Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

3.1 Integración por partes

Objetivos de aprendizaje

3.1.1 Reconocer cuándo utilizar la integración por partes.
3.1.2 Utilizar la fórmula de integración por partes para resolver problemas de integración.
3.1.3 Utilizar la fórmula de integración por partes para las integrales definidas.

A estas alturas ya tenemos un procedimiento bastante completo sobre cómo evaluar muchas integrales básicas. Sin embargo, aunque podemos integrar $\int x sen (x^{2}) d x$ utilizando la sustitución, $u = x^{2},$ algo tan simple como $\int x sen x d x$ nos desafía. Muchos estudiantes quieren saber si existe una regla del producto para la integración. No la hay, pero existe una técnica basada en la regla del producto para la diferenciación que nos permite cambiar una integral por otra. A esta técnica la llamamos integración por partes.

La fórmula de integración por partes

Si, $h (x) = f (x) g (x),$ entonces utilizando la regla del producto, obtenemos $h^{'} (x) = f^{'} (x) g (x) + g^{'} (x) f (x) .$ Aunque al principio pueda parecer contraproducente, integremos ahora ambos lados de esta ecuación: $\int h^{'} (x) d x = \int (g (x) f^{'} (x) + f (x) g^{'} (x)) d x .$

Esto nos da

h (x) = f (x) g (x) = \int g (x) f^{'} (x) d x + \int f (x) g^{'} (x) d x .

Ahora resolvemos para $\int f (x) g^{'} (x) d x :$

\int f (x) g^{'} (x) d x = f (x) g (x) - \int g (x) f^{'} (x) d x .

Al hacer las sustituciones $u = f (x)$ y $v = g (x),$ que a su vez forman $d u = f^{'} (x) d x$ y $d v = g^{'} (x) d x,$ tenemos la forma más compacta

\int u d v = u v - \int v d u .

Teorema 3.1

Integración por partes

Supongamos que $u = f (x)$ y $v = g (x)$ son funciones con derivadas continuas. Entonces, la fórmula de integración por partes para la integral que involucra estas dos funciones es:

\int u d v = u v - \int v d u .

(3.1)

La ventaja de utilizar la fórmula de integración por partes es que podemos usarla para cambiar una integral por otra, posiblemente más fácil. El siguiente ejemplo ilustra su uso.

Ejemplo 3.1

Utilizar la integración por partes

Utilice la integración por partes con $u = x$ y $d v = sen x d x$ para evaluar $\int x sen x d x .$

Solución

Al elegir $u = x,$ tenemos $d u = 1 d x .$ Dado que $d v = sen x d x,$ obtenemos $v = \int sen x d x = − cos x .$ Es conveniente llevar la cuenta de estos valores de la siguiente manera:

\begin{matrix} u & = & x & d v & = & sen x d x \\ d u & = & 1 d x & v & = & \int sen x d x = − cos x . \end{matrix}

Aplicando la fórmula de integración por partes se obtiene

\begin{matrix} \int x sen x d x & = (x) (− cos x) - \int (− cos x) (1 d x) & Sustituya . \\ = − x cos x + \int cos x d x & Simplifique . \\ = − x cos x + sen x + C . & Utilice \int cos x d x = sen x + C . \end{matrix}

Análisis

Llegados a este punto, probablemente haya que aclarar algunos puntos. En primer lugar, puede que tenga curiosidad por saber qué habría pasado si hubiéramos elegido $u = sen x$ y $d v = x .$ Si lo hubiéramos hecho, entonces tendríamos $d u = cos x dx$ y $v = \frac{1}{2} x^{2} .$ Así, tras aplicar la integración por partes, tenemos $\int^{} x sen x d x = \frac{1}{2} x^{2} sen x - \int^{} \frac{1}{2} x^{2} cos x d x .$ Desafortunadamente, con la nueva integral, no estamos en mejor posición que antes. Es importante tener en cuenta que cuando aplicamos la integración por partes, es posible que tengamos que probar varias opciones para $u$ y $d v$ antes de encontrar una opción que funcione.

En segundo lugar, puede preguntarse por qué, cuando calculamos $v = \int^{} sen x d x = − cos x,$ no utilizamos $v = − cos x + K .$ Para ver que no hay diferencia, podemos volver a hacer el problema utilizando $v = − cos x + K :$

\begin{matrix} \int^{} x sen x d x & = (x) (− cos x + K) - \int^{} (− cos x + K) (1 d x) \\ = − x cos x + K x + \int^{} cos x d x - \int^{} K d x \\ = − x cos x + K x + sen x - K x + C \\ = − x cos x + sen x + C . \end{matrix}

Como puede ver, no hay diferencia en la solución final.

Por último, podemos comprobar que nuestra antiderivada es correcta diferenciando $− x cos x + sen x + C :$

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (− x cos x + sen x + C) & = (–1) cos x + (− x) (− sen x) + cos x \\ = x sen x . \end{matrix}

Por lo tanto, la antiderivada es correcta.

Medios

Vea este video y visite este sitio web para ver ejemplos de integración por partes.

Punto de control 3.1

Evalúe $\int^{} x e^{2 x} d x$ utilizando la fórmula de integración por partes con $u = x$ y $d v = e^{2 x} d x .$

La pregunta natural que hay que hacerse en este punto es: ¿cómo sabemos elegir $u$ y $d v ?$ A veces es una cuestión de ensayo y error; sin embargo, el acrónimo LIATE puede ayudar a menudo a eliminar algunas de las conjeturas de nuestras elecciones. Este acrónimo significa funciones Logarítmicas, funciones trigonométricas Inversas, funciones Algebraicas, funciones Trigonométricas y funciones Exponenciales Esta nemotecnia sirve de ayuda para determinar una elección adecuada para $u .$

El tipo de función en la integral que aparece primero en la lista debe ser nuestra primera opción de $u .$ Por ejemplo, si una integral contiene una función logarítmica y una función algebraica, debemos elegir que $u$ sea la función logarítmica, porque L viene antes de A en LIATE. La integral en el Ejemplo 3.1 tiene una función trigonométrica $(sen x).$ y una función algebraica $(x) .$ Como A va antes que T en LIATE, elegimos que $u$ sea la función algebraica. Cuando hayamos elegido $u,$ $d v$ se selecciona para que sea la parte restante de la función a integrar, junto con $d x .$

¿Por qué funciona esta nemotecnia? Recuerde que todo lo que elijamos para que sea $d v$ debe ser algo que podamos integrar. Como no tenemos fórmulas de integración que nos permitan integrar funciones logarítmicas simples y funciones trigonométricas inversas, tiene sentido que no se elijan como valores para $d v .$ En consecuencia, deberían estar de primero en la lista como opciones para $u .$ Por lo tanto, ponemos LI al principio de la nemotecnia (también podríamos haber empezado con IL, ya que estos dos tipos de funciones no aparecerán juntas en un problema de integración por partes). Las funciones exponenciales y trigonométricas están al final de nuestra lista porque son bastante fáciles de integrar y son buenas opciones para $d v .$ Por lo tanto, tenemos TE al final de nuestra nemotecnia. (También podríamos haber utilizado ET al final, ya que cuando este tipo de funciones aparecen juntas no suele importar realmente cuál es $u$ y cuál es $d v .)$ Las funciones algebraicas son, por lo general, fáciles tanto de integrar como de diferenciar, y se encuentran en el centro de la nemotecnia.

Ejemplo 3.2

Utilizar la integración por partes

Evalúe $\int \frac{ln x}{x^{3}} d x .$

Solución

Empiece por reescribir la integral:

\int \frac{ln x}{x^{3}} d x = \int^{​} x^{−3} ln x d x .

Como esta integral contiene la función algebraica $x^{−3}$ y la función logarítmica $ln x,$ elija $u = ln x,$ ya que la L va antes de la A en LIATE. Después de haber elegido $u = ln x,$ debemos elegir $d v = x^{−3} d x .$

A continuación, ya que $u = ln x,$ tenemos $d u = \frac{1}{x} d x .$ También, $v = \int^{} x^{−3} d x = - \frac{1}{2} x^{−2} .$ Resumiendo,

\begin{matrix} u & = & ln x & d v & = & x^{−3} d x \\ d u & = & \frac{1}{x} d x & v & = & \int^{​} x^{−3} d x = - \frac{1}{2} x^{−2} . \end{matrix}

Sustituyendo en la fórmula de integración por partes (Ecuación 3.1) se obtiene

\begin{matrix} \int \frac{ln x}{x^{3}} d x & = \int^{​} x^{−3} ln x d x = (ln x) (− \frac{1}{2} x^{−2}) - \int^{​} (− \frac{1}{2} x^{−2}) (\frac{1}{x} d x) \\ = - \frac{1}{2} x^{−2} ln x + \int^{​} \frac{1}{2} x^{−3} d x & Simplifique . \\ = - \frac{1}{2} x^{−2} ln x - \frac{1}{4} x^{−2} + C & Integre . \\ = - \frac{1}{2 x^{2}} ln x - \frac{1}{4 x^{2}} + C . & Reescriba con enteros positivos. \end{matrix}

Punto de control 3.2

Evalúe $\int^{} x ln x d x .$

En algunos casos, como en los dos ejemplos siguientes, puede ser necesario aplicar la integración por partes más de una vez.

Ejemplo 3.3

Aplicar la integración por partes más de una vez

Evalúe $\int^{} x^{2} e^{3 x} d x .$

Solución

Utilizando LIATE, elija $u = x^{2}$ y $d v = e^{3 x} d x .$ Por lo tanto, $d u = 2 x d x$ y $v = \int e^{3 x} d x = (\frac{1}{3}) e^{3 x} .$ Por lo tanto,

\begin{matrix} u & = & x^{2} & d v & = & e^{3 x} d x \\ d u & = & 2 x d x & v & = & \int e^{3 x} d x = \frac{1}{3} e^{3 x} . \end{matrix}

Sustituyendo en la Ecuación 3.1 se obtiene

\int x^{2} e^{3 x} d x = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} - \int \frac{2}{3} x e^{3 x} d x .

Todavía no podemos integrar $\int \frac{2}{3} x e^{3 x} d x$ directamente, pero la integral tiene ahora una potencia menor en $x .$ Podemos evaluar esta nueva integral utilizando de nuevo la integración por partes. Para ello, elija $u = x$ y $d v = \frac{2}{3} e^{3 x} d x .$ Por lo tanto, $d u = d x$ y $v = \int (\frac{2}{3}) e^{3 x} d x = (\frac{2}{9}) e^{3 x} .$ Ahora tenemos

\begin{matrix} u & = & x & d v & = & \frac{2}{3} e^{3 x} d x \\ d u & = & d x & v & = & \int \frac{2}{3} e^{3 x} d x = \frac{2}{9} e^{3 x} . \end{matrix}

Sustituyendo en la ecuación anterior se obtiene

\int^{​} x^{2} e^{3 x} d x = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} - (\frac{2}{9} x e^{3 x} - \int^{​} \frac{2}{9} e^{3 x} d x) .

Tras evaluar la última integral y simplificar, obtenemos

\int x^{2} e^{3 x} d x = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} - \frac{2}{9} x e^{3 x} + \frac{2}{27} e^{3 x} + C .

Ejemplo 3.4

Aplicar la integración por partes cuando LIATE no funciona del todo

Evalúe $\int^{} t^{3} e^{t^{2}} d t .$

Solución

Si utilizamos una interpretación estricta de la nemotecnia LIATE para hacer nuestra elección de $u,$ terminamos con $u = t^{3}$ y $d v = e^{t^{2}} d t .$ Desafortunadamente, esta opción no funciona porque no podemos evaluar $\int^{} e^{t^{2}} d t .$ Sin embargo, como podemos evaluar $\int^{} t e^{t^{2}} d x,$ podemos intentar elegir $u = t^{2}$ y $d v = t e^{t^{2}} d t .$ Con estas opciones tenemos

\begin{matrix} u & = & t^{2} & d v & = & t e^{t^{2}} d t \\ d u & = & 2 t d t & v & = & \int^{​} t e^{t^{2}} d t = \frac{1}{2} e^{t^{2}} . \end{matrix}

Así, obtenemos

\begin{matrix} \int^{} t^{3} e^{t^{2}} d t & = \frac{1}{2} t^{2} e^{t^{2}} - \int \frac{1}{2} e^{t^{2}} 2 t d t \\ = \frac{1}{2} t^{2} e^{t^{2}} - \frac{1}{2} e^{t^{2}} + C . \end{matrix}

Ejemplo 3.5

Aplicar la integración por partes más de una vez

Evalúe $\int^{} sen (ln x) d x .$

Solución

Esta integral parece tener una sola función, es decir, $sen (ln x)$ , sin embargo, siempre podemos utilizar la función constante 1 como la otra función. En este ejemplo, vamos a elegir $u = sen (ln x)$ y $d v = 1 d x .$ (La decisión de utilizar $u = sen (ln x)$ es fácil. No podemos elegir $d v = sen (ln x) d x$ porque si pudiéramos integrarla, ¡no estaríamos usando la integración por partes en primer lugar!). En consecuencia, $d u = (1 / x) cos (ln x) d x$ y $v = \int^{} 1 d x = x .$ Tras aplicar la integración por partes a la integral y simplificar, tenemos

\int^{​} sen (ln x) d x = x sen (ln x) - \int^{​} cos (ln x) d x .

Desafortunadamente, este proceso nos deja una nueva integral muy parecida a la original. Sin embargo, veamos qué ocurre cuando aplicamos de nuevo la integración por partes. Esta vez vamos a elegir $u = cos (ln x)$ y $d v = 1 d x,$ que da $d u = − (1 / x) sen (ln x) d x$ y $v = \int^{} 1 d x = x .$ Sustituyendo, tenemos

\int^{​} sen (ln x) d x = x sen (ln x) - (x cos (ln x) — \int^{​} - sen (ln x) d x) .

Tras simplificar, obtenemos

\int^{​} sen (ln x) d x = x sen (ln x) - x cos (ln x) - \int^{​} sen (ln x) d x .

La última integral es ahora la misma que la original. Puede parecer que simplemente hemos entrado en un círculo, pero ahora podemos evaluar realmente la integral. Para ver cómo se hace esto más claramente, sustituya $I = \int^{} sen (ln x) d x .$ Así, la ecuación se convierte en

I = x sen (ln x) - x cos (ln x) - I .

En primer lugar, sume $I$ a ambos lados de la ecuación para obtener

2 I = x sen (ln x) - x cos (ln x) .

A continuación, divida entre 2:

I = \frac{1}{2} x sen (ln x) - \frac{1}{2} x cos (ln x) .

Sustituyendo $I = \int^{} sen (ln x) d x$ de nuevo, tenemos

\int^{​} sen (ln x) d x = \frac{1}{2} x sen (ln x) - \frac{1}{2} x cos (ln x) .

De ello se desprende que $(1 / 2) x sen (ln x) - (1 / 2) x cos (ln x)$ es una antiderivada de $sen (ln x) d x .$ Para la antiderivada más general, sume $+ C :$

\int^{​} sen (ln x) d x = \frac{1}{2} x sen (ln x) - \frac{1}{2} x cos (ln x) + C .

Análisis

Si este método resulta un poco extraño al principio, podemos comprobar la respuesta por diferenciación:

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (\frac{1}{2} x sen (ln x) - \frac{1}{2} x cos (ln x)) \\ = \frac{1}{2} (sen (ln x)) + cos (ln x) . \frac{1}{x} . \frac{1}{2} x - (\frac{1}{2} cos (ln x) - sen (ln x) . \frac{1}{x} . \frac{1}{2} x) \\ = sen (ln x) . \end{matrix}

Punto de control 3.3

Evalúe $\int^{} x^{2} sen x d x .$

Integración por partes para integrales definidas

Ahora que hemos utilizado con éxito la integración por partes para evaluar integrales indefinidas, pasamos a estudiar las integrales definidas. La técnica de integración es realmente la misma, solo que añadimos un paso para evaluar la integral en los límites superior e inferior de la integración.

Teorema 3.2

Integración por partes para integrales definidas

Supongamos que $u = f (x)$ y $v = g (x)$ sean funciones con derivadas continuas en $[a, b] .$ Entonces

\int_{a}^{b} u d v = {u v |}_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v d u .

(3.2)

Ejemplo 3.6

Cálculo del área de una región

Halle el área de la región delimitada arriba por el gráfico de $y = {tan}^{−1} x$ y abajo por el eje $x$ en el intervalo $[0, 1] .$

Solución

Esta región se muestra en la Figura 3.2. Para hallar el área, debemos evaluar $\int_{0}^{1} {tan}^{−1} x d x .$

Esta figura es el gráfico de la función tangencial inversa. Es una función creciente que pasa por el origen. En el primer cuadrante hay una región sombreada bajo el gráfico, por encima del eje x. El área sombreada está delimitada por la derecha en x = 1. — Figura 3.2 Para hallar el área de la región sombreada, tenemos que utilizar la integración por partes.

Para esta integral, vamos a elegir $u = {tan}^{−1} x$ y $d v = d x,$ lo que nos da $d u = \frac{1}{x^{2} + 1} d x$ y $v = x .$ Tras aplicar la fórmula de integración por partes (Ecuación 3.2) obtenemos

Área = x {tan}^{−1} {x |}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 1} d x .

Utilice la sustitución en u para obtener

\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 1} d x = \frac{1}{2} ln | x^{2} + 1 |_{0}^{1} .

Por lo tanto,

Área = x \tan^{- 1} x |_{0}^{1} - \frac{1}{2} \ln | x^{2} + 1 | |_{0}^{1} = \frac{π}{4} - \frac{1}{2} \ln 2.

Llegados a este punto, no sería mala idea hacer una "evaluación realista" sobre cuán razonable es nuestra solución. Dado que $\frac{π}{4} - \frac{1}{2} ln 2 \approx 0,4388,$ y a partir de la Figura 3.2 esperamos que nuestra área sea ligeramente inferior a 0,5, esta solución parece razonable.

Ejemplo 3.7

Cálculo de un volumen de revolución

Calcule el volumen del sólido obtenido cuando se gira la región delimitada por el gráfico de $f (x) = e^{– x},$ el eje x, el eje y y la línea $x = 1$ alrededor del eje y.

Solución

La mejor opción para resolver este problema es utilizar el método de capas cilíndricas. Comience por dibujar la región que va a girar, junto con un rectángulo típico (vea el siguiente gráfico).

Esta figura es el gráfico de la función e^-x. Es una función creciente en el lado izquierdo del eje y y decreciente en el lado derecho del eje y. La curva también llega a un punto en el eje y en y = 1. Bajo la curva hay un rectángulo sombreado en el primer cuadrante. También hay un cilindro debajo del gráfico, que se forma al girar el rectángulo alrededor del eje y. — Figura 3.3 Podemos utilizar el método de capas cilíndricas para calcular un volumen de revolución.

Para calcular el volumen utilizando capas cilíndricas, debemos evaluar $2 π \int_{0}^{1} x e^{– x} d x .$ Para ello, supongamos que $u = x$ y $d v = e^{– x} .$ Estas elecciones nos llevan a $d u = d x$ y $v = \int^{} e^{– x} = − e^{– x} .$ Sustituyendo en la Ecuación 3.2, obtenemos

\begin{matrix} Volumen & = 2 π \int_{0}^{1} x e^{– x} d x = 2 π (− x e^{– x} |_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{– x} d x) & Utilice la integración por partes . \\ = −2 π x e^{– x} |_{0}^{1} - 2 π e^{– x} |_{0}^{1} & Evalúe \int_{0}^{1} e^{– x} d x = − e^{– x} |_{0}^{1} . \\ = 2 π - \frac{4 π}{e} . & Evalúe y simplifique . \end{matrix}

Análisis

Una vez más, es conveniente comprobar si nuestra solución es razonable. Observamos que el sólido tiene un volumen ligeramente inferior al de un cilindro de radio $1$ y altura $1 / e$ sumado al volumen de un cono de radio de base $1$ y altura $1 - \frac{1}{e} .$ En consecuencia, el sólido debe tener un volumen un poco menor que

π {(1)}^{2} \frac{1}{e} + (\frac{π}{3}) {(1)}^{2} (1 - \frac{1}{e}) = \frac{2 π}{3 e} + \frac{π}{3} \approx 1,8177 .

Dado que $2 π - \frac{4 π}{e} \approx 1,6603,$ vemos que nuestro volumen calculado es razonable.

Punto de control 3.4

Evalúe $\int_{0}^{π / 2} x cos x d x .$

Sección 3.1 ejercicios

Al utilizar la técnica de integración por partes, hay que elegir cuidadosamente cuál expresión es u. Para cada uno de los siguientes problemas, utilice las directrices de esta sección para elegir u. No evalúe las integrales.

1.

$\int x^{3} e^{2 x} d x$

2.

$\int x^{3} ln (x) d x$

3.

$\int y^{3} cos y d y$

4.

$\int x^{2} arctan x d x$

5.

$\int e^{3 x} sen (2 x) d x$

Calcule la integral utilizando el método más sencillo. No todos los problemas requieren integración por partes.

6.

$\int v sen v d v$

7.

$\int ln x d x$ (Pista: $\int ln x d x$ equivale a $\int 1 . ln (x) d x .)$ grandes.

8.

$\int x cos x d x$

9.

$\int {tan}^{−1} x d x$

10.

$\int x^{2} e^{x} d x$

11.

$\int x sen (2 x) d x$

12.

$\int x e^{4 x} d x$

13.

$\int x e^{– x} d x$

14.

$\int x cos 3 x d x$

15.

$\int x^{2} cos x d x$

16.

$\int x ln x d x$

17.

$\int ln (2 x + 1) d x$

18.

$\int x^{2} e^{4 x} d x$

19.

$\int e^{x} sen x d x$

20.

$\int e^{x} cos x d x$

21.

$\int x e^{– x^{2}} d x$

22.

$\int x^{2} e^{– x} d x$

23.

$\int sen (ln (2 x)) d x$

24.

$\int c o s (ln x) d x$

25.

$\int {(ln x)}^{2} d x$

26.

$\int ln (x^{2}) d x$

27.

$\int x^{2} ln x d x$

28.

$\int {sen}^{−1} x d x$

29.

$\int {cos}^{−1} (2 x) d x$

30.

$\int x arctan x d x$

31.

$\int x^{2} sen x d x$

32.

$\int x^{3} cos x d x$

33.

$\int x^{3} sen x d x$

34.

$\int x^{3} e^{x} d x$

35.

$\int x {sec}^{−1} x d x$

36.

$\int x {sec}^{2} x d x$

37.

$\int x cosh x d x$

Calcule las integrales definidas. Utilice una herramienta gráfica para confirmar sus respuestas.

38.

$\int_{1 / e}^{1} ln x d x$

39.

$\int_{0}^{1} x e^{−2 x} d x$ (Exprese la respuesta en forma exacta).

40.

$\int_{0}^{1} e^{\sqrt{x}} d x (supongamos que u = \sqrt{x})$ grandes.

41.

$\int_{1}^{e} ln (x^{2}) d x$

42.

$\int_{0}^{π} x cos x d x$

43.

$\int_{− π}^{π} x sen x d x$ (Exprese la respuesta en forma exacta).

44.

$\int_{0}^{3} ln (x^{2} + 1) d x$ (Exprese la respuesta en forma exacta).

45.

$\int_{0}^{π / 2} x^{2} sen x d x$ (Exprese la respuesta en forma exacta).

46.

$\int_{0}^{1} x 5^{x} d x$ (Exprese la respuesta utilizando cinco dígitos significativos).

47.

Evalúe $\int cos x ln (sen x) d x$

Derive las siguientes fórmulas utilizando la técnica de integración por partes. Suponga que n es un número entero positivo. Estas fórmulas se llaman fórmulas de reducción porque el exponente del término x se ha reducido en uno en cada caso. La segunda integral es más sencilla que la integral original.

48.

$\int x^{n} e^{x} d x = x^{n} e^{x} - n \int x^{n - 1} e^{x} d x$

49.

$\int x^{n} cos x d x = x^{n} sen x - n \int x^{n - 1} sen x d x$

50.

$\int x^{n} sen x d x =______$

51.

Integre $\int 2 x \sqrt{2 x - 3} d x$ utilizando dos métodos:

Utilizando la integración por partes, suponiendo que $d v = \sqrt{2 x - 3} d x$
Sustitución, suponiendo que $u = 2 x - 3$

Indique si utilizaría la integración por partes para evaluar la integral. Si es así, identifique u y dv. Si no es así, describa la técnica utilizada para realizar la integración sin resolver realmente el problema.

52.

$\int x ln x d x$

53.

$\int \frac{{ln}^{2} x}{x} d x$

54.

$\int x e^{x} d x$

55.

$\int x e^{x^{2} - 3} d x$

56.

$\int x^{2} sen x d x$

57.

$\int x^{2} sen (3 x^{3} + 2) d x$

Dibuje la región delimitada arriba por la curva, el eje x y $x = 1,$ y halle el área de la región. Proporcione la forma exacta o redondee las respuestas al número de decimales indicados.

58.

$y = 2 x e^{– x}$ (Aproxime la respuesta a cuatro decimales).

59.

$y = e^{– x} sen (π x)$ (Aproxime la respuesta a cinco decimales).

Calcule el volumen generado al girar la región delimitada por las curvas dadas alrededor de la línea especificada. Exprese las respuestas de forma exacta o aproximada al número de decimales indicado.

60.

$y = sen x, y = 0, x = 2 π, x = 3 π$ alrededor del eje y (exprese la respuesta en forma exacta).

61.

$y = e^{– x}$ $y = 0, x = –1 x = 0;$ alrededor de $x = 1$ (Exprese la respuesta en forma exacta).

62.

Una partícula que se mueve en línea recta tiene una velocidad de $v (t) = t^{2} e^{− t}$ después de t segundos. ¿Qué distancia recorre en los primeros 2 segundos? (Asuma que las unidades están en pies y exprese la respuesta en forma exacta).

63.

Halle el área bajo el gráfico de $y = {sec}^{3} x$ de $x = 0 a x = 1 .$ (Redondee la respuesta a dos dígitos significativos).

64.

Halle el área entre $y = (x - 2) e^{x}$ y el eje x de $x = 2$ hasta $x = 5 .$ (Exprese la respuesta en forma exacta).

65.

Halle el área de la región delimitada por la curva $y = x cos x$ y el eje x para

$\frac{11 π}{2} \leq x \leq \frac{13 π}{2} .$ (Exprese la respuesta en forma exacta).

66.

Calcule el volumen del sólido generado cuando se gira la región delimitada por la curva $y = ln x,$ el eje x y la línea vertical $x = e^{2}$ alrededor del eje x. (Exprese la respuesta en forma exacta).

67.

Calcule el volumen del sólido generado cuando se gira la región delimitada por la curva $y = 4 cos x$ y el eje x, $\frac{π}{2} \leq x \leq \frac{3 π}{2},$ alrededor del eje x. (Exprese la respuesta en forma exacta).

68.

Calcule el volumen del sólido generado al girar la región del primer cuadrante delimitada por $y = e^{x}$ y el eje x, de $x = 0$ hasta $x = ln (7),$ alrededor del eje y. (Exprese la respuesta en forma exacta).