Alexander Holmes; Barbara Illowsky; Susan Dean

Hemos visto que el tamaño de la muestra tiene un efecto importante en la varianza y, por tanto, en la desviación típica de la distribución muestral. También es interesante la proporción de la población total que ha sido muestreada. Hemos asumido que la población es extremadamente grande y que hemos muestreado una pequeña parte de ella. A medida que la población se hace más pequeña y muestreamos un mayor número de observaciones, las observaciones de la muestra no son independientes entre sí. Para corregir el impacto de esto, se puede utilizar el factor de corrección finito para ajustar la varianza de la distribución de muestreo. Es apropiado cuando se muestrea más del 5 % de la población y esta tiene un tamaño poblacional conocido. Hay casos en los que se conoce la población, por lo que hay que aplicar el factor de corrección. El problema se plantea tanto para la distribución muestral de las medias como para la distribución muestral de las proporciones. El factor de corrección de la población finita para la varianza de las medias que aparece en la fórmula de normalización es:

Z = \frac{\bar{x} - µ}{\frac{σ}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{\frac{N - n}{N - 1}}}

y para la varianza de las proporciones es:

σ_{p'} = \sqrt{\frac{p (1 - p)}{n}} \times \sqrt{\frac{N - n}{N - 1}}

7.2

Los siguientes ejemplos muestran cómo aplicar el factor. Las varianzas muestrales se ajustan mediante la fórmula anterior.

Ejemplo 7.1

Se sabe que la población de pastores alemanes blancos en EE. UU. es de 4.000 perros y el peso medio de los pastores alemanes es de 75,45 libras. También se sabe que la desviación típica de la población es de 10,37 libras.

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Si el tamaño de la muestra es de 100 perros, halle la probabilidad de que una muestra tenga una media que difiera de la verdadera media probabilística en menos de 2 libras.

Solución

$N = 4.000, n = 100, σ = 10,37, µ = 75,45, (\bar{x} - µ) = \pm 2$

Z = \frac{\bar{x} - µ}{\frac{σ}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{\frac{N - n}{N - 1}}} = \frac{\pm 2}{\frac{10,37}{\sqrt{100}} \cdot \sqrt{\frac{4.000 - 100}{4.000 - 1}}} = \pm 1,95

f (Z) = 0,4744 \cdot 2 = 0,9488

Tenga en cuenta que "difiere en menos" hace referencia al área a ambos lados de la media dentro de 2 libras a la derecha o a la izquierda.

Ejemplo 7.2

Cuando un cliente hace un pedido a Rudy's On-Line Office Supplies, un sistema informático de información contable (accounting information system, AIS) comprueba automáticamente si el cliente ha superado su límite de crédito. Los registros anteriores indican que la probabilidad de que los clientes superen su límite de crédito es de 0,06.

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Supongamos que en un día determinado se realizan 3.000 pedidos en total. Si seleccionamos al azar 360 pedidos, ¿cuál es la probabilidad de que entre 10 y 20 clientes superen su límite de crédito?

Solución

$N = 3.000, n = 360, p = 0,06$

σ_{p'} = \sqrt{\frac{p (1 - p)}{n}} \times \sqrt{\frac{N - n}{N - 1}} = \sqrt{\frac{0,06 (1 - 0,06)}{360}} \times \sqrt{\frac{3.000 - 360}{3.000 - 1}} = 0,0117

p_{1} = \frac{10}{360} = 0,0278, p_{2} = \frac{20}{360} = 0,0556

Z = \frac{p' - p}{\sqrt{\frac{p (1 - p)}{n}} \cdot \sqrt{\frac{N - n}{N - 1}}} = \frac{0,0278 - 0,06}{0,011744} = −2,74

Z = \frac{p' - p}{\sqrt{\frac{p (1 - p)}{n}} \cdot \sqrt{\frac{N - n}{N - 1}}} = \frac{0,0556 - 0,06}{0,011744} = −0,38

p (\frac{0,0278 - 0,06}{0,011744} < z < \frac{0,0556 - 0,06}{0,011744}) = p (−2,74 < z < −0,38) = 0,4969 - 0,1480 = 0,3489

7.4 Factor de corrección de población finita

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Solución

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Solución