Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

2.1.1 Determinar el área de una región entre dos curvas integrando con respecto a la variable independiente.
2.1.2 Encontrar el área de una región compuesta.
2.1.3 Determinar el área de una región entre dos curvas integrando con respecto a la variable dependiente.

En Introducción a la integración, desarrollamos el concepto de integral definida para calcular el área bajo una curva en un intervalo dado. En esta sección, ampliaremos esa idea para calcular el área de regiones más complejas. Empezaremos por encontrar el área entre dos curvas que son funciones de $x,$ empezando por el caso simple en el que un valor de la función es siempre mayor que el otro. A continuación, se estudian los casos en los que los gráficos de las funciones se intersecan. Por último, consideraremos cómo calcular el área entre dos curvas que son funciones de $y .$

Área de una región entre dos curvas

Supongamos que $f (x)$ y $g (x)$ son funciones continuas sobre un intervalo $[a, b]$ de manera que $f (x) \geq g (x)$ sobre $[a, b] .$ Queremos hallar el área entre los gráficos de las funciones, como se muestra en la siguiente figura.

Esta figura es un gráfico en el primer cuadrante. Hay dos curvas en el gráfico. La curva superior se denomina "f(x)" y la inferior "g(x)". Hay dos límites en el eje x marcados como a y b. Hay una zona sombreada entre las dos curvas delimitada por las líneas en x=a y x=b.

Figura 2.2 El área entre los gráficos de dos funciones,

f (x)

y

g (x),

en el intervalo

[a, b] .

Al igual que antes, vamos a dividir el intervalo en el eje $x$ y aproximaremos el área entre los gráficos de las funciones con rectángulos. Entonces, para $i = 0, 1, 2,…, n,$ supongamos que $P = {x_{i}}$ es una partición regular de $[a, b] .$ Luego, para $i = 1, 2,…, n,$ elija un punto $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}],$ y en cada intervalo $[x_{i - 1}, x_{i}]$ construya un rectángulo que se extienda verticalmente desde $g (x_{i}^{*})$ al $f (x_{i}^{*}) .$ La Figura 2.3(a) muestra los rectángulos cuando $x_{i}^{*}$ se selecciona para ser el punto extremo izquierdo del intervalo y $n = 10 .$ La Figura 2.3(b) muestra en detalle un rectángulo representativo.

Medios

Utilice esta calculadora para saber más sobre las áreas entre dos curvas.

Esta figura tiene tres gráficos. El primer gráfico tiene dos curvas, una sobre la otra. Entre las curvas hay un rectángulo. La parte superior del rectángulo está en la curva superior marcada como "f(x*)" y la parte inferior del rectángulo está en la curva inferior marcada como "g(x*)". El segundo gráfico, marcado como "(a)", tiene dos curvas en el gráfico. La curva superior se denomina "f(x)" y la inferior "g(x)". Hay dos límites en el eje x marcados como a y b. Hay una zona sombreada entre las dos curvas delimitada por las líneas en x=a y x=b. El tercer gráfico, marcado como "(b)" tiene dos curvas, una sobre la otra. La primera curva se denomina "f(x*)" y la inferior "g(x*)". Hay un rectángulo sombreado entre los dos. La anchura del rectángulo se marca como "delta x".

Figura 2.3 (a)Podemos aproximar el área entre los gráficos de dos funciones,

f (x)

y

g (x),

con rectángulos. (b) El área de un rectángulo típico va de una curva a la otra.

La altura de cada rectángulo individual es $f (x_{i}^{*}) - g (x_{i}^{*})$ y la anchura de cada rectángulo es $Δ x .$ Al sumar las áreas de todos los rectángulos, vemos que el área entre las curvas se aproxima por

A \approx \sum_{i = 1}^{n} [f (x_{i}^{*}) - g (x_{i}^{*})] Δ x .

Se trata de una suma de Riemann, por lo que tomamos el límite como $n \to \infty$ y obtenemos

A = \underset{n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{n} [f (x_{i}^{*}) - g (x_{i}^{*})] Δ x = \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x .

Estas conclusiones se resumen en el siguiente teorema.

Teorema 2.1

Hallar el área entre dos curvas

Supongamos que $f (x)$ y $g (x)$ son funciones continuas tales que $f (x) \geq g (x)$ en un intervalo $[a, b] .$ Supongamos que $R$ denotan la región delimitada por el gráfico de $f (x),$ abajo por el gráfico de $g (x),$ y a la izquierda y derecha por las líneas $x = a$ y $x = b,$ respectivamente. Entonces, el área de $R$ viene dada por

A = \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x .

(2.1)

Aplicamos este teorema en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.1

Hallar el área de una región entre dos curvas 1

Si R es la región delimitada por el gráfico de la función $f (x) = x + 4$ y abajo por el gráfico de la función $g (x) = 3 - \frac{x}{2}$ en el intervalo $[1, 4],$ calcule el área de la región $R .$

Solución

La región se representa en la siguiente figura.

Esta figura tiene dos gráficos lineales en el primer cuadrante. Son las funciones f(x) = x+4 y g(x)= 3-x/2. Entre estas líneas hay una región sombreada, limitada por encima por f(x) y por debajo por g(x). La zona sombreada está entre x=1 y x=4.

Figura 2.4 Se muestra una región entre dos curvas en la que una de ellas es siempre mayor que la otra.

Tenemos

\begin{matrix} A & = \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x \\ = \int_{1}^{4} [(x + 4) - (3 - \frac{x}{2})] d x = \int_{1}^{4} [\frac{3 x}{2} + 1] d x \\ = {[\frac{3 x^{2}}{4} + x] |}_{1}^{4} = (16 - \frac{7}{4}) = \frac{57}{4} . \end{matrix}

El área de la región es $\frac{57}{4} {al cuadrado}^{2} .$

Punto de control 2.1

Si los valores de $R$ es la región delimitada por los gráficos de las funciones $f (x) = \frac{x}{2} + 5$ y $g (x) = x + \frac{1}{2}$ en el intervalo $[1, 5],$ calcule el área de la región $R .$

En el Ejemplo 2.1, definimos el intervalo de interés como parte del planteamiento del problema. Sin embargo, frecuentemente queremos definir nuestro intervalo de interés con base en el punto de intersección de los gráficos de las dos funciones. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.2

Hallar el área de una región entre dos curvas 2

Si los valores de $R$ es la región delimitada por el gráfico de la función $f (x) = 9 - {(x / 2)}^{2}$ y abajo por el gráfico de la función $g (x) = 6 - x,$ calcule el área de la región $R .$

Solución

La región se representa en la siguiente figura.

Esta figura tiene dos gráficos en el primer cuadrante. Son las funciones f(x) = 9-(x/2)^2 y g(x)= 6-x. Entre estos gráficos, una parábola invertida y una línea, hay una región sombreada, limitada por encima por f(x) y por debajo por g(x).

Figura 2.5 Este gráfico muestra la región por debajo del gráfico de

f (x)

y por encima del gráfico de

g (x) .

Primero tenemos que calcular dónde se intersecan los gráficos de las funciones. Si establecemos que $f (x) = g (x),$ obtenemos

\begin{matrix} f (x) & = & g (x) \\ 9 - {(\frac{x}{2})}^{2} & = & 6 - x \\ 9 - \frac{x^{2}}{4} & = & 6 - x \\ 36 - x^{2} & = & 24 - 4 x \\ x^{2} - 4 x - 12 & = & 0 \\ (x - 6) (x + 2) & = & 0, \end{matrix}

Los gráficos de las funciones se intersecan cuando $x = 6$ o $x = –2,$ por lo que queremos integrar desde $−2$ al $6 .$ Dado que $f (x) \geq g (x)$ por $−2 \leq x \leq 6,$ obtenemos

\begin{matrix} A & = \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x \\ = \int_{−2}^{6} [9 - {(\frac{x}{2})}^{2} - (6 - x)] d x = \int_{−2}^{6} [3 - \frac{x^{2}}{4} + x] d x \\ = {[3 x - \frac{x^{3}}{12} + \frac{x^{2}}{2}] |}_{−2}^{6} = \frac{64}{3} . \end{matrix}

El área de la región es $64 / 3$ unidades².

Punto de control 2.2

Si R es la región delimitada por el gráfico de la función $f (x) = x$ y abajo por el gráfico de la función $g (x) = x^{4},$ calcule el área de la región $R .$

Áreas de las regiones compuestas

Hasta ahora, hemos requerido $f (x) \geq g (x)$ a lo largo de todo el intervalo de interés, pero ¿qué ocurre si queremos observar las regiones delimitadas por los gráficos de las funciones que se entrecruzan? En ese caso, modificamos el proceso que acabamos de desarrollar utilizando la función de valor absoluto.

Teorema 2.2

Hallar el área de una región entre curvas que se cruzan

Supongamos que $f (x)$ y $g (x)$ son funciones continuas sobre un intervalo $[a, b] .$ Supongamos que $R$ denota la región entre los gráficos de $f (x)$ y $g (x),$ y está limitado a la izquierda y a la derecha por las rectas $x = a$ y $x = b,$ respectivamente. Entonces, el área de $R$ viene dada por

A = \int_{a}^{b} | f (x) - g (x) | d x .

En la práctica, la aplicación de este teorema nos obliga a descomponer el intervalo $[a, b]$ y evaluar varias integrales, dependiendo de cuál de los valores de la función es mayor en una parte determinada del intervalo. Estudiaremos este proceso en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.3

Hallar el área de una región limitada por funciones que se cruzan

Si R es la región entre los gráficos de las funciones $f (x) = sen x$ y $g (x) = cos x$ en el intervalo $[0, π],$ calcule el área de la región $R .$

Solución

La región se representa en la siguiente figura.

Esta figura tiene dos gráficos. Son las funciones f(x) = senx y g(x)= cosx. Ambas son funciones periódicas que se asemejan a ondas. Hay dos zonas sombreadas entre los gráficos. La primera zona sombreada se denomina "R1" y tiene g(x) por encima de f(x). Esta región comienza en el eje y y se detiene en la intersección de las curvas. La segunda región se denomina "R2" y comienza en la intersección con f(x) sobre g(x). La región sombreada se detiene en x=pi.

Figura 2.6 La región entre dos curvas puede dividirse en dos subregiones.

Los gráficos de las funciones se cruzan en $x = π / 4 .$ Para $x \in [0, π / 4],$ $cos x \geq sen x,$ así que

| f (x) - g (x) | = | sen x - cos x | = cos x - sen x .

Por otro lado, para $x \in [π / 4, π],$ $sen x \geq cos x,$ así que

| f (x) - g (x) | = | sen x - cos x | = sen x - cos x .

Entonces

\begin{matrix} A & = \int_{a}^{b} | f (x) - g (x) | d x \\ = \int_{0}^{π} | sen x - cos x | d x = \int_{0}^{π / 4} (cos x - sen x) d x + \int_{π / 4}^{π} (sen x - cos x) d x \\ = {[sen x + cos x] |}_{0}^{π / 4} + {[− cos x - sen x] |}_{π / 4}^{π} \\ = (\sqrt{2} - 1) + (1 + \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} . \end{matrix}

El área de la región es $2 \sqrt{2}$ unidades².

Punto de control 2.3

Si R es la región entre los gráficos de las funciones $f (x) = sen x$ y $g (x) = cos x$ en el intervalo $[π / 2, 2 π],$ calcule el área de la región $R .$

Ejemplo 2.4

Hallar el área de una región compleja

Consideremos la región representada en la Figura 2.7. Calcule el área de $R .$

Esta figura tiene dos gráficos en el primer cuadrante. Son las funciones f(x) = x^2 y g(x)= 2-x. Entre estos gráficos hay una región sombreada, limitada a la izquierda por f(x) y a la derecha por g(x). Todo ello por encima del eje x. La región está etiquetada como R. El área sombreada está entre x=0 y x=2.

Figura 2.7 Se necesitan dos integrales para calcular el área de esta región.

Solución

Al igual que con el Ejemplo 2.3, tenemos que dividir el intervalo en dos partes. Los gráficos de las funciones se cruzan en $x = 1$ (establezca $f (x) = g (x)$ y resolver para x), así que evaluamos dos integrales separadas: una en el intervalo $[0, 1]$ y uno en el intervalo $[1, 2] .$

En el intervalo $[0, 1],$ la región está limitada arriba por $f (x) = x^{2}$ y abajo por el eje x, por lo que tenemos

A_{1} = \int_{0}^{1} x^{2} d x = {\frac{x^{3}}{3} |}_{0}^{1} = \frac{1}{3} .

En el intervalo $[1, 2],$ la región está limitada arriba por $g (x) = 2 - x$ y abajo por el eje $x −eje,$ por lo que tenemos

A_{2} = \int_{1}^{2} (2 - x) d x = {[2 x - \frac{x^{2}}{2}] |}_{1}^{2} = \frac{1}{2} .

Sumando estas áreas, obtenemos

A = A_{1} + A_{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6} .

El área de la región es $5 / 6$ unidades².

Punto de control 2.4

Considere la región representada en la siguiente figura. Calcule el área de $R .$

Esta figura tiene dos gráficos en el primer cuadrante. Son las funciones f(x) = raíz cuadrada de x y g(x)= 3/2 - x/2. Entre estos gráficos hay una región sombreada, limitada a la izquierda por f(x) y a la derecha por g(x). Todo ello por encima del eje x. El área sombreada está entre x=0 y x=3.

Regiones definidas con respecto a y

En el Ejemplo 2.4, tuvimos que evaluar dos integrales distintas para calcular el área de la región. Sin embargo, existe otro enfoque que solo requiere una integral. ¿Y si tratamos las curvas como funciones de $y,$ en vez de como funciones de $x ?$ Revise la Figura 2.7. Observe que el gráfico de la izquierda, mostrado en rojo, está representado por la función $y = f (x) = x^{2} .$ Podríamos resolver esto con la misma facilidad para $x$ y representar la curva mediante la función $x = v (y) = \sqrt{y} .$ (Observe que $x = − \sqrt{y}$ es también una representación válida de la función $y = f (x) = x^{2}$ en función de $y .$ (No obstante, con base en el gráfico, está claro que nos interesa la raíz cuadrada positiva). Del mismo modo, el gráfico de la derecha está representado por la función $y = g (x) = 2 - x,$ , pero también podría representarse con la función $x = u (y) = 2 - y .$ Cuando los gráficos se representan como funciones de $y,$ vemos que la región está limitada a la izquierda por el gráfico de una función y a la derecha por el gráfico de la otra función. Por lo tanto, si integramos con respecto a $y,$ necesitamos evaluar una sola integral. Desarrollemos una fórmula para este tipo de integración.

Supongamos que $u (y)$ y $v (y)$ son funciones continuas sobre un intervalo $[c, d]$ de manera que $u (y) \geq v (y)$ para todos los $y \in [c, d] .$ Queremos hallar el área entre los gráficos de las funciones, como se muestra en la siguiente figura.

Esta figura tiene dos gráficos en el primer cuadrante. Son las funciones v(y) y u(y). Entre estos gráficos hay una región sombreada, limitada a la izquierda por v(y) y a la derecha por u(y). La región está marcada como R. El área sombreada está entre los límites horizontales de y=c y y=d.

Figura 2.8 Podemos encontrar el área entre los gráficos de dos funciones,

u (y)

y

v (y) .

Esta vez, vamos a dividir el intervalo en el eje $y$ y utilizar rectángulos horizontales para aproximar el área entre las funciones. Entonces, para $i = 0, 1, 2,…, n,$ supongamos que $Q = {y_{i}}$ es una partición regular de $[c, d] .$ Luego, para $i = 1, 2,…, n,$ elija un punto $y_{i}^{*} \in [y_{i - 1}, y_{i}],$ entonces en cada intervalo $[y_{i - 1}, y_{i}]$ construya un rectángulo que se extienda horizontalmente desde $v (y_{i}^{*})$ al $u (y_{i}^{*}) .$ La Figura 2.9(a) muestra los rectángulos cuando $y_{i}^{*}$ se selecciona para ser el punto extremo inferior del intervalo y $n = 10 .$ La Figura 2.9(b) muestra en detalle un rectángulo representativo.

Esta figura tiene tres gráficos. La primera figura tiene dos curvas. Son las funciones v(y*) y u(y*). Entre estas curvas hay un rectángulo horizontal. La segunda figura, denominada "(a)", es una región sombreada, limitada a la izquierda por v(y) y a la derecha por u(y). La zona sombreada se encuentra entre los límites horizontales de y=c e y=d. Esta zona sombreada se divide en rectángulos entre las curvas. La tercera figura, marcada como "(b)", son las dos curvas v(y*) y u(y*). Entre las curvas hay un rectángulo horizontal con anchura delta y.

Figura 2.9 (a) Aproximación del área entre los gráficos de dos funciones,

u (y)

y

v (y),

con rectángulos. (b) El área de un rectángulo típico.

La altura de cada rectángulo individual es $Δ y$ y la anchura de cada rectángulo es $u (y_{i}^{*}) - v (y_{i}^{*}) .$ Por lo tanto, el área entre las curvas es aproximadamente

A \approx \sum_{i = 1}^{n} [u (y_{i}^{*}) - v (y_{i}^{*})] Δ y .

Se trata de una suma de Riemann, por lo que tomamos el límite como $n \to \infty,$ obteniendo

A = \underset{n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{n} [u (y_{i}^{*}) - v (y_{i}^{*})] Δ y = \int_{c}^{d} [u (y) - v (y)] d y .

Estas conclusiones se resumen en el siguiente teorema.

Teorema 2.3

Hallar el área entre dos curvas, integrando a lo largo del eje y

Supongamos que $u (y)$ y $v (y)$ son funciones continuas tales que $u (y) \geq v (y)$ para todos los $y \in [c, d] .$ Supongamos que $R$ denota la región limitada a la derecha por el gráfico de $u (y),$ a la izquierda por el gráfico de $v (y),$ y arriba y abajo por las rectas $y = d$ y $y = c,$ respectivamente. Entonces, el área de $R$ viene dada por

A = \int_{c}^{d} [u (y) - v (y)] d y .

(2.2)

Ejemplo 2.5

Integrar con respecto a y

Volvamos a visitar el Ejemplo 2.4, solo que esta vez integremos con respecto a $y .$ Supongamos que $R$ es la región representada en la Figura 2.10. Calcule el área de $R$ integrando con respecto a $y .$

Figura 2.10 La zona de la región

R

puede calcularse mediante una integral solo cuando las curvas se tratan como funciones de

y .

Solución

Primero debemos expresar los gráficos como funciones de $y .$ Como vimos al principio de esta sección, la curva de la izquierda puede representarse por la función $x = v (y) = \sqrt{y},$ y la curva de la derecha puede representarse por la función $x = u (y) = 2 - y .$

Ahora tenemos que determinar los límites de integración. La región está limitada abajo por el eje x, por lo que el límite inferior de integración es $y = 0 .$ El límite superior de la integración está determinado por el punto de intersección de los dos gráficos, que es el punto $(1, 1),$ por lo que el límite superior de integración es $y = 1 .$ Por lo tanto, tenemos $[c, d] = [0, 1] .$

Calculando el área de la región, obtenemos

\begin{matrix} A & = \int_{c}^{d} [u (y) - v (y)] d y \\ = \int_{0}^{1} [(2 - y) - \sqrt{y}] d y = {[2 y - \frac{y^{2}}{2} - \frac{2}{3} y^{3 / 2}] |}_{0}^{1} \\ = \frac{5}{6} . \end{matrix}

El área de la región es $5 / 6$ unidades².

Punto de control 2.5

Volvamos a revisar el punto de control asociado al Ejemplo 2.4, solo que esta vez integremos con respecto a $y .$ Supongamos que $R$ es la región representada en la siguiente figura. Calcule el área de $R$ integrando con respecto a $y .$

Sección 2.1 ejercicios

En los siguientes ejercicios, determine el área de la región entre las dos curvas de la figura dada integrando sobre el eje $x .$

1.

$y = x^{2} - 3 y y = 1$

Esta figura tiene dos gráficos. Son las funciones f(x) = x^2-3y g(x)=1. Entre estas gráficos hay una región sombreada, limitada por encima por g(x) y por debajo por f(x). La zona sombreada está entre x=-2 y x=2.

2.

$y = x^{2} y y = 3 x + 4$

Esta figura tiene dos gráficos. Son las funciones f(x) = x^2 y g(x)= 3x+4. Entre estos gráficos hay una región sombreada, limitada por encima por g(x) y por debajo por g(x).

En los siguientes ejercicios, divida la región entre las dos curvas en dos regiones más pequeñas, y luego determine el área integrando sobre el eje $x .$ Tenga en cuenta que tendrá que resolver dos integrales.

3.

$y = x^{3}$ y $y = x^{2} + x$

Esta figura tiene dos gráficos. Son las funciones f(x) = x^3 y g(x)= x^2+x. Estos gráficos se intersecan dos veces. Las regiones entre las intersecciones están sombreadas. La primera región está limitada por encima por f(x) y por debajo por g(x). La segunda región está limitada por encima por g(x) y por debajo por f(x).

4.

$y = cos θ$ y $y = 0,5,$ para $0 \leq θ \leq π$

Esta figura tiene dos gráficos. Son las funciones f(theta) = cos(theta) y g(theta)= 0,5. Estos gráficos se intersecan dos veces. Las regiones entre las intersecciones están sombreadas. La primera región está delimitada por encima por f(theta) y por debajo por g(theta). La segunda región está delimitada por encima por g(theta) y por debajo por f(theta).

En los siguientes ejercicios, determine el área de la región entre las dos curvas integrando sobre el eje $y .$

5.

$x = y^{2} y x = 9$

6.

$y = x y x = y^{2}$

Para los siguientes ejercicios, grafique las ecuaciones y sombree el área de la región entre las curvas. Determine su área integrando sobre el eje $x .$

7.

$y = x^{2} y y = − x^{2} + 18 x$

8.

$y = \frac{1}{x}, y = \frac{1}{x^{2}}, y x = 3$

9.

$y = cos x$ como $y = {cos}^{2} x$ sobre $x = [− π, π]$

10.

$y = e^{x}, y = e^{2 x - 1}, y x = 0$

11.

$y = e^{x}, y = e^{– x}, x = −1 y x = 1$

12.

$y = e, y = e^{x}, y y = e^{– x}$

13.

$y = | x | y y = x^{2}$

Para los siguientes ejercicios, grafique las ecuaciones y sombree el área de la región entre las curvas. Si es necesario, divida la región en subregiones para determinar toda su superficie.

14.

$y = sen (π x), y = 2 x, y x > 0$

15.

$y = 12 - x, y = \sqrt{x}, y y = 1$

16.

$y = sen x$ como $y = cos x$ en $x = [− π, π]$

17.

$y = x^{3} y y = x^{2} - 2 x$ en $x = [−1, 1]$

18.

$y = x^{2} + 9 y y = 10 + 2 x$ en $x = [−1, 3]$

19.

$y = x^{3} + 3 x$ como $y = 4 x$

Para los siguientes ejercicios, grafique las ecuaciones y sombree el área de la región entre las curvas. Determine su área integrando sobre el $y .$

20.

$x = y^{3} y x = 3 y - 2$

21.

$x = 2 y y x = y^{3} - y$

22.

$x = −3 + y^{2} y x = y - y^{2}$

23.

$y^{2} = x y x = y + 2$

24.

$x = | y | y 2 x = − y^{2} + 2$

25.

$x = sen y, x = cos (2 y), y = π / 2, y y = − π / 2$

Para los siguientes ejercicios, grafique las ecuaciones y sombree el área de la región entre las curvas. Determine su área integrando sobre el eje x o el eje y, lo que le parezca más conveniente.

26.

$x = y^{4} y x = y^{5}$

27.

$y = x e^{x}, y = e^{x}, x = 0, y x = 1$

28.

$y = x^{6} y y = x^{4}$

29.

$x = y^{3} + 2 y^{2} + 1 y x = − y^{2} + 1$

30.

$y = | x | y y = x^{2} - 1$

31.

$y = 4 - 3 x y y = \frac{1}{x}$

32.

$y = sen x, x = − π / 6, x = π / 6, y y = {cos}^{3} x$

33.

$y = x^{2} - 3 x + 2 y y = x^{3} - 2 x^{2} - x + 2$

34.

$y = 2 {cos}^{3} (3 x), y = −1, x = \frac{π}{4}, y x = - \frac{π}{4}$

35.

$y + y^{3} = x y 2 y = x$

36.

$y = \sqrt{1 - x^{2}} y y = x^{2} - 1$

37.

$y = {cos}^{−1} x, y = {sen}^{−1} x, x = −1, y x = 1$

En los siguientes ejercicios, halle el área exacta de la región delimitada por las ecuaciones dadas, si es posible. Si no puede determinar los puntos de intersección analíticamente, utilice una calculadora para aproximar los puntos de intersección con tres decimales y determinar el área aproximada de la región.

38.

[T] $x = e^{y} y y = x - 2$

39.

[T] $y = x^{2} y y = \sqrt{1 - x^{2}}$

40.

[T] $y = 3 x^{2} + 8 x + 9 y 3 y = x + 24$

41.

[T] $x = \sqrt{4 - y^{2}} y y^{2} = 1 + x^{2}$

42.

[T] $x^{2} = y^{3} y x = 3 y$

43.

[T] $y = {sen}^{3} x + 2, y = tan x, x = −1,5, y x = 1,5$

44.

[T] $y = \sqrt{1 - x^{2}} y y^{2} = x^{2}$

45.

[T] $y = \sqrt{1 - x^{2}} y y = x^{2} + 2 x + 1$

46.

[T] $x = 4 - y^{2} y x = 1 + 3 y + y^{2}$

47.

[T] $y = cos x, y = e^{x}, x = − π, y x = 0$

48.

El mayor triángulo con base en el eje $x$ que encaja dentro de la mitad superior del círculo de la unidad $y^{2} + x^{2} = 1$ viene dada por $y = 1 + x$ como $y = 1 - x .$ Vea la siguiente figura. ¿Cuál es el área dentro del semicírculo pero fuera del triángulo?

Esta figura tiene el gráfico de una circunferencia con centro en el origen y radio de 1. Hay un triángulo inscrito con base en el eje x de –1 a 1 y el tercer vértice en el punto y = 1.

49.

Una fábrica que vende teléfonos celulares tiene una función de costo marginal $C (x) = 0,01 x^{2} - 3 x + 229,$ donde $x$ representa el número de teléfonos celulares, y una función de ingreso marginal dada por $R (x) = 429 - 2 x .$ Halle el área entre los gráficos de estas curvas y $x = 0 .$ ¿Qué representa esta zona?

50.

Un parque de atracciones tiene una función de costo marginal $C (x) = 1.000 e^{– x} + 5,$ donde $x$ representa el número de entradas vendidas, y una función de ingreso marginal dada por $R (x) = 60 - 0,1 x .$ Halle el beneficio total que se produce al vender $550$ entradas. Utilice una calculadora para determinar los puntos de intersección, si es necesario, con dos decimales.

51.

La tortuga contra la liebre: La velocidad de la liebre viene dada por la función sinusoidal $H (t) = 1 - cos ((π t) / 2)$ mientras que la velocidad de la tortuga es $T (t) = (1 / 2) {tan}^{–1} (t / 4),$ donde $t$ es el tiempo medido en horas y la velocidad se mide en millas por hora. Halle el área entre las curvas del tiempo $t = 0$ la primera vez después de una hora cuando la tortuga y la liebre viajan a la misma velocidad. ¿Qué representa? Utilice una calculadora para determinar los puntos de intersección, si es necesario, con una precisión de tres decimales.

52.

La tortuga contra la liebre: La velocidad de la liebre viene dada por la función sinusoidal $H (t) = (1 / 2) - (1 / 2) cos (2 π t)$ mientras que la velocidad de la tortuga es $T (t) = \sqrt{t},$ donde $t$ es el tiempo medido en horas y la velocidad se mide en kilómetros por hora. Si la carrera termina en $1$ hora, ¿quién ganó la carrera y por qué diferencia? Utilice una calculadora para determinar los puntos de intersección, si es necesario, con una precisión de tres decimales.

En los siguientes ejercicios, halle el área entre las curvas integrando con respecto a $x$ y luego con respecto a $y .$ ¿Es un método más fácil que el otro? ¿Obtiene la misma respuesta?

53.

$y = x^{2} + 2 x + 1 y y = − x^{2} - 3 x + 4$

54.

$y = x^{4} y x = y^{5}$

55.

$x = y^{2} - 2 y x = 2 y$

En los siguientes ejercicios, resuelva utilizando el cálculo y luego compruebe su respuesta con la geometría.

56.

Determine las ecuaciones de los lados del cuadrado que toca la circunferencia unitaria por sus cuatro lados, como se ve en la siguiente figura. Halle el área entre el perímetro de este cuadrado y el círculo unitario. ¿Hay alguna otra forma de resolver esto sin usar el cálculo?

Esta figura es el gráfico de un círculo centrado en el origen con radio 1. Hay un cuadrado circunscrito alrededor del círculo.

57.

Halla el área entre el perímetro del círculo unitario y el triángulo creado a partir de $y = 2 x + 1, y = 1 - 2 x$ como $y = - \frac{3}{5},$ como se ve en la siguiente figura. ¿Hay alguna manera de resolver esto sin usar el cálculo?

Esta figura es el gráfico de un círculo centrado en el origen con radio 1. Hay tres líneas que se cruzan con el círculo. Las líneas se intersecan con el círculo en tres puntos para formar un triángulo dentro del círculo.

2.1 Áreas entre curvas

Área de una región entre dos curvas

Hallar el área entre dos curvas

Hallar el área de una región entre dos curvas 1

Solución

Hallar el área de una región entre dos curvas 2

Solución

Áreas de las regiones compuestas

Hallar el área de una región entre curvas que se cruzan

Hallar el área de una región limitada por funciones que se cruzan

Solución

Hallar el área de una región compleja

Solución

Regiones definidas con respecto a y

Hallar el área entre dos curvas, integrando a lo largo del eje y

Integrar con respecto a y

Solución

Sección 2.1 ejercicios