13.3 Ecuaciones lineales - Introducción a la estadística empresarial

La regresión lineal para dos variables se basa en una ecuación lineal con una variable independiente. La ecuación tiene la forma

y = a + bx

donde a y b son números constantes.

La variable x es la variable independiente, y y es la variable dependiente. Otra forma de pensar en esta ecuación es una declaración de causa y efecto. La variable X es la causa y la variable Y es el efecto hipotético. Normalmente, se elige un valor para sustituir la variable independiente y luego se resuelve la variable dependiente.

Ejemplo 13.1

Los siguientes ejemplos son ecuaciones lineales.

y = 3 + 2x

y = -0,01 + 1,2x

El gráfico de una ecuación lineal de la forma y = a + bx es una línea recta. Cualquier línea que no sea vertical puede ser descrita por esta ecuación.

Ejemplo 13.2

Grafique la ecuación y = –1 + 2x.

Gráfico de la ecuación y = –1 + 2x. Se trata de una línea que cruza el eje y en –1 y tiene una pendiente hacia arriba y hacia la derecha, que sube 2 unidades por cada unidad de recorrido.

Figura 13.3

Inténtelo 13.2

¿El siguiente es un ejemplo de ecuación lineal? ¿Por qué sí o por qué no?

Este es el gráfico de una ecuación. El eje x está identificado en intervalos de 2 desde 0 hasta 14; el eje y está identificado en intervalos de 2 desde 0 hasta 12. El gráfico de la ecuación es una curva que cruza el eje y en 2 y se curva hacia arriba y hacia la derecha.

Figura 13.4

Ejemplo 13.3

Aaron's Word Processing Service (AWPS) se encarga del procesamiento de textos. La tarifa de los servicios es de 32 dólares por hora, más un cargo único de 31,50 dólares. El costo total para un cliente depende del número de horas que se tarda en realizar el trabajo.

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Calcule la ecuación que expresa el costo total en términos del número de horas necesarias para completar el trabajo.

Solución

Supongamos que x = el número de horas que se necesita para realizar el trabajo.
Supongamos que y = el costo total para el cliente.

Los 31,50 dólares son un costo fijo. Si se tarda x horas en completar el trabajo, entonces (32)(x) es el costo del procesamiento de textos solamente. El costo total es: y = 31,50 + 32x

Pendiente e intersección en Y de una ecuación lineal

Para la ecuación lineal y = a + bx, b = pendiente y a = intersección en y. De Álgebra recuerde que la pendiente es un número que describe la inclinación de una línea, y la intersección en y es la coordenada y del punto (0, a) donde la línea cruza el eje y. Desde el cálculo, la pendiente es la primera derivada de la función. Para una función lineal la pendiente es dy / dx = b donde podemos leer la expresión matemática como "el cambio en y (dy) que resulta de un cambio en x (dx) = b * dx".

Tres posibles gráficos de la ecuación y = a + bx. Para el primer gráfico, (a), b > 0 y por tanto la línea tiene una pendiente ascendente hacia la derecha. Para la segunda, b = 0 y el gráfico de la ecuación es una línea horizontal. En el tercer gráfico, (c), b < 0 y la línea con pendiente hacia la derecha.

Figura 13.5 Tres posibles gráficos de y = a + bx. (a) Si b > 0, la línea tiene pendiente ascendente hacia la derecha. (b) Si b = 0, la línea es horizontal. (c) Si b < 0, la línea tiene pendiente descendente hacia la derecha.

Ejemplo 13.4

Svetlana da clases particulares para ganar dinero adicional para sus estudios superiores. Por cada sesión de tutoría cobra una cuota única de 25 dólares más 15 dólares por hora de tutoría. Una ecuación lineal que expresa la cantidad total de dinero que gana Svetlana por cada sesión de tutoría es y = 25 + 15x.

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¿Cuáles son las variables independientes y dependientes? ¿Cuál es la intersección en y y cuál es la pendiente? Interprételos utilizando oraciones completas.

Solución

La variable independiente (x) es el número de horas que Svetlana da sesiones de tutoría. La variable dependiente (y) es la cantidad, en dólares, que gana Svetlana por cada sesión.

La intersección en y es 25 (a = 25). Al inicio de la sesión de tutoría, Svetlana cobra una cuota única de 25 dólares (esto es cuando x = 0). La pendiente es 15 (b = 15). En cada sesión, Svetlana gana 15 dólares por cada hora de tutoría.