A Matematyka zastosowana w tym podręczniku

Modele algebraiczne

Modele ekonomiczne (lub fragmenty modeli) są często wyrażane za pomocą funkcji matematycznych. Czym jest funkcja? Funkcja (ang. function) opisuje związek. Czasami związek jest definicją. Na przykład (używając słów), twoim profesorem jest Adam Smith. Można to wyrazić jako Profesor = Adam Smith. Można tez zapisać tak twoich przyjaciół: Przyjaciele = Robert + Szymon + Magda.

W ekonomii funkcje często opisują przyczynę i skutek. Zmienna po lewej stronie równania jest zmienną objaśnianą („skutkiem”). Zmienne po prawej stronie są zmiennymi objaśniającymi („przyczynami”). Załóżmy na przykład, że średnia twoich ocen została opisana w następujący sposób:

Z powyższego równania wynika, że średnia ocena zależy od trzech czynników: łącznego wyniku egzaminu, obecności na zajęciach i liczby godzin nauki. Równanie wskazuje również, że czas nauki jest dwa razy ważniejszy (0,50) niż wynik matury (0,25) lub obecność na zajęciach (0,25). Jeżeli ten związek jest prawdziwy, to jak możesz podnieść średnią ocenę? Nie opuszczając zajęć i ucząc się więcej. Pamiętaj, że nie możesz nic zrobić z wynikiem egzaminu wstępnego lub matury, ponieważ jeśli jesteś już na studiach, to już go za sobą.

Oczywiście modele ekonomiczne przedstawiają zależności z wykorzystaniem zmiennych ekonomicznych. Na przykład, Budżet = pieniądze wydane na książki z ekonomii + pieniądze wydane na muzykę, zakładając, że jedyne rzeczy, które kupujesz, to książki z ekonomii i muzyka.

Większość związków opisywanych w niniejszym podręczniku jest wyrażonych w postaci równań liniowych:

Graficzne przedstawianie równań

Wykresy są przydatne do dwóch celów. Pierwszym jest wizualne przedstawienie równań, a drugim - wyświetlanie statystyk lub danych. W tej sekcji omówimy wizualne przedstawianie równań.

Dla matematyka lub ekonomisty zmienna (ang. variable) to wielkość, która może przyjąć pewien zakres wartości. W powyższym równaniu prostej x i y są zmiennymi, przy czym x znajduje się na osi poziomej, y na osi pionowej, zaś b i m to parametry określające kształt prostej. Aby zobaczyć, jak to działa, rozważ przykład liczbowy:

W powyższym równaniu, opisującym określoną funkcję liniową, parametr b wynosi 9, a parametr m jest równy 3. Tabela A1 pokazuje wartości x i y zgodnie z tym równaniem. Równanie oraz wspomniane wartości są także zilustrowane na Ilustracji A1. Aby stworzyć tabelę, wstaw szereg różnych wartości x, a następnie oblicz odpowiadającą im wartość y. Rysunek przedstawia te punkty oraz poprowadzoną przez nie linię.

Ilustracja A1 Funkcja liniowa Na wykresie zmienna x jest zaznaczona na osi poziomej, a zmienna y - na osi pionowej. Punkt przecięcia funkcji z osią y ma wartość 9. Nachylenie funkcji wynosi 3, co oznacza, że wzrost o 3 na osi pionowej przypada na każdy wzrost o 1 na osi poziomej. Nachylenie jest takie samo wzdłuż całej linii prostej.

Powyższy przykład ilustruje, w jaki sposób parametry b i m w równaniu funkcji liniowej określają jej kształt i położenie. Parametr b to wyraz wolny i wskazuje na przecięcie funkcji z osią y. Dla x = 0 parametr b pokazuje punkt przecięcia funkcji z osią pionową (y). W naszym przykładzie przecięcie z osią pionową występuje przy wartości 9. Parametr m to nachylenie prostej. Nachylenie (ang. slope) funkcji prostej jest zmianą wartości y przyjmowanych przez funkcję podzielone przez zmianę wartości argumentu x między dwoma dowolnymi punktami. W naszym przykładzie za każdym razem, gdy argument x zwiększa się o jeden, wartość y rośnie o trzy. A zatem nachylenie funkcji wynosi trzy (m = 3). Określenie punktu przecięcia z osią y oraz określenie nachylenia — czyli parametrów b i m — wystarczy do wyznaczenia konkretnej funkcji liniowej. Chociaż rzadko zdarza się, aby dane z prawdziwego świata układały się dokładnie jak linia prosta, często okazuje się, że funkcja liniowa może zapewnić rozsądne przybliżenie rzeczywistych danych.

Interpretacja nachylenia

Pojęcie nachylenia jest bardzo przydatne w ekonomii, ponieważ mierzy charakter związku między dwiema zmiennymi. Nachylenie dodatnie (ang. positive slope) oznacza, że dwie zmienne są dodatnio ze sobą powiązane, tzn. gdy x rośnie, y także rośnie, a gdy x maleje, y również maleje. Na wykresie dodatnie nachylenie oznacza, że gdy poruszamy się wzdłuż funkcji liniowej z lewej do prawej strony, jej wartości y rosną. Zależność między wzrostem a masą ciała, pokazana na Ilustracji A3 w dalszej części tego załącznika, jest dodatnia. W innych rozdziałach dowiesz się, że związek między ceną a wielkością podaży także jest dodatni, co oznacza, że przedsiębiorstwa wytwarzają więcej przy wyższej cenie.

Nachylenie ujemne (ang. negative slope) oznacza, że dwie zmienne są ze sobą ujemnie powiązane, tzn. gdy x rośnie, y maleje, a gdy x maleje, y rośnie. Gdy na wykresie poruszamy się od lewej do prawej strony wzdłuż funkcji liniowej o ujemnym nachyleniu, jej wartości y maleją. Zależność między wysokością nad poziomem morza a gęstością powietrza pokazana na Ilustracji A4 w dalszej części tego załącznika, jest ujemna. Dowiemy się także, że zależność między ceną a wielkością popytu również jest ujemna, co oznacza, że konsumenci kupują mniej przy wyższej cenie.

Nachylenie równe zero oznacza, że nie ma żadnego związku między x i y. Graficznie funkcja jest linią poziomą, czyli jej wartości nie zmieniają się przy zmianach argumentu. Ilustracja A5 dotycząca stopy bezrobocia w dalszej części tego załącznika pokazuje typowy charakter wielu wykresów liniowych: niektóre fragmenty wykresu mają nachylenie dodatnie, inne - ujemne, a jeszcze inne mają nachylenie bliskie zeru.

Nachylenie funkcji liniowej między dwoma punktami można przedstawić liczbowo. Zacznijmy od wyznaczenia jednego punktu jako „punktu początkowego”, a drugiego jako „punktu końcowego”. Następnie obliczamy zmianę wartości funkcji y oraz zmianę jej argumentu x między tymi dwoma punktami. Jako przykład, rozważmy nachylenie funkcji gęstości powietrza między punktami reprezentującymi wysokość 4000 m i 6000 m nad poziomem morza:

Zmiana wartości y: Zmiana wartości zmiennej na osi pionowej (punkt końcowy minus punkt początkowy)

Zmiana argumentu x: Zmiana wartości zmiennej na osi poziomej (punkt końcowy minus punkt początkowy)

Stąd nachylenie linii prostej między tymi dwoma punktami wskazuje, że od wysokości 4000 m do 6000 m gęstość powietrza spada o około 0,1 kg/m³ na każde 1000 m.

Załóżmy, że porównujemy kilka funkcji liniowych o różnym nachyleniu (m) i że rozważamy na moment tylko wartość bezwzględną m. Dla funkcji o dużych wartościach bezwzględnych m (np. $\text{y} = \text{4} + \text{15x}$ albo $\text{y} = \text{4} – \text{10x}$) linie proste będą bardziej strome niż dla m przyjmującego małe wartości (np. $\text{y} = \text{4} + \text{3x}$ lub $\text{y} = \text{4} – \text{2x}$). Gdy nachylenie jest dodatnie (czyli $\text{m} = \text{15}$ lub $\text{m} = \text{3}$ w powyższych przykładach), prosta rośnie w kierunku prawej górnej ćwiartki wykresu. Gdy nachylenie jest ujemne ($\text{m} = \text{–10}$ lub $\text{m} = \text{–2}$), prosta maleje w kierunku prawej dolnej ćwiartki wykresu. Nachylenie zerowe to linia pozioma. Z kolei linia pionowa ma nieskończenie duże nachylenie.

Załóżmy teraz, że punkt przecięcia funkcji z osią pionową przesuwa się w górę. Oznacza to jednoczesne przesunięcie całej funkcji równolegle w górę. Jeśli punkt przecięcia z osią pionową przesuwa się w dół, cała funkcja również przesuwa się równolegle w dół.

Algebraiczne rozwiązywanie modeli

Ekonomiści często używają modeli, aby odpowiedzieć na konkretne pytanie, np.: jaka będzie stopa bezrobocia, jeśli gospodarka będzie rosła w tempie 3% rocznie? Odpowiedź na konkretne pytanie wymaga rozwiązania „układu” równań opisujących dany model.

Załóżmy, że popyt na pizzę wyraża następujące równanie:

gdzie Q_d to liczba placków pizzy, którą konsumenci chcą kupić (tj. wielkość popytu), a P jest ceną pizzy. Załóżmy, że podaż pizzy dana jest równaniem:

gdzie Q_s to liczba placków pizzy dostarczana przez producentów (tj. wielkość podaży).

Załóżmy również, że na rynku pizzy działa tak, iż popyt jest równy podaży, czyli

Mamy teraz układ trzech równań z trzema niewiadomymi (${\text{Q}}_{\mathrm{d}} = {\text{Q}}_{\mathrm{s}}$ i P), który możemy rozwiązać za pomocą algebry:

Ponieważ ${\text{Q}}_{\mathrm{d}} = {\text{Q}}_{\mathrm{s}}$, możemy przyrównać do siebie równania popytu i podaży:

Odjęcie liczby 2 z obu stron i dodanie 2P do obu stron daje:

Innymi słowy, cena każdej pizzy wyniesie 2 dol. Ile placków kupią konsumenci?

Biorąc cenę 2 dol. i podstawiając ją do równania popytu, otrzymujemy:

Jeśli więc cena wyniesie 2 dol. za pizzę, konsumenci kupią 12 sztuk. Ile wytworzą producenci? Podstawiając cenę 2 dol. do równania podaży, otrzymujemy:

Jeśli więc cena wynosi 2 dol. za pizzę, producenci wytworzą 12 placków. Oznacza to, że obliczenia wykonaliśmy poprawnie, ponieważ ${\text{Q}}_{\mathrm{d}} = {\text{Q}}_{\mathrm{s}}$.

Rozwiązywanie modeli za pomocą wykresów

Jeśli algebra nie jest twoją mocną stroną, możesz uzyskać tę samą odpowiedź za pomocą wykresów. Wykreśl równania Q_d i Q_s w tym samym układzie współrzędnych jak pokazano na Ilustracji A2. Ponieważ P znajduje się na osi pionowej, najlepiej jest przekształcić każde równanie jako funkcję P. Krzywa popytu ma wtedy postać $\text{P} = \text{8} – {\text{0,5Q}}_{\mathrm{d}}$, a krzywa podaży to $\text{P} = \text{–0,4} + {\text{0,2Q}}_{\mathrm{s}}$. Punkty przecięcia z osią pionową wynoszą 8 i –0,4, a nachylenie jest równe –0,5 dla krzywej popytu i 0,2 dla krzywej podaży. Jeśli starannie narysujesz obie funkcje, zobaczysz, że w miejscu ich przecięcia $({\text{Q}}_{\mathrm{s}} = {\text{Q}}_{\mathrm{d}})$ cena wynosi 2 dol., a liczba placków jest równa 12, tak jak uzyskano na podstawie wcześniejszych obliczeń.

Ilustracja A2 Wykres popytu i podaży Równania Q_d i Q_s są przedstawione na rysunku jako linie proste.

W niniejszej książce częściej będziemy używać wykresów niż algebry, ale już znasz matematykę opisującą wykresy.

Stopy wzrostu

Ze stopami wzrostu mamy często do czynienia w prawdziwym świecie. Stopa wzrostu (ang. growth rate) to po prostu procentowa zmiana pewnej zmiennej. To może być twój dochód, wielkość sprzedaży przedsiębiorstwa lub PKB jakiegoś kraju. Wzór na obliczenie stopy wzrostu jest prosty:

Załóżmy, że dostajesz 10 dol. za godzinę pracy. Jednak twój szef jest pod takim wrażeniem twojej pracy, że daje ci podwyżkę w wysokości 2 dol. za godzinę. Zmiana procentowa (lub stopa wzrostu) twojego wynagrodzenia wyniesie 2 dol./10 dol. = 0,20 lub 20%.

Aby obliczyć stopę wzrostu jakiejś zmiennej w dłuższym okresie, np. średni roczny wzrost PKB w ciągu dekady lub więcej, mianownik jest zwykle definiowany nieco inaczej. W poprzednim przykładzie zdefiniowaliśmy ilość jako ilość początkową. Jest to właściwe podejście w przypadku jednookresowych obliczeń. Jeśli natomiast obliczamy wzrost w dłuższym horyzoncie czasowym, bardziej odpowiednie jest zdefiniowanie ilości jako średniej ilości w danym okresie. Trudniej to wyjaśnić słowami niż pokazać na przykładzie. Załóżmy, że PKB danego kraju wyniósł 1 bln dol. w 2005 r. i 1,03 bln dol. w 2006 r. Tempo wzrostu między 2005 a 2006 r. byłoby zmianą PKB (1,03 bln dol. – 1,00 bln dol.) podzieloną przez średni PKB w latach 2005–2006 (1,03 bln dol. + 1,00 bln dol. )/2. Innymi słowy:

Zauważ, że zmiana procentowa obliczana w stosunku do wielkości początkowej dla powyższych wartości wynosi: (1,03 bln dol. – 1,00 bln dol.) / 1,00 bln dol. = 0,30, co daje mamy 3-procentowy wzrost.

Kilka rzeczy jest do zapamiętania: Dodatnia stopa wzrostu oznacza, że ilość rośnie. Mniejsza stopa wzrostu oznacza, że ilość rośnie wolniej. Większa stopa wzrostu oznacza, że ilość rośnie szybciej. Ujemna stopa wzrostu oznacza, że ilość maleje.

Ta sama zmiana w czasie daje mniejszą stopę wzrostu. Jeśli co roku otrzymujesz podwyżkę 2 dol., w pierwszym roku stopa wzrostu wyniesie 2 dol./10 dol. = 20%, jak pokazano wyżej. Ale w drugim roku stopa wzrostu wyniosłaby 2 dol./12 dol. = 0,167 czyli 16,7%. W trzecim roku ta sama podwyżka o 2 dol. dałaby wzrost równy 2 dol./14 dol. = 14,2%. Morał tej historii jest taki: Aby utrzymać stałą stopę wzrostu, zmiana musi zwiększać się w każdym okresie.

Graficzne przedstawianie danych i interpretacja wykresów

Wykresy służą również do przedstawiania danych. Jest to jedna z metod prezentacji wartości liczbowych. Wykresy zamieniają szczegółowe informacje liczbowe w wizualną formę, gdzie zależności i tendencje można łatwiej dostrzec. Na przykład, które kraje mają większą lub mniejszą populację? Uważny czytelnik mógłby przeanalizować długą listę liczb reprezentujących populacje wielu krajów, ale przy ponad 200 krajach świata przeszukanie takiej listy wymaga koncentracji i czasu. Umieszczenie tych samych liczb na wykresie może ułatwić znalezienie pewnych wzorców. Ekonomiści używają wykresów zarówno do zwięzłej i czytelnej prezentacji danych liczbowych, jak i do budowania intuicyjnego zrozumienia relacji i powiązań.

W tej książce używane są trzy rodzaje wykresów: liniowe, kołowe i słupkowe. Każdy z nich jest omówiony poniżej. Przedstawiamy również ostrzeżenia o tym, jak można manipulować wykresami, aby wpłynąć na postrzeganie przez Czytelnika zależności w danych.

Wykresy liniowe

Wykresy, które omówiliśmy do tej pory, nazywane są wykresami liniowymi (ang. line graphs), ponieważ pokazują zależność między dwiema zmiennymi: jedną mierzoną na osi poziomej i drugą mierzoną na osi pionowej.

Czasami przydatne jest pokazanie więcej niż jednego zbioru danych na tych samych osiach. Dane z Tabeli A2 przedstawiono na Ilustracji A3, która pokazuje związek między dwiema zmiennymi: wzrostem i medianą masy ciała amerykańskich chłopców i dziewczynek w pierwszych trzech latach życia. (Mediana (ang. median) oznacza, że połowa wszystkich dzieci waży więcej, a połowa mniej niż wynosi mediana.) Wykres liniowy przedstawia wysokość w calach na osi poziomej i wagę w funtach na osi pionowej. Na przykład, punkt A na rysunku pokazuje, że chłopiec o wzroście 28 cali (71 cm) będzie miał medianę masy ciała około 19 funtów (8,6 kg). Jedna linia na wykresie przedstawia zależność między wzrostem a masy ciała dla chłopców, a druga - dla dziewcząt. Ten rodzaj wykresu jest szeroko stosowany przez świadczeniodawców ochrony zdrowia do sprawdzenia, czy rozwój fizyczny dziecka przebiega mniej więcej w normie.

Ilustracja A3 Zależność między wzrostem a masą ciała u amerykańskich chłopców i dziewcząt Wykres liniowy przedstawia zależność między wzrostem a masą ciała u chłopców i dziewcząt od urodzenia do 3. roku życia. Na przykład, punkt A pokazuje, że chłopiec o wzroście 28 cali (71 cm) waży zazwyczaj 19 funtów (9,6 kg).

Nie wszystkie zależności w ekonomii są liniowe. Czasami mają one postać nieliniową. Ilustracja A4 przedstawia kolejny przykład wykresu liniowego, bazującego na danych z Tabeli A3. W tym przypadku wykres liniowy pokazuje rozrzedzenie powietrza podczas wspinaczki w górę. Oś pozioma rysunku przedstawia wysokość mierzoną w metrach nad poziomem morza. Oś pionowa ilustruje gęstość powietrza na poszczególnych wysokościach. Gęstość powietrza jest mierzona masą powietrza na metr sześcienny (czyli w przestrzeni wysokości, szerokości i długości jednego metra). Jak wynika z wykresu, ciśnienie powietrza jest największe na poziomie morza i zmniejsza się w miarę wzrostu wysokości. Ilustracja A4 pokazuje, że metr sześcienny powietrza na wysokości 500 m waży w przybliżeniu jeden kilogram. Jednak wraz ze wzrostem wysokości gęstość powietrza maleje. Metr sześcienny powietrza na szczycie Mount Everestu, tj. na wysokości ok. 8828 m, waży zaledwie 0,023 kg. Rozrzedzenie powietrza na dużych wysokościach wyjaśnia, dlaczego wielu wspinaczy górskich musi używać butli z tlenem podczas ataku szczytowego.

Ilustracja A4 Zależność między wysokością nad poziomem morza a gęstością powietrza Wykres pokazuje zależność między wysokością mierzoną w m n.p.m. a gęstością powietrza mierzoną w kg/m³. Wraz ze wzrostem wysokości, gęstość powietrza maleje. Punktowi na szczycie Mount Everestu odpowiada wysokość około 8828 metrów nad poziomem morza (oś pozioma) i gęstość powietrza 0,023 kg/m³ (oś pionowa).

Zależności między wzrostem a masą ciała oraz między wysokością nad poziomem morza a gęstością powietrza zilustrowane na obu rysunkach przedstawiają wartości średnie. Jeśli zbierzesz rzeczywiste dane o ciśnieniu powietrza na różnych wysokościach, ta sama wysokość w różnych lokalizacjach geograficznych będzie charakteryzowała się nieco inną gęstością powietrza, w zależności od czynników takich jak odległość od równika, lokalne warunki pogodowe i wilgotność powietrza. Podobnie przy pomiarach wzrostu i masy ciała u dzieci przedstawionych na wcześniejszym wykresie liniowym, dzieci o określonym wzroście miałyby w rzeczywistości różne masy ciała, niektóre powyżej średniej, a inne poniżej. W prawdziwym świecie takie zróżnicowanie danych jest naturalne. Zadaniem naukowca jest uporządkowanie danych w sposób, który pomoże zrozumieć typowe wzorce. Badanie statystyk, zwłaszcza w połączeniu ze statystykami komputerowymi i wykorzystaniem arkuszy kalkulacyjnych, jest bardzo pomocne w porządkowaniu danych, rysowaniu wykresów liniowych i poszukiwaniu typowych zależności. W przypadku większości kierunków ekonomicznych i społecznych kurs statystyki jest obowiązkowy.

Niektóre wykresy liniowe ilustrują szereg czasowy (ang. time series), gdzie oś pozioma przedstawia czas, a oś pionowa — inną zmienną. Wykres zawierający szereg czasowy pokazuje wahania zmiennej w czasie. Ilustracja A5 przedstawia stopę bezrobocia w Stanach Zjednoczonych od 1975 r., gdzie stopę bezrobocia definiuje się jako odsetek osób aktywnych zawodowo, którzy chcą pracować i poszukują pracy, ale nie mogą jej znaleźć. Punkty odpowiadające stopie bezrobocia w poszczególnych latach są zaznaczone na wykresie oraz połączone linią pokazującą wzrosty i spadki stopy bezrobocia od 1975 r. Wykres liniowy ułatwia na przykład stwierdzenie, że najwyższa stopa bezrobocia w analizowanym okresie wyniosła poniżej 10% na początku lat 80. XX w. oraz w 2010 r.; ponadto malała ona w latach 90. XX w., po czym wzrosła i znów spadła na początku lat 2000., a następnie gwałtownie wzrosła w okresie recesji w latach 2008–2009.

Ilustracja A5 Stopa bezrobocia w USA, 1975–2014 Wykres ilustruje stopę bezrobocia. Na takim wykresie łatwo dostrzec okresy wysokiego i niskiego bezrobocia.

Wykresy kołowe

Wykres kołowy (ang. pie graph lub pie chart) służy do pokazania, w jaki sposób dana wielkość jest podzielona na części. Koło reprezentuje całą grupę. Wycinki koła pokazują względne rozmiary poszczególnych podgrup.

Ilustracja A6 pokazuje podział populacji USA na dzieci, osoby w wieku produkcyjnym i osoby starsze w 1970 r., 2000 r. oraz wg prognoz na 2030 r. Dane są najpierw przedstawione w Tabeli A4, a następnie na trzech wykresach kołowych. Pierwsza kolumna Tabeli A4 zawiera dane na temat całkowitej populacji USA w poszczególnych latach. Kolumny 2–4 dzielą całą populację na trzy grupy wiekowe — osoby w wieku do 18 lat, 19–64 lat oraz 65 lat i więcej. W kolumnach 2–4 pierwsza wartość pokazuje faktyczną liczbę osób w danej kategorii wiekowej, a wartość w nawiasie przelicza ją na odsetek całej populacji.

Ilustracja A6 Wykresy kołowe przedstawiające strukturę ludności USA według wieku Trzy wykresy kołowe ilustrują podział całej populacji na trzy grupy wiekowe w trzech różnych latach.

Na wykresie kołowym każdy wycinek koła reprezentuje udział w całości tj. odsetek. I tak 50% to połowa koła, a 20% to jedna piąta koła. Trzy wykresy kołowe na Ilustracji A6 pokazują, że udział osób w wieku 65 lat i więcej w populacji USA rośnie. Wykresy kołowe pozwalają zorientować się co do względnej wielkości różnych grup wiekowych w latach 1970, 2000 i 2030 bez konieczności analizowania konkretnych liczb i wartości procentowych z tabeli. Niektóre typowe przykłady wykorzystania wykresów kołowych obejmują strukturę ludności według wieku, poziomu dochodów, pochodzenia etnicznego, religii i zawodu; strukturę przedsiębiorstw według wielkości, branży i liczby pracowników; czy też strukturę wydatków państwa lub dochodów podatkowych według głównych kategorii.

Wykresy słupkowe

Wykres słupkowy (ang. bar graph) wykorzystuje wysokość słupków do porównywania ilości. Tabela A5 przedstawia 12 najludniejszych krajów świata. Ilustracja A7 ilustruje te same dane na wykresie słupkowym. Wysokość słupka odpowiada liczbie ludności kraju. Chociaż możesz zdawać sobie sprawę, że Chiny i Indie są najbardziej zaludnionymi krajami na świecie, to rzut oka na słupki dla Chin i Indii i słupki dla innych krajów pomaga zilustrować skalę różnicy między liczbą ludności w tych państwach.

Ilustracja A7 Największe kraje świata pod względem liczby ludności w 2015 r. (mln) Wykres przedstawia 12 krajów świata o największej liczbie ludności. Wysokość słupków pokazuje wielkość populacji w każdym kraju.

Wykresy słupkowe można dzielić w sposób pozwalający na przedstawienie informacji podobnych do tych, które możemy uzyskać z wykresów kołowych. Ilustracja A8 zawiera trzy wykresy słupkowe oparte na danych z Ilustracji A6 na temat struktury wiekowej ludności USA w latach 1970, 2000 i 2030. Ilustracja A8 (a) przedstawia trzy słupki dla każdego roku, reprezentujące całkowitą liczbę osób w poszczególnych przedziałach wiekowych w każdym roku. Ilustracja A8 (b) uwzględnia tylko jeden słupek dla danego roku, ale poszczególne grupy wiekowe są teraz zaznaczone wewnątrz słupka. Na Ilustracji A8 (c), nadal opartym na tych samych danych, oś pionowa mierzy odsetek a nie absolutną liczbę osób. W tym przypadku wszystkie trzy słupki mają tę samą wysokość, reprezentującą 100% populacji, przy czym każdy słupek jest podzielony według odsetka populacji należącego do poszczególnych grup wiekowych. Czasami czytelnikowi łatwiej jest przejrzeć kilka wykresów słupkowych, porównując zacienione obszary, niż analizować wykresy kołowe.

Ilustracja A8 Ludność USA na wykresach słupkowych Dane o populacji mogą być przedstawione na różne sposoby. Wykres (a) zawiera trzy słupki dla każdego roku, przedstawiające całkowitą liczbę osób w określonym przedziale wiekowym w poszczególnych latach. Wykres (b) zawiera tylko jeden słupek dla danego roku, ale różne grupy wiekowe są zaznaczone wewnątrz słupka. Z kolei na wykresie (c) oś pionowa mierzy wartości procentowe, a nie liczbę osób. Wszystkie trzy słupki na wykresie (c) mają tę samą wysokość, a każdy z nich jest podzielony według odsetka populacji należącego do danej grupy wiekowej.

Ilustracja A7 i Ilustracja A8 pokazują, w jaki sposób słupki mogą reprezentować kraje lub lata oraz jak oś pionowa może uwzględniać wartości liczbowe lub procentowe. Wykresy słupkowe służą również do porównywania wielkości, ilości, stawek, odległości i innych zmiennych.

Porównanie wykresów liniowych z wykresami kołowymi i słupkowymi

Gdy znasz już wykresy kołowe, słupkowe i liniowe, skąd wiesz, którego wykresu użyć do swoich danych? Wykresy kołowe często lepiej niż wykresy liniowe pokazują strukturę podziału pewnej grupy. Jeśli jednak wykres kołowy ma zbyt wiele wycinków, jego interpretacja może być trudna.

Wykresy słupkowe są szczególnie przydatne do porównywania wielkości liczbowych. Na przykład, jeśli badasz liczbę ludności różnych krajów jak na Ilustracji A7, wykresy słupkowe mogą dobrze pokazywać związki między wielkością populacji w wielu państwach. Mogą także wyraźnie ilustrować strukturę podziału ludności według różnych cech.

Wykres liniowy jest często najlepszym sposobem zobrazowania związku między dwiema zmiennymi, które się zmieniają. Przykładowo wykres z szeregiem czasowym przedstawia zmiany danej wielkości w czasie (zmiany stopy bezrobocia). Wykresy liniowe są szeroko stosowane w ekonomii do przedstawiania ciągłych danych o cenach, płacach, kupowanych i sprzedawanych ilościach dóbr i usług, czy też wielkości gospodarki.

Jak wykresy mogą wprowadzać w błąd?

Wykresy nie tylko ujawniają tendencje, mogą również wpływać na sposób ich postrzegania. Rozważmy wykresy liniowe przedstawione na Ilustracji A9, Ilustracji A10 i Ilustracji A11. Wszystkie wykresy przedstawiają stopę bezrobocia, ale z różnych perspektyw.

Ilustracja A9

Ilustracja A10 Przedstawianie stóp bezrobocia na różne sposoby Zmiana szerokości i wysokości obszaru wykresu może wpłynąć na sposób postrzegania danych.

Ilustracja A11 Przedstawianie stóp bezrobocia na różne sposoby Zmiana szerokości i wysokości obszaru wykresu może wpłynąć na sposób postrzegania danych.

Załóżmy, że ktoś chce pokazać, iż wzrost bezrobocia w 2009 r. nie był aż tak duży w perspektywie historycznej. Wówczas może przedstawić dane jak na Ilustracji A9 (a). Ilustracja A9 (a) zawiera informacje pokazane już wcześniej na Ilustracji A5, ale rozciąga oś poziomą tak, że staje się ona relatywnie dłuższa w stosunku do osi pionowej. Rozszerzając i spłaszczając wykres wydaje się, że wzrost bezrobocia nie był duży i był podobny do niektórych wcześniejszych wzrostów. Jeśli natomiast ktoś chce zmanipulować przekazem i pokazać, iż bezrobocie w 2009 r. znacznie zwiększyło się, to używając tych samych danych, rozciągnie oś pionową w stosunku do osi poziomej jak na Ilustracji A9 (b), co spowoduje, że wszystkie wzrosty i spadki bezrobocia wydają się większe.

Podobny efekt można osiągnąć bez zmiany długości osi, ale przez modyfikację skali na osi pionowej. Na Ilustracji A10 (c) skala na osi pionowej jest od 0% do 30%, natomiast na Ilustracji A10 (d) - od 3% do 10%. W porównaniu z Ilustracją A5, gdzie skala wynosi od 0% do 12%, na Ilustracji A10 (c) wahania bezrobocia wydają się mniejsze, zaś na Ilustracji A10 (d) - większe.

Warto zdawać sobie także sprawę, że na postrzeganie danych prezentowanych na wykresie wpływa ograniczenie zmienności danych poprzez zmianę liczby zaznaczonych punktów. Ilustracja A10 (e) przedstawia stopę bezrobocia według średnich pięcioletnich. Dzięki uśrednieniu rocznych wartości, funkcja na wykresie wydaje się gładsza i zawiera mniej ekstremów. Jednak w rzeczywistości stopa bezrobocia jest raportowana co miesiąc. Ilustracja A11 (f) przedstawia miesięczne dane liczbowe od 1960 r., które wahają się bardziej niż średnia z pięciu lat. Ilustracja A11 (f) jest również ilustracją tego, w jaki sposób wykresy mogą przedstawiać w zwięzłym stopniu olbrzymie ilości danych. Rysunek ten zawiera dane miesięczne od 1960 r., które na przestrzeni prawie 50 lat przekładają się na blisko 600 obserwacji. Analiza 600 wartości liczbowych w tabeli byłaby bardzo trudna. Wykres umożliwia bardzo szybki przekaz tego, co wynika z 600 danych liczbowych.

Na percepcję informacji zawartych na wykresie wpływa także selektywne wybieranie punktów początkowych i końcowych. Mogą zaburzyć postrzeganie, czy zmienna faktycznie rośnie, czy spada w czasie. Pierwotne dane pokazują ogólną tendencję z niskim bezrobociem w latach 60. XX w., ale wyższym w połowie lat 70. XX w., na początku lat 80. XX w., na początku lat 90. XX w. oraz na początku i pod koniec pierwszej dekady XXI w. Ilustracja A11 (g) pokazuje jednak wykres, który sięga tylko do 1975 r., co sprawia wrażenie, że bezrobocie stopniowo spadało w miarę upływu czasu aż do momentu, gdy recesja z 2009 r. przywróciła je z powrotem do „początkowego” poziomu. Jest to prawdopodobna interpretacja, jeśli rozpoczniemy analizę danych w punkcie kulminacyjnym przypadającym na połowę 1975 r.

Tego rodzaju zabiegi sposobu prezentacji danych nie ograniczają się do wykresów liniowych. Na wykresie kołowym z ogromną liczbą małych wycinków koła i jednym dużym przez agregację poszczególnych kategorii można uzyskać większą przejrzystość rysunku, jednak w efekcie jednak niektóre kategorie będą wydawać się większe, a inne mniejsze. Z kolei przy tworzeniu wykresu słupkowego oś pionowa może być dłuższa lub krótsza, co spowoduje, że różnice w wysokości słupków będą sprawiać wrażenie mniejszych lub większych.

Umiejętność poprawnego czytania wykresów i zachowanie czujności na wskazane wyżej manipulacje są ważne zarówno w ekonomii, jak i w życiu codziennym. Pamiętaj, aby nie wierzyć zawsze w pierwsze szybkie wrażenie uzyskiwane z wykresu. Patrz na wykres z ostrożnością.

Kluczowe pojęcia i podsumowanie

Matematyka jest narzędziem do zrozumienia ekonomii, a związki ekonomiczne można wyrazić matematycznie za pomocą wzorów lub wykresów. Równanie algebraiczne funkcji liniowej jest następujące: $\text{y} = \text{b} + \text{mx}$, gdzie x to zmienna na osi poziomej, y to zmienna na osi pionowej, b jest punktem przecięcia z osią y, zaś m jest nachyleniem. Nachylenie funkcji liniowej jest takie samo w każdym punkcie i wskazuje na charakter związku (dodatni, ujemny lub zerowy) między dwiema zmiennymi ekonomicznymi.

Modele ekonomiczne można rozwiązywać algebraicznie lub graficznie. Wykresy umożliwiają wizualną ilustrację danych. Mogą przedstawiać wzorce, porównania, trendy czy też strukturę jakiejś grupy, kondensując dane liczbowe i zapewniając intuicyjne wyczucie pewnych relacji. Wykres liniowy pokazuje zależność między dwiema zmiennymi: jedną zaznaczoną na osi poziomej, a drugą na osi pionowej. Wykres kołowy pokazuje sposób podziału, np. sumy pieniędzy lub grupy osób. Rozmiar każdego wycinka koła reprezentuje odpowiedni odsetek całości. Wykres słupkowy wykorzystuje wysokość słupków do ilustracji związków, przy czym każdy słupek reprezentuje określoną jednostkę, np. kraj lub grupę osób. Słupki można również podzielić na segmenty, aby pokazać podgrupy.

Każdy wykres to pojedyncza wizualna perspektywa na określony temat. Wrażenie, jakie wywiera, zależy od wielu czynników, takich jak uwzględniane dane i ramy czasowe, sposób podziału danych lub grup, względny rozmiar osi pionowej i poziomej, rozpoczęcie skali na osi pionowej od zera itp. Dlatego każdy wykres należy traktować nieco sceptycznie, pamiętając, że leżący u jego podstaw związek można interpretować w różny sposób.