7.4 Potencia

El concepto de trabajo implica fuerza y desplazamiento; el teorema de trabajo-energía relaciona el trabajo neto que se realiza sobre un cuerpo con la diferencia de su energía cinética, calculada entre dos puntos de su trayectoria. Ninguna de estas cantidades o relaciones implica explícitamente el tiempo, pero sabemos que el tiempo disponible para realizar una determinada cantidad de trabajo suele ser tan importante para nosotros como la propia cantidad. En la figura que abre el capítulo, varios velocistas pueden haber alcanzado la misma velocidad en la meta y, por lo tanto, haber realizado la misma cantidad de trabajo, pero el ganador de la carrera lo hizo en el menor tiempo.

Expresamos la relación entre el trabajo realizado y el intervalo de tiempo que implica su realización, al introducir el concepto de potencia. Dado que el trabajo puede variar en función del tiempo, primero definimos la potencia media (Average, ave) como el trabajo realizado durante un intervalo de tiempo, dividido entre el intervalo,

A continuación, podemos definir la potencia instantánea (a menudo denominada simplemente potencia).

Si la potencia es constante a lo largo de un intervalo de tiempo, la potencia media de ese intervalo es igual a la potencia instantánea, y el trabajo realizado por el agente que suministra la potencia es $W=P\Delta t$. Si la potencia durante un intervalo varía con el tiempo, entonces el trabajo realizado es la integral del tiempo de la potencia,

El teorema de trabajo-energía relaciona cómo se puede transformar el trabajo en energía cinética. Dado que también existen otras formas de energía, como veremos en el próximo capítulo, también podemos definir la potencia como la tasa de transferencia de energía. El trabajo y la energía se miden en unidades de julios, por lo que la potencia se mide en unidades de julios por segundo, a las que el SI ha dado el nombre de vatios, con abreviatura W: $1\text{J/s}=1\text{W}$. Otra unidad común para expresar la capacidad de potencia de los dispositivos cotidianos es el caballo de fuerza (Horsepower, hp): $1\text{hp}=746\text{W}$.

Ejemplo 7.11

Potencia de levantamiento

Un aprendiz del ejército de 80 kg hace dominadas en una barra horizontal (Figura 7.14). El aprendiz tarda 0,8 segundos en levantar el cuerpo desde una posición baja hasta que la barbilla está por encima de la barra. ¿Cuánta fuerza suministran los músculos del aprendiz al mover su cuerpo desde la posición inferior hasta que la barbilla está por encima de la barra? (Pista: Haga una estimación razonable de las cantidades necesarias).

Figura 7.14 ¿Cuál es la potencia gastada al hacer diez dominadas en diez segundos?

Estrategia

El trabajo realizado contra la gravedad, subiendo o bajando una distancia $\Delta y$, es $mg\text{Δ}y.$ Supongamos que $\text{Δ}y=2\text{pies}\approx 60\text{cm}\text{.}$ Supongamos también que los brazos representan el 10 % de la masa del cuerpo y no se incluyen en la masa en movimiento. Con estos supuestos, podemos calcular el trabajo realizado.

Solución

El resultado que obtenemos, aplicando nuestros supuestos, es

$$P=\frac{\text{mg}(\Delta y)}{t}=\frac{\mathrm{0,9}(80\text{kg})(\mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2)(\mathrm{0,60}\text{m})}{\mathrm{0,8}\text{s}}=529\text{W}\text{.}$$

Importancia

Esto es típico para el gasto de energía en el ejercicio extenuante; en unidades cotidianas, es algo más de un caballo de fuerza $(1\text{hp}=746\text{W}).$

La potencia necesaria para mover un cuerpo también puede expresarse en términos de las fuerzas que actúan sobre este. Si una fuerza $\overrightarrow{F}$ actúa sobre un cuerpo que es desplazado $d\overrightarrow{r}$ en un tiempo dt, la potencia gastada por la fuerza es

donde $\overrightarrow{v}$ es la velocidad del cuerpo. El hecho de que los límites implicados por las derivadas existan, para el movimiento de un cuerpo real, justifica el reordenamiento de los infinitesimales.

Ejemplo 7.12

Potencia automotriz conduciendo cuesta arriba

¿Cuánta potencia debe gastar el motor de un automóvil para mover un auto de 1.200 kg por una pendiente de grado del 15 % a 90 km/h (Figura 7.15)? Supongamos que el 25 % de esta potencia se disipa al vencer la resistencia del aire y la fricción.

Figura 7.15 Queremos calcular la potencia necesaria para subir un auto por una colina a velocidad constante.

Estrategia

A velocidad constante, no hay cambio en la energía cinética, por lo que el trabajo neto realizado para mover el auto es cero. Por lo tanto, la potencia suministrada por el motor para mover el auto es igual a la potencia gastada contra la gravedad y la resistencia del aire. Suponiendo que el 75 % de la potencia se suministre contra la gravedad, lo que equivale a $m\overrightarrow{g}·\overrightarrow{v}=mgv\text{sen}\theta ,$ donde $\theta$ es el ángulo de la pendiente. Un grado del 15 % significa $\text{tan}\theta =\mathrm{0,15}.$ Este razonamiento nos permite resolver la potencia necesaria.

Solución

Al llevar a cabo los pasos sugeridos, hallamos

$$\mathrm{0,75}P=mgv\text{sen}({\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\mathrm{0,15}),$$

o

$$P=\frac{(1.200\times \mathrm{9,8}\text{N})(90\text{m}\text{/}\mathrm{3,6}\text{s})\text{sen}(\mathrm{8,53}\text{°})}{\mathrm{0,75}}=58\text{kW,}$$

o unos 78 hp. (Deberá suministrar los pasos utilizados para convertir las unidades).

Importancia

Esta es una cantidad razonable de potencia para que el motor de un auto pequeño o mediano suministre $(1\text{hp}=\mathrm{0,746}\text{kW}\text{).}$ Observe que esto es solo la potencia gastada para mover el auto. Gran parte de la potencia del motor va a parar a otra parte, por ejemplo, al calor residual. Por eso los autos necesitan radiadores. La potencia restante puede utilizarse para acelerar o para hacer funcionar los accesorios del auto.