętości jest równa iloczynowi objętości i gęstości, $m=\rho V=\rho Ax.$ Strumień masy jest pochodną masy po czasie.

Rozważmy teraz dźwięk propagujący się w płynie. Weźmy infinitezymalnej grubości obszar ułożony wzdłuż powierzchni równego ciśnienia. Gęstość, temperatura i prędkość zmieniają się wzdłuż takiego obszaru o, odpowiednio, $\mathrm{d}\rho$, $\mathrm{d}T$ oraz $\mathrm{d}v$ (Ilustracja 17.8).

Ilustracja 17.8 Fala dźwiękowa propaguje się przez objętość płynu. Gęstość, temperatura i prędkość płynu zmieniają się i są inne po obu stronach

Z równania ciągłości wynika, że strumień masy wpływający do danej objętości jest równy strumieniowi wypływającemu z objętości. W takim przypadku

Powyższe równanie można uprościć. Po obustronnym podzieleniu przez powierzchnię $A$ i po uwzględnieniu, że mnożenie dwóch nieskończenie małych wielkości jest w przybliżeniu równe zero: $\mathrm{d}p(\mathrm{d}v)\approx 0$, otrzymujemy:

Wypadkowa siła wywierana na objętość płynu (Ilustracja 17.9) jest równa sumie sił po lewej i prawe stronie:

Ilustracja 17.9 Fala dźwiękowa porusza się przez objętość płynu. Siła po każdej stronie jest równa iloczynowi ciśnienia i powierzchni.

Przyspieszenie jest równe sile podzielonej przez masę, a masa jest równa iloczynowi gęstości i objętości, $m=\rho V=\rho \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$. Otrzymujemy zatem:

Z równania ciągłości $\rho \mathrm{d}v=-v\mathrm{d}\rho$, otrzymujemy:

Rozważmy falę dźwiękową poruszającą się w powietrzu. Podczas procesu sprężania i rozprężania gazu do układu nie jest dostarczane ani oddawane żadne ciepło. Proces, w którym nie występuje żadna wymiana ciepła z układem, nazywa się przemianą adiabatyczną. Jest ona szczegółowo opisana w rozdziale Pierwsze prawo termodynamiki, natomiast na tym etapie wystarczy stwierdzić, że dla procesu adiabatycznego $p{V}^{\kappa }=\text{const,}$ gdzie $p$ jest ciśnieniem, $V$ jest objętością, a $\kappa$ jest stałą zależną od gazu. Dla powietrza $\kappa =\mathrm{1,40}$. Gęstość jest równa iloczynowi liczby moli i masy molowej, podzielonej przez objętość, stąd objętość jest równa $V=nM\text{/}\rho$. Liczba moli i masa molowa są stałe i mogą być włączone do stałej, czyli otrzymujemy: $p(1\text{/}\rho {)}^{\kappa }=\text{const.}$ Obliczając logarytm naturalny z obu stron równania, dochodzimy do wyrażenia: $\text{ln}p-\kappa \text{ln}\rho =\text{const}\text{.}$ Obliczając następnie pochodną po gęstości, otrzymujemy:

Zakładając, że powietrze można uznać za gaz doskonały, możemy skorzystać z równania dla gazu doskonałego:

W powyższym wzorze $M$ oznacza masę molową powietrza:

Ponieważ prędkość dźwięku jest równa $v=\sqrt{\mathrm{d}p\text{/}\mathrm{d}\rho }$, dalej otrzymujemy:

Należy zauważyć, że prędkość jest większa dla wyższych temperatur i mniejsza w przypadku cięższych gazów. Dla powietrza $\kappa =\mathrm{1,4}$, $M=\mathrm{0,02897}\mathrm{k}\mathrm{g}\text{/}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}$ i $R=\mathrm{8,31}\mathrm{J}\text{/}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\cdot \mathrm{K})$. Jeśli temperatura wynosi $T_C=20{}^{\circ }\mathrm{C}$ $(T=293\mathrm{K})$, prędkość dźwięku jest równa $v=343\text{m/s}\text{.}$

Wzór na prędkość dźwięku w powietrzu $v=\sqrt{\kappa RT\text{/}M}$ można uprościć do postaci, w której prędkość dźwięku jest funkcją temperatury bezwzględnej:

Jedną z najważniejszych właściwości dźwięku jest fakt, że prędkość dźwięku jest prawie niezależna od częstotliwości. Ta niezależność jest z pewnością prawdziwa w przestrzeni otwartej, dla dźwięków z zakresu częstotliwości słyszalnych. Gdyby nie była prawdziwa, z pewnością można byłoby to zauważyć, np. w trakcie koncertu orkiestry marszowej na stadionie piłkarskim. Załóżmy, że dźwięki o wysokich częstotliwościach propagowałyby się szybciej – im dalej znajdujesz się od zespołu, tym dźwięki z instrumentów o niskich częstotliwościach są bardziej opóźnione od dźwięków o wysokich częstotliwościach. Tymczasem muzyka ze wszystkich instrumentów dociera w tym samym czasie, niezależnie od odległości, co oznacza, że dźwięki o różnych częstotliwościach muszą propagować się z podobną prędkością. Pamiętajmy, że:

W danym ośrodku, w pewnych warunkach, $v$ jest stałe, co oznacza, że istnieje zależność pomiędzy $f$ a $\lambda$: im wyższa częstotliwość, tym krótsza długość fali (Ilustracja 17.10).

Ilustracja 17.10 W danym ośrodku fale propagują się z taką samą prędkością. Z tego powodu dźwięki o niskich częstotliwościach muszą mieć większe długości fal od dźwięków o wysokich częstotliwościach. Na rysunku dźwięki o niskich częstotliwościach są generowane przez membranę o większej średnicy (głośnik niskotonowy (ang. woofer)), natomiast dźwięki o wyższych częstotliwościach – przez membranę o mniejszej średnicy (głośnik wysokotonowy (ang. tweeter)).

Prędkość dźwięku może się zmieniać, gdy dźwięk przechodzi z jednego ośrodka do drugiego, ale zwykle częstotliwość pozostaje taka sama. Podobnie częstotliwość fali na strunie jest równa częstotliwości siły wymuszającej drgania struny. Jeśli $v$ się zmienia i $f$ pozostaje taka sama, wówczas długość fali $\lambda$ musi się zmieniać. Wynika to ze wzoru $v=f\lambda$; wyższa prędkość dźwięku to większa długość fali dla danej częstotliwości.

Chociaż fale dźwiękowe w powietrzu są falami podłużnymi, w ciele stałym poruszają się w postaci fal podłużnych i poprzecznych. Fale sejsmiczne (ang. seismic waves), które są zasadniczo falami dźwiękowymi w skorupie ziemskiej wytwarzanymi przez trzęsienia ziemi, są ciekawym przykładem tego, jak prędkość dźwięku zależy od sztywności ośrodka. Trzęsienia ziemi wytwarzają zarówno fale podłużne, jak i poprzeczne, które poruszają się z różnymi prędkościami. Moduł sztywności granitu jest większy niż jego moduł ścinania. Z tego powodu prędkość fal podłużnych (P) w granicie podczas trzęsień ziemi jest znacznie większa niż prędkość fal poprzecznych (S). Oba rodzaje fal trzęsień ziemi przemieszczają się wolniej w mniej sztywnych materiałach, takich jak osady. Fale P mają prędkości od 4 do 7 km/s, a zakresy prędkości fal S wynoszą od 2 do 5 km/s. Fale P propagują się dalej niż fale S podczas przechodzenia przez skorupę ziemską. Czas pomiędzy falami P i S jest powszechnie używany do określenia odległości od ich źródła, od epicentrum trzęsienia ziemi. Ponieważ fale S nie przechodzą przez ciekły rdzeń (brak modułu sztywności), a fale P załamują się na granicy płaszcz-jądro, tworzą się dwa obszary cienia.

Ilustracja 17.11 Trzęsienia ziemi wytwarzają zarówno fale podłużne (fale P), jak i fale poprzeczne (fale S), które poruszają się z różnymi prędkościami. Oba rodzaje fal przemieszczają się z różnymi prędkościami w różnych obszarach Ziemi, ale ogólnie fale poprzeczne (P) propagują się szybciej niż fale poprzeczne (S). Fale poprzeczne (S) nie propagują się przez płynny rdzeń, który tworzy strefę cienia.

Gdy fale dźwiękowe oddalają się od głośnika lub od epicentrum trzęsienia ziemi, ich moc na jednostkę powierzchni maleje. Z tego powodu dźwięk w pobliżu głośnika jest bardzo głośny i staje się coraz cichszy wraz ze wzrostem odległości od głośnika. Fakt ten wyjaśnia również, dlaczego w epicentrum trzęsienia ziemi może wystąpić ogromna ilość szkód, a w obszarach odległych od epicentrum można jedynie odczuć wstrząsy. Moc na jednostkę powierzchni znana jest jako natężenie. W następnym rozdziale zostanie omówione, jak natężenie zależy od odległości od źródła.