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Introducción a la estadística empresarial

12.3 La distribución F y el cociente F

Introducción a la estadística empresarial12.3 La distribución F y el cociente F

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Muestreo y datos
    1. Introducción
    2. 1.1 Definiciones de estadística, probabilidad y términos clave
    3. 1.2 Datos, muestreo y variación de datos y muestreo
    4. 1.3 Niveles de medición
    5. 1.4 Diseño experimental y ética
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Tarea para la casa
    9. Referencias
    10. Soluciones
  3. 2 Estadística descriptiva
    1. Introducción
    2. 2.1 Datos mostrados
    3. 2.2 Medidas de la ubicación de los datos
    4. 2.3 Medidas del centro de los datos
    5. 2.4 Notación sigma y cálculo de la media aritmética
    6. 2.5 Media geométrica
    7. 2.6 Distorsión y media, mediana y moda
    8. 2.7 Medidas de la dispersión de los datos
    9. Términos clave
    10. Repaso del capítulo
    11. Repaso de fórmulas
    12. Práctica
    13. Tarea para la casa
    14. Resúmalo todo: tarea para la casa
    15. Referencias
    16. Soluciones
  4. 3 Temas de probabilidad
    1. Introducción
    2. 3.1 Terminología
    3. 3.2 Eventos mutuamente excluyentes e independientes
    4. 3.3 Dos reglas básicas de la probabilidad
    5. 3.4 Tablas de contingencia y árboles de probabilidad
    6. 3.5 Diagramas de Venn
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Uniéndolo todo: Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Resúmalo todo: tarea para la casa
    14. Referencias
    15. Soluciones
  5. 4 Variables aleatorias discretas
    1. Introducción
    2. 4.1 Distribución hipergeométrica
    3. 4.2 Distribución binomial
    4. 4.3 Distribución geométrica
    5. 4.4 Distribución de Poisson
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  6. 5 Variables aleatorias continuas
    1. Introducción
    2. 5.1 Propiedades de las funciones de densidad de probabilidad continuas
    3. 5.2 La distribución uniforme
    4. 5.3 La distribución exponencial
    5. Términos clave
    6. Repaso del capítulo
    7. Repaso de fórmulas
    8. Práctica
    9. Tarea para la casa
    10. Referencias
    11. Soluciones
  7. 6 La distribución normal
    1. Introducción
    2. 6.1 La distribución normal estándar
    3. 6.2 Uso de la distribución normal
    4. 6.3 Estimación de la binomial con la distribución normal
    5. Términos clave
    6. Repaso del capítulo
    7. Repaso de fórmulas
    8. Práctica
    9. Tarea para la casa
    10. Referencias
    11. Soluciones
  8. 7 El teorema del límite central
    1. Introducción
    2. 7.1 Teorema del límite central de las medias muestrales
    3. 7.2 Uso del teorema del límite central
    4. 7.3 Teorema del límite central de las proporciones
    5. 7.4 Factor de corrección de población finita
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  9. 8 Intervalos de confianza
    1. Introducción
    2. 8.1 Un intervalo de confianza para una desviación típica de la población, con un tamaño de muestra conocido o grande
    3. 8.2 Un intervalo de confianza para una desviación típica de población desconocida, caso de una muestra pequeña
    4. 8.3 Un intervalo de confianza para una proporción de población
    5. 8.4 Cálculo del tamaño de la muestra n: variables aleatorias continuas y binarias
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  10. 9 Pruebas de hipótesis con una muestra
    1. Introducción
    2. 9.1 Hipótesis nula y alternativa
    3. 9.2 Resultados y errores de tipo I y II
    4. 9.3 Distribución necesaria para la comprobación de la hipótesis
    5. 9.4 Ejemplos de pruebas de hipótesis completas
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  11. 10 Pruebas de hipótesis con dos muestras
    1. Introducción
    2. 10.1 Comparación de las medias de dos poblaciones independientes
    3. 10.2 Criterios de Cohen para efectos de tamaño pequeño, mediano y grande
    4. 10.3 Prueba de diferencias de medias: suponer varianzas de población iguales
    5. 10.4 Comparación de dos proporciones de población independientes
    6. 10.5 Dos medias poblacionales con desviaciones típicas conocidas
    7. 10.6 Muestras coincidentes o emparejadas
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Resúmalo todo: tarea para la casa
    14. Referencias
    15. Soluciones
  12. 11 La distribución chi-cuadrado
    1. Introducción
    2. 11.1 Datos sobre la distribución chi-cuadrado
    3. 11.2 Prueba de una sola varianza
    4. 11.3 Prueba de bondad de ajuste
    5. 11.4 Prueba de independencia
    6. 11.5 Prueba de homogeneidad
    7. 11.6 Comparación de las pruebas chi-cuadrado
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Resúmalo todo: tarea para la casa
    14. Referencias
    15. Soluciones
  13. 12 La distribución F y el anova de una vía
    1. Introducción
    2. 12.1 Prueba de dos varianzas
    3. 12.2 ANOVA de una vía
    4. 12.3 La distribución F y el cociente F
    5. 12.4 Datos sobre la distribución F
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  14. 13 Regresión lineal y correlación
    1. Introducción
    2. 13.1 El coeficiente de correlación r
    3. 13.2 Comprobación de la importancia del coeficiente de correlación
    4. 13.3 Ecuaciones lineales
    5. 13.4 La ecuación de regresión
    6. 13.5 Interpretación de los coeficientes de regresión: elasticidad y transformación logarítmica
    7. 13.6 Predicción con una ecuación de regresión
    8. 13.7 Cómo utilizar Microsoft Excel® para el análisis de regresión
    9. Términos clave
    10. Repaso del capítulo
    11. Práctica
    12. Soluciones
  15. A Cuadros estadísticos
  16. B Oraciones, símbolos y fórmulas matemáticas
  17. Índice

La distribución utilizada para la prueba de hipótesis es nueva. Se trata de la distribución F, inventada por George Snedecor, pero bautizada en honor del estadístico inglés Sir Ronald Fisher. El estadístico F es un cociente (una fracción). Hay dos conjuntos de grados de libertad; uno para el numerador y otro para el denominador.

Por ejemplo, si F sigue una distribución F y el número de grados de libertad para el numerador es cuatro y el número de grados de libertad para el denominador es diez, entonces F ~ F4, 10.

Para calcular el cociente F se hacen dos estimaciones de la varianza.

  1. Varianza entre muestras: Una estimación de σ2 que es la varianza de las medias muestrales multiplicada por n (cuando los tamaños de las muestras son iguales). Si las muestras son de diferentes tamaños, la varianza entre las muestras se pondera para tener en cuenta los diferentes tamaños de las muestras. La varianza también se denomina variación debido al tratamiento o variación explicada.
  2. Varianza dentro de las muestras: Una estimación de σ2 que es el promedio de las varianzas de la muestra (también conocida como varianza combinada). Cuando los tamaños de las muestras son diferentes, se pondera la varianza dentro de las muestras. La varianza también se denomina variación debido al error o variación no explicada.
  • SSentre = la suma de los cuadrados que representa la variación entre las diferentes muestras
  • SSdentro = la suma de los cuadrados que representa la variación dentro de las muestras debido al azar.

Hallar una “suma de cuadrados” significa sumar cantidades al cuadrado que, en algunos casos, pueden estar ponderadas. Utilizamos la suma de cuadrados para calcular la varianza y la desviación típica de la muestra en la 2 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA.

MS significa “media cuadrática“ (mean square, MS). MSentre es la varianza entre grupos y MSdentro es la varianza dentro de los grupos.

Cálculo de la suma de cuadrados y de la media cuadrática

  • k = el número de grupos diferentes
  • nj = el tamaño del grupo j
  • sj = la suma de los valores del grupo j
  • n = número total de todos los valores combinados (tamaño total de la muestra: ∑nj)
  • x = un valor: ∑x = ∑sj
  • Suma de los cuadrados de todos los valores de cada grupo combinados: ∑x2
  • Variabilidad entre grupos: SStotal = ∑x2 ( x 2 ) n ( x 2 ) n
  • Suma total de cuadrados: ∑x2 ( x ) 2 n ( x ) 2 n
  • Variación explicada: suma de los cuadrados que representan la variación entre las diferentes muestras:
    SSentre = [ (sj) 2 n j ] ( s j ) 2 n [ (sj) 2 n j ] ( s j ) 2 n
  • Variación no explicada: suma de cuadrados que representa la variación dentro de las muestras debida al azar: S S dentro =S S total S S entre S S dentro =S S total S S entre
  • dfde diferentes grupos (df para el numerador): df = k – 1
  • Ecuación para los errores dentro de las muestras (dfpara el denominador): dfdentro = nk
  • Media cuadrática (estimación de la varianza) explicado por los diferentes grupos: MSentre = S S entre de entre S S entre de entre
  • Media cuadrática (estimación de la varianza) que se debe al azar (no explicado): MSdentro = S S dentro d e dentro S S dentro d e dentro

MSentre y MSdentro se pueden escribir como sigue:

  • M S entre = S S entre d e entre = S S entre k1 M S entre = S S entre d e entre = S S entre k1
  • M S within = S S within d e within = S S within nk M S within = S S within d e within = S S within nk

La prueba de ANOVA de una vía depende del hecho de que el MSentre puede estar influenciado por las diferencias poblacionales entre las medias de los distintos grupos. Dado que el MSdentro compara los valores de cada grupo con su propia media de grupo, el hecho de que las medias de los grupos puedan ser diferentes no afecta al MSdentro.

La hipótesis nula dice que todos los grupos son muestras de poblaciones que tienen la misma distribución normal. La hipótesis alternativa dice que, al menos, dos de los grupos de la muestra proceden de poblaciones con distribuciones normales diferentes. Si la hipótesis nula es verdadera, tanto MSentre como MSdentro deberían estimar el mismo valor.

Nota

La hipótesis nula dice que todas las medias poblacionales del grupo son iguales. La hipótesis de igualdad de medias implica que las poblaciones tienen la misma distribución normal, ya que se supone que las poblaciones son normales y que tienen varianzas iguales.

El cociente F o estadístico F F= M S entre M S dentro F= M S entre M S dentro

Si MSentre y MSdentro estiman el mismo valor (siguiendo la creencia de que H0 es verdadera), entonces el cociente F debería ser aproximadamente igual a uno. En su mayoría, solo los errores de muestreo contribuirían a variaciones alejadas de uno. Resulta que MSentre consiste en la varianza de la población más una varianza producida por las diferencias entre las muestras. MSdentro es una estimación de la varianza de la población. Dado que las varianzas son siempre positivas, si la hipótesis nula es falsa, MSentre será generalmente mayor que MSdentro. Entonces el cociente F será mayor que uno. Sin embargo, si el efecto de la población es pequeño, no es improbable que MSdentro sea mayor en una muestra determinada.

Los cálculos anteriores se hicieron con grupos de diferentes tamaños. Si los grupos son del mismo tamaño, los cálculos se simplifican un poco y el cociente F se puede escribir como:

Fórmula del cociente F cuando los grupos son del mismo tamaño F= n s x 2 s 2 combinada F= n s x 2 s 2 combinada

donde...
  • n = el tamaño de la muestra
  • dfnumerador = k – 1
  • dfdenominador = nk
  • s2 combinada = la media de las varianzas de la muestra (varianza combinada)
  • s x 2 s x 2 = la varianza de las medias muestrales

Los datos se suelen poner en una tabla para facilitar su visualización. Los resultados del ANOVA de una vía suelen mostrarse de esta manera en softwares.

Fuente de variación Suma de los cuadrados (SS) Grados de libertad (df) Media cuadrática (MS) F
Factor
(entre)
SS(factor) k – 1 MS(factor) = SS(factor)/(k – 1) F = MS(Factor)/MS(Error)
Error
SS(error) nk MS(error) = SS(error)/(nk)
Total SS(total) n – 1
Tabla 12.3

Ejemplo 12.2

Se van a probar tres planes de dieta diferentes para la pérdida media de peso. Las entradas de la tabla son las pérdidas de peso de los diferentes planes. Los resultados del ANOVA de una vía se muestran en la Tabla 12.4.

Plan 1: n1 = 4 Plan 2: n2 = 3 Plan 3: n3 = 3
5 3,5 8
4,5 7 4
4 3,5
3 4,5
Tabla 12.4

s1 = 16,5, s2 =15, s3 = 15,5

A continuación se presentan los cálculos necesarios para completar la tabla de ANOVA de una vía. La tabla se utiliza para realizar una prueba de hipótesis.

SS(entre)=[ ( s j ) 2 n j ] ( s j ) 2 n  SS(entre)=[ ( s j ) 2 n j ] ( s j ) 2 n 
=  s 1 2 4 + s 2 2 3 + s 3 2 3 ( s 1 + s 2 + s 3 ) 2 10 =  s 1 2 4 + s 2 2 3 + s 3 2 3 ( s 1 + s 2 + s 3 ) 2 10

donde n1 = 4, n2 = 3, n3 = 3 y n = n1 + n2 + n3 = 10

  = ( 16,5 ) 2 4 + ( 15 ) 2 3 + ( 15,5 ) 2 3 ( 16,5+15+15,5 ) 2 10   = ( 16,5 ) 2 4 + ( 15 ) 2 3 + ( 15,5 ) 2 3 ( 16,5+15+15,5 ) 2 10
SS(entre)=2,2458 SS(entre)=2,2458
S(total)= x 2 ( x ) 2 n S(total)= x 2 ( x ) 2 n
 =( 5 2 + 4,5 2 + 4 2 + 3 2 + 3,5 2 + 7 2 + 4,5 2 + 8 2 + 4 2 + 3,5 2 )  =( 5 2 + 4,5 2 + 4 2 + 3 2 + 3,5 2 + 7 2 + 4,5 2 + 8 2 + 4 2 + 3,5 2 )
(5+4,5+4+3+3,5+7+4,5+8+4+3,5) 2 10 (5+4,5+4+3+3,5+7+4,5+8+4+3,5) 2 10
=244 47 2 10 =244220,9 =244 47 2 10 =244220,9
SS(total)=23,1 SS(total)=23,1
SS(dentro)=SS(total)SS(entre) SS(dentro)=SS(total)SS(entre)
= 23,12,2458 = 23,12,2458
SS(dentro)=20,8542 SS(dentro)=20,8542
Fuente de variación Suma de los cuadrados (SS) Grados de libertad (df) Media cuadrática (MS) F
Factor
(entre)
SS(factor)
= SS(entre)
= 2,2458
k – 1
= 3 grupos – 1
= 2
MS(factor)
= SS(factor)/(k – 1)
= 2,2458/2
= 1,1229
F =
MS(Factor)/MS(Error)
= 1,1229/2,9792
= 0,3769
Error
SS(error)
= SS
= 20,8542
nk
= 10 datos totales – 3 grupos
= 7
MS(error)
= SS(error)/(nk)
= 20,8542/7
= 2,9792
Total SS(total)
= 2,2458 + 20,8542
= 23,1
n – 1
= 10 datos totales – 1
= 9
Tabla 12.5

Inténtelo 12.2

Como parte de un experimento para ver cómo los diferentes tipos de lechos de suelo afectarían la producción de tomates de corte, los estudiantes del Marist College cultivaron plantas de tomate en diferentes condiciones de lecho de suelo. Los grupos de tres plantas tenían, cada uno, uno de los siguientes tratamientos

  • suelo desnudo
  • cubierta de suelo comercial
  • plástico negro
  • paja
  • compost

Todas las plantas crecieron en las mismas condiciones y eran de la misma variedad. Los estudiantes registraron el peso (en gramos) de los tomates producidos por cada una de las n = 15 plantas:

Desnudo: n1 = 3 Cubierta del suelo: n2 = 3 Plástico: n3 = 3 Paja: n4 = 3 Compost: n5 = 3
2.625 5.348 6.583 7.285 6.277
2.997 5.682 8.560 6.897 7.818
4.915 5.482 3.830 9.230 8.677
Tabla 12.6


Cree la tabla ANOVA de una vía.

La prueba de hipótesis del ANOVA de una vía es siempre de cola derecha porque los valores F más grandes están en la cola derecha de la curva de distribución F y tienden a hacernos rechazar H0.

Ejemplo 12.3

translation missing: es.problem

Volvamos al ejercicio de los tomates bola en la sección INTÉNTELO 12.2. Las medias de los rendimientos de los tomates en las cinco condiciones de cubierta están representadas por μ1, μ2, μ3, μ4, μ5. Realizaremos una prueba de hipótesis para determinar si todas las medias son iguales o al menos una es diferente. Use un nivel de significación del 5 % y pruebe la hipótesis nula de que no hay diferencia en los rendimientos medios entre los cinco grupos contra la hipótesis alternativa de que, al menos, una media es diferente del resto.

Inténtelo 12.3

El SARM, o Staphylococcus aureus resistente a la meticilina, puede causar una grave infección bacteriana en pacientes del hospital. La Tabla 12.8 muestra varios recuentos de colonias de diferentes pacientes que pueden o no tener SARM. Los datos de la tabla se representan en la Figura 12.5.

Conc. = 0,6Conc. = 0,8 Conc. = 1,0 Conc. = 1,2 Conc. = 1,4
9 16 22 30 27
66 93 147 199 168
98 82 120 148 132
Tabla 12.8

Gráfico de los datos para las diferentes concentraciones:

Este gráfico es un diagrama de dispersión para los datos proporcionados. El eje horizontal está identificado como “recuento de colonias” y va de 0 a 200. El eje vertical está identificado como “concentraciones de triptona” y va de 0,6 a 1,4.
Figura 12.5

Compruebe si el número medio de colonias es igual o es diferente. Construya la tabla de ANOVA, calcule el valor p y exponga su conclusión. Utilice un nivel de significación del 5 %.

Ejemplo 12.4

Cuatro hermandades de mujeres tomaron una muestra aleatoria de hermanas en relación con su media de calificaciones para el último trimestre. Los resultados se muestran en la Tabla 12.9.

Hermandad 1 Hermandad 2 Hermandad 3 Hermandad 4
2,17 2,63 2,63 3,79
1,85 1,77 3,78 3,45
2,83 3,25 4,00 3,08
1,69 1,86 2,55 2,26
3,33 2,21 2,45 3,18
Tabla 12.9 Media de notas de las cuatro hermandades

translation missing: es.problem

Utilizando un nivel de significación del 1 %, ¿existe una diferencia en las notas medias entre las hermandades?

Inténtelo 12.4

Cuatro equipos deportivos tomaron una muestra aleatoria de jugadores en relación con su GPA del año pasado. Los resultados se muestran en la Tabla 12.10.

Baloncesto Béisbol Hockey Lacrosse
3,6 2,1 4,0 2,0
2,9 2,6 2,0 3,6
2,5 3,9 2,6 3,9
3,3 3,1 3,2 2,7
3,8 3,4 3,2 2,5
Tabla 12.10 Promedio general de los cuatro equipos deportivos

Use un nivel de significación del 5 % y determine si existe una diferencia en el GPA entre los equipos.

Ejemplo 12.5

Una clase de cuarto grado está estudiando el ambiente. Una de las tareas consiste en cultivar plantas de judías en diferentes suelos. Tommy eligió cultivar sus plantas de judías en la tierra que encontró fuera de su aula mezclada con pelusa de secadora. Tara decidió cultivar sus plantas de judías en tierra para macetas comprada en el vivero local. Nick decidió cultivar sus plantas de judías en la tierra del jardín de su madre. No se utilizó ningún producto químico en las plantas, solo agua. Se cultivaron en el interior del aula junto a un gran ventanal. Cada niño cultivó cinco plantas. Al final del periodo de crecimiento se midió cada planta y se obtuvieron los datos (en pulgadas) que están en la Tabla 12.11.

Plantas de Tommy Plantas de Tara Plantas de Nick
24 25 23
21 31 27
23 23 22
30 20 30
23 28 20
Tabla 12.11

translation missing: es.problem

¿Parece que los tres medios en los que se cultivaron las plantas de judías producen la misma altura media? Pruebe con un nivel de significación del 3 %.

Notación

La notación para la distribución F es F ~ Fdf(num),df(denom)

donde df(num) = dfentre y df(denom) = dfdentro

La media de la distribución F es μ= de(num) de(denom)2 μ= de(num) de(denom)2

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