12.3 La distribución F y el cociente F

La distribución utilizada para la prueba de hipótesis es nueva. Se trata de la distribución F, inventada por George Snedecor, pero bautizada en honor del estadístico inglés Sir Ronald Fisher. El estadístico F es un cociente (una fracción). Hay dos conjuntos de grados de libertad; uno para el numerador y otro para el denominador.

Por ejemplo, si F sigue una distribución F y el número de grados de libertad para el numerador es cuatro y el número de grados de libertad para el denominador es diez, entonces F ~ F_{4, 10}.

Para calcular el cociente F se hacen dos estimaciones de la varianza.

1. Varianza entre muestras: Una estimación de σ² que es la varianza de las medias muestrales multiplicada por n (cuando los tamaños de las muestras son iguales). Si las muestras son de diferentes tamaños, la varianza entre las muestras se pondera para tener en cuenta los diferentes tamaños de las muestras. La varianza también se denomina variación debido al tratamiento o variación explicada.
2. Varianza dentro de las muestras: Una estimación de σ² que es el promedio de las varianzas de la muestra (también conocida como varianza combinada). Cuando los tamaños de las muestras son diferentes, se pondera la varianza dentro de las muestras. La varianza también se denomina variación debido al error o variación no explicada.

• SS_entre = la suma de los cuadrados que representa la variación entre las diferentes muestras
• SS_dentro = la suma de los cuadrados que representa la variación dentro de las muestras debido al azar.

Hallar una “suma de cuadrados” significa sumar cantidades al cuadrado que, en algunos casos, pueden estar ponderadas. Utilizamos la suma de cuadrados para calcular la varianza y la desviación típica de la muestra en la 2 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA.

MS significa “media cuadrática“ (mean square, MS). MS_entre es la varianza entre grupos y MS_dentro es la varianza dentro de los grupos.

Cálculo de la suma de cuadrados y de la media cuadrática

• k = el número de grupos diferentes
• n_j = el tamaño del grupo j
• s_j = la suma de los valores del grupo j
• n = número total de todos los valores combinados (tamaño total de la muestra: ∑n_j)
• x = un valor: ∑x = ∑s_j
• Suma de los cuadrados de todos los valores de cada grupo combinados: ∑x²
• Variabilidad entre grupos: SS_total = ∑x² – $\frac{\left({\displaystyle \sum x^2}\right)}{n}$
• Suma total de cuadrados: ∑x² – $\frac{{\left(\sum x\right)}^2}{n}$
• Variación explicada: suma de los cuadrados que representan la variación entre las diferentes muestras:
  SS_entre = $\sum \left[\frac{{(s_j)}^2}{n_j}\right]–\frac{{(\sum s_j)}^2}{n}$
• Variación no explicada: suma de cuadrados que representa la variación dentro de las muestras debida al azar: $S{S}_{\text{dentro}}=S{S}_{\text{total}}–S{S}_{\text{entre}}$
• dfde diferentes grupos (df para el numerador): df = k – 1
• Ecuación para los errores dentro de las muestras (dfpara el denominador): df_dentro = n – k
• Media cuadrática (estimación de la varianza) explicado por los diferentes grupos: MS_entre = $\frac{S{S}_{\text{entre}}}{d{e}_{\text{entre}}}$
• Media cuadrática (estimación de la varianza) que se debe al azar (no explicado): MS_dentro = $\frac{S{S}_{\text{dentro}}}{d{e}_{\text{dentro}}}$

MS_entre y MS_dentro se pueden escribir como sigue:

• $M{S}_{\text{entre}}=\frac{S{S}_{\text{entre}}}{d{e}_{\text{entre}}}=\frac{S{S}_{\text{entre}}}{k–1}$
• $M{S}_{within}=\frac{S{S}_{within}}{d{e}_{within}}=\frac{S{S}_{within}}{n–k}$

La prueba de ANOVA de una vía depende del hecho de que el MS_entre puede estar influenciado por las diferencias poblacionales entre las medias de los distintos grupos. Dado que el MS_dentro compara los valores de cada grupo con su propia media de grupo, el hecho de que las medias de los grupos puedan ser diferentes no afecta al MS_dentro.

La hipótesis nula dice que todos los grupos son muestras de poblaciones que tienen la misma distribución normal. La hipótesis alternativa dice que, al menos, dos de los grupos de la muestra proceden de poblaciones con distribuciones normales diferentes. Si la hipótesis nula es verdadera, tanto MS_entre como MS_dentro deberían estimar el mismo valor.

El cociente F o estadístico F $F=\frac{M{S}_{\text{entre}}}{M{S}_{\text{dentro}}}$

Si MS_entre y MS_dentro estiman el mismo valor (siguiendo la creencia de que H₀ es verdadera), entonces el cociente F debería ser aproximadamente igual a uno. En su mayoría, solo los errores de muestreo contribuirían a variaciones alejadas de uno. Resulta que MS_entre consiste en la varianza de la población más una varianza producida por las diferencias entre las muestras. MS_dentro es una estimación de la varianza de la población. Dado que las varianzas son siempre positivas, si la hipótesis nula es falsa, MS_entre será generalmente mayor que MS_dentro. Entonces el cociente F será mayor que uno. Sin embargo, si el efecto de la población es pequeño, no es improbable que MS_dentro sea mayor en una muestra determinada.

Los cálculos anteriores se hicieron con grupos de diferentes tamaños. Si los grupos son del mismo tamaño, los cálculos se simplifican un poco y el cociente F se puede escribir como:

Fórmula del cociente F cuando los grupos son del mismo tamaño $F=\frac{n\cdot s_{\bar{x}}{}^2}{s^2{}_{\text{combinada}}}$

Los datos se suelen poner en una tabla para facilitar su visualización. Los resultados del ANOVA de una vía suelen mostrarse de esta manera en softwares.

La prueba de hipótesis del ANOVA de una vía es siempre de cola derecha porque los valores F más grandes están en la cola derecha de la curva de distribución F y tienden a hacernos rechazar H₀.

Notación

La notación para la distribución F es F ~ F_{df(num),df(denom)}

donde df(num) = df_entre y df(denom) = df_dentro

La media de la distribución F es $\mu =\frac{de(num)}{de(denom)–2}$