B Matemáticas esenciales - Química: Comenzando con los átomos 2ed

Aritmética exponencial

La notación exponencial se utiliza para expresar números muy grandes y muy pequeños como producto de dos números. El primer número del producto, el término de dígitos, es un número no inferior a 1 y no igual o superior a 10. El segundo número del producto, el término exponencial, se escribe como 10 con un exponente. Algunos ejemplos de notación exponencial son:

\begin{matrix} 1.000 & = & 1 \times 10^{3} \\ 100 & = & 1 \times 10^{2} \\ 10 & = & 1 \times 10^{1} \\ 1 & = & 1 \times 10^{0} \\ 0,1 & = & 1 \times 10^{-1} \\ 0,001 & = & 1 \times 10^{-3} \\ 2.386 & = & 2,386 \times 1.000 = 2,386 \times 10^{3} \\ 0,123 & = & 1,23 \times 0,1 = 1,23 \times 10^{-1} \end{matrix}

La potencia (exponente) de 10 es igual al número de posiciones que se desplaza el decimal para dar el número de dígitos. El método exponencial es una notación especialmente útil para números muy grandes y muy pequeños. Por ejemplo, 1.230.000.000 = 1,23 $\times$ 10⁹, y 0,00000000036 = 3,6 $\times$ 10⁻¹⁰.

Suma de exponenciales

Convierta todos los números a la misma potencia de 10, sume los términos de dígitos de los números y, si procede, vuelva a convertir el término de dígitos en un número entre 1 y 10, al ajustar el término exponencial.

Ejemplo B1

Sumar exponenciales

Sume 5,00

\times

10^-5 y 3,00

\times

10⁻³.

Solución

\begin{matrix} 3,00 \times 10^{-3} & = & 300 \times 10^{-5} \\ (5,00 \times 10^{-5}) + (300 \times 10^{-5}) & = & 305 \times 10^{-5} = 3,05 \times 10^{-3} \end{matrix}

Resta de exponenciales

Convierta todos los números a la misma potencia de 10, tome la diferencia de los términos de dígitos y, si procede, vuelva a convertir el término de dígitos en un número entre 1 y 10, al ajustar el término exponencial.

Ejemplo B2

Restar exponenciales

Reste 4,0

\times

10^-7 de 5,0

\times

10⁻⁶.

Solución

\begin{array}{l} 4,0 \times 10^{-7} = 0,40 \times 10^{-6} \\ (5,0 \times 10^{-6}) - (0,40 \times 10^{-6}) = 4,6 \times 10^{-6} \end{array}

Multiplicación de exponenciales

Multiplique los términos de dígitos de la forma habitual y sume los exponentes de los términos exponenciales.

Ejemplo B3

Multiplicar exponenciales

Multiplique 4,2

\times

10^-8 por 2,0

\times

10³.

Solución

(4,2 \times 10^{-8}) \times (2,0 \times 10^{3}) = (4,2 \times 2,0) \times 10^{(-8) + (+3)} = 8,4 \times 10^{-5}

División de exponenciales

Divida el término de dígitos del numerador entre el término de dígitos del denominador y reste los exponentes de los términos exponenciales.

Ejemplo B4

Dividir exponenciales

Divida 3,6

\times

10^-5 entre 6,0

\times

10⁻⁴.

Solución

\frac{3,6 \times 10^{-5}}{6,0 \times 10^{-4}} = (\frac{3,6}{6,0}) \times 10^{(-5) - (–4)} = 0,60 \times 10^{-1} = 6,0 \times 10^{-2}

Elevación al cuadrado de exponenciales

Eleve al cuadrado el término de dígitos de la forma habitual y multiplique el exponente del término exponencial por 2.

Ejemplo B5

Elevar al cuadrado exponenciales

Eleve al cuadrado el número 4,0

\times

10⁻⁶.

Solución

{(4,0 \times 10^{-6})}^{2} = 4 \times 4 \times 10^{2 \times (-6)} = 16 \times 10^{-12} = 1,6 \times 10^{-11}

Elevación al cubo de exponenciales

Eleve al cubo el término de dígitos de la forma habitual y multiplique el exponente del término exponencial por 3.

Ejemplo B6

Elevar al cubo exponenciales

Eleve al cubo el número 2

\times

10⁴.

Solución

{(2 \times 10^{4})}^{3} = 2 \times 2 \times 2 \times 10^{3 \times 4} = 8 \times 10^{12}

Sacar raíces cuadradas de exponenciales

Si es necesario, disminuya o aumente el término exponencial para que la potencia de 10 pueda dividirse uniformemente entre 2. Saque la raíz cuadrada del término de dígitos y divida el término exponencial entre 2.

Ejemplo B7

Hallar la raíz cuadrada de exponenciales

Calcule la raíz cuadrada de 1,6

\times

10⁻⁷.

Solución

\begin{matrix} 1,6 \times 10^{-7} & = & 16 \times 10^{-8} \\ \sqrt{16 \times 10^{-8}} = \sqrt{16} \times \sqrt{10^{-8}} & = & \sqrt{16} \times 10^{- \frac{8}{2}} = 4,0 \times 10^{-4} \end{matrix}

Cifras significativas

Un apicultor informa que tiene 525.341 abejas. Las tres últimas cifras del número son obviamente inexactas, ya que durante el tiempo que el cuidador estuvo contando las abejas, algunas de ellas murieron y otras eclosionaron; esto dificulta bastante determinar el número exacto de abejas. Habría sido más razonable que el apicultor hubiera informado la cifra 525.000. Es decir, las tres últimas cifras son despreciables, a no ser que se utilicen para fijar la posición del punto decimal. Sus valores exactos no tienen ningún significado útil en esta situación. Al informar de las cantidades, utilice solo tantas cifras significativas como lo amerite la exactitud de la medición.

La importancia de las cifras significativas radica en su aplicación al cálculo fundamental. En la suma y la resta debe haber tantas cifras a la derecha del decimal como la del menor de los números utilizados en el cálculo (indicado con subrayado en el siguiente ejemplo).

Ejemplo B8

Suma y resta con cifras significativas

Sume 4,383 g y 0,0023 g.

Solución

\frac{\begin{array}{l} 4,38 \underline{3} g \\ 0,002 \underline{3} g \end{array}}{4,38 \underline{5} g}

En la multiplicación y en la división, el producto o el cociente no debería contener más dígitos que los del factor que contenga el menor número de cifras significativas.

Ejemplo B9

Multiplicación y división con cifras significativas

Multiplique 0,6238 por 6,6.

Solución

0,623 \underline{8} \times 6. \underline{6} = 4. \underline{1}

Al redondear los números, aumente la cifra retenida en 1 si va seguida de un número mayor que 5 ("redondear hacia arriba"). No cambie el dígito retenido si los dígitos que siguen son menores de 5 ("redondear hacia abajo"). Si la cifra retenida va seguida de 5, se redondea hacia arriba si la cifra retenida es impar, o hacia abajo si es par (tras el redondeo, la cifra retenida será siempre par).

El uso de logaritmos y números exponenciales

El logaritmo común de un número (log) es la potencia a la que hay que elevar 10 para que sea igual a ese número. Por ejemplo, el logaritmo común de 100 es 2, porque 10 debe elevarse a la segunda potencia para ser igual a 100. A continuación, otros ejemplos.

Logaritmos y números exponenciales

Número	Número expresado exponencialmente	Logaritmo común
1.000	10³	3
10	10¹	1
1	10⁰	0
0,1	10⁻¹	-1
0,001	10⁻³	-3

Tabla B1

¿Cuál es el logaritmo común de 60? Dado que 60 se encuentra entre 10 y 100, que tienen logaritmos de 1 y 2, respectivamente, el logaritmo de 60 es 1,7782; es decir:

60 = 10^{1 0,7782}

El logaritmo común de un número menor que 1 tiene un valor negativo. El logaritmo de 0,03918 es −1,4069, o

0,03918 = 10^{- 1,4069} = \frac{1}{10^{1,4069}}

Para obtener el logaritmo común de un número, utilice el botón log en su calculadora. Para calcular un número a partir de su logaritmo, tome el inverso del logaritmo o calcule 10^x (donde x es el logaritmo del número).

El logaritmo natural de un número (ln) es la potencia a la que hay que elevar e para que sea igual al número; e es la constante 2,7182818. Por ejemplo, el logaritmo natural de 10 es 2,303; es decir:

10 = e^{2 0,303} = 2 {0,7182818}^{2 0,303}

Para obtener el logaritmo natural de un número, utilice el botón ln en su calculadora. Para calcular un número a partir de su logaritmo natural, introduzca el logaritmo natural y tome la inversa ln del logaritmo natural o calcule e^x (donde x es el logaritmo natural del número).

Los logaritmos son exponentes; por lo tanto, las operaciones con logaritmos siguen las mismas reglas que las operaciones con exponentes.

El logaritmo de un producto de dos números es la suma de los logaritmos de los dos números.
$log x y = log x + log y, y ln x y = ln x + ln y$
El logaritmo del resultante de la división de dos números es la diferencia entre los logaritmos de los dos números.
$log \frac{x}{y} = log x - log y, y ln \frac{x}{y} = ln x - ln y$
El logaritmo de un número elevado a un exponente es el producto del exponente y el logaritmo del número.
$log x^{n} = n log x y ln x^{n} = n ln x$

La solución de las ecuaciones cuadráticas

Las funciones matemáticas de esta forma se conocen como polinomios de segundo orden o, más comúnmente, funciones cuadráticas.

a x^{2} + b x + c = 0

La solución o las raíces de cualquier ecuación cuadrática se calculan mediante la siguiente fórmula:

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Ejemplo B10

Resolución de ecuaciones cuadráticas

Resuelva la ecuación cuadrática 3x² + 13x - 10 = 0.

Solución

Sustituyendo los valores a = 3, b = 13, c = -10 en la fórmula, obtenemos:

x = \frac{- 13 \pm \sqrt{{(13)}^{2} - 4 \times 3 \times (-10)}}{2 \times 3}

x = \frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 120}}{6} = \frac{- 13 \pm \sqrt{289}}{6} = \frac{- 13 \pm 17}{6}

Por consiguiente, las dos raíces son:

x = \frac{- 13 + 17}{6} = \frac{2}{3} y x = \frac{- 13 - 17}{6} = -5

Las ecuaciones cuadráticas construidas a partir de datos físicos siempre tienen raíces reales, y de estas raíces reales, a menudo son relevantes únicamente las que tienen valores positivos.

Gráficos bidimensionales (x-y)

La relación entre dos propiedades cualquiera de un sistema se representa mediante un gráfico bidimensional de datos. Los gráficos de este tipo tienen dos ejes: uno horizontal, que corresponde a la variable independiente, o la variable cuyo valor se controla (x), y uno vertical, que corresponde a la variable dependiente o la variable cuyo valor se observa o mide ((y).

Cuando el valor de y cambia en función de x (es decir, a diferentes valores de x corresponden diferentes valores de y), se puede trazar o dibujar un gráfico de este cambio. El gráfico se genera con valores específicos para los pares de datos (x,y)

Ejemplo B11

Gráfico de la dependencia de y con respecto a x

x	y
1	5
2	10
3	7
4	14

Esta tabla contiene los siguientes puntos: (1,5), (2,10), (3,7) y (4,14). Cada uno de estos puntos puede representarse en un gráfico y conectarse para obtener una representación gráfica de la dependencia de y con respecto a x.

Un gráfico se titula "Dependencia de Y en X". El eje x va de 0 a 4,5. El eje y va de 0 a 16. Se trazan cuatro puntos en forma de gráfico lineal; los puntos son 1 y 5, 2 y 10, 3 y 7, y 4 y 14.

Si se conoce la función que describe la dependencia de y con respecto a x, puede utilizarse para calcular los pares de datos x,y que posteriormente pueden representarse gráficamente.

Ejemplo B12

Trazado de pares de datos

Si sabemos que y = x² + 2, podemos elaborar una tabla con unos cuantos valores de (x,y) y luego trazar la línea a partir de los datos que se indican allí.

x	y = x² + 2
1	3
2	6
3	11
4	18

Un gráfico se titula "Y es igual a x superíndice 2 más 2". El eje x va de 0 a 4,5. El eje y va de 0 a 20. Se trazan cuatro puntos en forma de gráfico lineal; los puntos son 1 y 3, 2 y 6, 3 y 11, y 4 y 18.