Alexander Holmes; Barbara Illowsky; Susan Dean

Aunque difícilmente se dé esta situación (conocer las desviaciones típicas de la población es improbable), el siguiente ejemplo ilustra las pruebas de hipótesis para medias independientes con desviaciones típicas conocidas de la población. La distribución muestral para la diferencia entre las medias es normal de acuerdo con el teorema del límite central. La variable aleatoria es $\bar{X_{1}} - \bar{X_{2}}$ . La distribución normal tiene el siguiente formato:

La desviación típica es:

\sqrt{\frac{{(σ_{1})}^{2}}{n_{1}} + \frac{{(σ_{2})}^{2}}{n_{2}}}

10.3

El estadístico de prueba (puntuaciónz) es:

Z_{c} = \frac{({\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2}) - δ_{0}}{\sqrt{\frac{{(σ_{1})}^{2}}{n_{1}} + \frac{{(σ_{2})}^{2}}{n_{2}}}}

Ejemplo 10.7

Grupos independientes, desviaciones típicas de la población conocidas: Se va a comparar el tiempo medio de duración de dos ceras para suelos de la competencia. Se asignan al azar veinte pisos para probar cada cera. Ambas poblaciones tienen una distribución normal. Los datos se registran en la Tabla 10.3.

Cera	Media muestral del número de meses que dura la cera para pisos	Desviación típica de la población
1	3	0,33
2	2,9	0,36

Tabla 10.3

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¿Los datos indican que la cera 1 es más eficaz que la cera 2? Pruebe con un nivel de significación del 5 %.

Solución

Se trata de una prueba de dos grupos independientes, dos medias poblacionales, desviaciones típicas poblacionales conocidas.

Variable aleatoria: ${\bar{X}}_{1} – {\bar{X}}_{2}$ = diferencia en el número medio de meses que duran las ceras para suelos de la competencia.

$H_{0} : μ_{1} \leq μ_{2}$

$H_{a} : μ_{1} > μ_{2}$

La expresión “es más eficaz” dice que la cera 1 dura más que la cera 2, en promedio. “Más que” es el símbolo “>” y entra en H_a. Por lo tanto, se trata de una prueba de cola derecha.

Distribución para la prueba: Las desviaciones típicas de la población son conocidas, por lo que la distribución es normal. Con la fórmula del estadístico de prueba calculamos el valor para el problema.

Z_{c} = \frac{(μ_{1} - μ_{2}) - δ_{0}}{\sqrt{\frac{σ_{1}^{2}}{n_{1}} + \frac{σ_{2}^{2}}{n_{2}}}} = 0,1

Se trata de una curva de distribución normal con media igual a cero. Los valores 0 y 0,1 están marcados en el eje horizontal. Una línea vertical se extiende desde 0,1 hasta la curva. La región debajo de la curva a la derecha de la línea está sombreada para representar el valor p = 0,1799.

Figura 10.7

La diferencia estimada entre las dos medias es: ${\bar{X}}_{1}$ – ${\bar{X}}_{2}$ = 3 – 2,9 = 0,1

Compare el valor calculado, el valor crítico y Z_α: Marcamos el valor calculado en el gráfico y determinamos que el valor calculado no está en la cola, por lo que no podemos rechazar la hipótesis nula.

Tome una decisión: el valor calculado del estadístico de prueba no está en la cola, por lo que no se puede rechazar H₀.

Conclusión: Al nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que el tiempo medio de duración de la cera 1 sea mayor (la cera 1 es más eficaz) que el tiempo medio de duración de la cera 2.

Inténtelo 10.7

Hay que comparar las medias del número de revoluciones por minuto de dos motores en competencia. Treinta motores son asignados al azar para ser probados. Ambas poblaciones tienen distribuciones normales. La Tabla 10.4 muestra el resultado. ¿Los datos indican que el motor 2 tiene más RPM que el motor 1? Pruebe con un nivel de significación del 5 %.

Motor	Número de la media muestral de RPM	Desviación típica de la población
1	1.500	50
2	1.600	60

Tabla 10.4

Ejemplo 10.8

Un ciudadano interesado quería saber si los senadores estadounidenses demócratas son más viejos que los republicanos, en promedio. El 26 de mayo de 2013, la edad media de 30 senadores republicanos seleccionados al azar era de 61 años y 247 días (61,675 años) con una desviación típica de 10,17 años. La edad media de los 30 senadores demócratas seleccionados al azar era de 61 años y 257 días (61,704 años), con una desviación típica de 9,55 años.

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¿Los datos indican que los senadores demócratas son más viejos que los republicanos, en promedio? Pruebe con un nivel de significación del 5 %.

Solución

Se trata de una prueba de dos grupos independientes, dos medias poblacionales. Se desconocen las desviaciones típicas de la población, pero la suma de los tamaños de las muestras es 30 + 30 = 60, que es mayor que 30, por lo que podemos utilizar la aproximación normal a la distribución t de Student. Subíndices: 1: Senadores demócratas 2: Senadores republicanos

Variable aleatoria: ${\bar{X}}_{1} – {\bar{X}}_{2}$ = diferencia en la edad media de los senadores estadounidenses demócratas y republicanos.

$H_{0} : μ_{1} \leq μ_{2}$ $H_{0} : μ_{1} - μ_{2} \leq 0$

$H_{a} : μ_{1} > μ_{2}$ $H_{a} : μ_{1} - μ_{2} > 0$

Las palabras “mayor que” se traducen en un símbolo “>” y entran en H_a. Por lo tanto, se trata de una prueba de cola derecha.

Se trata de una curva de distribución normal con media igual a cero. Una línea vertical a la derecha del cero se extiende desde el eje hasta la curva. La región debajo de la curva a la derecha de la línea está sombreada y representa un valor p = 0,4955.

Figura 10.8

Tome una decisión: El valor p es superior al 5 %, por lo que no podemos rechazar la hipótesis nula. Al calcular el estadístico de prueba, observamos que no cae en la cola, por lo que no podemos rechazar la hipótesis nula. Llegamos a la misma conclusión al utilizar cualquiera de los dos métodos para tomar esta decisión estadística.

Conclusión: Al nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que la edad media de los senadores demócratas sea mayor que la de los republicanos.

10.5 Dos medias poblacionales con desviaciones típicas conocidas

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Solución

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Solución