1.5 Incertidumbre, exactitud y precisión de las mediciones

Cifras significativas en la medición

Los números de las cantidades medidas, a diferencia de las cantidades definidas o contadas directamente, no son exactos. Para medir el volumen de un líquido en una probeta graduada, debe hacer una lectura en el fondo del menisco, el punto más bajo de la superficie curva del líquido.

Figura 1.26 Para medir el volumen de líquido en esta probeta graduada, debe subdividir mentalmente la distancia entre las marcas de 21 y 22 mL en décimas de mililitro, y luego hacer una lectura (estimación) en el fondo del menisco.

Consulte la ilustración en la Figura 1.26. El fondo del menisco en este caso se encuentra claramente entre las marcas 21 y 22, lo que significa que el volumen de líquido es ciertamente mayor de 21 mL, pero menor de 22 mL. El menisco parece estar un poco más cerca de la marca de 22 mL que de la de 21 mL, por lo que una estimación razonable del volumen del líquido sería de 21,6 mL. En el número 21,6, por tanto, los dígitos 2 y 1 son ciertos, pero el 6 es una estimación. Algunas personas podrían estimar que la posición del menisco está igualmente distante de cada una de las marcas y estimar el dígito de la décima posición como 5, mientras que otras podrían pensar que está aún más cerca de la marca de 22 mL y estimar este dígito como 7. Tenga en cuenta que sería inútil intentar estimar un dígito para la centésima, dado que el dígito de la décima es incierto. En general, las escalas numéricas como la de este cilindro graduado permitirán realizar mediciones hasta la décima parte de la división más pequeña de la escala. La escala en este caso tiene divisiones de 1 mL, por lo que los volúmenes pueden medirse con una precisión de 0,1 mL.

Este concepto es válido para todas las mediciones, incluso si no se hace una estimación de forma activa. Si coloca una moneda de 25 centavos en una balanza electrónica estándar, puede obtener una lectura de 6,72 g. Las cifras 6 y 7 son ciertas, y el 2 indica que la masa de la moneda de 25 centavos está probablemente entre 6,71 y 6,73 gramos. La moneda de 25 centavos pesa aproximadamente 6,72 gramos, con una incertidumbre nominal en la medición de ± 0,01 gramos. Si la moneda se pesa en una balanza más sensible, la masa podría ser de 6,723 g. Esto significa que su masa está entre 6,722 y 6,724 gramos, lo que supone una incertidumbre de 0,001 gramos. Toda medición tiene cierta incertidumbre, que depende del dispositivo utilizado (y de la habilidad del usuario). Todos los dígitos de una medida, incluido el último dígito incierto, se denominan cifras significativas o dígitos significativos. Tenga en cuenta que el cero puede ser un valor medido; por ejemplo, si se sube a una balanza que muestra el peso a la libra más cercana y muestra "120", entonces el 1 (centenas), el 2 (decenas) y el 0 (unidades) son todos valores significativos (medidos).

Un resultado de medición se comunica correctamente cuando sus dígitos significativos representan con precisión la certeza del proceso de medición. Pero ¿qué pasaría si se analizara un valor notificado y se intentara determinar qué es significativo y qué no? Bueno, para empezar, todos los dígitos que no son ceros son significativos, y los ceros son los únicos que requieren alguna reflexión. Utilizaremos los términos "inicial", “último" y "cautivo" para los ceros y estudiaremos cómo tratarlos.

Empezando por el primer dígito distinto de cero a la izquierda, cuente este dígito y todos los dígitos restantes a la derecha. Es el número de cifras significativas de la medida, a menos que el último dígito sea un cero a la izquierda del punto decimal.

Los ceros cautivos son el resultado de la medición y, por tanto, siempre son significativos. Los ceros a la izquierda, sin embargo, nunca son significativos; simplemente nos indican dónde se encuentra el punto decimal.

Los ceros a la izquierda en este ejemplo no son significativos. Podríamos utilizar la notación exponencial (como se describe en el Apéndice B) y expresar el número como 8,32407 $\times$ 10^-3; entonces el número 8,32407 contiene todas las cifras significativas, y 10^-3 ubica el punto decimal.

El número de cifras significativas es incierto en un número que termina con un cero a la izquierda de la ubicación del punto decimal. Los ceros de la medida 1.300 gramos podrían ser significativos o simplemente indicar dónde se encuentra el punto decimal. La ambigüedad puede resolverse con el uso de la notación exponencial: 1,3 $\times$ 10³ (dos cifras significativas), 1,30 $\times$ 10³ (tres cifras significativas, si se miden las decenas), o 1.300 $\times$ 10³ (cuatro cifras significativas, si también se midió el lugar de las unidades). En los casos en los que solo se dispone del número con formato decimal, es prudente asumir que todos los últimos ceros no son significativos.

Al determinar las cifras significativas, asegúrese de prestar atención a los valores comunicados y piense en la medición y las cifras significativas en términos de lo que es razonable o probable al evaluar si el valor tiene sentido. Por ejemplo, el censo oficial de enero de 2014 informó de que la población residente en los EE. UU. era de 317.297.725 personas. ¿Cree usted que la población de los EE. UU. se determinó correctamente con las nueve cifras significativas indicadas, es decir, con el número exacto de personas? Constantemente las personas nacen, mueren o se trasladan al país o fuera de él, y se hacen suposiciones para tener en cuenta el gran número de personas que no se contabilizan realmente. Debido a estas incertidumbres, podría ser más razonable esperar que conozcamos la población con una aproximación de un millón de personas, en cuyo caso la población debería indicarse como 3,17 $\times$ 10⁸ personas.

Cifras significativas en los cálculos

Un segundo principio importante de la incertidumbre es que los resultados calculados a partir de una medición son al menos tan inciertos como la propia medición. Hay que tener en cuenta la incertidumbre de las mediciones para no tergiversarla en los resultados calculados. Una forma de hacerlo es informar del resultado de un cálculo con el número correcto de cifras significativas, que está determinado por las siguientes tres reglas de redondeo de números:

1. Al sumar o restar números, redondee el resultado al mismo número de decimales que el número con menos decimales (el valor menos seguro en términos de suma y resta).
2. Al multiplicar o dividir números, redondee el resultado al mismo número de cifras que el número con el menor número de cifras significativas (el menor valor seguro en términos de multiplicación y división).
3. Si el dígito que hay que descartar (el que está inmediatamente a la derecha del dígito que hay que retener) es inferior a 5, "se redondea hacia abajo" y se mantiene el dígito sin modificar; si es superior a 5, "se redondea hacia arriba" y se incrementa el dígito retenido en 1. Si el dígito eliminado es 5, y es el último dígito del número o está seguido solo por ceros, redondee hacia arriba o hacia abajo, lo que dé un valor par para el dígito retenido. Si algún dígito distinto de cero sigue al 5 descartado, redondee hacia arriba. (La última parte de esta regla puede parecerle un poco extraña, pero se basa en estadísticas fiables y tiene por objeto evitar cualquier sesgo al descartar el dígito "5", ya que se acerca por igual a los dos valores posibles del dígito retenido).

Los siguientes ejemplos ilustran la aplicación de esta regla en el redondeo de algunos números diferentes a tres cifras significativas:

• 0,028675 se redondea a 0,0287 (el dígito descartado, 7, es mayor que 5)
• 18,3384 se redondea "hacia abajo" a 18,3 (el dígito descartado, 3, es menor que 5)
• 6,8752 redondea "hacia arriba" a 6,88 (el dígito descartado es 5, y le sigue un dígito distinto de cero)
• 92,85 redondea "hacia abajo" a 92,8 (el dígito descartado es 5, y el dígito retenido es par)

Repasemos estas reglas con algunos ejemplos.

Ejemplo 1.4

Suma y resta con cifras significativas

Regla: Al sumar o restar números, redondee el resultado al mismo número de decimales que el número con menos decimales (es decir, el valor menos seguro en términos de suma y resta).

(a) Sume 1,0023 g y 4,383 g.

(b) Reste 421,23 g de 486 g.

Solución

(a) $\begin{array}{l}\\ \begin{array}{l}\hfill \\ \frac{\begin{array}{c}\mathrm{1,0023\; g}\\ \text{+ 4,383 g}\end{array}}{\mathrm{5,3853\; g}}\hfill \end{array}\end{array}$

La respuesta es 5,385 g (redondee a la milésima; tres decimales)

(b) $\begin{array}{l}\begin{array}{l}\hfill \\ \hfill \end{array}\\ \frac{\begin{array}{l}\mathrm{486\; g}\hfill \\ –\mathrm{421,23\; g}\hfill \end{array}}{\mathrm{64,77\; g}}\end{array}$

La respuesta es 65 g (redondeado a la unidad; sin decimales)

Compruebe lo aprendido

(a) Sume 2,334 mL y 0,31 mL.

(b) Reste 55,8752 m de 56,533 m.

Respuesta:

(a) 2,64 mL; (b) 0,658 m

En medio de todos estos tecnicismos, es importante tener en cuenta la razón de ser de estas reglas sobre las cifras significativas y el redondeo: representar correctamente la certeza de los valores comunicados y garantizar que un resultado calculado no se represente como más seguro que el valor menos seguro utilizado en el cálculo.

Ejemplo 1.7

Determinación experimental de la densidad mediante el desplazamiento del agua

Se pesa un trozo de barra de refuerzo y se sumerge en una probeta graduada parcialmente llena de agua, con los resultados que se muestran.

(a) Utilice estos valores para determinar la densidad de este trozo de barra de refuerzo.

(b) Las barras de refuerzo son en su mayoría de hierro. ¿Su resultado en (a) apoya esta afirmación? ¿Cómo?

Solución

El volumen del trozo de barra de refuerzo es igual al volumen del agua desplazada:

$$\text{volumen}=\text{22,4 mL}–\text{13,5 mL}=\text{8,9 mL}={\text{8,9 cm}}^3$$

(redondeado al 0,1 mL más cercano, según la regla de la suma y la resta)

La densidad es la relación de masa y volumen:

$$\text{densidad}=\frac{\text{masa}}{\text{volumen}}=\frac{\text{69,658 g}}{{\text{8,9 cm}}^3}={\text{7,8 g/cm}}^3$$

(redondeado a dos cifras significativas, según la regla de multiplicación y división)

En la Tabla 1.4, la densidad del hierro es de 7,9 g/cm³, muy cercana a la de la barra de refuerzo, lo que apoya el hecho de que la barra de refuerzo es principalmente de hierro.

Compruebe lo aprendido

Se pesa un trozo de forma irregular de un material amarillento y brillante y se sumerge en una probeta graduada, con los resultados que se muestran.

(a) Utilice estos valores para determinar la densidad de este material.

(b) ¿Tiene alguna conjetura razonable sobre la identidad de este material? Explique su razonamiento.

Respuesta:

(a) 19 g/cm³; (b) Es probable que sea oro; el aspecto es correcto para el oro y es muy cercana a la densidad dada para el oro en la Tabla 1.4.

Precisión y exactitud

Los científicos suelen realizar mediciones repetidas de una cantidad para garantizar la calidad de sus hallazgos y evaluar tanto la precisión como la exactitud de sus resultados. Se dice que las mediciones son precisas si dan resultados muy similares cuando se repiten de la misma manera. Se considera que una medición es exacta si da un resultado muy cercano al valor verdadero o aceptado. Los valores precisos coinciden entre sí; los valores exactos coinciden con un valor verdadero. Estas caracterizaciones pueden extenderse a otros contextos, como los resultados de una competición de tiro con arco (Figura 1.27).

Figura 1.27 (a) Estas flechas están cerca de la diana y la una de la otra, por lo que son exactas y precisas. (b) Estas flechas están cerca la una de la otra, pero no de la diana, por lo que son precisas, pero no exactas. (c) Estas flechas no están ni en la diana ni cerca la una de la otra, por lo que no son exactas ni precisas.

Supongamos que a una química de control de calidad de una empresa farmacéutica se le encarga la comprobación de la exactitud y la precisión de tres máquinas diferentes que deben dispensar 10 onzas (296 mL) de sirope para la tos en frascos de almacenamiento. Procede a utilizar cada máquina para llenar cinco botellas y luego determina cuidadosamente el volumen real dispensado, obteniendo los resultados tabulados en la Tabla 1.5.

Teniendo en cuenta estos resultados, informará de que el dispensador N.º 1 es preciso (los valores son todos cercanos entre sí, con una diferencia de unas pocas décimas de mililitro) pero no es exacto (ninguno de los valores se acerca al valor objetivo de 296 mL, siendo cada uno de ellos más de 10 mL demasiado bajo). Los resultados del dispensador N.º 2 representan una mayor exactitud (cada volumen está a menos de 3 mL de 296 mL) pero una peor precisión (los volúmenes varían en más de 4 mL). Por último, puede informar que el dispensador N.º 3 funciona bien, dispensando el sirope para la tos con precisión (todos los volúmenes están a 0,1 mL del volumen objetivo) y con exactitud (los volúmenes difieren entre sí en no más de 0,2 mL).